1、2020 年高考数学一模试卷（理科）年高考数学一模试卷（理科） 一、选择题. 1已知集合 Ax|1x4，Bx| 0，则 AB（ ） Ax|2x4 Bx|2x4 Cx|1x2 Dx|1x2 2下列各式的运算结果虚部为 1 的是（ ） Ai（i1） B C（1+i）2i D2+i2 3若实数 x，y 满足 ，则 y2x 的最大值是（ ） A9 B12 C3 D6 4近年来，随着“一带一路”倡议的推进，中国与沿线国家旅游合作越来越密切，中国到 “一带一路”沿线国家的游客人也越来越多，如图是 20132018 年中国到“一带一路” 沿线国家的游客人次情况，则下列说法正确的是（ ） 20132018 年
2、中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加 20132018 年这 6 年中，2014 年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小 20162018 年这 3 年中，中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持 平 A B C D 5已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且在0，+）上单调递减，f（2）0，则不 等式 f（log2x）0 的解集为（ ） A（ ，4） B（2，2） C（ ，+） D（4，+） 6已知函数 f（x）Asin（x+） （A0，0，| ）的图象与直线 ya（0aA） 的三个相邻交点的横坐标分别为 2、4、8，则 f（x）的单调递减区间为（ ） A6
3、k，6k+3，kZ B6k3，6k，kZ C6k，6k+3，kZ D6k3，6k，kZ 7“今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺”这是我国古代数学 名著九章算术卷第五中“商功”中的问题意思为“现有城（如图，等腰梯形的直 棱柱体），下底长 4 丈，上底长 2 丈，高 5 丈，纵长 126 丈 5 尺（1 丈10 尺）”，则 该问题中“城”的体积等于（ ） A1.8975106立方尺 B3.7950106立方尺 C2.5300105立方尺 D1.8975105立方尺 8已知四边形 ABCD 为平行四边形，| | ，| | ，M 为 CD 中点， 2 ，则 （ ） A B C1 D
4、 9ABC 中，角 A，B，C 所对应的分别为 a，b，c，且（a+b）（sinAsinB）（cb） sinC，若 a2，则ABC 的面积的最大值是（ ） A1 B C2 D2 10在（x2x2）5的展开式中，x3的系数为（ ） A40 B160 C120 D200 11体积为 的三棱锥 ABCD 中，BCACBDAD3，CD2 ，AB2 ，则 该三棱锥外接球的表面积为（ ） A20 B C D 12若函数 f（x）在其图象上存在不同的两点 A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足条件： |x1x2+y1y2| 的最大值为 0，则称 f（x）为“柯西函数”， 则下列函数： f（x）x （
5、x0）； f（x）lnx（0x3）； f（x）cosx； f（x）x21 其中为“柯西函数”的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13曲线 f（x）x2ex在点（1，f（1）处的切线方程为 14若双曲线 C： 1（a0，b0）的两个顶点将焦距三等分，则双曲线 C 的渐 近线方程为 15“新冠肺炎”爆发后，某医院由甲、乙、丙、丁、戊 5 位医生组成的专家组到某市参加 抗击疫情五位医生去乘高铁，按规定每位乘客在进站前都需要安检，当时只有 3 个安 检口开通，且没有其他旅客进行安检.5 位医生分别从 3 个安检口进行安检，每个安检口 都
6、有医生去安检且不同的安检顺序视为不同的安检，则甲、乙 2 位医生不在同一个安检 口进行安检的概率为 16直线 l：xty+10（t0）和抛物线 C：y24x 相交于不同两点 A、B，设 AB 的中点 为 M，抛物线 C 的焦点为 F，以 MF 为直径的圆与直线 l 相交另一点为 N，且满足 |MN| |NF|，则直线 l 的方程为 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分. 17已知 Sn为数列an的前 n 项和，且 Sn+22an，nN* （1）求
7、数列an的通项公式； （2）令 bn ，设数列bn的前项和为 Tn，若 Tn ，求 n 的最小值 18 在四棱锥 PABCD 中， 平面 PAC平面 ABCD， 且有 ABDC， ACCDDA AB （1）证明：BCPA； （2）若 PAPCAC，求平面 PAD 与平面 PBC 所成的锐二面角的余弦值 19为评估设备 M 生产某种零件的性能，从设备 M 生产零件的流水线上随机抽取 100 件零 件作为样本，测量其直径后，整理得到如表： 直径58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计 /mm 件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1
8、 2 1 100 经计算，样本零件直径的平均值 65，标准差2.2，以频率值作为概率的估计值 （1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为 x，并 根据以下不等式进行评判 （P 表示相应时间的概率） ： P （X+） 0.6826， P （2X+2） 0.9544， P （3X+3） 0.9974 评判规则为： 若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满 足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁试判断设备 M 的性能等级 （2）将直径小于 2或直径大于 +2的零件认为是次品 从设备 M 的生产流水线上任意抽取 2 件零件，求
9、其中次品个数的数学期望 E（Y）； 从样本中任意抽取 2 件零件，求其中次品个数的数学期望 E（Z） 20已知椭圆 C 的中心在坐标原点 O，其右焦点为 F（1，0），以坐标原点 O 为圆心，椭 圆短半轴长为半径的圆与直线 xy 0 的相切 （1）求椭圆 C 的方程； （2）经过点 F 的直线 l1，l2分别交椭圆 C 于 A、B 及 C、D 四点，且 l1l2，探究：是否 存在常数 ，使|AB|+|CD|AB| |CD|恒成立 21已知函数 f（x） x 2+ax+lnx（aR） （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）若 f（x）存在两个极值点 x1，x2且|x1x2 | ，求|f（x1
10、）f（x2）|的最大值 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第 一题记分选修 4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为： （ 为参数），已知 直线 l1：x y0，直线 l2： xy0 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极 坐标系 （1）求曲线 C 以及直线 l1，l2的极坐标方程； （2）若直线 l1与曲线 C 分别交于 O、A 两点，直线 l2与曲线 C 分别交于 O、B 两点，求 AOB 的面积 选修 4-5：不等式选讲 23设函数 f（x）|x+a| （1）当 a2 时，求不等式 f（x
11、） 的解集； （2）若 0，f（1） ，f（ba2） ，证明|2a+b4| 参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目的要求的 1已知集合 Ax|1x4，Bx| 0，则 AB（ ） Ax|2x4 Bx|2x4 Cx|1x2 Dx|1x2 【分析】求出集合 A，B，由此能求出 AB 解：集合 Ax|1x4， Bx| 0x|0x2， ABx|1x2 故选：D 2下列各式的运算结果虚部为 1 的是（ ） Ai（i1） B C（1+i）2i D2+i2 【分析】分别利用复数代数形式的乘除运算化简四个选项得答案 解：i（i1）1i
12、， ， （1+i）2ii， 2+i21 运算结果虚部为 1 的是（1+i）2i 故选：C 3若实数 x，y 满足 ，则 y2x 的最大值是（ ） A9 B12 C3 D6 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优 解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案 解：由实数 x，y 满足 ，作出可行域如图， 令 zy2x，化为 y2x+z， 联立 ，解得 A（3，6） 由图可知，当直线过 A 时，y2x 有最大值为 12 故选：B 4近年来，随着“一带一路”倡议的推进，中国与沿线国家旅游合作越来越密切，中国到 “一带一路”沿线国家的游客人也越来越多，如图是 2013
13、2018 年中国到“一带一路” 沿线国家的游客人次情况，则下列说法正确的是（ ） 20132018 年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加 20132018 年这 6 年中，2014 年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小 20162018 年这 3 年中，中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持 平 A B C D 【分析】利用折线图的性质直接求解 解：由 20132018 年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次情况和折线图，得： 在中，20132018 年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加，故正确； 在中，20132018 年这 6 年中，2014 年
14、中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅 最小，故正确； 在中，20162018 年这 3 年中，中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅 基本持平，故正确 故选：A 5已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且在0，+）上单调递减，f（2）0，则不 等式 f（log2x）0 的解集为（ ） A（ ，4） B（2，2） C（ ，+） D（4，+） 【分析】根据题意，由函数 f（x）的奇偶性与 f（2）0 可得 f（log2x）0f（|log2x|） f（2），结合函数 f（x）的单调性分析可原不等式等价于|log2x|2，解可得 x 的取值范 围，即可得答案 解：根据题意，函数 f（
15、x）是定义在 R 上的偶函数，且 f（2）0， 则 f（log2x）0f（|log2x|）f（2）， 又由 f（x）在0，+）上单调递减，f（|log2x|）f（2）|log2x|2， 变形可得：2log2x2， 解可得： x2，不等式的解集为（ ，2）； 故选：A 6已知函数 f（x）Asin（x+） （A0，0，| ）的图象与直线 ya（0aA） 的三个相邻交点的横坐标分别为 2、4、8，则 f（x）的单调递减区间为（ ） A6k，6k+3，kZ B6k3，6k，kZ C6k，6k+3，kZ D6k3，6k，kZ 【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，求出 f（x）的单调递减区间 解：函
16、数 f（x）Asin（x+）（A0，0，| ）的图象与直线 ya（0a A）的三个相邻交点的横坐标分别为 2、4、8， 3， 6， 633， T6，故函数的减区间为6k+3，6k+6，即6k3，6k，kZ， 故选：D 7“今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺”这是我国古代数学 名著九章算术卷第五中“商功”中的问题意思为“现有城（如图，等腰梯形的直 棱柱体），下底长 4 丈，上底长 2 丈，高 5 丈，纵长 126 丈 5 尺（1 丈10 尺）”，则 该问题中“城”的体积等于（ ） A1.8975106立方尺 B3.7950106立方尺 C2.5300105立方尺 D1.897
17、5105立方尺 【分析】由已知求出直四棱柱的底面积，再由棱柱的体积公式求解 解：由题意，直四棱柱的底面积 S 平方尺； 又直四棱柱的高为 1265 尺， 该问题中“城”的体积等于 150012651.8975106立方尺 故选：A 8已知四边形 ABCD 为平行四边形，| | ，| | ，M 为 CD 中点， 2 ，则 （ ） A B C1 D 【 分 析 】 先 根 据 已 知条 件 可 求 得 ， ， ， 而 ， 然后将其展开， 利用平面向量数量积进行运算求解即可 解：| | ，| | ，M 为 CD 中点， 2 ， ， ， ， ， 故选：A 9ABC 中，角 A，B，C 所对应的分别为
18、a，b，c，且（a+b）（sinAsinB）（cb） sinC，若 a2，则ABC 的面积的最大值是（ ） A1 B C2 D2 【分析】 由已知利用正弦定理可得 a2b2+c2bc， 由余弦定理可得 cosA ， 结合范围 A （0，），可求 A 的值；再利用余弦定理，基本不等式可求 bc4，当且仅当 bc2 时，取等号，利用三角形的面积公式即可求解 解：由（a+b）（sinAsinB）（cb）sinC， 利用正弦定理可得：（a+b）（ab）（cb）c， 即 a2b2+c2bc， 所以由余弦定理可得：cosA ， 而 A（0，）， 所以 A ； 因为 a2， 所以可得：4b2+c2bc2bc
19、bcbc， 即 bc4，当且仅当 bc2 时，取等号， 所以 SABC bcsinA 4 ，即ABC 面积的最大值为 故选：B 10在（x2x2）5的展开式中，x3的系数为（ ） A40 B160 C120 D200 【分析】先把（x2x2）5变形为（x+1）5（x2）5，再利用二项式定理中的通项公式 求出结果 解：（x2x2） 5（x+1）5（x2）5，x3 的系数为 C C （2）5+C C （ 2）4+C C （2）3+C C （2）2120 故选：C 11体积为 的三棱锥 ABCD 中，BCACBDAD3，CD2 ，AB2 ，则 该三棱锥外接球的表面积为（ ） A20 B C D 【分
20、析】由题意取 AB 的中点 E，连接 DE，CE，因为 BCACBDAD3，所以 CE AB，DEAB，DECEE， 所以 AB面 CDE，且 DECE，取 CD 的中点，连接 EP，则 EPCD，再由体积可得 AB 的值，进而求出底面外接圆的半径，及 D 到底面的高，由题意求出外接球的半径，进 而求出外接球的表面积 解：取 AB 的中点 E，连接 DE，CE，因为 BCACBDAD3，所以 CEAB，DE AB，DECEE， 所以 AB面 CDE，且 DECE，取 CD 的中点，连接 EP，则 EPCD， 所以 VABCD AB SCDE AB AB AB AB ， 因为 VABCD ， 所
21、以 AB ，因为 AB2 ， 所以解得 AB2；AE1，DECE 2 ， 所以 sinACE ，所以 sinACB2sinACE cosACE2 ， 由题意可得 D 在底面的投影在中线 CE 所在的直线上，设为 F，设 DFh， 设底面 ABC 的外接圆的半径为 r，设圆心为 O，2r ，所以 r ， OECEr2 ， VABCD SABC h AC 2 sinACB h h，解得 h ， 所以 EF ， 所以 OFEF+OE ， 过 O作 OO面 ABC 的垂线，作 OHDF 于 H，则四边形 HFOO 为矩形， 设外接球的半径为 R，取 OAOBODR， 在三角形 OHD 中，OD2OH2
22、+（DFFH）2，即 R2OF2+（ OO） 2（ ） 2+（ OO） 2， 在三角形 OO中，OC2CO2+OO2r2+OO2即 R2（ ）2+OO2， 由可得 R2 ， 所以外接球的表面积 S4R24 ， 故选：B 12若函数 f（x）在其图象上存在不同的两点 A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足条件： |x1x2+y1y2| 的最大值为 0，则称 f（x）为“柯西函数”， 则下列函数： f（x）x （x0）； f（x）lnx（0x3）； f（x）cosx； f（x）x21 其中为“柯西函数”的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】由“柯西函数”得函数 f（x）在其图象上
23、存在不同的两点 A（x1，y1），B（x2， y2由），使得 、 共线，即存在点 A、B 与点 O 共线，分别判断即可 解：对由柯西不等式得：对任意实数 x1，y1，x2，y2：|x1x2+y1y2| 0 恒成立（当且仅当存在实数 k，使得 x1kx2，y1ky2取等号）， 若函数 f（x）在其图象上存在不同的两点 A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足条件： |x1x2+y1y2| 的最大值为 0， 则函数 f（x）在其图象上存在不同的两点 A（x1，y1），B（x2，y2）， 使得 、 共线，即存在点 A、B 与点 O 共线 设 AB 的方程为 ykx，由于 ykx（x0）与 f（
24、x）x 只有一个交点，故不是柯 西函数， 对于，由于 y 与 f（x）lnx（0x3）有两个交点，故是柯西函数； 对于，取 A（0，0），点 B 任意，均满足定义，故是柯西函数 对于取 A（1，0），B（1，0），均满足定义，故是柯西函数 故选：C 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13曲线 f（x）x2ex在点（1，f（1）处的切线方程为 xey0 【分析】先求出函数的导数，然后再求出切点处函数值、导数值，最后代入点斜式得切 线方程 解：f（x）2xexx2ex， ， 故切线为： ，即 xey0 故答案为：xey0 14若双曲线 C： 1（a0，b0）的两个顶点将
25、焦距三等分，则双曲线 C 的渐 近线方程为 y 【分析】由题意可得 2a ，即 3ac，再由 a，b，c 之间的关系求出 a，b 的关系， 进而求出渐近线 y x，即求出渐近线的方程 解：双曲线 C： 1（a0，b0）的两个顶点将焦距三等分可得：2a ， 即 3ac， 所以 9a2c2a2+b2，即 8a2b2， 所以渐近线的方程为：y x x， 故答案为：y 15“新冠肺炎”爆发后，某医院由甲、乙、丙、丁、戊 5 位医生组成的专家组到某市参加 抗击疫情五位医生去乘高铁，按规定每位乘客在进站前都需要安检，当时只有 3 个安 检口开通，且没有其他旅客进行安检.5 位医生分别从 3 个安检口进行安
26、检，每个安检口 都有医生去安检且不同的安检顺序视为不同的安检，则甲、乙 2 位医生不在同一个安检 口进行安检的概率为 【分析】基本事件总数 n 540，甲、乙 2 位医生在同一个安检口进行安检包含 的基本事件个数 m 32135，由此能求出甲、乙 2 位医生不在同一个安检口 进行安检的概率 解：某医院由甲、乙、丙、丁、戊 5 位医生组成的专家组到某市参加抗击疫情 五位医生去乘高铁，按规定每位乘客在进站前都需要安检， 当时只有 3 个安检口开通，且没有其他旅客进行安检.5 位医生分别从 3 个安检口进行安 检， 每个安检口都有医生去安检且不同的安检顺序视为不同的安检， 基本事件总数 n 540，
27、 甲、乙 2 位医生在同一个安检口进行安检包含的基本事件个数 m 32135， 则甲、乙 2 位医生不在同一个安检口进行安检的概率为 P1 1 故答案为： 16直线 l：xty+10（t0）和抛物线 C：y24x 相交于不同两点 A、B，设 AB 的中点 为 M，抛物线 C 的焦点为 F，以 MF 为直径的圆与直线 l 相交另一点为 N，且满足 |MN| |NF|，则直线 l 的方程为 x y+10 【分析】求得抛物线的焦点 F，联立直线 l 和抛物线的方程，运用韦达定理和中点坐标公 式可得 M 的坐标，设 N（ty01，y0），由 NFl，结合两直线垂直的条件，可得 t，y0 的关系式，再由
28、两点的距离公式，化简整理可得 t，可得所求直线方程 解：y24x 的焦点为 F（1，0），联立 xty+10 与 y24x，可得 y24ty+40， 设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 可得 y1+y24t，则中点 M（2t21，2t）， 设 N（ty01，y0），由 NFl，可得 t，即有 y0 ， 由|MN| |NF|可得|MN|227NF|2， 即为（2t2ty0）2+（2ty0）227（ty02）2+y02， 注意结合 t2y02ty0， 化为 t4t22714ty02714t ，即为 t 627，解得 t ， 可得直线 l 的方程为 x y+10 故答案为：x y+10 三、解
29、答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分. 17已知 Sn为数列an的前 n 项和，且 Sn+22an，nN* （1）求数列an的通项公式； （2）令 bn ，设数列bn的前项和为 Tn，若 Tn ，求 n 的最小值 【分析】 （1）由数列an的前 n 项和与项满足 Sn+22an，nN*消掉和 Sn可得数列an 是等比数列，进而求数列an的通项公式 （2）由（1）得数列bn的通项公式，列项求和算出 Tn 1 ，再由若 T n ， 解整数不等式可求 n 的
30、最小值 解：（1）当 n1 时，S1+22a1，解得 a12， 当 n2 时，Sn1+22an1，Sn+2（Sn1+2）2an2an1，即 an2an1 2，则an是以 2 为首项，2 为公比的等比数列 故 an2n （2）：由（1）可得 bn Tnb1+b2+bn （1 ） + （ ） + （ ） 1 ， 又 Tn ，即 1 ， 2 n+12021，由于 nN，n10， 故 n 的最小值为 10 18 在四棱锥 PABCD 中， 平面 PAC平面 ABCD， 且有 ABDC， ACCDDA AB （1）证明：BCPA； （2）若 PAPCAC，求平面 PAD 与平面 PBC 所成的锐二面角的
31、余弦值 【分析】（1） 设AB2a， 则ACCDDAa， 推导出 ， 由余弦定理得BC ， 由勾股定理得 BCAC，从而 BC平面 PAC，由此能证明 BCPA （2） 设 AC2， 取 AC 中点 O， 连结 PO， 则 POAC， PO ， 推导出 PO平面 ABCD， 以 C 为原点，CA 为 x 轴，CB 为 y 轴，过 C 作平面 ABCD 的垂线为 z 轴，建立空间直角 坐标系，利用向量法能求出平面 PAD 与平面 PBC 所成的锐二面角的余弦值 解：（1）证明：设 AB2a，则 ACCDDAa， ACD 是等边三角形， ， ABDC， ， 由余弦定理得： 3a2，BC ， BC2
32、+AC2AB2， ，BCAC， 平面 PAC平面 ABCDAC，BC平面 ABCD， BC平面 PAC， PA平面 PAC，BCPA （2）解：设 AC2，取 AC 中点 O，连结 PO，则 POAC，PO ， 平面 PAC平面 ABCD，PO平面 ABCD， 以 C 为原点，CA 为 x 轴，CB 为 y 轴，过 C 作平面 ABCD 的垂线为 z 轴，建立空间直角 坐标系， 则 C（0，0，0），B（0，2 ，0），P（1，0， ），A（2，0，0），D（1， ，0）， （1，0， ）， （1， ，0）， （1，0， ）， （0，2 ，0）， 设平面 PAD 的法向量 （x，y，z）， 则
33、 ，取 z1，得 （ ， ， ）， 设平面 PBC 的法向量 （a，b，c）， 则 ，取 a ，得 （ ， ， ）， 设平面 PAD 与平面 PBC 所成的锐二面角为 则 cos 平面 PAD 与平面 PBC 所成的锐二面角的余弦值为 19为评估设备 M 生产某种零件的性能，从设备 M 生产零件的流水线上随机抽取 100 件零 件作为样本，测量其直径后，整理得到如表： 直径 /mm 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计 件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100 经计算，样本零件直径的平均值 65，标准差2.2
34、，以频率值作为概率的估计值 （1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为 x，并 根据以下不等式进行评判 （P 表示相应时间的概率） ： P （X+） 0.6826， P （2X+2） 0.9544， P （3X+3） 0.9974 评判规则为： 若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满 足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁试判断设备 M 的性能等级 （2）将直径小于 2或直径大于 +2的零件认为是次品 从设备 M 的生产流水线上任意抽取 2 件零件，求其中次品个数的数学期望 E（Y）； 从样本中任意抽取 2 件零件，
35、求其中次品个数的数学期望 E（Z） 【分析】（）利用条件，可得设备 M 的数据仅满足一个不等式，即可得出结论； （）易知样本中次品共 6 件，可估计设备 M 生产零件的次品率为 0.06 （）由题意可知 YB（2， ），于是 E（Y）2 ； （）确定 Z 的取值，求出相应的概率，即可求出其中次品个数 Z 的数学期望 E（Z） 解：（）P（X+）P（62.8X67.2）0.80.6826，P（2X +2）P（60.6X69.4）0.940.9544，P（3X+3）P（58.4X 71.6）0.980.9974， 因为设备 M 的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙； （）易知样本中次品共 6
36、件，可估计设备 M 生产零件的次品率为 0.06 （）由题意可知 YB（2， ），于是 E（Y）2 ； （）由题意可知 Z 的分布列为 Z 0 1 2 P 故 E（Z）0 1 2 20已知椭圆 C 的中心在坐标原点 O，其右焦点为 F（1，0），以坐标原点 O 为圆心，椭 圆短半轴长为半径的圆与直线 xy 0 的相切 （1）求椭圆 C 的方程； （2）经过点 F 的直线 l1，l2分别交椭圆 C 于 A、B 及 C、D 四点，且 l1l2，探究：是否 存在常数 ，使|AB|+|CD|AB| |CD|恒成立 【分析】（1）根据点到直线的距离可以求出短半轴长 b，因为焦点已知，所以 c1，根 据
37、a2b2+c2可以求得 a2，从而确定椭圆的方程； （2）分两类，l1，l2中一条斜率不存在，l1，l2的斜率存在且不为 0，分别来探索常 数 的值，其中在情形中，需要设 l1：xty+1（t0）， ： ，然后联立 直线方程和椭圆的方程， 消去 x 得到关于 y 的方程， 再利用弦长公式分别求出|AB|和|CD|， 并代入到 化简即可得解 解：（1）设所求的椭圆方程为 ， 点 O 到直线 xy 0 的距离为 ， 又 c1，a2b2+c24， 故所求的椭圆 C 的方程为 （2）假设存在常数 ，使|AB|+|CD|AB| |CD|恒成立，则 ， 当 l1， l2中一条斜率不存在时， 可知|AB|，
38、 |CD|其中一个长为 2a4， 另一个为 ， 此时 ， 当 l1，l2的斜率存在且不为 0 时，不妨设 l1：xty+1（t0）， ： ， A（ty1+1，y1），B（ty2+1）， 联立 得（3t 2+4）y2+6ty90， ， ，36t 24（3t2+4） （9）144（t2+1）0， ， 用 代替上式中的 t 可得， ， ， 综上所述，存在常数 使得|AB|+|CD|AB| |CD|恒成立 21已知函数 f（x） x 2+ax+lnx（a一、选择题） （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）若 f（x）存在两个极值点 x1，x2且|x1x2 | ，求|f（x1）f（x2）|的最大值
39、【分析】（1）求导可得 ，再分 ， 讨论 f（x）与 0 的大 小关系，进而得出单调性情况； （2）依题意，x1+x2a，x1x21，则 ，构造函 数 ，利用导数求其最大值即可 解： （1） ，设 （x）x 2+ax+1，则 （0）10， 对称轴为 ， 当 ，即 a0 时，在（0，+）上，f（x）0，f（x）是增函数； 当 ，即 a0 时，a240 得 a2， （i）当2a0 时，在（0，+）上，f（x）0，f（x）是增函数； （ii）当 a2 时，令 f（x）0 得 ， 在 ， ， ， 上，f（x）0，f（x）是增函数； 在 ， 上，f（x）0，f（x）是减函数； （2）由（1）知，f（x）
40、得两个极值点 x1，x2满足 x2+ax+10，故 x1+x2a，x1x21， 不妨设 0x11x2，则 f（x）在（x1，x2）上是减函数， ， 令 ，设函数 ，则 ， h（t）在（1，+）上为增函数， 由 ，则 ，解得 1x22，故 ， ， |f（x1）f（x2）|的最大值为 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第 一题记分选修 4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为： （ 为参数），已知 直线 l1：x y0，直线 l2： xy0 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极 坐标系 （1）求曲
41、线 C 以及直线 l1，l2的极坐标方程； （2）若直线 l1与曲线 C 分别交于 O、A 两点，直线 l2与曲线 C 分别交于 O、B 两点，求 AOB 的面积 【分析】 （1） 直接利用转换关系， 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2）利用极径的应用和三角形的面积公式的应用求出结果 解：（1）曲线 C 的参数方程为： （ 为参数），转换为直角坐标方程为 （x3）2+y29 已知直线 l1：x y0，转换为极坐标方程为 ，直线 l2： xy0 转换为直角坐 标方程为 （2）曲线 C 的极坐标方程为 6cos， 所以 ，解得 ，所以 A（3 ， ） 同理 ，解得 ，所以 B（3
42、， ）， 所以 选修 4-5：不等式选讲 23设函数 f（x）|x+a| （1）当 a2 时，求不等式 f（x） 的解集； （2）若 0，f（1） ，f（ba2） ，证明|2a+b4| 【分析】（1）将 a2 代入，可得 ，再分别求解取交集即可； （2）利用已知条件，结合绝对值不等式的性质可得|2a+b4|2a2+b2|2|a1|+|b 2| ，由此得证 解：（1）当 a2 时，f（x）|x2|，则 即为 ， 等价于 ，解得 或 ， 不等式的解集为 或 ； （2）证明：由已知，0，f（1）|a1| ，f（ba2）|b2| ， 则|2a+b4|2a2+b2|2|a1|+|b2| ， |2a+b4|
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