1、2020 年高考（理科）数学模拟试卷年高考（理科）数学模拟试卷 一、选择题. 1设全集为 R，集合 Mx|x24，N0，1，2，则 MN（ ） A0，1 B0，1，2 C（0，2） D（2，2） 2已知复数 z 满足 z i34i（i 为虚数单位），则 z（ ） A34i B4+3i C3+4i D43i 3 某几何体的三视图如图所示 （图中小正方形网格的边长为 1） ， 则该几何体的体积是 （ ） A8 B6 C4 D2 4执行如图所示的程序框图，输入的 n 值为 4，则 S（ ） A2 B6 C14 D30 5已知 a0b，则下列不等式一定成立的是（ ） Aa2ab B|a|b| C D（
2、 ） a（ ） b 6设 x，y 满足 ，则 zx+y（ ） A有最小值 2，最大值 3 B有最小值 2，无最大值 C有最大值 3，无最小值 D既无最小值，也无最大值 7已知抛物线 y24x 的焦点为 F，过点 F 和抛物线上一点 M（2，2 ）的直线 l 交抛物线 于另一点 N，则|NF|：|FM|等于（ ） A1：2 B1：3 C1： D1： 8袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“和”、“谐”、“校”、“园” 四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“和”、“谐”两个字都摸到就停止摸 球，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率利用电脑随机产生 1 到 4 之 间取整数
3、值的随机数，分别用 1，2，3，4 代表“和”、“谐”、“校”、“园”这四个 字， 以每三个随机数为一组， 表示摸球三次的结果， 经随机模拟产生了以下 18 组随机数： 343 432 341 342 234 142 243 331 112 342 241 244 431 233 214 344 142 134 由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（ ） A B C D 9设函数 f（x）sin（x+）cos（x+）（0，| ）的最小正周期为 ，且 f （x）f（x），则（ ） Af（x）在（0， ）上单调递增 Bf（x）在（ ， ）上单调递减 Cf（x）在（0， ）上单调递减 Df（x
4、）在（ ， ）上单调递增 10将函数 yex（e 为自然对数的底数）的图象绕坐标原点 O 顺时针旋转角 后第一次与 x 轴相切，则角 满足的条件是（ ） Aesincos Bsinecos Cesin1 Decos1 11如图，已知双曲线 的左、右焦点分别为 F1，F2，过右焦点作平 行于一条渐近线的直线交双曲线于点 A，若AF1F2的内切圆半径为 ，则双曲线的离心 率为（ ） A B C D 12数列an满足 an+1+an11n+（1）n，且 0a61记数列an的前 n 项和为 Sn，则 当 Sn取最大值时 n 为（ ） A11 B12 C11 或 13 D12 或 13 二、填空题：本大
5、题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分. 13命题 p：x0（0，+），x02x0+2，则p 是 14已知向量 ， ， ， ， ， ，若 ，则 15已知三棱锥 ABCD 的棱长均为 6，其内有 n 个小球，球 O1与三棱锥 ABCD 的四个 面都相切，球 O2与三棱锥 ABCD 的三个面和球 O1都相切，如此类推，球 On与三 棱锥 ABCD 的三个面和球 On1都相切 （n2， 且 nN*） ， 则球 O1的体积等于 ， 球 On的表面积等于 16关于函数 （1）x2 是 f（x）的极小值点； （2）函数 yf（x）x 有且只有 1 个零点； （3） 恒成立； （4）设函数 g（x）xf
6、（x）+x2+4，若存在区间 ， ， ，使 g（x）在a， b上的值域是k（a+2），k（b+2），则 ， 上述说法正确的序号为 三、解答题：共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必 考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题： 共 60 分 17已知函数 f（x）2sinx cosx+2 cos2x （1）求函数 f（x）的最小正周期和单调减区间； （2）已知ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，其中 a7，若锐角 A 满 足 f（ ） ，且 sinB+sinC ，求 bc 的值 18如
7、图，四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，ACD 是直角三角形，ABDCBD， ABBD （1）证明：平面 ACD平面 ABC； （2）过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分， 求二面角 DAEC 的余弦值 19已知椭圆 C： 1（ab0）的离心率为 ，且经过点（1， ） （）求椭圆 C 的方程； （）过点（ ，0）作直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A，B，试问在 x 轴上是否存在 定点 Q，使得直线 QA 与直线 QB 恰关于 x 轴对称？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存 在，说明理由 20已知函数 f（x） x 2+aln（
8、1x），a 为常数 （）讨论函数 f（x）的单调性； （）若函数 f（x）有两个极值点 x1，x2，且 x1x2，求证：f（x2）x1 21冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重 急性呼吸综合征 （SARS） 等较严重疾病 而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒 （nCoV） 是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸 道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等在较严重病例中感染可导致肺炎、严重急性 呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡 某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有 n（nN*）份血液样本，有以 下两种检验方式： 方式
9、一：逐份检验，则需要检验 n 次 方式二：混合检验，将其中 k（kN*且 k2）份血液样本分别取样混合在一起检验，若 检验结果为阴性，检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这 k 份血液究竟哪 几份为阳性，就要对这 k 份再逐份检验，此时这 k 份血液的检验次数总共为 k+1 假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每 份样本是阳性结果的概率为 p（0p1）现取其中 k（kN*且 k2）份血液样本，记 采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为 1，采用混合检验方式，样本需要检验的 总次数为 2 （1）若 E（1）E（2），试求关于 k 的函数关系式 Pf
10、（k）； （2）若 P 与干扰素计量 xn相关，其中 x1，x2，xn（n2）是不同的正实数，满足 x1 1 且nN*（n2）都有 e 成立 （i）求证：数列xn为等比数列； （ii）当 P1 时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐 份检验的总次数的期望值更少，求 k 的最大值 （参考数据：ln41.3863，ln51.6094） （二）选考题：共 10 分，请考生从第 22、23 题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将答题卡上 所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行 评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.（本小题满分 10 分）选
11、修 4-4：坐标系与参数方 程 22已知曲线 C1的极坐标方程为 4cos，以极点 O 为直角坐标原点，以极轴为 x 轴的正 半轴建立平面直角坐标系 xOy，将曲线 C1向左平移 2 个单位长度，再将得到的曲线上的 每个点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标保持不变，得到曲线 C 2 （）求曲线 C2的直角坐标方程； （）已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数），点 Q 为曲线 C2 上的动点，求 点 Q 到直线 l 距离的最大值 选修 4-5：不等式选讲 23设函数 f（x）|x+1| （）求不等式 f（x）5f（x3）的解集； （） 已知关于 x 的不等式 2f （x） +|x+a|x+4 在
12、1， 1上有解， 求实数 a 的取值范围 参考答案 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1设全集为 R，集合 Mx|x24，N0，1，2，则 MN（ ） A0，1 B0，1，2 C（0，2） D（2，2） 【分析】可解出 M，然后进行交集的运算即可 解：Mx|2x2，N0，1，2； MN0，1 故选：A 【点评】考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算 2已知复数 z 满足 z i34i（i 为虚数单位），则 z（ ） A34i B4+3i C3+4i D43i 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除
13、运算化简得答案， 解：由 z i34i，得 z 故选：D 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题 3 某几何体的三视图如图所示 （图中小正方形网格的边长为 1） ， 则该几何体的体积是 （ ） A8 B6 C4 D2 【分析】利用已知条件，画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即 可 解：由题意可知几何体的直观图如图：是正方体的一部分，正方体的棱长为：2，是四棱 柱，底面是直角梯形，上底为：1，下底为 2，高为 2，棱柱的高为 2， 几何体的体积为：V 6 故选：B 【点评】本题考查几何体的直观图与三视图的关系，考查空间想象能力以及计算能力 4执行如图所示的程序框图，输
14、入的 n 值为 4，则 S（ ） A2 B6 C14 D30 【分析】根据程序框图，进行模拟计算即可 解：当 n4 时，第一次循环，14 成立，则 S2，k1+12， 第二次循环，24 成立，S2+222+46，k2+13， 第三次循环，34 成立，S6+236+814，k3+14， 第四次循环，44 不成立，S 输出 S14， 故选：C 【点评】本题主要考查程序框图是识别和应用，利用程序框图进行模拟计算是解决本题 的关键 5已知 a0b，则下列不等式一定成立的是（ ） Aa2ab B|a|b| C D（ ） a（ ） b 【分析】由不等式的基本性质逐一检验即可得解 解：a2+aba（a+b）
15、，符合无法确定，故 A 错误， 取 a2，b1，则有|a|b|，故 B 错误， ，故 ，故 C 正确， 取 a1，b2，则（ ） a ，（ ） b4，又 ，即（ ） a（ ） b，故 D 错误， 故选：C 【点评】本题考查了不等式的基本性质，属简单题 6设 x，y 满足 ，则 zx+y（ ） A有最小值 2，最大值 3 B有最小值 2，无最大值 C有最大值 3，无最小值 D既无最小值，也无最大值 【分析】本题考查的知识点简单线性规划问题，我们先在坐标系中画出满足约束条件 对应的平面区域，根据目标函数 zx+y 及直线 2x+y4 的斜率的关系，即可 得到结论 【解答】解析：如图作出不等式组表示
16、 的可行域，如下图所示： 由于 zx+y 的斜率大于 2x+y4 的斜率， 因此当 zx+y 过点（2，0）时，z 有最小值， 但 z 没有最大值 故选：B 【点评】目判断标函数的有元最优解，处理方法一般是：将目标函数的解析式进行变 形，化成斜截式分析 Z 与截距的关系，是符号相同，还是相反根据分析结果，结合 图形做出结论根据目标函数斜率与边界线斜率之间的关系分析，即可得到答案 7已知抛物线 y24x 的焦点为 F，过点 F 和抛物线上一点 M（2，2 ）的直线 l 交抛物线 于另一点 N，则|NF|：|FM|等于（ ） A1：2 B1：3 C1： D1： 【分析】计算出|MF|，设直线 l
17、的倾斜角为锐角 ，由焦半径公式可求出 cos 的值，再 利用焦半径公式可得出|NF|的值，于是可得出答案 解：抛物线 y24x 的焦点 F 的坐标为（1，0），由于点 ， 在抛物线上，易知直 线 l 的倾斜角 为锐角， |MF|2+13，另一方面， ，得 ， 由焦半径公式得 因此， ： ： ： 故选：A 【点评】本题考查抛物线的定义，灵活利用焦半径公式，能起到简化计算的目的，考查 计算能力，属于中等题 8袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“和”、“谐”、“校”、“园” 四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“和”、“谐”两个字都摸到就停止摸 球，用随机模拟的方法估计恰好在第三次
18、停止摸球的概率利用电脑随机产生 1 到 4 之 间取整数值的随机数，分别用 1，2，3，4 代表“和”、“谐”、“校”、“园”这四个 字， 以每三个随机数为一组， 表示摸球三次的结果， 经随机模拟产生了以下 18 组随机数： 343 432 341 342 234 142 243 331 112 342 241 244 431 233 214 344 142 134 由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（ ） A B C D 【分析】随机模拟产生了 18 组随机数，其中第三次就停止摸球的随机数有 4 个，由此可 以估计，恰好第三次就停止摸球的概率 解：随机模拟产生了以下 18 组随机数：
19、 343 432 341 342 234 142 243 331 112 342 241 244 431 233 214 344 142 134 其中第三次就停止摸球的随机数有：142，112，241，142，共 4 个， 由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为 p 故选：C 【点评】本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数 与方程思想，是基础题 9设函数 f（x）sin（x+）cos（x+）（0，| ）的最小正周期为 ，且 f （x）f（x），则（ ） Af（x）在（0， ）上单调递增 Bf（x）在（ ， ）上单调递减 Cf（x）在（0， ）上单调递减 Df（
20、x）在（ ， ）上单调递增 【分析】由题意利用两角和的正弦公式画简函数的解析式，根据三角函数的周期性、奇 偶性求得 和 ，再利用单调性得出结论 解：函数 f（x）sin（x+）cos（x+） sin（x+ ）（0，| ） 的最小正周期为 ，2， f（x） sin（2x+ ） f（x）f（x），f（x）为偶函数， ，f（x） cos2x 故 f（x）在（0， ）上单调递增，故 A 正确，C 不正确； f（x）在（ ， ）上没有单调性，故 B、D 不正确， 故选：A 【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，三角函数的周期性、奇偶性，单调性，属于 中档题 10将函数 yex（e 为自然对数的底数）的图
21、象绕坐标原点 O 顺时针旋转角 后第一次与 x 轴相切，则角 满足的条件是（ ） Aesincos Bsinecos Cesin1 Decos1 【分析】 设yex的图象的切线的斜率为k， 切点坐标为 （x0， y0） ， 由题意可得 k ， 求得 x01再由 tan k，得出结论 解：设 yf（x）ex的图象的切线的斜率为 k， 设切点坐标为（x0，y0）， 则由题意可得，切线的斜率为 k ， 再由导数的几何意义可得 kf（x0）e ， e ， x01 再由 的意义可得，yex的图象的切线顺时针旋转角 后落在了 x 轴上， 故有 tan ke， sinecos， 故选：B 【点评】 本题主要
22、考查函数的导数的意义及其应用， 直线的斜率公式， 函数图象的变化， 属于基础题 11如图，已知双曲线 的左、右焦点分别为 F1，F2，过右焦点作平 行于一条渐近线的直线交双曲线于点 A，若AF1F2的内切圆半径为 ，则双曲线的离心 率为（ ） A B C D 【分析】设双曲线的左、右焦点分别为 F1（c，0），F2（c，0），设双曲线的一条渐 近线方程为 y x，可得直线 AF2 的方程为 y （xc），联立双曲线的方程可得 A 的 坐标，设|AF1|m，|AF2|n，运用三角形的等积法，以及双曲线的定义，结合锐角三角 函数的定义，化简变形可得 a，c 的方程，结合离心率公式可得所求值 解：设
23、双曲线的左、右焦点分别为 F1（c，0），F2（c，0）， 设双曲线的一条渐近线方程为 y x， 可得直线 AF2的方程为 y （xc）， 联立双曲线 ，可得 A（ ， ）， 设|AF1|m，|AF2|n， 由三角形的面积的等积法可得 （m+n+2c） 2c ， 化简可得 m+n 4a2c 由双曲线的定义可得 mn2a 在三角形 AF1F2中 nsin ，（ 为直线 AF2的倾斜角）， 由 tan ，sin 2+cos21，可得 sin ， 可得 n ， 由化简可得 3c22ac5a20， 即为（3c5a）（c+a）0， 可得 3c5a，则 e 故选：C 【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性
24、质，主要是渐近线方程和离心率，考查三角 形的等积法，以及化简变形能力和运算能力，属于难题 12数列an满足 an+1+an11n+（1）n，且 0a61记数列an的前 n 项和为 Sn，则 当 Sn取最大值时 n 为（ ） A11 B12 C11 或 13 D12 或 13 【分析】设 a1t，由数列的递推式计算数列的前几项可得数列an的奇数项为首项为 t， 公差为 1 的等差数列；偶数项为首项为 9t，公差为3 的等差数列，再由数列的求和 公式计算可得所求 解：设 a1t，由 an+1+an11n+（1）n， 可得 a29t，a31+t，a46t，a52+t，a63t，a73+t，a8t，
25、0a61 可得 03t1，可得 2t3， 则数列an的奇数项为首项为 t，公差为 1 的等差数列；偶数项为首项为 9t，公差为 3 的等差数列， 且每隔两项的和为 9，7，5，3，1，1，为递减， 可得 S1095+7+5+3+125， S1125+a1130+t， S1225124， S1324+a1324+6+t 30+t，S1424321， 则当 Sn取最大值时 n11 或 13 故选：C 【点评】本题考查等差数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列的求和的最 值的求法，注意运用分析法，考查运算能力，属于难题 二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分. 13命题
26、p：x0（0，+），x02x0+2，则p 是 x（0，+），x2x+2 【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可 解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题 p：x0（0，+），x02x0+2，则 p 是x（0，+），x2x+2 故答案为：x（0，+），x2x+2 【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查 14已知向量 ， ， ， ， ， ，若 ，则 【分析】根据 可得出 ，从而求出 x1，从而可求出向量 的坐标， 进而可求出 解： ； ； x1； ， ； ， ； 故答案为： 【点评】考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法和数量积的运算，根据向量坐
27、标求 向量长度的方法 15已知三棱锥 ABCD 的棱长均为 6，其内有 n 个小球，球 O1与三棱锥 ABCD 的四个 面都相切，球 O2与三棱锥 ABCD 的三个面和球 O1都相切，如此类推，球 On与三 棱锥 ABCD 的三个面和球 On1都相切 （n2， 且 nN*） ， 则球 O1的体积等于 ， 球 On的表面积等于 【分析】 利用平面几何知识， 数形结合推出这些球的半径满足数列rn是以 r1 为首项， 公比为 的等比数列，代入计算即可 解：如图，设球 O1半径为 r1，球 On的半径为 rn，E 为 CD 中点，球 O1与平面 ACD、 BCD 切于 F、G，球 O2与平面 ACD
28、切于 H， 作截面 ABE，设正四面体 ABCD 的棱长为 由平面几何知识可得 ，解得 r1 ， 同时 ，解得 r 2 a， 把 a6 代入的 r1 ，r2 ， 由平面几何知识可得数列rn是以 r1 为首项，公比为 的等比数列， 所以 rn ，故球 O1的体积 r 1 3 （ ）3 ； 球 On的表面积4rn24 2 ， 故答案为 ； 【点评】本题考查了正四面体，球体积性质及其表面积，考查信息提取能力，逻辑推理 能力，空间想象能力，计算能力，属于中档偏难题 16关于函数 （1）x2 是 f（x）的极小值点； （2）函数 yf（x）x 有且只有 1 个零点； （3） 恒成立； （4）设函数 g（
29、x）xf（x）+x2+4，若存在区间 ， ， ，使 g（x）在a， b上的值域是k（a+2），k（b+2），则 ， 上述说法正确的序号为 （1）（2）（4） 【分析】对于（1），对函数 f（x）求导，得出 f（x）的单调性，可判断正确； 对于（2），令 m（x）f（x）x，求导后得出 m（x）的单调性，结合零点存在性定理， 可判断正确； 对于（3），令 ，容易判断 h（4）0，进而可判断（3）错误； 对于（4），求得函数 g（x），并求导得 g（x）lnx+2x1，分析可知 g（x） 0，从而 g（x）在 ， 上单调递增，问题转化为 在 ， 上至少有两个 不同的正根，设 ，利用导数研究可知函数
30、 G（x）在 ， 上单调递减，在（1，+）上单调递增，从而 ，由此可判断（4） 正确 解：函数 f（x）的定义域为（0，+）， ， 令 f（x）0，解得 x2，令 f（x）0，解得 0x2， 故函数 f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增， x2 是 f（x）的极小值点，故（1）正确； 设 ， ， 函数 m（x）在（0，+）上为减函数， 又 m（1）10，m（2）1+ln22ln210， 由零点存在性定理可知，函数 m（x）有且仅有一个零点，故（2）正确； 设 ，则 ，即存在 x（0，+），使得 ， 故（3）错误； 函数 g（x）xf（x）+x2+4xlnx+x2+2，则 g（
31、x）lnx+2x1， 令 ， ， 易知函数 n（x）在 ， 上单调递增， ，即 g（x）0， g（x）在 ， 上单调递增，故 g（x）在区间 ， ， 上单调递增， ，则 g（x）k（x+2）在 ， 上至少有两个不同的 正根， 即 在 ， 上至少有两个不同的正根， 设 ，则 ， 令 ，则 ， 故函数 F（x）在 ， 上单调递增，且 ， ， 当 ， 时，F（x）0，当 x（1，+）时，F（x）0， 函数 G（x）在 ， 上单调递减，在（1，+）上单调递增， ，而 ， ， ，故（4）正确 故答案为：（1）（2）（4） 【点评】本题考查运用导数研究函数的单调性，极值，零点，交点个数，不等式的恒成 立等
32、综合问题，在解决这些综合问题时常常需合理地构造新函数，并对其求导，得出导 函数的正负，从而得出所构造函数的单调性，继而得出函数的极值，最值等，再解决不 等式的恒成立，函数的零点个数，函数图象的交点个数问题，属于难题 三、解答题：共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必 考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题： 共 60 分 17已知函数 f（x）2sinx cosx+2 cos2x （1）求函数 f（x）的最小正周期和单调减区间； （2）已知ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，其中
33、a7，若锐角 A 满 足 f（ ） ，且 sinB+sinC ，求 bc 的值 【分析】（1）f（x）解析式利用二倍角正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的 正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出 的值，代入周期公式求出最小正周期，由 正弦函数的单调性确定出 f（x）的单调递减区间即可； （2）由 f（x）解析式，以及 f（ ） ，求出 A 的度数，将 sinB+sinC ，利 用正弦定理化简，求出 bc 的值即可 解：（1）f（x）2sinx cosx+2 cos2x sin2x cos2x2sin（2x ）， 2，f（x）的最小正周期 T， 2k 2x 2k ，kZ， f（x）的单调减
34、区间为k ，k ，kZ； （2）由 f（ ）2sin2（ ） 2sinA ，即 sinA ， A 为锐角，A ， 由正弦定理可得 2R ，sinB+sinC ， b+c 13， 由余弦定理可知：cosA ， 整理得：bc40 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握定理 是解本题的关键 18如图，四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，ACD 是直角三角形，ABDCBD， ABBD （1）证明：平面 ACD平面 ABC； （2）过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分， 求二面角 DAEC 的余弦值 【分析】
35、（1）如图所示，取 AC 的中点 O，连接 BO，ODABC 是等边三角形，可得 OBAC由已知可得：ABDCBD，ADCDACD 是直角三角形，可得 AC 是 斜边，ADC90可得 DO AC利用 DO 2+BO2AB2BD2可得 OBOD利 用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明 （2）设点 D，B 到平面 ACE 的距离分别为 hD，hE则 根据平面 AEC 把四面 体 ABCD 分成体积相等的两部分，可得 1，即点 E 是 BD 的中 点 建立如图所示的空间直角坐标系 不妨取 AB2 利用法向量的夹角公式即可得出 【解答】（1）证明：如图所示，取 AC 的中点 O，连接 BO，OD A
36、BC 是等边三角形，OBAC ABD 与CBD 中，ABBDBC，ABDCBD， ABDCBD，ADCD ACD 是直角三角形， AC 是斜边，ADC90 DO AC DO2+BO2AB2BD2 BOD90 OBOD 又 DOACO，OB平面 ACD 又 OB 平面 ABC， 平面 ACD平面 ABC （2）解：设点 D，B 到平面 ACE 的距离分别为 hD，hE则 平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分， 1 点 E 是 BD 的中点 建立如图所示的空间直角坐标系不妨取 AB2 则 O（0，0，0），A（1，0，0），C（1，0，0），D（0，0，1），B（0， ，0），
37、E ， ， （1，0，1）， ， ， ， （2，0，0） 设平面 ADE 的法向量为 （x，y，z），则 ，即 ，取 ， ， 同理可得：平面 ACE 的法向量为 （0，1， ） cos ， 二面角 DAEC 的余弦值为 【点评】本题考查了空间位置关系、空间角、三棱锥的体积计算公式、向量夹角公式， 考查了推理能力与计算能力，属于中档题 19已知椭圆 C： 1（ab0）的离心率为 ，且经过点（1， ） （）求椭圆 C 的方程； （）过点（ ，0）作直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A，B，试问在 x 轴上是否存在 定点 Q，使得直线 QA 与直线 QB 恰关于 x 轴对称？若存在，求出点 Q
38、的坐标；若不存 在，说明理由 【分析】（）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，列出方程求出 a，b，由此能 求出椭圆 C 的方程； （）假设存在点 Q（t，0）满足题设条件，分 AB 与 x 轴重合和 PQ 与 x 轴不重合两种 情况分类讨论，利用韦达定理化简计算能求出结果 解：（）由题意可得 ， ，又 a2b2c2， 解得 a24，b21， 所以，椭圆的方程为 （）存在 x 轴上在定点 Q，使得直线 QA 与直线 QB 恰关于 x 轴对称， 设直线 l 的方程为 x+my 0，与椭圆联立可得 设 A（x1，y1），B（x2，y2），假设在 x 轴上存在定点 Q（t，0） x1+x2 ，x
39、1x2 PN 与 QN 关于 x 轴对称，kAQ+kQB0， 即 y1 （x2t）+y2（x1t）0， ， ， t 在 x 轴上存在定点 Q（ ，0）使得直线 QA 与直线 QB 恰关于 x 轴对称 特别地，当直线 l 是 x 轴时，点 Q（ ，0）也使得直线 QA 与直线 QB 恰关于 x 轴对 称 综上，在 x 轴上存在定点 Q（ ，0）使得直线 QA 与直线 QB 恰关于 x 轴对称 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，考查椭 圆、韦达定理、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与 转化思想、函数与方程思想，是中档题 20已知函数
40、f（x） x 2+aln（1x），a 为常数 （）讨论函数 f（x）的单调性； （）若函数 f（x）有两个极值点 x1，x2，且 x1x2，求证：f（x2）x1 【分析】（）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可； （）结合（）求出 0x1 ，求出 f（x2）x1 2x 1+x1（1x1）lnx1，设 g（x） x 22x+x（1x）lnx（0x ），根据函数的单调性证明即可 解：（）函数的定义域是（，1）， 由题意，f（x）x ， （i）若 a ，则x 2+xa0，于是 f（x）0， 当且仅当 a ，x 时，f（x）0， 故 f（x）在（，1）递减， （ii）若 0a
41、，由 f（x）0，得 x 或 x ， 故 f（x）在（， ）递减，在（ ， ）递增， 在（ ，+）递减， （iii）若 a0，则 x 1， 故 x（， ）时，f（x）0，当 x（ ，1）时，f（x）0， 故 f（x）在（， ）递减，在（ ，1）递增， 综上，当 a 时，函数 f（x）在（，1）递减， 若 0a ，f（x）在（， ）递减，在（ ， ）递增，在 （ ，+）递减， 若 a0，f（x）在（， ）递减，在（ ，1）递增； （）由（）知，f（x）有 2 个极值点，当且仅当 0a ， 由于 f（x）的 2 个极值点 x1，x2，满足x2+xa0， 故 x1+x21，x1 x2a，则 0x1
42、， 由于 f（x2）x1 aln（1x2）x1 2x 1+x1（1x1）lnx1， 设 g（x） x 22x+x（1x）lnx（0x ）， g（x）（12x）lnx1， 当 x1 时，（12x）lnx0，故 g（x）0， 故 g（x）在（0， ）递减，又 g（ ） ， 故 g（x）g（ ） ， 即 f（x2）x1 【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的由于以及分类讨论思想，转 化思想，是一道综合题 21冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重 急性呼吸综合征 （SARS） 等较严重疾病 而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒 （nCoV） 是以前
43、从未在人体中发现的冠状病毒新毒株人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸 道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等在较严重病例中感染可导致肺炎、严重急性 呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡 某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有 n（n一、选择题*）份血液样 本，有以下两种检验方式： 方式一：逐份检验，则需要检验 n 次 方式二：混合检验，将其中 k（kN*且 k2）份血液样本分别取样混合在一起检验，若 检验结果为阴性，检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这 k 份血液究竟哪 几份为阳性，就要对这 k 份再逐份检验，此时这 k 份血液的检验次数总共为 k+1 假设在接受检验的血液样本中，
44、每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每 份样本是阳性结果的概率为 p（0p1）现取其中 k（kN*且 k2）份血液样本，记 采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为 1，采用混合检验方式，样本需要检验的 总次数为 2 （1）若 E（1）E（2），试求关于 k 的函数关系式 Pf（k）； （2）若 P 与干扰素计量 xn相关，其中 x1，x2，xn（n2）是不同的正实数，满足 x1 1 且nN*（n2）都有 e 成立 （i）求证：数列xn为等比数列； （ii）当 P1 时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐 份检验的总次数的期望值更少，求 k 的最大值 （参考数据：ln41.3863，ln51.6094） 【分析】（1）由随机变量的概率公式和数学期望，计算可得所求函数 f（k）的解析式；
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