1、2020 年高考数学模拟试卷（理科）年高考数学模拟试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题）. 1若 z2+i，则 （ ） A i B i C i D i 2已知集合 Ax|lg（x2x1）0，Bx|0x3，则 AB（ ） Ax|0x1 Bx|x1x|x0 Cx|2x3 Dx|0x1x|2x3 3设非零向量 ， 满足| |3| |，cos ， ， （ ）16，则| |（ ） A B C2 D 4如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为 DD1的中点，几何体 ABCDEC1的侧视图与 俯视图如图所示，则该几何体的正视图为（ ） A B C D 5设双曲线 ， ， 的离心率分别为 e1，
2、e2，e3，则（ ） Ae3e2e1 Be3e1e2 Ce1e2e3 De2e1e3 6若 log2x+log4y1，则 x2+y 的最小值为（ ） A2 B2 C4 D2 7 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题： “今 有池方一丈，葭生其中央出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深、葭长各几何？” 其意思为“今有水池 1 丈见方（即 CD10 尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部 分为 1 尺将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示）试问水深、芦苇的长度 各是多少？假设 BAC，现有下述四个结论： 水深为 12 尺；芦苇长为 15 尺； ； 其中所有正确结论的
3、编号是（ ） A B C D 8在外国人学唱中文歌曲的大赛中，有白皮肤选手 6 人，黑皮肤选手 6 人，黄皮肤选手 8 人，一等奖规定至少 2 个至多 3 个名额，且要求一等奖获奖选手不能全是同种肤色，则 一等奖人选的所有可能的种数为（ ） A420 B766 C1080 D1176 9已知函数 f（x）sin2x+sin（2x ），则（ ） Af（x）的最小正周期为 B曲线 yf（x）关于（ ，0）对称 Cf（x）的最大值为 2 D曲线 yf（x）关于 x 对称 10函数 f（x）|lgx2|+x22|x|的零点的个数为（ ） A2 B3 C4 D6 11在正方体 ABCDA1B1C1D1中
4、，E 为棱 A1B1上一点，且 AB2，若二面角 B1BC1E 为 45，则四面体 BB1C1E 的外接球的表面积为（ ） A B12 C9 D10 12 若曲线 yxex （x1） 存在两条垂直于 y 轴的切线， 则 m 的取值范围为 （ ） A（ ，0） B ，0） C（ ，+） D（1， ） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置. 13若 x，y 满足约束条件 ，则 z 的取值范围为 14某工厂共有 50 位工人组装某种零件如图的散点图反映了工人们组装每个零件所用的 工时（单位：分钟）与人数的分布情况由散点图可得，这 50 位工人组装每
5、个零件所用 工时的中位数为 若将 500 个要组装的零件平均分给每个工人，让他们同时开始 组装，则至少要过 分钟后，所有工人都完成组装任务 15设 a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边已知 ， ，且（sin2A+4sin2B） c8（sin2B+sin2Csin2A），则 a 16设 A（2，0），B（2，0），若直线 yax（a0）上存在一点 P 满足|PA|+|PB|6， 且PAB 的内心到 x 轴的距离为 ，则 a 三、 解答题： 本大题共5小题， 共70分.解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤.17 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为
6、选考题，考生根据要求作答.（一） 必考题：共 60 分. 17设等差数列anbn的公差为 2，等比数列an+bn的公比为 2，且 a12，b11 （1）求数列an的通项公式； （2）求数列2an+2n的前 n 项和 Sn 18某厂加工的零件按箱出厂，每箱有 10 个零件，在出厂之前需要对每箱的零件作检验， 人工检验方法如下：先从每箱的零件中随机抽取 4 个零件，若抽取的零件都是正品或都 是次品，则停止检验；若抽取的零件至少有 1 个至多有 3 个次品，则对剩下的 6 个零件 逐一检验已知每个零件检验合格的概率为 0.8，每个零件是否检验合格相互独立，且每 个零件的人工检验费为 2 元 （1）设
7、 1 箱零件人工检验总费用为 X 元，求 X 的分布列； （2）除了人工检验方法外还有机器检验方法，机器检验需要对每箱的每个零件作检验， 每个零件的检验费为1.6元现有1000箱零件需要检验， 以检验总费用的数学期望为依据， 在人工检验与机器检验中，应该选择哪一个？说明你的理由 19 如图， 在四棱锥 PABCD 中， AP平面 PCD， ADBC， ABBC， APABBC AD， E 为 AD 的中点，AC 与 BE 相交于点 O （1）证明：PO平面 ABCD （2）求直线 BC 与平面 PBD 所成角的正弦值 20已知函数 f（x）x3+ax （1）讨论 f（x）在（a，+）上的单调性
8、； （2）若 a3，求不等式 f（2x24x+3）x4+6x4+12x2+8+a（x2+2）的解集 21已知抛物线 C：x22py（p0）的焦点为 F，直线 l 与抛物线 C 交于 P，Q 两点 （1）若 l 过点 F，抛物线 C 在点 P 处的切线与在点 Q 处的切线交于点 G证明：点 G 在定直线上 （2）若 p2，点 M 在曲线 y 上，MP，MQ 的中点均在抛物线 C 上，求MPQ 面积的取值范围 （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为
9、 （ 为参数），以坐标 原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 C 的极坐标方程； （2） 若点 P 的极坐标为 （1， ） ， 过 P 的直线与曲线 C 交于 A， B 两点， 求 的最大 值 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|3x2|kx （1）若 k1，求不等式 f（x）3|x1|的解集； （2）设函数 f（x）的图象与 x 轴围成的封闭区域为 ，证明：当 2k3 时， 的面积 大于 参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1若 z2+i，则 （ ） A i
10、 B i C i D i 【分析】把 z2+i 代入 ，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 解：z2+i， 故选：A 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 2已知集合 Ax|lg（x2x1）0，Bx|0x3，则 AB（ ） Ax|0x1 Bx|x1x|x0 Cx|2x3 Dx|0x1x|2x3 【分析】求出集合 A，B，由此能求出 AB 解：集合 Ax|lg（x2x1）0x|x1 或 x2， Bx|0x3， ABx|2x3 故选：C 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 3设非零向量 ， 满足| |3| |，cos
11、， ， （ ）16，则| |（ ） A B C2 D 【分析】由于 （ ） ，再利用平面向量数量积进行运算求解即可 解：| |3| |，cos ， ， （ ） ， 故选：A 【点评】本题考查平面向量的混合运算，考查学生的计算能力，属于基础题 4如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为 DD1的中点，几何体 ABCDEC1的侧视图与 俯视图如图所示，则该几何体的正视图为（ ） A B C D 【分析】直接利用三视图的应用求出结果 解：根据几何体 ABCC1DE 的侧视图和俯视图，所以正视图为直角梯形， 即点 A 的射影落在 D 点，点 B 的射影落在 C 点，线段 BE 的射影落在 E
12、C 的位置 故选：A 【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，主要考查学生的空间想象 能力，属于基础性题 5设双曲线 ， ， 的离心率分别为 e1，e2，e3，则（ ） Ae3e2e1 Be3e1e2 Ce1e2e3 De2e1e3 【分析】利用双曲线的离心率公式，求出 3 个双曲线的离心率，然后判断大小即可 解：因为双曲线 ， 的离心率为 ，e1 e2 ， e3 ， 所以 e2e1e3 故选：D 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查 6若 log2x+log4y1，则 x2+y 的最小值为（ ） A2 B2 C4 D2 【分析】由对数的运算法则可求 x2y4
13、（x0，y0），再用均值不等式可求 x2+y 的最 小值 解：因为 log2x+log4ylog4x2+log4ylog（x2y）1， x2y4（x0，y0）， 则 x2+y2 4，当且仅当 x2y2 时等号成立，则 x2+y 的最小值为 4 故选：C 【点评】本题考查了对数的运算法则与基本不等式的性质应用，属于基础题 7 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题： “今 有池方一丈，葭生其中央出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深、葭长各几何？” 其意思为“今有水池 1 丈见方（即 CD10 尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部 分为 1 尺将芦苇向池岸牵引，恰巧与
14、水岸齐接（如图所示）试问水深、芦苇的长度 各是多少？假设 BAC，现有下述四个结论： 水深为 12 尺；芦苇长为 15 尺； ； 其中所有正确结论的编号是（ ） A B C D 【分析】如图，设 BCx，则 ACx+1，解三角形 ABC，再利用二倍角的正切公式以及 两角和的正切公式，得出结论 解：设 BCx，则 ACx+1，AB5，52+x2（x+1）2，x12， 即水深为 12 尺，故芦苇长为 13 尺 ，由 ，解得 （负根舍去） ， ， 故正确结论的偏号为， 故选：B 【点评】 本题主要考查解三角形、 阅读能力、 二倍角的正切公式以及两角和的正切公式， 属于中档题 8在外国人学唱中文歌曲的
15、大赛中，有白皮肤选手 6 人，黑皮肤选手 6 人，黄皮肤选手 8 人，一等奖规定至少 2 个至多 3 个名额，且要求一等奖获奖选手不能全是同种肤色，则 一等奖人选的所有可能的种数为（ ） A420 B766 C1080 D1176 【分析】 根据题意， 按一等奖的名额数目分 2 种情况讨论， 求出每种情况中可能的数目， 由加法原理计算可得答案 解：根据题意，分 2 种情况讨论： ，一等奖有 2 个名额，有 C61C61+C61C81+C61C81132 种可能， ，一等奖有 3 个名额，有 C203C83C63C631044 种可能； 则共有 132+10441176 种可能； 故选：D 【点
16、评】本题考查排列、组合的应用，涉及分类分步计数原理的应用，属于基础题 9已知函数 f（x）sin2x+sin（2x ），则（ ） Af（x）的最小正周期为 B曲线 yf（x）关于（ ，0）对称 Cf（x）的最大值为 2 D曲线 yf（x）关于 x 对称 【分析】 由题意利用两角和差的三角公式化简函数的解析式， 再利用三角函数的周期性、 最值，以及图象的对称性，得出结论 解：函数 f（x）sin2x+sin（2x ）sin2x sin2x cos2x （ sin2x cos2x） sin（2x ）， 它的最小正周期为 ，最大值为 ，故排除 A、C； 令 x ，求得 f（x） ，故曲线 yf（x）
17、不关于（ ，0）对称； 令 x ，求得 f（x） ，故曲线 yf（x）关于直线 x 对称，故 D 正确， 故选：D 【点评】本题主要考查两角和差的三角公式、三角函数的周期性、最值，以及图象的对 称性，属于中档题 10函数 f（x）|lgx2|+x22|x|的零点的个数为（ ） A2 B3 C4 D6 【分析】条件转化为函数 y|lgx2|与函数 y2|x|x2图象交点个数，作出函数图象，数形 结合即可 解：条件等价于函数 y|lgx2|与函数 y2|x|x2图象交点个数， 作出函数图象如下： 由图可知，共有 4 个交点， 故选：C 【点评】本题考查函数零点个数与函数图象交点个数之间的转化，数形
18、结合思想，属于 中档题 11在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为棱 A1B1上一点，且 AB2，若二面角 B1BC1E 为 45，则四面体 BB1C1E 的外接球的表面积为（ ） A B12 C9 D10 【分析】连接 B1C1交 BC1于 O，可得 B1OBC1，利用线面垂直的判定定理可得：BC1 平面 B1OE，于是 BC1EO，可得而B1OE 为二面角 B1BC1E 的平面角，进而利 用球的表面积计算公式得出结论 解：连接 B1C1交 BC1于 O，则 B1OBC1， 易知 A1B1BC1，则 BC1平面 B1OE， 所以 BC1EO， 从而B1OE 为二面角 B1BC1E 的平
19、面角， 则B1OE45 因为 AB2，所以 ， 故四面体 BB1C1E 的外接球的表面积为 故选：D 【点评】本题考查了正方体的性质、线面垂直的判定与性质定理、二面角的平面角、球 的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 12 若曲线 yxex （x1） 存在两条垂直于 y 轴的切线， 则 m 的取值范围为 （ ） A（ ，0） B ，0） C（ ，+） D（1， ） 【分析】先求出 yxex （x1）的导数，令 y0，得到 m（x+1） 3ex，然后将 问题转化为 m （x+1） 3ex在 （， 1） 上有两个不同的解， 再构造函数 f （x） （x+1） 3ex（x1）求出
20、f（x）的取值范围即可 解：由 yxex （x1），得 ， 令 y0，则 m（x+1）3ex， 曲线 yxex （x1）存在两条垂直于 y 轴的切线， m（x+1）3ex在（，1）上有两个不同的解 令 f（x）（x+1）3ex（x1），则 f（x）（x+1）2ex（x+4）， 当 x4 时，f（x）0；当4x1 时，f（x）0， f（x）在（，4）上单调递减，在（4，1）上单调递增， ， 又当 x1 时，f（x）0， ， 故选：A 【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了转化思想和函数思想， 属中档题 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题
21、卡的相应位置. 13若 x，y 满足约束条件 ，则 z 的取值范围为 ，+） 【分析】本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是 求可行域内的点与点（0，0）构成的直线的斜率范围 解：x，y 满足约束条件 表示的区域如图， z 的几何意义是可行域内的点与点 O（0，0）构成的直线的斜率问题 当取得点 A（ ， ）时， z 的取值为 ， z 的取值范围为 ，+）， 故答案为： ，+） 【点评】本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与原点的斜率本题主要考查 了用平面区域二元一次不等式组， 以及简单的转化思想和数形结合的思想， 属中档题 目 标函数有唯一最优解是我们最常
22、见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出 关键点、定出最优解 14某工厂共有 50 位工人组装某种零件如图的散点图反映了工人们组装每个零件所用的 工时（单位：分钟）与人数的分布情况由散点图可得，这 50 位工人组装每个零件所用 工时的中位数为 3.3 若将 500 个要组装的零件平均分给每个工人，让他们同时开始 组装，则至少要过 35 分钟后，所有工人都完成组装任务 【分析】根据散点图得出加工 1 个零件所用工时对应的人数，求出中位数和完成零件时 的最多用时即可 解：根据散点图填写下表， 人数 3 5 6 12 16 8 工时 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 所以这 5
23、0 人所用工时中位数是 3.3； 500 个零件平均分给 50 人，每人 10 个，最多用时为 3.51035（分钟）； 所以都完成时至少用时 35 分钟 故答案为：3.3，35 【点评】本题考查了利用散点图求数据的中位数以及有关运算问题，是基础题 15设 a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边已知 ， ，且（sin2A+4sin2B） c8（sin2B+sin2Csin2A），则 a 2 【分析】由已知结合正弦定理及余弦定理进行化简即可求解 解：因为（sin2A+4sin2B）c8（sin2B+sin2Csin2A）， 所以（a2+4b2）c8（b2+c2a2），又 b1， 所以
24、（a2+4b2）bc8（b2+c2a2）， 所以 ， 则 ，解得 a2 故答案为：2 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题 16设 A（2，0），B（2，0），若直线 yax（a0）上存在一点 P 满足|PA|+|PB|6， 且PAB 的内心到 x 轴的距离为 ，则 a 【分析】根据条件得到 P 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆，求出椭圆的方程，联立方程 组求出 P 的坐标，结合三角形的内切圆以及三角形的面积，转化求解即可 解：A（2，0），B（2，0），P 满足|PA|+|PB|6|AB|， P 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆，椭圆方程为 ， 若直线直
25、线 yax （a0） 与椭圆方程为 联立， 可得， ， y 2 PAB 的内心到 x 轴的距离为 ，所以三角形的内切圆的半径为：r ， 三角形的面积为： ， 可得|y| ， y 2 ，解得 a3，因为 a0，所以 a 故答案为： 【点评】本题主要考查椭圆方程和性质，根据条件确定椭圆的方程，联立方程组求出交 点坐标是解决本题的关键 三、 解答题： 本大题共5小题， 共70分.解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤.17 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.（一） 必考题：共 60 分. 17设等差数列anbn的公差为 2，等比数列an+
26、bn的公比为 2，且 a12，b11 （1）求数列an的通项公式； （2）求数列2an+2n的前 n 项和 Sn 【分析】 （1）a1b11，a1+b13，可得 anbn2n1，an+bn32n1联立解得 an （2）2an+2n2n1+52n1利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出 解：（1）a1b11，a1+b13， anbn1+2（n1）2n1，an+bn32n1 联立解得 an （2n1）+32 n2 （2）2an+2n2n1+32n1+2n2n1+52n1 数列2an+2n的前 n 项和 Sn 5 n 2+52n5 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了
27、推理能力与 计算能力，属于基础题 18某厂加工的零件按箱出厂，每箱有 10 个零件，在出厂之前需要对每箱的零件作检验， 人工检验方法如下：先从每箱的零件中随机抽取 4 个零件，若抽取的零件都是正品或都 是次品，则停止检验；若抽取的零件至少有 1 个至多有 3 个次品，则对剩下的 6 个零件 逐一检验已知每个零件检验合格的概率为 0.8，每个零件是否检验合格相互独立，且每 个零件的人工检验费为 2 元 （1）设 1 箱零件人工检验总费用为 X 元，求 X 的分布列； （2）除了人工检验方法外还有机器检验方法，机器检验需要对每箱的每个零件作检验， 每个零件的检验费为1.6元现有1000箱零件需要检
28、验， 以检验总费用的数学期望为依据， 在人工检验与机器检验中，应该选择哪一个？说明你的理由 【分析】（1）X 的可能取值为 8，20，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列 （2）求出 EX15.0656，从而 1000 箱零件的人工检验总费用的数学期望为 1000EX 15065.6元 再由1000箱零件的机器检验总费用的数学期望为1.610100016000元， 得到应该选择人工检验 解： （1）X 的可能取值为 8，20，P（X8）0.84+0.240.4112，P（X20）10.4112 0.5888， 则 X 的分布列为 X 8 20 P 0.4112 0.5888 （2）由（
29、1）知，EX80.4112+200.588815.0656， 所以 1000 箱零件的人工检验总费用的数学期望为 1000EX15065.6 元 因为 1000 箱零件的机器检验总费用的数学期望为 1.610100016000 元， 且 1600015065.6， 所以应该选择人工检验 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的求法，考查在人工检验与机器检验中，应 该选择哪一个的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算 求解能力，是中档题 19 如图， 在四棱锥 PABCD 中， AP平面 PCD， ADBC， ABBC， APABBC AD， E 为 AD 的中点，AC
30、与 BE 相交于点 O （1）证明：PO平面 ABCD （2）求直线 BC 与平面 PBD 所成角的正弦值 【分析】（1）推导出 AP平面 PCD，APCD从而四边形 BCDE 为平行四边形，进 而 BECD，APBE推导出四边形 ABCE 为正方形，从而 BEAC进而 BE平面 APC， 则BEPO AP平面 PCD， 进而 APPC， POAC， 由此能证明PO平面 ABCD （2）以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系 Oxyz，推导出平面 PBD 的法向量，由此 能求出 BC 与平面 PBD 的正弦值的求法 解：（1）证明：AP平面 PCD，APCD ADBC， ，四边形 BCDE 为
31、平行四边形，BECD，APBE 又ABBC， ，且 E 为 AD 的中点， 四边形 ABCE 为正方形，BEAC 又 APACA，BE平面 APC，则 BEPO AP平面 PCD，APPC，又 ， PAC 为等腰直角三角形，O 为斜边 AC 上的中点， POAC 且 ACBE0，PO平面 ABCD （2）解：以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系 Oxyz，如图所示 设 OB1，则 B（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，1），D（2，1，0）， 则 ， ， ， ， ， ， ， ， 设平面 PBD 的法向量为 ， ， ， 令 z1，得 ， ， 设 BC 与平面 PBD 所成角为 ， 则
32、 sin|cos ， | 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20已知函数 f（x）x3+ax （1）讨论 f（x）在（a，+）上的单调性； （2）若 a3，求不等式 f（2x24x+3）x4+6x4+12x2+8+a（x2+2）的解集 【分析】（1）先求导 f（x）3x2+a，分当 a0 时，a0 时，两种情况讨论，而当 a 0 内再分类讨论，得到单调递性， （2）当 a3，f（x）3x2+a3x23，可得 f（x）在1，+）上单调递增原不 等式等价为 f（2x24x+3）f（x2+2），因
33、为 2x24x+31，x2+21，所以 2x24x+3 x2+2，可解不等式，进而得出答案 解：（1）f（x）3x2+a， 当 a0 时，f（x）0，则 f（x）在（a，+）上单调递增， 当 a0 时，f（x）0，得 x 当 a 时， a， 令 f（x）0，得 axa， 令 f（x）0，得 xa， 所以 f（x）的单调递减区间为（a，a），单调递增区间为（a，+） 当 a 时， a， 令 f（x）0，得 x ， 令 f（x）0，得 ax 或 x ， 所以 f （x） 的单调递减区间为 （ ， ） ， 单调递增区间为 （a， ） ， （ ， +） 当 a0 时， a， 令 f（x）0，得 ax
34、或 x 令 f（x）0，得，x ， 所以 f（x）的单调递减区间为（a， ）， 单调递增区间为（ ，+） （2）因为 a3，所以 f（x）3x2+a3x23， 当 x1 时，f（x）0，所以 f（x）在1，+）上单调递增 因为 x6+6x4+12x2+8+a（x2+2）（x2+2）3+a（x2+2）f（x2+2）， 所以原不等式等价为 f（2x24x+3）f（x2+2）， 因为 2x24x+32（x1）2+11，x2+21， 所以 2x24x+3x2+2， 解得 2 x2 ， 故所求不等式的解集为（2 ，2 ） 【点评】本题考查利用导数分析函数的单调性，及不等式的解，属于中档题 21已知抛物线
35、 C：x22py（p0）的焦点为 F，直线 l 与抛物线 C 交于 P，Q 两点 （1）若 l 过点 F，抛物线 C 在点 P 处的切线与在点 Q 处的切线交于点 G证明：点 G 在定直线上 （2）若 p2，点 M 在曲线 y 上，MP，MQ 的中点均在抛物线 C 上，求MPQ 面积的取值范围 【分析】（1）设 ， ， ， 根据条件分别求出直线 PG 的方程，QG 的方 程，联立可得 故点 G 在定直线 上 （2）设 M（x0，y0），表示出MPQ 的面积 结 合 M 在曲线 y 上，即可求出面积的取值范围 【解答】（1）证明：易知 ， ，设 ， ， ， 由题意可知直线 l 的斜率存在，故设其
36、方程为 由 ，得 x22pkxp20，所以 由 x22py，得 ， ，则 ， 直线 PG 的方程为 ，即 ， 同理可得直线 QG 的方程为 ， 联立，可得 因为 x1x2，所以 ，故点 G 在定直线 上 （2）解：设 M（x0，y0），MP，MQ 的中点分别为 ， ， ， 因为 MP，MQ 得中点均在抛物线 C 上，所以 x1，x2为方程 的解， 即方程 的两个不同的实根， 则 x1+x22x0， ， ， 即 ， 所以 PQ 的中点 N 的横坐标为 x0，则 ， ， 所以MPQ 的面积 由 ，得 ， 所以 ， 因为1y00，所以 ， 所以MPQ 面积的取值范围为 ， 【点评】本题考查直线与抛物
37、线的综合，点过定直线的证明，三角形面积取值范围，合 理利用根与系数关系是关键，属于难题 （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），以坐标 原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 C 的极坐标方程； （2） 若点 P 的极坐标为 （1， ） ， 过 P 的直线与曲线 C 交于 A， B 两点， 求 的最大 值 【分析】 （1） 直接利用转换关系， 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2） 利用一
38、元二次方程根和系数的关系式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型 函数的性质的应用求出结果 解：（1）曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），转换为直角坐标方程为 （x2）2+（y+1）25，转换为极坐标方程为 24cos2sin （2）点 P 的极坐标为（1，），转换为直角坐标方程为（1，0）， 所以经过点 P 的直线得参数方程为 （t 为参数）代入圆的直角坐标 方程（x2）2+（y+1）25，得 t2+（2sin6cos）t+50， 所以：t1+t22sin+6cos，t1t25， 所以 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元 二次方程根和系数关系式的
39、应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应 用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|3x2|kx （1）若 k1，求不等式 f（x）3|x1|的解集； （2）设函数 f（x）的图象与 x 轴围成的封闭区域为 ，证明：当 2k3 时， 的面积 大于 【分析】（1）由题意可得|3x2|3|x1|x，运用绝对值的概念，由零点分区间法，去 绝对值符号，解不等式，求并集，可得所求解集； （2）可令 f（x）0，求得零点，画出当 2k3 时，yf（x）的图象与 x 轴围成的三 角形区域 ，运用三角形的面积公式和不等式的性质，
40、即可得证 解：（1）若 k1，不等式 f（x）3|x1|，即为|3x2|3|x1|x， 等价为 或 或 ， 解得 x1 或 x1 或1x ， 则原不等式的解集为1，+）； （2）证明：f（x）|3x2|kx， 当 x 时，f（x）0，解得 x ； 当 x 时，f（x）0，解得 x 当 2k3 时，作出 yf（x）的图象与 x 轴围成的三角形区域 ， 可得 B（ ，0），A（ ，0），C（ ， k）， 可得面积为 k （ ） ， 由 2k3，可得 4k29， 1 （0， ）， 则 所以当 2k3 时， 的面积大于 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查函数的图象与 x 轴围成的区域的面积的范围，注意运用数形结合思想，考查运算能力，属于中档题
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