1、2020 年高考数学（年高考数学（5 月份）模拟试卷（理科）月份）模拟试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题）. 1设集合 Ax|1log2x3，Bx|x23x40，则 AB（ ） A（1，2） B（1，8 C4，8 D2，4） 2下列关于复数 z1，z2的四个命题中，错误的是（ ） A若|z1z2|0，则 B若 z1 ，则 z2 C若|z1|z2|，则 D若|z1|z2|，则 z1 z2 3某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习 10 组，每组罚球 40 个命中个数的茎 叶图如下则下面结论中错误的一个是（ ） A甲的极差是 29 B乙的众数是 21 C甲罚球命中率比乙高 D甲的中位数是
2、 24 4 定义在 R 上的函数 为偶函数， ， ， cf （m） ， 则（ ） Acab Bacb Cabc Dbac 5设函数 f（x）cosxx4的导函数为 g（x），则|g（x）|的图象大致为（ ） A B C D 6等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S1751，则 2a10a11（ ） A2 B3 C4 D6 7执行如图所示的程序框图，若输出的 n6，则输入的整数 p 的最大值为（ ） A7 B15 C31 D63 8关于函数 f（x）cos|x|+|cosx|有下述四个结论： f（x）是偶函数；f（x）在区间（ ，0）上单调递增；f（x）在，上有 4 个零点；f（x）的最大值
3、为 2 其中所有正确结论的编号是（ ） A B C D 9九章算术中有一分鹿问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎 得五鹿欲以爵次分之，问各得几何”在这个问题中，大夫、不更、簪袅、上造、公 士是古代五个不同爵次的官员，现皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这 5 人分成两 组（一组 2 人，一组 3 人），派去两地执行公务，则大夫、不更恰好在同一组的概率为 （ ） A B C D 10如图，在ABC 中， ，P 是 BN 上一点，若 t ，则实数 t 的值 为（ ） A B C D 11直线 x y 0 经过椭圆 1（ab0）的左焦点 F，交椭圆于 A，B 两 点，交 y 轴于
4、C 点，若 3 ，则该椭圆的离心率是（ ） A B C2 D 12已知正三棱锥 SABC，底面是边长为 3 的正三角形 ABC， ，点 E 是线段 AB 的中点，过点 E 作三棱锥 SABC 外接球 O 的截面，则截面面积的最小值是（ ） A3 B C2 D 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13已知直线 ykx2x 与曲线 yxlnx 在 xe 处的切线平行，则实数 k 的值为 14若（3x2a） 的展开式中 x3的系数为80，则 a 15设 x，y 满足约束条件 ， ， ， 则 z2x+3y 的最大值为 16对于函数 f（x），若在定义域内存在实数 x0 满足
5、f（x0）f（x0），则称函数 f（x） 为“倒戈函数”设 f（x） ， ， （mR，且 m0）为其定义 域上的“倒戈函数”，则实数 m 的取值范围是 三、解答题（共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 2223 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17已知ABC 的周长为 1，且 sinA+sinB sinC （1）求边 c 的长； （2）若ABC 的面积为 sinC，求角 C 的度数 18某校为了解高三男生的体能达标情况，抽调了 120 名男生进行立定跳远测试，根据统计 数据得到如下的频率分布直方图若立定
6、跳远成绩落在区间 ， 的左侧，则认 为该学生属“体能不达标的学生，其中 ， 分别为样本平均数和样本标准差，计算可得 s27（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （1）若该校高三某男生的跳远距离为 187cm，试判断该男生是否属于“体能不达标”的 学生？ （2）该校利用分层抽样的方法从样本区间160，180），180，200），200，220）中共 抽出 5 人， 再从中选出两人进行某体能训练， 求选出的两人中恰有一人跳远距离在200， 220）的概率 19 如图， 四棱锥 PABCD 的底面是梯形 BCAD， ABBCCD1， AD2， ， （）证明；ACBP； （）求直线 AD 与平面
7、 APC 所成角的正弦值 20已知椭圆 N： 1（ab0）经过点 C（0，1），且离心率为 （1）求椭圆 N 的标准方程与焦距 （2）若直线 l：ykx 与椭圆 N 的交点为 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M是否存在 常数 ，使AMC ABC 恒成立？请说明理由 21已知函数 f（x）ex2axa，g（x）lnx （1）讨论 f（x）的单调性； （2）用 maxm，n表示 m，n 中的最大值，若函数 h（x）maxf（x），g（x）（x0） 只有一个零点，求 a 的取值范围 选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计 分选修 4-4：坐标系与
8、参数方程 22以平面直角坐标系 xOy 的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立 极坐标系， 直线 l 的极坐标方程为 ， 曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） （1）求直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程； （2）以曲线 C 上的动点 M 为圆心、r 为半径的圆恰与直线 l 相切，求 r 的最大值 选修 4-5：不等式选讲 23已知 a0，b0 （1）求证： ； （2）若 ab，且 ab2，求证： 参考答案 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的） 1设集合 Ax|1log2x3，Bx|
9、x23x40，则 AB（ ） A（1，2） B（1，8 C4，8 D2，4） 【分析】集合 A，B，由此能求出 AB 解：集合 Ax|1log2x3x|2x8， Bx|x23x40x|1x4， 则 ABx|2x42，4） 故选：D 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 2下列关于复数 z1，z2的四个命题中，错误的是（ ） A若|z1z2|0，则 B若 z1 ，则 z2 C若|z1|z2|，则 D若|z1|z2|，则 z1 z2 【分析】利用复数的运算法则以及复数的模，判断 AB 的正误，反例判断 C，复数的模的 运算法则判断 D，即可 解：若|z1
10、z2|0，可得：z1z20，所以 z1z2，则 ，所以 A 正确； z1 ，则 z1，z2互为共轭复数，所以 z2，故 B 正确； |z1|z2|，反例 z11，z2i，满足条件，但是 不成立，所以 C 错误； z1a+bi， z2c+di， |z1|z2|， 可得： ， 则 z1 a2+b2 ， z 2 c 2+d2， 所以 z1 z2 ，所以 D 正确； 故选：C 【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，复数的基本知识的考查，是基础题 3某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习 10 组，每组罚球 40 个命中个数的茎 叶图如下则下面结论中错误的一个是（ ） A甲的极差是 29 B乙的众
11、数是 21 C甲罚球命中率比乙高 D甲的中位数是 24 【分析】通过茎叶图找出甲的最大值及最小值求出极差判断出 A 对；找出甲中间的两个 数，求出这两个数的平均数即数据的中位数，判断出 D 错；根据图的集中于离散程度， 判断出甲的平均值比乙的平均值大，判断出 C 对 解：由茎叶图知 甲的最大值为 37，最小值为 8，所以甲的极差为 29，故 A 对 甲中间的两个数为 22，24，所以甲的中位数为 故 D 不对 甲的命中个数集中在 20 而乙的命中个数集中在 10 和 20，所以甲的平均数大，故 C 对 乙的数据中出现次数最多的是 21，所以 B 对 故选：D 【点评】茎叶图与频率分布直方图比较
12、，其优点保留了原始数据，便于统计、记录 4 定义在 R 上的函数 为偶函数， ， ， cf （m） ， 则（ ） Acab Bacb Cabc Dbac 【分析】根据题意偶函数的定义求出 m 的值，写出 f（x）的解析式，判断函数的单调性， 再比较 a、b、c 的大小 解：定义在 R 上的函数 为偶函数， 则 f（x）f（x），即 2 2； 所以 m0， 所以 f（x） 2，且在0，+）上是单调减函数； 又 log2 1，0 ，m0； 所以 f（log2 ）f（ ）f（0）， 即 abc 故选：C 【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性应用问题，是基础题 5设函数 f（x）cosxx4的导函数
13、为 g（x），则|g（x）|的图象大致为（ ） A B C D 【分析】先求导依题意可得 g（x）sinx4x3，易判断函数 g（x）为奇函数，函数|g（x） |为偶函数，进而根据奇偶性的性质，结合选项得解 解：f（x）sinx4x3，故 g（x）sinx4x3， 易知函数 g（x）为奇函数，其图象关于原点成中心对称， 而函数|g（x）|为偶函数，其图象关于 y 轴对称，故选项 BC 错误； 又因为其图象过原点 O，所以选项 A 错误 故选：D 【点评】本题主要考查利用函数的奇偶性确定函数图象，还涉及了导数的运算，考查推 理能力及数形结合思想，属于基础题 6等差数列an的前 n 项和为 Sn，
14、若 S1751，则 2a10a11（ ） A2 B3 C4 D6 【分析】由 S1751，可得 51，可得 a1+a172a9，解得 a9利用 2a10a11 a9即可得出 解：S1751， 51，可得 a1+a1762a9，解得 a93， 则 2a10a11a93 故选：B 【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能 力，属于中档题 7执行如图所示的程序框图，若输出的 n6，则输入的整数 p 的最大值为（ ） A7 B15 C31 D63 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序 的作用是利用循环计算变量 S 的值，并输出
15、满足退出循环条件时的 n 值，模拟程序的运 行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果 解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： 是否继续循环 Sn 循环前/0 1 第一圈 是 1 2 第二圈 是 3 3 第三圈 是 7 4 第四圈 是 15 5 第五圈 是 31 6 第六圈 否 故 S15 时，满足条件 Sp S31 时，不满足条件 Sp 故 S 的最小值 31 故选：C 【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型， 其处理方法是：分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计 算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的
16、数据比较多，也可使用表格对 数据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型 解模 8关于函数 f（x）cos|x|+|cosx|有下述四个结论： f（x）是偶函数；f（x）在区间（ ，0）上单调递增；f（x）在，上有 4 个零点；f（x）的最大值为 2 其中所有正确结论的编号是（ ） A B C D 【分析】由绝对值的意义可得函数 f（x）cosx+|cosx|，由奇偶性的定义可判断；由 cosx 的符号，去绝对值可得 f（x），结合余弦函数的单调性可判断；由 f（x00，结 合 f（x）的解析式可判断；由余弦函数的值域，结合 f（x）的解析式可判断 解：由 x0 时
17、，cos|x|cosx；x0 时，cos|x|cos（x）cosx， 可得 f（x）cos|x|+|cosx|，即为 f（x）cosx+|cosx|， 当 cosx0 时，f（x）2cosx；当 cosx0 时，f（x）0 由 f（x）cos（x）+|cos（x）|cosx+|cosx|f（x），且定义域为 R，关于原点对 称，可得 f（x）为偶函数； 当 x（ ，0）时，cosx（0，1），f（x）2cosx 单调递增； 当 x， ，时，cosx1，0，f（x）0，即 f（x）的零点有无数个； 由 f（x） ， ， ，可得 cosx1 即 x2k，kZ 时，f（x）取得最大值 2 综上可得正
18、确；错误 故选：A 【点评】本题考查命题的真假判断，主要是考查余弦函数的图象和性质，考查奇偶性和 单调性、函数零点的个数和最值的求法，考查运算能力和推理能力，属于中档题 9九章算术中有一分鹿问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎 得五鹿欲以爵次分之，问各得几何”在这个问题中，大夫、不更、簪袅、上造、公 士是古代五个不同爵次的官员，现皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这 5 人分成两 组（一组 2 人，一组 3 人），派去两地执行公务，则大夫、不更恰好在同一组的概率为 （ ） A B C D 【分析】基本事件总数 n 20，大夫、不更恰好在同一组包含的基本事件个数 m 8，由此能
19、求出大夫、不更恰好在同一组的概率 解：皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这 5 人分成两组（一组 2 人，一组 3 人）， 派去两地执行公务， 基本事件总数 n 20， 大夫、不更恰好在同一组包含的基本事件个数 m 8， 大夫、不更恰好在同一组的概率为 p 故选：B 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题 10如图，在ABC 中， ，P 是 BN 上一点，若 t ，则实数 t 的值 为（ ） A B C D 【分析】由题意，可根据向量运算法则得到 （1m） ，从而由向量分 解的唯一性得出关于 t 的方程，求出 t 的值 解 ： 由 题 意 及
20、 图 ， ， 又， ，所以 ， （1m） ， 又 t ，所以 ，解得 m ，t ， 故选：C 【点评】本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本 题的关键，本题属于基础题难度较低， 11直线 x y 0 经过椭圆 1（ab0）的左焦点 F，交椭圆于 A，B 两 点，交 y 轴于 C 点，若 3 ，则该椭圆的离心率是（ ） A B C2 D 【分析】根据直线方程可求得 c ，根据 3 以及相似三角形可得 AA（ ， ）， 进而求得 2a，则可求出离心率 解：由直线方程可的 F（ ，0），C（0，1），则 c ， 又因为 3 ，即|FA|3|CA|，过 A 作 x 轴垂线
21、，根据相似三角形可得 A（ ， ）， 则 2a 3 ， 所以 e ， 故选：B 【点评】本题考查椭圆离心率的求法，数形结合思想，属于中档题 12已知正三棱锥 SABC，底面是边长为 3 的正三角形 ABC， ，点 E 是线段 AB 的中点，过点 E 作三棱锥 SABC 外接球 O 的截面，则截面面积的最小值是（ ） A3 B C2 D 【分析】利用图形判断过点 E 作三棱锥 SABC 外接球 O 的截面，求解截面面积的最小 值即可 解：正三棱锥 SABC 外接球 O 的球心在正三棱锥的高线上OEAB， 过点 E 作三棱锥 SABC 外接球 O 的截面， 要使截面面积最小当且仅当截面与 OE 垂
22、直 时 可得截面半径为： ， 则截面面积的最小值是： 故选：B 【点评】 本题考查几何体的外接球的简单性质的应用， 考查空间想象能力以及计算能力 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13已知直线 ykx2x 与曲线 yxlnx 在 xe 处的切线平行，则实数 k 的值为 4 【分析】先求出曲线在 xe 处的导数，即切线的斜率，然后令其等于 k2 即可 解：由已知得 y（k2）x， 且 ylnx+1，y|xe2，因为直线 y（k2）x 与切线平行， k22，所以 k4 故答案为：4 【点评】本题考查导数的几何意义及切线方程的求法，属于基础题 14若（3x2a） 的展开式
23、中 x3的系数为80，则 a 4 【分析】把（2x ） 5 按照二项式定理展开，可得（3x2a）（2x ） 5 的展开式中 x3 的系数，再根据（3x2a）（2x ） 5的展开式中 x3的系数为80，求得 a 的值 解：（2x ） 5 32x5 16x3 8x 4 2 ， （3x2a）（2x ） 5 的展开式中 x3的系数为 3 8 a （ 16）240+80a 80， a4， 故答案为：4 【点评】 本题主要考查二项式定理的应用， 二项展开式的通项公式， 二项式系数的性质， 属于基础题 15设 x，y 满足约束条件 ， ， ， 则 z2x+3y 的最大值为 13 【分析】作出题中不等式组表示
24、的平面区域，得如图的ABC 及其内部，再将目标函数 z2x+3y 对应的直线进行平移，可得当 x2，y3 时，z2x+3y 取得最大值 13 解：作出 x，y 满足约束条件 ， ， ， 表示的平面区域： 得到如图的ABC 及其内部， 其中 A（2，3），O 为坐标原点 设 zF（x，y）2x+3y，将直线 l：z2x+3y 进行平移， 当 l 经过点 A 时，目标函数 z 达到最大值 z最大值F（2，3）13 故答案为：13 【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数 z2x+3y 的最大值，着重考查了二元 一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题 16对于函数 f（x）
25、，若在定义域内存在实数 x0 满足 f（x0）f（x0），则称函数 f（x） 为“倒戈函数”设 f（x） ， ， （mR，且 m0）为其定义 域上的“倒戈函数”，则实数 m 的取值范围是 ，0）（0， ） 【分析】f（x） ， ， （mR，m0）为其定义域上的“M 类 函数”，则存在实数 x0，满足 f（x0）f（x0），进而可得实数 m 的取值范围 解：由 x22mx+10 对 x2 恒成立，得 m ， 因为若 f（x） ， ， （mR，m0），为定义域上的“倒戈函 数”， 所以在定义域内存在实数 x0 满足 f（x0）f（x0）， 当 x02 时，x02， 所以3log2（x022mx0+
26、1）， x022mx0+18， x022mx070， m ， m x0 ， y x （x2）是增函数， y ， m 且 m0， 当 x02 时，x02， 所以 log2（x02+2mx0+1）（3） x02+2mx070， m x0 （x02）是减函数， m ， m 且 m0， 综上所述实数 m 的取值范围是 ，0）（0， ） 【点评】本题考查的知识点是分段函数的定义，新定义“倒戈函数”，正确理解新定义 “倒戈函数”的含义，是解答的关键 三、解答题（共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 2223 题为选考题，考生根据要求作答（
27、一）必考题：共 60 分 17已知ABC 的周长为 1，且 sinA+sinB sinC （1）求边 c 的长； （2）若ABC 的面积为 sinC，求角 C 的度数 【分析】（1）由正弦定理化简已知的等式，得到 a，b 及 c 的关系式，根据周长的值， 求出 c 的值即可； （2）由三角形的面积公式表示出三角形 ABC 的面积，使其等于已知的面积，得到 ab 的 值，又根据第一问求出的 c 的值，得到 a+b 的值，配方后求出 a2+b2的值，然后利用余弦 定理表示出 cosC，把得到的 a2+b2，ab 及 c 的值代入求出 cosC 的值，由 C 为三角形的内 角，利用特殊角的三角函数值
28、即可得到 C 的度数 解：（1）ABC 的周长为 ， ， ， 由正弦定理得 ， c1； （2）ABC 的面积 ， ， ， ， 由余弦定理得 C（0，）， 【点评】此题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数 值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键 18某校为了解高三男生的体能达标情况，抽调了 120 名男生进行立定跳远测试，根据统计 数据得到如下的频率分布直方图若立定跳远成绩落在区间 ， 的左侧，则认 为该学生属“体能不达标的学生，其中 ， 分别为样本平均数和样本标准差，计算可得 s27（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （1）若该校高三某男生的跳远距离为 187
29、cm，试判断该男生是否属于“体能不达标”的 学生？ （2）该校利用分层抽样的方法从样本区间160，180），180，200），200，220）中共 抽出 5 人， 再从中选出两人进行某体能训练， 求选出的两人中恰有一人跳远距离在200， 220）的概率 【分析】 （1）由题意可知各小矩形面积从左至右依次为 0.1，0.2，0.2，0.3，0.15，0.05， 从而求出 217， ，由 187190，得该生属于“体能不达标”的学生 （2）跳远距离在160，180），180，200），200，220）的人数分别为 12 人、24 人、 24 人，按分层抽样抽取 5 人，则160，180）抽 1 人
30、，180，200）抽 2 人，200，220） 抽 2 人设160，180）抽出的人编号为 a，180，200）抽出的人编号为 b，c，200，220） 抽出的人编号为 d，e，从中选两人，利用列举法能求出选出的两人中恰有一人跳远距离 在200，220）的概率 解：（1）由题意可知：各小矩形面积从左至右依次为 0.1，0.2，0.2，0.3，0.15，0.05， 0.1170+0.2190+0.2210+0.3230+0.15250+0.05270217， ， 187190，该生属于“体能不达标”的学生 （2）由题意，跳远距离在160，180），180，200），200，220）的人数分别为
31、12 人、 24 人、24 人， 按分层抽样抽取 5 人，则160，180）抽 1 人，180，200）抽 2 人，200，220）抽 2 人 设160，180）抽出的人编号为 a，180，200）抽出的人编号为 b，c， 200，220）抽出的人编号为 d，e， 从中选两人，基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b， d），（b，e）， （c，d），（c，e），（d，e），共有 10 种情况 记选出的两人中恰有一人跳远距离在200，220）为事件 A， 满足条件的基本事件有 6 种，分别为（a，d），（a，e），（b，d），（b，e），（c， d），（c，
32、e）， 选出的两人中恰有一人跳远距离在200，220）的概率 P（A） 【点评】本题考查平均数、概率的求法，考查频率分布直方图、列举法、古典概型等基 础知识，考查运算求解能力，是基础题 19 如图， 四棱锥 PABCD 的底面是梯形 BCAD， ABBCCD1， AD2， ， （）证明；ACBP； （）求直线 AD 与平面 APC 所成角的正弦值 【分析】 （I）取 AC 的中点 M，连接 PM，BM，通过证明 AC平面 PBM 得出 ACBP； （II）以 M 为原点建立坐标系，求出平面 APC 的法向量 ，通过计算 与 的夹角得出 AD 与平面 APC 所成角 【解答】（I）证明：取 AC
33、 的中点 M，连接 PM，BM， ABBC，PAPC， ACBM，ACPM，又 BMPMM， AC平面 PBM， BP平面 PBM， ACBP （II）解：底面 ABCD 是梯形BCAD，ABBCCD1，AD2， ABC120， ABBC1，AC ，BM ，ACCD， 又 ACBM，BMCD PAPC ，CM ，PM ， PB ，cosBMP ，PMB120， 以 M 为原点，以 MB，MC 的方向为 x 轴，y 轴的正方向， 以平面 ABCD 在 M 处的垂线为 z 轴建立坐标系 Mxyz，如图所示： 则 A（0， ，0），C（0， ，0），P（ ，0， ），D（1， ，0）， （1， ，0
34、）， （0， ，0）， （ ， ， ）， 设平面 ACP 的法向量为 （x，y，z），则 ，即 ， 令 x 得 （ ，0，1）， cos ， ， 直线 AD 与平面 APC 所成角的正弦值为|cos ， | 【点评】本题考查了线面垂直的判定，空间向量与空间角的计算，属于中档题 20已知椭圆 N： 1（ab0）经过点 C（0，1），且离心率为 （1）求椭圆 N 的标准方程与焦距 （2）若直线 l：ykx 与椭圆 N 的交点为 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M是否存在 常数 ，使AMC ABC 恒成立？请说明理由 【分析】（1）由题意过的定点的坐标及离心率和 a，b，c 的关系求出椭圆的标准
35、方程及 焦距； （2）将直线 l 的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出 的表达式可得为 0，可得 ，再由 M 为中点，所以AMC2ABC，即存在 2，使AMC2 ABC 恒成立 解：（1）因为椭圆 N： 1（ab0），经过点 C（0，1），且离心率为 ， 所以 b1， ，又因为 a2c2b2， 可得 c1，a ，焦距 2c2， 所求椭圆的方程为： y 21； （2）存在常数 2，AMC2ABC 恒成立， 证明如下： 可得（9+18k2）x212kx160，0， 设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1+x2 ，x 1x2 ， 又因为 x1x2+ （y11） （y21） x1x2
36、+ （kx1 ） （kx2 ） （1+k 2 ） x 1x2 （x 1+x2） （1+k2） k 0， 所以 ，因为线段 AB 的中点为 M，所以|MC|MB|， 所以AMC2ABC， 即存在常数 2，使AMC2ABC 恒成立 【点评】本题考查求椭圆的方程就直线与椭圆的综合，属于中档题 21已知函数 f（x）ex2axa，g（x）lnx （1）讨论 f（x）的单调性； （2）用 maxm，n表示 m，n 中的最大值，若函数 h（x）maxf（x），g（x）（x0） 只有一个零点，求 a 的取值范围 【分析】（1）先求导，再分类讨论，即可求出函数的单调区间 （2）通过讨论 h（x）maxf（x）
37、，g（x），去研究函数的零点个数确定 a 的范围即 可 解：（1）函数 f（x）的定义域为一、选择题，且 f（x）ex2a 当 a0 时，f（x）0 对 xR 恒成立，所以 f（x）在 R 上单调递增 当 a0 时，令 f（x）0，得 xln（2a）， 当 x（，ln（2a）时，f（x）0当 x（ln（2a），+）时，f（x）0 所以 f（x）在（，ln（2a）上单调递减，在（ln（2a），+）上单调递增 （2）当 x（1，+）时，g（x）lnx0， 从而 h（x）maxf（x），g（x）g（x）0， 所以 h（x）在（1，+）上无零点 当 x1 时，f（1）e3a， 若 a ，h（1）max
38、f（1），g（1）g（1）0，所以 x1 是 h（x）的零点， 若 a ，h（1）maxf（1），g（1）f（1）0，所以 x1 不是 h（x）的零点， 当 x（0，1）时，g（x）lnx0， 所以 h（x）在（0，1）上零点个数只需要考虑 f（x）在（0，1）上的零点个数 f（x）在（0，1）上的零点个数f（x）0 在（0，1）上实根的个数 在（0， 1）上实根的个数， 令函数 （x） ，x（0，1）， 则 （x） ， 所以 （x）在（0， ）上单调递减，在（ ， ）上单调递增， 当 a 或 a1 时，f（x）在（0，1）上无零点， 当 a 或 时，f（x）在（0，1）上有唯一零点， 因为
39、h（x）在（0，+）上有唯一零点，所以 a 的取值范围为 ，+） 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转 化思想，是一道综合题 选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计 分选修 4-4：坐标系与参数方程 22以平面直角坐标系 xOy 的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立 极坐标系， 直线 l 的极坐标方程为 ， 曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） （1）求直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程； （2）以曲线 C 上的动点 M 为圆心、r 为半径的圆恰与直线 l 相切，求
40、r 的最大值 【分析】 （1） 直接利用转换关系， 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2）利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果 解：（1） 直线l的极坐标方程为 ， 转换为直角坐标方程为 曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），转换为直角坐标方程为 （ 2 ） 设 点 M （ ， ） ， 则 点 M 到 直 线 的 距 离 d ， 当 dr 时，圆 M 与直线 l 相切 故当 sin（+）1 时，r 取最大值，且 r 的最大值为 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角 函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能 力及思维能力，属于中档题型 选修 4-5：不等式选讲 23已知 a0，b0 （1）求证： ； （2）若 ab，且 ab2，求证： 【分析】（1）已知 a0，b0 直接对 使用均值不等式； （2）不等式分母为 ab，通过降次构造 ab，再使用均值不等式 【解答】证明：（1） ，当且仅当 ab 时取“”； （2） ， 当且仅当 ， 或 ， 时取“” 【点评】本题考查基本不等式的运用，注意“一正二定三相等”，不能直接使用均值不 等式的化简变形再用均值不等式
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