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    广东省汕头市2020年普通高考第一次模拟考试数学试卷(理科)含答案解析

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    广东省汕头市2020年普通高考第一次模拟考试数学试卷(理科)含答案解析

    1、2020 年高考数学一模试卷(理科)年高考数学一模试卷(理科) 一、选择题. 1已知集合 Ax|1x4,Bx| 0,则 AB( ) Ax|2x4 Bx|2x4 Cx|1x2 Dx|1x2 2下列各式的运算结果虚部为 1 的是( ) Ai(i1) B C(1+i)2i D2+i2 3若实数 x,y 满足 ,则 y2x 的最大值是( ) A9 B12 C3 D6 4近年来,随着“一带一路”倡议的推进,中国与沿线国家旅游合作越来越密切,中国到 “一带一路”沿线国家的游客人也越来越多,如图是 20132018 年中国到“一带一路” 沿线国家的游客人次情况,则下列说法正确的是( ) 20132018 年

    2、中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加 20132018 年这 6 年中,2014 年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小 20162018 年这 3 年中,中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持 平 A B C D 5已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在0,+)上单调递减,f(2)0,则不 等式 f(log2x)0 的解集为( ) A( ,4) B(2,2) C( ,+) D(4,+) 6已知函数 f(x)Asin(x+) (A0,0,| )的图象与直线 ya(0aA) 的三个相邻交点的横坐标分别为 2、4、8,则 f(x)的单调递减区间为( ) A6

    3、k,6k+3,kZ B6k3,6k,kZ C6k,6k+3,kZ D6k3,6k,kZ 7“今有城,下广四丈,上广二丈,高五丈,袤一百二十六丈五尺”这是我国古代数学 名著九章算术卷第五中“商功”中的问题意思为“现有城(如图,等腰梯形的直 棱柱体),下底长 4 丈,上底长 2 丈,高 5 丈,纵长 126 丈 5 尺(1 丈10 尺)”,则 该问题中“城”的体积等于( ) A1.8975106立方尺 B3.7950106立方尺 C2.5300105立方尺 D1.8975105立方尺 8已知四边形 ABCD 为平行四边形,| | ,| | ,M 为 CD 中点, 2 ,则 ( ) A B C1 D

    4、 9ABC 中,角 A,B,C 所对应的分别为 a,b,c,且(a+b)(sinAsinB)(cb) sinC,若 a2,则ABC 的面积的最大值是( ) A1 B C2 D2 10在(x2x2)5的展开式中,x3的系数为( ) A40 B160 C120 D200 11体积为 的三棱锥 ABCD 中,BCACBDAD3,CD2 ,AB2 ,则 该三棱锥外接球的表面积为( ) A20 B C D 12若函数 f(x)在其图象上存在不同的两点 A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足条件: |x1x2+y1y2| 的最大值为 0,则称 f(x)为“柯西函数”, 则下列函数: f(x)x (

    5、x0); f(x)lnx(0x3); f(x)cosx; f(x)x21 其中为“柯西函数”的个数为( ) A1 B2 C3 D4 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13曲线 f(x)x2ex在点(1,f(1)处的切线方程为 14若双曲线 C: 1(a0,b0)的两个顶点将焦距三等分,则双曲线 C 的渐 近线方程为 15“新冠肺炎”爆发后,某医院由甲、乙、丙、丁、戊 5 位医生组成的专家组到某市参加 抗击疫情五位医生去乘高铁,按规定每位乘客在进站前都需要安检,当时只有 3 个安 检口开通,且没有其他旅客进行安检.5 位医生分别从 3 个安检口进行安检,每个安检口 都

    6、有医生去安检且不同的安检顺序视为不同的安检,则甲、乙 2 位医生不在同一个安检 口进行安检的概率为 16直线 l:xty+10(t0)和抛物线 C:y24x 相交于不同两点 A、B,设 AB 的中点 为 M,抛物线 C 的焦点为 F,以 MF 为直径的圆与直线 l 相交另一点为 N,且满足 |MN| |NF|,则直线 l 的方程为 三、解答题:共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答(一)必考题:共 60 分. 17已知 Sn为数列an的前 n 项和,且 Sn+22an,nN* (1)求

    7、数列an的通项公式; (2)令 bn ,设数列bn的前项和为 Tn,若 Tn ,求 n 的最小值 18 在四棱锥 PABCD 中, 平面 PAC平面 ABCD, 且有 ABDC, ACCDDA AB (1)证明:BCPA; (2)若 PAPCAC,求平面 PAD 与平面 PBC 所成的锐二面角的余弦值 19为评估设备 M 生产某种零件的性能,从设备 M 生产零件的流水线上随机抽取 100 件零 件作为样本,测量其直径后,整理得到如表: 直径58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计 /mm 件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1

    8、 2 1 100 经计算,样本零件直径的平均值 65,标准差2.2,以频率值作为概率的估计值 (1)为评判一台设备的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其直径为 x,并 根据以下不等式进行评判 (P 表示相应时间的概率) : P (X+) 0.6826, P (2X+2) 0.9544, P (3X+3) 0.9974 评判规则为: 若同时满足上述三个不等式,则设备等级为甲;仅满足其中两个,则等级为乙,若仅满 足其中一个,则等级为丙;若全部不满足,则等级为丁试判断设备 M 的性能等级 (2)将直径小于 2或直径大于 +2的零件认为是次品 从设备 M 的生产流水线上任意抽取 2 件零件,求

    9、其中次品个数的数学期望 E(Y); 从样本中任意抽取 2 件零件,求其中次品个数的数学期望 E(Z) 20已知椭圆 C 的中心在坐标原点 O,其右焦点为 F(1,0),以坐标原点 O 为圆心,椭 圆短半轴长为半径的圆与直线 xy 0 的相切 (1)求椭圆 C 的方程; (2)经过点 F 的直线 l1,l2分别交椭圆 C 于 A、B 及 C、D 四点,且 l1l2,探究:是否 存在常数 ,使|AB|+|CD|AB| |CD|恒成立 21已知函数 f(x) x 2+ax+lnx(aR) (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)若 f(x)存在两个极值点 x1,x2且|x1x2 | ,求|f(x1

    10、)f(x2)|的最大值 (二)选考题:共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做,则按所做的第 一题记分选修 4-4:坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为: ( 为参数),已知 直线 l1:x y0,直线 l2: xy0 以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极 坐标系 (1)求曲线 C 以及直线 l1,l2的极坐标方程; (2)若直线 l1与曲线 C 分别交于 O、A 两点,直线 l2与曲线 C 分别交于 O、B 两点,求 AOB 的面积 选修 4-5:不等式选讲 23设函数 f(x)|x+a| (1)当 a2 时,求不等式 f(x

    11、) 的解集; (2)若 0,f(1) ,f(ba2) ,证明|2a+b4| 参考答案 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目的要求的 1已知集合 Ax|1x4,Bx| 0,则 AB( ) Ax|2x4 Bx|2x4 Cx|1x2 Dx|1x2 【分析】求出集合 A,B,由此能求出 AB 解:集合 Ax|1x4, Bx| 0x|0x2, ABx|1x2 故选:D 2下列各式的运算结果虚部为 1 的是( ) Ai(i1) B C(1+i)2i D2+i2 【分析】分别利用复数代数形式的乘除运算化简四个选项得答案 解:i(i1)1i

    12、, , (1+i)2ii, 2+i21 运算结果虚部为 1 的是(1+i)2i 故选:C 3若实数 x,y 满足 ,则 y2x 的最大值是( ) A9 B12 C3 D6 【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优 解,求得最优解的坐标,代入目标函数得答案 解:由实数 x,y 满足 ,作出可行域如图, 令 zy2x,化为 y2x+z, 联立 ,解得 A(3,6) 由图可知,当直线过 A 时,y2x 有最大值为 12 故选:B 4近年来,随着“一带一路”倡议的推进,中国与沿线国家旅游合作越来越密切,中国到 “一带一路”沿线国家的游客人也越来越多,如图是 2013

    13、2018 年中国到“一带一路” 沿线国家的游客人次情况,则下列说法正确的是( ) 20132018 年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加 20132018 年这 6 年中,2014 年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小 20162018 年这 3 年中,中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持 平 A B C D 【分析】利用折线图的性质直接求解 解:由 20132018 年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次情况和折线图,得: 在中,20132018 年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加,故正确; 在中,20132018 年这 6 年中,2014 年

    14、中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅 最小,故正确; 在中,20162018 年这 3 年中,中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅 基本持平,故正确 故选:A 5已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在0,+)上单调递减,f(2)0,则不 等式 f(log2x)0 的解集为( ) A( ,4) B(2,2) C( ,+) D(4,+) 【分析】根据题意,由函数 f(x)的奇偶性与 f(2)0 可得 f(log2x)0f(|log2x|) f(2),结合函数 f(x)的单调性分析可原不等式等价于|log2x|2,解可得 x 的取值范 围,即可得答案 解:根据题意,函数 f(

    15、x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(2)0, 则 f(log2x)0f(|log2x|)f(2), 又由 f(x)在0,+)上单调递减,f(|log2x|)f(2)|log2x|2, 变形可得:2log2x2, 解可得: x2,不等式的解集为( ,2); 故选:A 6已知函数 f(x)Asin(x+) (A0,0,| )的图象与直线 ya(0aA) 的三个相邻交点的横坐标分别为 2、4、8,则 f(x)的单调递减区间为( ) A6k,6k+3,kZ B6k3,6k,kZ C6k,6k+3,kZ D6k3,6k,kZ 【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质,求出 f(x)的单调递减区间 解:函

    16、数 f(x)Asin(x+)(A0,0,| )的图象与直线 ya(0a A)的三个相邻交点的横坐标分别为 2、4、8, 3, 6, 633, T6,故函数的减区间为6k+3,6k+6,即6k3,6k,kZ, 故选:D 7“今有城,下广四丈,上广二丈,高五丈,袤一百二十六丈五尺”这是我国古代数学 名著九章算术卷第五中“商功”中的问题意思为“现有城(如图,等腰梯形的直 棱柱体),下底长 4 丈,上底长 2 丈,高 5 丈,纵长 126 丈 5 尺(1 丈10 尺)”,则 该问题中“城”的体积等于( ) A1.8975106立方尺 B3.7950106立方尺 C2.5300105立方尺 D1.897

    17、5105立方尺 【分析】由已知求出直四棱柱的底面积,再由棱柱的体积公式求解 解:由题意,直四棱柱的底面积 S 平方尺; 又直四棱柱的高为 1265 尺, 该问题中“城”的体积等于 150012651.8975106立方尺 故选:A 8已知四边形 ABCD 为平行四边形,| | ,| | ,M 为 CD 中点, 2 ,则 ( ) A B C1 D 【 分 析 】 先 根 据 已 知条 件 可 求 得 , , , 而 , 然后将其展开, 利用平面向量数量积进行运算求解即可 解:| | ,| | ,M 为 CD 中点, 2 , , , , , 故选:A 9ABC 中,角 A,B,C 所对应的分别为

    18、a,b,c,且(a+b)(sinAsinB)(cb) sinC,若 a2,则ABC 的面积的最大值是( ) A1 B C2 D2 【分析】 由已知利用正弦定理可得 a2b2+c2bc, 由余弦定理可得 cosA , 结合范围 A (0,),可求 A 的值;再利用余弦定理,基本不等式可求 bc4,当且仅当 bc2 时,取等号,利用三角形的面积公式即可求解 解:由(a+b)(sinAsinB)(cb)sinC, 利用正弦定理可得:(a+b)(ab)(cb)c, 即 a2b2+c2bc, 所以由余弦定理可得:cosA , 而 A(0,), 所以 A ; 因为 a2, 所以可得:4b2+c2bc2bc

    19、bcbc, 即 bc4,当且仅当 bc2 时,取等号, 所以 SABC bcsinA 4 ,即ABC 面积的最大值为 故选:B 10在(x2x2)5的展开式中,x3的系数为( ) A40 B160 C120 D200 【分析】先把(x2x2)5变形为(x+1)5(x2)5,再利用二项式定理中的通项公式 求出结果 解:(x2x2) 5(x+1)5(x2)5,x3 的系数为 C C (2)5+C C ( 2)4+C C (2)3+C C (2)2120 故选:C 11体积为 的三棱锥 ABCD 中,BCACBDAD3,CD2 ,AB2 ,则 该三棱锥外接球的表面积为( ) A20 B C D 【分

    20、析】由题意取 AB 的中点 E,连接 DE,CE,因为 BCACBDAD3,所以 CE AB,DEAB,DECEE, 所以 AB面 CDE,且 DECE,取 CD 的中点,连接 EP,则 EPCD,再由体积可得 AB 的值,进而求出底面外接圆的半径,及 D 到底面的高,由题意求出外接球的半径,进 而求出外接球的表面积 解:取 AB 的中点 E,连接 DE,CE,因为 BCACBDAD3,所以 CEAB,DE AB,DECEE, 所以 AB面 CDE,且 DECE,取 CD 的中点,连接 EP,则 EPCD, 所以 VABCD AB SCDE AB AB AB AB , 因为 VABCD , 所

    21、以 AB ,因为 AB2 , 所以解得 AB2;AE1,DECE 2 , 所以 sinACE ,所以 sinACB2sinACE cosACE2 , 由题意可得 D 在底面的投影在中线 CE 所在的直线上,设为 F,设 DFh, 设底面 ABC 的外接圆的半径为 r,设圆心为 O,2r ,所以 r , OECEr2 , VABCD SABC h AC 2 sinACB h h,解得 h , 所以 EF , 所以 OFEF+OE , 过 O作 OO面 ABC 的垂线,作 OHDF 于 H,则四边形 HFOO 为矩形, 设外接球的半径为 R,取 OAOBODR, 在三角形 OHD 中,OD2OH2

    22、+(DFFH)2,即 R2OF2+( OO) 2( ) 2+( OO) 2, 在三角形 OO中,OC2CO2+OO2r2+OO2即 R2( )2+OO2, 由可得 R2 , 所以外接球的表面积 S4R24 , 故选:B 12若函数 f(x)在其图象上存在不同的两点 A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足条件: |x1x2+y1y2| 的最大值为 0,则称 f(x)为“柯西函数”, 则下列函数: f(x)x (x0); f(x)lnx(0x3); f(x)cosx; f(x)x21 其中为“柯西函数”的个数为( ) A1 B2 C3 D4 【分析】由“柯西函数”得函数 f(x)在其图象上

    23、存在不同的两点 A(x1,y1),B(x2, y2由),使得 、 共线,即存在点 A、B 与点 O 共线,分别判断即可 解:对由柯西不等式得:对任意实数 x1,y1,x2,y2:|x1x2+y1y2| 0 恒成立(当且仅当存在实数 k,使得 x1kx2,y1ky2取等号), 若函数 f(x)在其图象上存在不同的两点 A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足条件: |x1x2+y1y2| 的最大值为 0, 则函数 f(x)在其图象上存在不同的两点 A(x1,y1),B(x2,y2), 使得 、 共线,即存在点 A、B 与点 O 共线 设 AB 的方程为 ykx,由于 ykx(x0)与 f(

    24、x)x 只有一个交点,故不是柯 西函数, 对于,由于 y 与 f(x)lnx(0x3)有两个交点,故是柯西函数; 对于,取 A(0,0),点 B 任意,均满足定义,故是柯西函数 对于取 A(1,0),B(1,0),均满足定义,故是柯西函数 故选:C 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13曲线 f(x)x2ex在点(1,f(1)处的切线方程为 xey0 【分析】先求出函数的导数,然后再求出切点处函数值、导数值,最后代入点斜式得切 线方程 解:f(x)2xexx2ex, , 故切线为: ,即 xey0 故答案为:xey0 14若双曲线 C: 1(a0,b0)的两个顶点将

    25、焦距三等分,则双曲线 C 的渐 近线方程为 y 【分析】由题意可得 2a ,即 3ac,再由 a,b,c 之间的关系求出 a,b 的关系, 进而求出渐近线 y x,即求出渐近线的方程 解:双曲线 C: 1(a0,b0)的两个顶点将焦距三等分可得:2a , 即 3ac, 所以 9a2c2a2+b2,即 8a2b2, 所以渐近线的方程为:y x x, 故答案为:y 15“新冠肺炎”爆发后,某医院由甲、乙、丙、丁、戊 5 位医生组成的专家组到某市参加 抗击疫情五位医生去乘高铁,按规定每位乘客在进站前都需要安检,当时只有 3 个安 检口开通,且没有其他旅客进行安检.5 位医生分别从 3 个安检口进行安

    26、检,每个安检口 都有医生去安检且不同的安检顺序视为不同的安检,则甲、乙 2 位医生不在同一个安检 口进行安检的概率为 【分析】基本事件总数 n 540,甲、乙 2 位医生在同一个安检口进行安检包含 的基本事件个数 m 32135,由此能求出甲、乙 2 位医生不在同一个安检口 进行安检的概率 解:某医院由甲、乙、丙、丁、戊 5 位医生组成的专家组到某市参加抗击疫情 五位医生去乘高铁,按规定每位乘客在进站前都需要安检, 当时只有 3 个安检口开通,且没有其他旅客进行安检.5 位医生分别从 3 个安检口进行安 检, 每个安检口都有医生去安检且不同的安检顺序视为不同的安检, 基本事件总数 n 540,

    27、 甲、乙 2 位医生在同一个安检口进行安检包含的基本事件个数 m 32135, 则甲、乙 2 位医生不在同一个安检口进行安检的概率为 P1 1 故答案为: 16直线 l:xty+10(t0)和抛物线 C:y24x 相交于不同两点 A、B,设 AB 的中点 为 M,抛物线 C 的焦点为 F,以 MF 为直径的圆与直线 l 相交另一点为 N,且满足 |MN| |NF|,则直线 l 的方程为 x y+10 【分析】求得抛物线的焦点 F,联立直线 l 和抛物线的方程,运用韦达定理和中点坐标公 式可得 M 的坐标,设 N(ty01,y0),由 NFl,结合两直线垂直的条件,可得 t,y0 的关系式,再由

    28、两点的距离公式,化简整理可得 t,可得所求直线方程 解:y24x 的焦点为 F(1,0),联立 xty+10 与 y24x,可得 y24ty+40, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 可得 y1+y24t,则中点 M(2t21,2t), 设 N(ty01,y0),由 NFl,可得 t,即有 y0 , 由|MN| |NF|可得|MN|227NF|2, 即为(2t2ty0)2+(2ty0)227(ty02)2+y02, 注意结合 t2y02ty0, 化为 t4t22714ty02714t ,即为 t 627,解得 t , 可得直线 l 的方程为 x y+10 故答案为:x y+10 三、解

    29、答题:共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答(一)必考题:共 60 分. 17已知 Sn为数列an的前 n 项和,且 Sn+22an,nN* (1)求数列an的通项公式; (2)令 bn ,设数列bn的前项和为 Tn,若 Tn ,求 n 的最小值 【分析】 (1)由数列an的前 n 项和与项满足 Sn+22an,nN*消掉和 Sn可得数列an 是等比数列,进而求数列an的通项公式 (2)由(1)得数列bn的通项公式,列项求和算出 Tn 1 ,再由若 T n , 解整数不等式可求 n 的

    30、最小值 解:(1)当 n1 时,S1+22a1,解得 a12, 当 n2 时,Sn1+22an1,Sn+2(Sn1+2)2an2an1,即 an2an1 2,则an是以 2 为首项,2 为公比的等比数列 故 an2n (2):由(1)可得 bn Tnb1+b2+bn (1 ) + ( ) + ( ) 1 , 又 Tn ,即 1 , 2 n+12021,由于 nN,n10, 故 n 的最小值为 10 18 在四棱锥 PABCD 中, 平面 PAC平面 ABCD, 且有 ABDC, ACCDDA AB (1)证明:BCPA; (2)若 PAPCAC,求平面 PAD 与平面 PBC 所成的锐二面角的

    31、余弦值 【分析】(1) 设AB2a, 则ACCDDAa, 推导出 , 由余弦定理得BC , 由勾股定理得 BCAC,从而 BC平面 PAC,由此能证明 BCPA (2) 设 AC2, 取 AC 中点 O, 连结 PO, 则 POAC, PO , 推导出 PO平面 ABCD, 以 C 为原点,CA 为 x 轴,CB 为 y 轴,过 C 作平面 ABCD 的垂线为 z 轴,建立空间直角 坐标系,利用向量法能求出平面 PAD 与平面 PBC 所成的锐二面角的余弦值 解:(1)证明:设 AB2a,则 ACCDDAa, ACD 是等边三角形, , ABDC, , 由余弦定理得: 3a2,BC , BC2

    32、+AC2AB2, ,BCAC, 平面 PAC平面 ABCDAC,BC平面 ABCD, BC平面 PAC, PA平面 PAC,BCPA (2)解:设 AC2,取 AC 中点 O,连结 PO,则 POAC,PO , 平面 PAC平面 ABCD,PO平面 ABCD, 以 C 为原点,CA 为 x 轴,CB 为 y 轴,过 C 作平面 ABCD 的垂线为 z 轴,建立空间直角 坐标系, 则 C(0,0,0),B(0,2 ,0),P(1,0, ),A(2,0,0),D(1, ,0), (1,0, ), (1, ,0), (1,0, ), (0,2 ,0), 设平面 PAD 的法向量 (x,y,z), 则

    33、 ,取 z1,得 ( , , ), 设平面 PBC 的法向量 (a,b,c), 则 ,取 a ,得 ( , , ), 设平面 PAD 与平面 PBC 所成的锐二面角为 则 cos 平面 PAD 与平面 PBC 所成的锐二面角的余弦值为 19为评估设备 M 生产某种零件的性能,从设备 M 生产零件的流水线上随机抽取 100 件零 件作为样本,测量其直径后,整理得到如表: 直径 /mm 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计 件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100 经计算,样本零件直径的平均值 65,标准差2.2

    34、,以频率值作为概率的估计值 (1)为评判一台设备的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其直径为 x,并 根据以下不等式进行评判 (P 表示相应时间的概率) : P (X+) 0.6826, P (2X+2) 0.9544, P (3X+3) 0.9974 评判规则为: 若同时满足上述三个不等式,则设备等级为甲;仅满足其中两个,则等级为乙,若仅满 足其中一个,则等级为丙;若全部不满足,则等级为丁试判断设备 M 的性能等级 (2)将直径小于 2或直径大于 +2的零件认为是次品 从设备 M 的生产流水线上任意抽取 2 件零件,求其中次品个数的数学期望 E(Y); 从样本中任意抽取 2 件零件,

    35、求其中次品个数的数学期望 E(Z) 【分析】()利用条件,可得设备 M 的数据仅满足一个不等式,即可得出结论; ()易知样本中次品共 6 件,可估计设备 M 生产零件的次品率为 0.06 ()由题意可知 YB(2, ),于是 E(Y)2 ; ()确定 Z 的取值,求出相应的概率,即可求出其中次品个数 Z 的数学期望 E(Z) 解:()P(X+)P(62.8X67.2)0.80.6826,P(2X +2)P(60.6X69.4)0.940.9544,P(3X+3)P(58.4X 71.6)0.980.9974, 因为设备 M 的数据仅满足一个不等式,故其性能等级为丙; ()易知样本中次品共 6

    36、件,可估计设备 M 生产零件的次品率为 0.06 ()由题意可知 YB(2, ),于是 E(Y)2 ; ()由题意可知 Z 的分布列为 Z 0 1 2 P 故 E(Z)0 1 2 20已知椭圆 C 的中心在坐标原点 O,其右焦点为 F(1,0),以坐标原点 O 为圆心,椭 圆短半轴长为半径的圆与直线 xy 0 的相切 (1)求椭圆 C 的方程; (2)经过点 F 的直线 l1,l2分别交椭圆 C 于 A、B 及 C、D 四点,且 l1l2,探究:是否 存在常数 ,使|AB|+|CD|AB| |CD|恒成立 【分析】(1)根据点到直线的距离可以求出短半轴长 b,因为焦点已知,所以 c1,根 据

    37、a2b2+c2可以求得 a2,从而确定椭圆的方程; (2)分两类,l1,l2中一条斜率不存在,l1,l2的斜率存在且不为 0,分别来探索常 数 的值,其中在情形中,需要设 l1:xty+1(t0), : ,然后联立 直线方程和椭圆的方程, 消去 x 得到关于 y 的方程, 再利用弦长公式分别求出|AB|和|CD|, 并代入到 化简即可得解 解:(1)设所求的椭圆方程为 , 点 O 到直线 xy 0 的距离为 , 又 c1,a2b2+c24, 故所求的椭圆 C 的方程为 (2)假设存在常数 ,使|AB|+|CD|AB| |CD|恒成立,则 , 当 l1, l2中一条斜率不存在时, 可知|AB|,

    38、 |CD|其中一个长为 2a4, 另一个为 , 此时 , 当 l1,l2的斜率存在且不为 0 时,不妨设 l1:xty+1(t0), : , A(ty1+1,y1),B(ty2+1), 联立 得(3t 2+4)y2+6ty90, , ,36t 24(3t2+4) (9)144(t2+1)0, , 用 代替上式中的 t 可得, , , 综上所述,存在常数 使得|AB|+|CD|AB| |CD|恒成立 21已知函数 f(x) x 2+ax+lnx(a一、选择题) (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)若 f(x)存在两个极值点 x1,x2且|x1x2 | ,求|f(x1)f(x2)|的最大值

    39、【分析】(1)求导可得 ,再分 , 讨论 f(x)与 0 的大 小关系,进而得出单调性情况; (2)依题意,x1+x2a,x1x21,则 ,构造函 数 ,利用导数求其最大值即可 解: (1) ,设 (x)x 2+ax+1,则 (0)10, 对称轴为 , 当 ,即 a0 时,在(0,+)上,f(x)0,f(x)是增函数; 当 ,即 a0 时,a240 得 a2, (i)当2a0 时,在(0,+)上,f(x)0,f(x)是增函数; (ii)当 a2 时,令 f(x)0 得 , 在 , , , 上,f(x)0,f(x)是增函数; 在 , 上,f(x)0,f(x)是减函数; (2)由(1)知,f(x)

    40、得两个极值点 x1,x2满足 x2+ax+10,故 x1+x2a,x1x21, 不妨设 0x11x2,则 f(x)在(x1,x2)上是减函数, , 令 ,设函数 ,则 , h(t)在(1,+)上为增函数, 由 ,则 ,解得 1x22,故 , , |f(x1)f(x2)|的最大值为 (二)选考题:共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做,则按所做的第 一题记分选修 4-4:坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为: ( 为参数),已知 直线 l1:x y0,直线 l2: xy0 以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极 坐标系 (1)求曲

    41、线 C 以及直线 l1,l2的极坐标方程; (2)若直线 l1与曲线 C 分别交于 O、A 两点,直线 l2与曲线 C 分别交于 O、B 两点,求 AOB 的面积 【分析】 (1) 直接利用转换关系, 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 (2)利用极径的应用和三角形的面积公式的应用求出结果 解:(1)曲线 C 的参数方程为: ( 为参数),转换为直角坐标方程为 (x3)2+y29 已知直线 l1:x y0,转换为极坐标方程为 ,直线 l2: xy0 转换为直角坐 标方程为 (2)曲线 C 的极坐标方程为 6cos, 所以 ,解得 ,所以 A(3 , ) 同理 ,解得 ,所以 B(3

    42、, ), 所以 选修 4-5:不等式选讲 23设函数 f(x)|x+a| (1)当 a2 时,求不等式 f(x) 的解集; (2)若 0,f(1) ,f(ba2) ,证明|2a+b4| 【分析】(1)将 a2 代入,可得 ,再分别求解取交集即可; (2)利用已知条件,结合绝对值不等式的性质可得|2a+b4|2a2+b2|2|a1|+|b 2| ,由此得证 解:(1)当 a2 时,f(x)|x2|,则 即为 , 等价于 ,解得 或 , 不等式的解集为 或 ; (2)证明:由已知,0,f(1)|a1| ,f(ba2)|b2| , 则|2a+b4|2a2+b2|2|a1|+|b2| , |2a+b4|


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