1、2020 年高考数学（年高考数学（4 月份）模拟试卷（理科）月份）模拟试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题）. 1若 ，则 （ ） A B3 C1 D1 2设集合 Ax|x2+x120， ，则 AB（ ） Ax|x7 Bx|2x3 Cx|2x3 Dx|4x3 3某单位去年的开支分布的折线图如图 1 所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位： 万 元 ） 如 图 2 所 示 ， 则 去 年 的 水 费 开 支 占 总 开 支 的 百 分 比 为 （ ） A6.25% B7.5% C10.25% D31.25% 4若双曲线 mx2+ny21（m0）的离心率为 ，则 （ ） A B C4 D4
2、5如图，在等腰直角ABC 中，D，E 分别为斜边 BC 的三等分点（D 靠近点 B），过 E 作 AD 的垂线，垂足为 F，则 （ ） A B C D 6已知底面是等腰直角三角形的三棱锥 PABC 的三视图如图所示，俯视图中的两个小三 角形全等，则（ ） APA，PB，PC 两两垂直 B三棱锥 PABC 的体积为 C三棱锥 PABC 的侧面积为 3 D|PA|PB|PC| 7山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外据统计， 烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm）服从正态分布 N（80，52），则 直径在（75，90内的概率为（ ） 附：若 XN（ ，2），
3、则 P（ X +）0.6826，P（2X +2） 0.9544 A0.6826 B0.8413 C0.8185 D0.9544 8已知函数 f（x）sinx cosx（0）的图象关于直线 x 对称，则 的最小值 为（ ） A B C D 9若曲线 yx4x3+ax（x0）存在斜率小于 1 的切线，则 a 的取值范围为（ ） A（， ） B（， ） C（， ） D（， ） 10 已知函数 ， ， ， 则函数 yf （f （x） ） 的零点所在区间为 （ ） A ， B（1，0） C ， D（4，5） 11已知直线 yk（x1）与抛物线 C：y24x 交于 A，B 两点，直线 y2k（x2）与抛
4、物线 D：y28x 交于 M，N 两点，设 |AB|2|MN|，则（ ） A16 B16 C120 D12 12“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作孙子算 经卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二， 五五数之剩三， 七七数之剩二 问物几何？现有这样一个相关的问题： 将 1 到 2020 这 2020 个自然数中被 5 除余 3 且被 7 除余 2 的数按照从小到大的顺序排成一列， 构成一个数列， 则该数列各项之和为（ ） A56383 B57171 C59189 D61242 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共
5、20 分.把答案填在答题卡中的横线上. 13 的展开式中 的系数为 （用数字作答） 14在等比数列an中，a1+a21，a4+a527，则an的前 5 项和为 15已知 f（x）为偶函数，当 0x4 时，f（x）2x3，当 x4 时，f（x）212x，则 不等式 f（x）5 的解集为 16 在矩形 ABCD 中， BC4， M 为 BC 的中点， 将ABM 和DCM 分别沿 AM， DM 翻折， 使点 B 与 C 重合于点 P若APD150，则三棱锥 MPAD 的外接球的表面积 为 三、 解答题： 本大题共5小题， 共70分.解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤.17 21 题为必考
6、题，每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.（一） 必考题：共 60 分. 17如图，四棱锥 EABCD 的侧棱 DE 与四棱锥 FABCD 的侧棱 BF 都与底面 ABCD 垂 直，ADCD，ABCD，AB3，ADCD4，AE5， （1）证明：DF平面 BCE （2）求平面 ABF 平面 CDF 所成的锐二面角的余弦值 18已知椭圆 ： 的焦距为 ，短轴长为 （1）求 的方程； （2）若直线 yx+2 与 相交于 A、B 两点，求以线段 AB 为直径的圆的标准方程 19ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知 C2A，a4，c6 （1）求 b；
7、 （2）求ABC 内切圆的半径 20 追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向 为了改善空 气质量，某城市环保局随机抽取了一年内 100 天的空气质量指数（AQI）的检测数据，结 果统计如表： AQI 0，50 （50，100 （100，150 （150，200 （200，250 （250，300 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 重度污染 天数 6 14 18 27 25 10 （1）从空气质量指数属于0，50，（50，100的天数中任取 3 天，求这 3 天中空气质量 至少有 2 天为优的概率； （2）已知某企业每天因空气质量造成的经济损失 y（单位：
8、元）与空气质量指数 x 的关 系式为 ， ， ， ，假设该企业所在地 7 月与 8 月每天空气质量为优、 良、 轻度污染、 中度污染、 重度污染、 严重污染的概率分别为 ， ， ， ， ， 9 月每天的空气质量对应的概率以表中 100 天的空气质量的频率代替 （i）记该企业 9 月每天因空气质量造成的经济损失为 X 元，求 X 的分布列； （ii）试问该企业 7 月、8 月、9 月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望 是否会超过 2.88 万元？说明你的理由 21已知函数 f（x）2ln（x+1）+sinx+1，函数 g（x）ax1blnx（a，bR，ab0） （1）讨论 g（x）的
9、单调性； （2）证明：当 x0 时，f（x）3x+1 （3）证明：当 x1 时，f（x）（x2+2x+2）esinx 选考题：共 10 分.请考生从第 22，23 两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题 目计分.选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数）以坐标原 点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系已知点 P 的直角坐标为（2，0），过 P 的直线 l 与曲线 C 相交于 M，N 两点 （1）若 l 的斜率为 2，求 l 的极坐标方程和曲线 C 的普通方程； （2）求 的值 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）
10、|2x1|+|2x+1|，记不等式 f（x）4 的解集为 M （1）求 M； （2）设 a，bM，证明：|ab|a|b|+10 参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1若 ，则 （ ） A B3 C1 D1 【分析】利用复数的运算法则即可得出 解：因为 ，所以 故选：C 【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 2设集合 Ax|x2+x120， ，则 AB（ ） Ax|x7 Bx|2x3 Cx|2x3 Dx|4x3 【分析】求出集合 A，B，由此能求出 AB 解：因为集合
11、Ax|x2+x120x|4x3， x|2x7， 所以 ABx|2x3 故选：B 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 3某单位去年的开支分布的折线图如图 1 所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位： 万 元 ） 如 图 2 所 示 ， 则 去 年 的 水 费 开 支 占 总 开 支 的 百 分 比 为 （ ） A6.25% B7.5% C10.25% D31.25% 【分析】由拆线图知去年水、电、交通支出占总支出的百分比为 20%，由条形图得去年 水、电、交通支出合计为 250+450+100800（万元），共中水费支出 250（万元），由 此能求
12、出去年的水费开支占总开支的百分比 解：由拆线图知去年水、电、交通支出占总支出的百分比为 20%， 由条形图得去年水、电、交通支出合计为： 250+450+100800（万元）， 共中水费支出 250（万元）， 去年的水费开支占总开支的百分比为： 6.25% 故选：A 【点评】本题考查去年的水费开支占总开支的百分比的求法，考查拆线图、条形图等基 础知识，考查运算求解能力，是基础题 4若双曲线 mx2+ny21（m0）的离心率为 ，则 （ ） A B C4 D4 【分析】先将双曲线的方程化为标准方程，由定义可得离心率的表达式再由题意可得所 求的值 解： 由题意双曲线化为标准方程： 1 （m0） ，
13、 所以离心率 e ， 则 4，即 4， 故选：D 【点评】本题考查双曲线的性质，属于基础题 5如图，在等腰直角ABC 中，D，E 分别为斜边 BC 的三等分点（D 靠近点 B），过 E 作 AD 的垂线，垂足为 F，则 （ ） A B C D 【分析】由题意设 BC6，表示出 DE2，AD、AE 的值，求出DAE 的余弦值，再利 用平面向量的线性运算计算即可 解：设 BC6，则 DE2， ， ， 所以 ，所以 ； 因为 ， 所以 故选：D 【点评】本题考查了平面向量的线性表示与解三角形的应用问题，是中档题 6已知底面是等腰直角三角形的三棱锥 PABC 的三视图如图所示，俯视图中的两个小三 角形
14、全等，则（ ） APA，PB，PC 两两垂直 B三棱锥 PABC 的体积为 C三棱锥 PABC 的侧面积为 3 D|PA|PB|PC| 【分析】根据三视图画出该三棱锥 PABC 的直观图，结合图形判断选项中的命题是否 正确即可 解：根据三视图知，该三棱锥 PABC 的直观图如图所示， 其中 D 为 AB 的中点，且 PD底面 ABC， 所以 PA、PB、PC 不可能两两垂直，A 错误； 计算三棱锥 PABC 的体积为 V 222 ，所以 B 错误； 计算三棱锥 PABC 的侧面积为 S 2 2 2 2 2 2 ，所以 C 错误； 由题意计算|PA|PB|PC| ，所以 D 正确 故选：D 【点
15、评】本题考查了利用三视图求简单几何体的结构特征应用问题，也考查了推理与计 算能力，是中档题 7山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外据统计， 烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm）服从正态分布 N（80，52），则 直径在（75，90内的概率为（ ） 附：若 XN（ ，2），则 P（ X +）0.6826，P（2X +2） 0.9544 A0.6826 B0.8413 C0.8185 D0.9544 【分析】利用正态分布的对称性可得：直径在（75，90内的概率P（2X+2 ） P（ 2X+2）P（ X +），即可得出 解：烟台苹果（把苹果近似看成球体）的
16、直径（单位：mm）服从正态分布 N（80，52）， 可得：80，5 则直径在（75，90内的概率P（2X +2） P（ 2X+2）P （ X +） P（2X +2）+P（X +） （0.6826+0.9544）0.8185 故选：C 【点评】本题考查了正态分布的对称性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 8已知函数 f（x）sinx cosx（0）的图象关于直线 x 对称，则 的最小值 为（ ） A B C D 【分析】利用辅助角公式将函数 yf（x）的解析式化简为 ，根据题 意得出 ， 可得出关于 的表达式， 即可求出正数 的最小值 解： ， 由于该函数的图象关于直线 对称，则 ， 得 ，
17、0，当 k0 时， 取得最小值 故选：C 【点评】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数，解题时要将三角函数的解析式利用 三角恒等变换思想化简，并通过对称性列出参数的表达式求解，考查计算能力，属于中 等题 9若曲线 yx4x3+ax（x0）存在斜率小于 1 的切线，则 a 的取值范围为（ ） A（， ） B（， ） C（， ） D（， ） 【分析】 先对函数求导数， 既然存在斜率小于 1 的切线， 即导数小于 1 这个不等式有解 再 将问题转化为函数的最值问题即可 解：由题意得 y4x33x2+a1 当 x0 时有解 设 f（x）4x33x2+a（x0）， f（x）12x26x6x（2x1），
18、令 f（x）0 得 ，令 得 ， ，则 故选：C 【点评】本题考查了导数的几何意义及利用导数研究函数的最值来解决不等式有解的问 题 注意不等式恒成立与有解问题， 一般都要转化为函数的最值问题来解 属于中档题 10 已知函数 ， ， ， 则函数 yf （f （x） ） 的零点所在区间为 （ ） A ， B（1，0） C ， D（4，5） 【分析】先分析分段函数的值域，进而利用零点存在定理得到结果 解：当 x0 时，f（x）（3，4，此时，f（x）无零点； 当 x0 时， 为增函数，且 f（3）0 令 f （f （x） ） 0， 得 f （x） 2x+log3x93， 因为 f （3） 03， ，
19、 所以函数 yf（f（x）的零点所在区间为 ， 故选：A 【点评】本题考查分段函数以及零点存在定理的综合应用，属于中档题 11已知直线 yk（x1）与抛物线 C：y24x 交于 A，B 两点，直线 y2k（x2）与抛 物线 D：y28x 交于 M，N 两点，设 |AB|2|MN|，则（ ） A16 B16 C120 D12 【分析】分别求出两条直线与两条曲线的相交弦长，代入可得 的值 解：设 A（x1，y1），B（x2，y2），联立 ， 得 k2x2（2k2+4）x+k2 0，则 ， 因为直线 yk（x1）经过 C 的焦点， 所以 同理可得 ， 所以 41612 故选：D 【点评】 考查抛物线
20、的性质到焦点的距离等于到准线的距离及直线与抛物线的综合应用， 属于中档题 12“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作孙子算 经卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二， 五五数之剩三， 七七数之剩二 问物几何？现有这样一个相关的问题： 将 1 到 2020 这 2020 个自然数中被 5 除余 3 且被 7 除余 2 的数按照从小到大的顺序排成一列， 构成一个数列， 则该数列各项之和为（ ） A56383 B57171 C59189 D61242 【分析】由已知可得被 5 除余 3 且被 7 除余 2 的正整数构成首项为 23，公差
21、为 5735 的等差数列，求其通项公式，由 an2020 求得 n 值，再由等差数列的前 n 项和求解 解：被 5 除余 3 且被 7 除余 2 的正整数构成首项为 23，公差为 5735 的等差数列，记 数列an 则 an23+35（n1）35n12， 令 an35n122020，解得 n 故该数列各项之和为 58 故选：C 【点评】本题考查等差数列的通项公式与前 n 项和，是基础的计算题 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上. 13 的展开式中 的系数为 （用数字作答） 【分析】先求出展开式的通项公式，再令 x 的指数为1 即可求解结论
22、解：因为 的展开式的通项 ， 令 ，得 r6， 则 的系数为 故答案为： 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性 质，属基础题 14在等比数列an中，a1+a21，a4+a527，则an的前 5 项和为 【分析】 由已知结合等比数列的性质可求首项及公比 q， 然后代入等比数列的求和公式可 求 解：等比数列an中，a1+a21，a4+a5（a1+a2） q327， q3， a1+a2a1+a1q1， a1 ， 则an的前 5 项和 故答案为： 【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式及通项公式的简单应用，属于基础试题 15已知 f（x）为偶函数，当 0x4
23、时，f（x）2x3，当 x4 时，f（x）212x，则 不等式 f（x）5 的解集为 （8，3）（3，8） 【分析】求出不等式 f（x）5 在 x0，+）的解，然后根据偶函数的性质可得出不等 式 f（x）5 在 R 上的解集 解：当 0x4 时，令 f（x）2x35，可得 2x8，解得 x3，此时 3x4； 当 x4 时，令 f（x）212x5，解得 x8，此时 4x8 所以，不等式 f（x）5 在 x0，+）的解为 3x8 由于函数 f（x）为偶函数，因此，不等式 f（x）5 的解集为（8，3）（3，8） 故答案为：（8，3）（3，8） 【点评】本题考查分段函数不等式的求解，同时也涉及了函数
24、奇偶性的应用，考查运算 求解能力，属于中等题 16 在矩形 ABCD 中， BC4， M 为 BC 的中点， 将ABM 和DCM 分别沿 AM， DM 翻折， 使点 B 与 C 重合于点 P若APD150，则三棱锥 MPAD 的外接球的表面积为 68 【分析】由题意可得折起的三棱锥棱的位置关系，一条侧棱垂直于底面，由正弦定理求 出底面外接圆的半径 r，外接球的球心为过底面圆心垂直于底面的直线与中截面的交点， 进而求出外接球的半径，求出外接球的表面积 解：由题意可知，MPPA，MPPD，PMPAA， 所以可得 PM面 PAD， 设ADP 外接圆的半径为 r， 由正弦定理可得 2r， 即 2r，
25、所以 r4， 设三棱锥 MPAD 外接球的半径 R， 因为外接球的球心为过底面圆心垂直于底面的直线与中截面的交点，则 R2（ ）2+r2 1+1617， 所以外接球的表面积为 S4R268 故答案为：68 【点评】考查三棱锥的棱长与外接球的半径的关系，及球的表面积公式，属于中档题 三、 解答题： 本大题共5小题， 共70分.解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤.17 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.（一） 必考题：共 60 分. 17如图，四棱锥 EABCD 的侧棱 DE 与四棱锥 FABCD 的侧棱 BF 都与底面 ABCD
26、垂 直，ADCD，ABCD，AB3，ADCD4，AE5， （1）证明：DF平面 BCE （2）求平面 ABF 平面 CDF 所成的锐二面角的余弦值 【分析】（1）证明 DEAD求出 DE3然后证明 BFDE推出 DFBE即可证 明 DF平面 BCE （2）以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，求出平面 CDF 的法向量，平 面 ABF 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解所求锐二面角的余弦值 【解答】（1）证明：DE平面 ABCD，DEAD AD4，AE5，DE3 同理可得 BF3 又 DE平面 ABCD，BF平面 ABCD， BFDE BFDE，四边形 BEDF 为平行四边
27、形，DFBE BE平面 BCE，DF平面 BCE，DF平面 BCE （2）解：以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz， 则 D（0，0，0），A（4，0，0），C（0，4，0），F（4，3，3）， 则 ， ， ， ， ， 设平面 CDF 的法向量为 ， ， ， 则 ，即 ， ， 令 x3，则 z4，得 ， ， 易知平面 ABF 的一个法向量为 ， ， ， ， ， 故所求锐二面角的余弦值为 【点评】本题考查空间向量的数量积的应用，二面角的平面角的余弦函数值的求法，直 线与平面平行的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题 18已知椭圆 ： 的焦距为 ，短轴长为 （1）
28、求 的方程； （2）若直线 yx+2 与 相交于 A、B 两点，求以线段 AB 为直径的圆的标准方程 【分析】（1）根据题意求出 a 和 b 的值，即可求出椭圆 的方程； （2）设点 A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线 AB 的方程与椭圆 的方程联立，列出韦 达定理，求出线段 AB 的中点和|AB|，即可得出所求圆的标准方程 解：（1）设椭圆 的焦距为 2c（c0），则 ， ， 所以 ， ，a2b2+c28， 所以 的方程为 ； （2）设点 A（x1，y1）、B（x2，y2）， 联立 ，消去 y，得 5x 2+16x+80 由韦达定理得 ， ， 所以 ，线段 AB 的中点坐标为 ， ，
29、 ， 所以，所求圆的标准方程为 【点评】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了直线截圆所得弦长的计算以及圆的标 准方程的求解，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法来计算，考 查运算求解能力，属于中等题 19ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知 C2A，a4，c6 （1）求 b； （2）求ABC 内切圆的半径 【分析】（1）由已知结合二倍角公式及余弦定理可求 b， （2）结合三角形面积公式及分割等面积可求内切圆半径 解：（1）由 C2A，得 sinCsin2A2sinAcosA， 则 c2acosA 又 a4，c6，所以 由余弦定理得，a2b2+c22bcco
30、sA， 即 ， 即 b29b+200，解得 b4 或 5 若 b4，a4，C2A， 则ABC 为等腰角三角形， 与 c6 矛盾，舍去， 故 b5 （2）当 b5 时，ABC 的面积为 ， 则ABC 内切圆的半径 【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式及内切圆半径公式的应用，属于 中档试题 20 追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向 为了改善空 气质量，某城市环保局随机抽取了一年内 100 天的空气质量指数（AQI）的检测数据，结 果统计如表： AQI 0，50 （50，100 （100，150 （150，200 （200，250 （250，300 空气质量
31、 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 重度污染 天数 6 14 18 27 25 10 （1）从空气质量指数属于0，50，（50，100的天数中任取 3 天，求这 3 天中空气质量 至少有 2 天为优的概率； （2）已知某企业每天因空气质量造成的经济损失 y（单位：元）与空气质量指数 x 的关 系式为 ， ， ， ，假设该企业所在地 7 月与 8 月每天空气质量为优、 良、 轻度污染、 中度污染、 重度污染、 严重污染的概率分别为 ， ， ， ， ， 9 月每天的空气质量对应的概率以表中 100 天的空气质量的频率代替 （i）记该企业 9 月每天因空气质量造成的经济损失为 X 元，求 X 的
32、分布列； （ii）试问该企业 7 月、8 月、9 月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望 是否会超过 2.88 万元？说明你的理由 【分析】（1）设 为选取的 3 天中空气质量为优的天数，讨论 2，3 时，由古典 概率公式计算可得所求值； （2） （i）分别计算 P（X0），P（X220），P（X1480），可得所求概率的分布列； （ii）先计算 9 月的经济损失的数学期望，设该企业 7 月、8 月每天因空气质量造成的经 济损失为 Y 元，求得概率分布列，求得数学期望，可得 7 月、8 月这两个月因空气质量 造成的经济损失总额的数学期望，相加，可判断是否会超过 2.88 万元 解：（
33、1）设 为选取的 3 天中空气质量为优的天数， 则 P（2） ，P（3） ， 则这 3 天中空气质量至少有 2 天为优的概率为 ； （2）（i） P （X0） P （0x100） ， P （X220） P （100x250） ， P（X1480）P（250x300） ， X 的分布列如下： X 0 220 1480 P （ii）由（i）可得 E（X）0 220 1480 302（元）， 所以该企业 9 月的经济损失的数学期望为 30E（X）9060 元， 设该企业 7 月、8 月每天因空气质量造成的经济损失为 Y 元， 可得 P（Y0） ，P（Y220） ，P（Y1480） ， E（Y）0 2
34、20 1480 320（元）， 所以该企业 7 月、8 月这两个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望为 320 （31+31）19840（元）， 由 19840+90602890028800， 即7月、 8月、 9月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望会超过2.88万元 【点评】本题考查随机变量的数学期望在实际问题中的应用，考查概率的求法，化简运 算能力，属于中档题 21已知函数 f（x）2ln（x+1）+sinx+1，函数 g（x）ax1blnx（a，b一、选择题， ab0） （1）讨论 g（x）的单调性； （2）证明：当 x0 时，f（x）3x+1 （3）证明：当 x1 时，
35、f（x）（x2+2x+2）esinx 【分析】（1）求出 g（x）的定义域，导函数，对参数 a、b 分类讨论得到答案 （2）设函数 h（x）f（x）（3x+1），求导说明函数的单调性，求出函数的最大值， 即可得证 （3）由（1）可知 x1+lnx，可得（x+1）2esinx1+ln（x+1）2esinx，即（x+1）2esinx2ln （x+1）+sinx+1 又（x2+2x+2）esinx（x+1）2esinx即可得证 解：（1）g（x）的定义域为（0，+）， ， 当 a0，b0 时，g（x）0，则 g（x）在（0，+）上单调递增； 当 a0，b0 时，令 g（x）0，得 ， 令 g（x）0
36、，得 ，则 g（x）在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增； 当 a0，b0 时，g（x）0，则 g（x）在（0，+）上单调递减； 当 a0，b0 时，令 g（x）0，得 ， 令 g（x）0，得 ，则 g（x）在 ， 上单调递增，在 ， 上单调递减； （2）证明：设函数 h（x）f（x）（3x+1），则 x0， ， ，cosx1，1， 则 h（x）0，从而 h（x）在0，+）上单调递减， h（x）f（x）（3x+1）h（0）0，即 f（x）3x+1 （3）证明：当 ab1 时，g（x）x1lnx 由（1）知，g（x）ming（1）0，g（x）x1lnx0，即 x1+lnx 当 x1 时，（x+
37、1）20，（x+1）2esinx0，则（x+1）2esinx1+ln（x+1）2esinx， 即（x+1）2esinx2ln（x+1）+sinx+1，又（x2+2x+2）esinx（x+1）2esinx， （x2+2x+2）esinx2ln（x+1）+sinx+1， 即 f（x）（x2+2x+2）esinx 【点评】本题考查利用导数研究含参函数的单调和利用导数证明不等式，考查了转化思 想和分类讨论思想，属难题 选考题：共 10 分.请考生从第 22，23 两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题 目计分.选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程
38、为 （ 为参数）以坐标原 点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系已知点 P 的直角坐标为（2，0），过 P 的直线 l 与曲线 C 相交于 M，N 两点 （1）若 l 的斜率为 2，求 l 的极坐标方程和曲线 C 的普通方程； （2）求 的值 【分析】 （1） 直接利用转换关系， 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果 解：（1）曲线 C 的参数方程为 （ 为参数）转换为直角坐标方程为 （x+1）2+y24 点 P 的直角坐标为（2，0），过 P 的直线 l 的斜率为 2， 故直线的方程为 y2（x+2），整理得 2cossin+
39、40 （2）直线的方程为 y2（x+2），转换为参数方程为： （t 为参数） 代入圆的方程得到： ， 所以：t1t23 故： 的值t1t23 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元 二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属 于基础题型 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x1|+|2x+1|，记不等式 f（x）4 的解集为 M （1）求 M； （2）设 a，bM，证明：|ab|a|b|+10 【分析】（1）由绝对值的意义，去绝对值，解不等式，再求并集可得 M； （2）运用分析法，结合因式分解和不等式的性质
40、，即可得证 解：（1）f（x）|2x1|+|2x+1|， 可得 x 时，f（x）4 即 2x1+2x+14，解得 x1； 当 x 时，f（x）4 即 12x2x14，解得1x ； 当 x 时，f（x）4 即 12x+2x+14，解得 x ； 则 M（1，1）； （2）证明：要证|ab|a|b|+10，即证（|a|1）（|b|1）0， 由 a，bM，即1a1，1b1， 可得|a|1，|b|1，即|a|10，|b|10， 可得（|a|1）（|b|1）0， 故|ab|a|b|+10 成立 【点评】本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的证明，注意运用分类讨论思想 和分析法证明，考查运算能力和推理能力，属于基础题
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