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    江苏省南通市2020年4月高考数学模拟试卷(含答案解析)

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    江苏省南通市2020年4月高考数学模拟试卷(含答案解析)

    1、2020 年高考数学(年高考数学(4 月份)模拟试卷月份)模拟试卷 一、填空题. 1设复数 z 满足(z+i)(2+i)5(i 为虚数单位),则 z 2设全集 U1,2,3,4,集合 A1,3,B2,3,则 BUA 3箱子中有形状、大小都相同的 3 只红球和 2 只白球,一次摸出 2 只球,则摸到的 2 球颜 色不同的概率为 4 某学校从高三年级共 800 名男生中随机抽取 50 名测量身高 据测量被测学生身高全部介 于 155cm 和 195cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组155,160)、第二组 160,165)、第八组190,195,按上述分组方法得到的频率分布直方图的一

    2、部分 如图所示 估计这所学校高三年级全体男生身高180cm以上 (含180cm) 的人数为 5阅读如图所示的程序框,若输入的 n 是 30,则输出的变量 S 的值是 6在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点在 x 轴上,若曲线 C 经过点 P(1,3),则其焦点到准线的距离为 7抛物线 y24x 的焦点到双曲线 1 渐近线的距离为 8已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 2,锐角为 60的菱形,侧棱 PA底面 ABCD,PA3,若点 M 是 BC 的中点,则三棱锥 MPAD 的体积为 9以抛物线 y24x 的焦点为焦点,以直线 yx 为渐近线的双曲线

    3、标准方程为 10一个圆锥的侧面积等于底面面积的 2 倍,若圆锥底面半径为 cm,则圆锥的体积是 cm3 11已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x0 时,f(x)2x+ln ,记 a nf(n5), 则数列an的前 8 项和为 12过曲线 yx (x0)上一点 P(x0,y0)处的切线分别与 x 轴,y 轴交于点 A,B,O 是坐标原点,若OAB 的面积为 ,则 x 0 13在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 O:x2+y21,O1:(x4)2+y24,动点 P 在直线 x yb0 上,过 P 分别作圆 O,O1的切线,且点分别为 A,B,若满足 PB2PA 的 点 P 有且只有两个

    4、,则实数 b 的取值范围是 14 已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数, 当 x0 时, f (x) (|xa|+|x2a|3|a|) 若 集合x|f(x1)f(x)0,xR,则实数 a 的取值范围为 二、解答题;本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15在ABC 中,三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 (sinBsinC,sinC sinA), (sinB+sinC,sinA),且 (1)求角 B 的大小; (2)若 bc cosA,ABC 的外接圆的半径为 1,求ABC 的面积 16如图在直

    5、四棱柱 ABCDA1B1C1D1中,E,F 分別 AB,BC 的中点,A1C1与 B1D1交于 点 O (1)求证:A1,C1,F,E 四点共面; (2)若底面 ABCD 是菱形,且 ODA1E,求证:OD平面 A1C1FE 17已知函数 f(x)x22ax+1 (1)若函数 g(x)logaf(x)+a(a0,a1)的定义域为 R,求实数 a 的取值范围; (2)当 x0 时,恒有不等式 lnx 成立,求实数 a 的取值范围 18(16 分)如图,墙上有一壁画,最高点 A 离地面 4 米,最低点 B 离地面 2 米观察者 从距离墙 x(x1)米,离地面高 a(1a2)米的 C 处观赏该壁画,

    6、设观赏视角ACB (1)若 a1.5,问:观察者离墙多远时,视角 最大? (2)若 tan ,当 a 变化时,求 x 的取值范围 19(16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆 (ab0)的离心率是 e, 定义直线 y 为椭圆的“类准线”,已知椭圆 C 的“类准线”方程为 y ,长轴 长为 4 (1)求椭圆 C 的方程; (2)点 P 在椭圆 C 的“类准线”上(但不在 y 轴上),过点 P 作圆 O:x2+y23 的切线 l,过点 O 且垂直于 OP 的直线 l 交于点 A,问点 A 是否在椭圆 C 上?证明你的结论 20(16 分)已知数列an的奇数项是公差为 d1的等差数列,偶数项

    7、是公差为 d2的等差数 列,Sn是数列an的前 n 项和,a11,a22 (1)若 S516,a4a5,求 a10; (2)已知 S1515a8,且对任意 nN*,有 anan+1恒成立,求证:数列an是等差数列; (3)若 d13d2(d10),且存在正整数 m、n(mn),使得 aman求当 d1最大时, 数列an的通项公式 选做题本题包括 21、22、23 三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若 多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.选修 4-2: 矩阵与变换(本小题满分 10 分) 21求矩阵 的特征值及对应的特征向量 选修 4-4:坐

    8、标系与参数方程(本小题满分 10 分) 22在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C: ( 为参数)以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴,建立坐标系,直线 l 的极坐标方程为 (cos sin)+40,求曲线 C 上的点到直线 l 的最大距离 选修 4-5:不等式选讲(本小题满分 0 分) 23设 x,y 均为正数,且 xy,求证: 必做题第 24 题、第 25 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤. 24如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1中,AC3,BC4,AB5,AA14 (1)设 ,异面直线 AC1与 CD 所成角的余

    9、弦值为 ,求 的值; (2)若点 D 是 AB 的中点,求二面角 DCB1B 的余弦值 25设 f(x,n)(1+x)n,nN* (1)求 f(x,6)的展开式中系数最大的项; (2)nN*时,化简 C 4n1+C 4n2+C 4n3+C 40+C 41; (3)求证:C 2C 3C nC n2n1 参考答案 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 上. 1设复数 z 满足(z+i)(2+i)5(i 为虚数单位),则 z 22i 【分析】把已知等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 解:由(z+i)(2+i)5,得 z+i ,

    10、 z22i 故答案为:22i 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础的计算题 2设全集 U1,2,3,4,集合 A1,3,B2,3,则 BUA 2 【分析】先求出(UA),再根据交集的运算法则计算即可 解:全集 U1,2,3,4,集合 A1,3, (UA)2,4 B2,3, (UA)B2 故答为:2 【点评】本题考查集合的交并补运算,属于基础题 3箱子中有形状、大小都相同的 3 只红球和 2 只白球,一次摸出 2 只球,则摸到的 2 球颜 色不同的概率为 【分析】先求出基本事件总数和摸到的 2 球颜色不同包含的基本事件个数,由此能求出 摸到的 2 球颜色不同的概率 解:箱子中有形状、大

    11、小都相同的 3 只红球和 2 只白球,一次摸出 2 只球, 基本事件总数 n 10, 摸到的 2 球颜色不同包含的基本事件个数 m 6, 摸到的 2 球颜色不同的概率 p 故答案为: 【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等可能事件概率计 算公式的合理运用 4 某学校从高三年级共 800 名男生中随机抽取 50 名测量身高 据测量被测学生身高全部介 于 155cm 和 195cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组155,160)、第二组 160,165)、第八组190,195,按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分 如图所示 估计这所学校高三年级全体男生身高

    12、180cm以上 (含180cm) 的人数为 224 【分析】 由频率分布直方图求出这所学校高三年级全体男生身高 180cm 以上 (含 180cm) 的频率,由此能估计这所学校高三年级全体男生身高 180cm 以上(含 180cm)的人数 解:由频率分布直方图得: 这所学校高三年级全体男生身高 180cm 以上(含 180cm)的频率为: 1(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)50.28, 估计这所学校高三年级全体男生身高 180cm 以上(含 180cm)的人数为: 8000.28224 故答案为:224 【点评】本题考查频数的求法,考查频率分布直方图的性质等基础知识,考

    13、查数据分析 能力、运算求解能力,是基础题 5阅读如图所示的程序框,若输入的 n 是 30,则输出的变量 S 的值是 240 【分析】执行程序框图,依次写出每次循环得到的 S,n 的值,当 n0 时,满足条件 n 2,退出循环,输出 S 的值,利用等差数列的求和公式即可计算得解 解:执行程序框图,有 n30 S0 不满足条件 n2,S30,n28 不满足条件 n2,S30+28,n26 不满足条件 n2,S30+28+26,n24 不满足条件 n2,S30+28+26+4,n2 不满足条件 n2,S30+28+26+4+2,n0 满足条件 n2,退出循环,输出 S30+28+26+4+2 240

    14、 故答案为:240 【点评】本题主要考察了程序框图和算法,等差数列的求和,属于基本知识的考查 6在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点在 x 轴上,若曲线 C 经过点 P(1,3),则其焦点到准线的距离为 【分析】先设出抛物线的方程,把点 P 代入即可求得 p,则抛物线的方程可得其焦点到 准线的距离 解:由题意,可设抛物线的标准方程为 y22px, 因为曲线 C 经过点 P(1,3),所以 p , 所以其焦点到准线的距离为 故答案为: 【点评】本小题主要考查抛物线的方程与性质,考查运算求解能力,比较基础 7抛物线 y24x 的焦点到双曲线 1 渐近线的距离为 【分

    15、析】先求出抛物线 y24x 的焦点和双曲线 1 渐近线,由此能求出抛物线 y24x 的焦点到双曲线 1 渐近线的距离 解:抛物线 y24x 的焦点 F(1,0), 双曲线 1 渐近线为 3x4y0, 抛物线 y24x 的焦点到双曲线 1 渐近线的距离为: d 故答案为: 【点评】 本题考查抛物线的焦点到双曲线的距离的求法, 是中档题, 解题时要认真审题, 注意双曲线和抛物线的性质的合理运用 8已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 2,锐角为 60的菱形,侧棱 PA底面 ABCD,PA3,若点 M 是 BC 的中点,则三棱锥 MPAD 的体积为 【分析】由 ADBC 可知 SADM

    16、SABD,则 VMPADVPADM 【解答】解底面 ABCD 是边长为 2,锐角为 60的菱形, SADMSADB , PA底面 ABCD, VMPADVPADM 故答案为 【点评】本题考查了棱锥的体积计算,属于基础题 9以抛物线 y24x 的焦点为焦点,以直线 yx 为渐近线的双曲线标准方程为 1 【分析】设以直线 yx 为渐近线的双曲线的方程,再由双曲线经过抛物线 y24x 焦点 F(1,0),能求出双曲线方程 解:设以直线 yx 为渐近线的双曲线的方程为 x2y2(0), 双曲线经过抛物线 y24x 焦点 F(1,0), +1, 双曲线方程为: 1 故答案为: 1 【点评】本题考查双曲线

    17、方程的求法,考查抛物线的方程,是基础题,解题时要认真审 题,注意双曲线简单性质的合理运用 10 一个圆锥的侧面积等于底面面积的 2 倍, 若圆锥底面半径为 cm, 则圆锥的体积是 3 cm3 【分析】根据面积比计算圆锥的母线长,得出圆锥的高,代入体积公式计算出圆锥的体 积 解:设圆锥的底面半径为 r,母线长为 l, 则 S侧面积rl ,S 底面积r23 23,解得 l2 圆锥的高 h 3 圆锥的体积 V 底面积 3 故答案为:3 【点评】本题考查了圆锥的结构特征,圆锥的面积和体积计算,属于基础题 11已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x0 时,f(x)2x+ln ,记 a nf(n5

    18、), 则数列an的前 8 项和为 24 【分析】通过 f(x)是 R 上的奇函数及当 x0 时的表达式可求出 f(x)的表达式,利用 奇函数的对称性可知问题即求 a1即 f(4)的值,代入计算即得结论 解:当 x0 时,x0, f(x)是 R 上的奇函数, f(x)f(x)2xln , 又f(0)0, f(x) , , , , anf(n5),f(x)是 R 上的奇函数, a2+a8a3+a7a4+a6a50, 数列an的前 8 项和为 a1f(4)(24+ln1)24, 故答案为:24 【点评】本题是一道关于数列与函数的综合题,涉及奇函数、数列的求和等基础知识, 注意解题方法的积累,属于中档

    19、题 12过曲线 yx (x0)上一点 P(x0,y0)处的切线分别与 x 轴,y 轴交于点 A,B,O 是坐标原点,若OAB 的面积为 ,则 x 0 【分析】求得切点坐标,把切点的横坐标代入导函数求出切线的斜率,由切点坐标和斜 率写出切线的方程,分别令 x0 和 y0,求出三角形的底与高,由三角形的面积公式, 解方程可得切点的横坐标 解:由题意可得 y0x0 ,x00, y1 , 切线的斜率为 1 , 则切线的方程为 yx0 (1 )(xx0), 令 x0 得 y ; 令 y0 得 x , OAB 的面积 S , 解得 x0 (负的舍去) 故答案为: 【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某

    20、点切线方程,以及三角形面积的计算, 同时考查了运算求解的能力,属于基础题 13在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 O:x2+y21,O1:(x4)2+y24,动点 P 在直线 x yb0 上,过 P 分别作圆 O,O1的切线,且点分别为 A,B,若满足 PB2PA 的 点 P 有且只有两个,则实数 b 的取值范围是 b4 【分析】求出 P 的轨迹方程,动点 P 在直线 x yb0 上,满足 PB2PA 的点 P 有 且只有两个,转化为直线与圆 x2+y2 x 0 相交,即可求出实数 b 的取值范围 解:由题意 O(0,0),O1(4,0)设 P(x,y),则 PB2PA, (x4)2+y24

    21、(x2+y2), x2+y2 x 0, 圆心坐标为( ,0),半径为 , 动点 P 在直线 x yb0 上,满足 PB2PA 的点 P 有且只有两个, 直线与圆 x2+y2 x 0 相交, 圆心到直线的距离 d , b 故答案为: b4 【点评】本题考查实数 b 的取值范围,考查轨迹方程,考查直线与圆的位置关系,正确 转化是关键 14 已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数, 当 x0 时, f (x) (|xa|+|x2a|3|a|) 若 集合x|f(x1)f(x)0,xR,则实数 a 的取值范围为 , 【分析】把 x0 时的 f(x)改写成分段函数,求出其最小值,由函数的奇偶性可得

    22、 x0 时的函数的最大值,条件等价为对xR,都有 f(x1)f(x),进行转化求解即可求 解该不等式得答案 解:若x|f(x1)f(x)0,xR, 则等价为 f(x1)f(x)0 恒成立,即 f(x1)f(x)恒成立, 当 x0 时,f(x) (|xa|+|x2a|3|a|) 若 a0,则当 x0 时,f(x) (xa+x2a+3a)x, f(x)是奇函数, 若 x0,则x0,则 f(x)xf(x), 则 f(x)x,x0, 综上 f(x)x,此时函数为增函数,则 f(x1)f(x)恒成立, 若 a0, 若 0xa 时,f(x) x+a(x2a)3ax; 当 ax2a 时,f(x) xa(x2

    23、a)3aa; 当 x2a 时,f(x) (xa+x2a3a)x3a 即当 x0 时,函数的最小值为a, 由于函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 当 x0 时,f(x)的最大值为 a, 作出函数的图象如图: 由于xR,f(x1)f(x), 故函数 f(x1)的图象不能在函数 f(x)的图象的上方, 结合图可得 13a3a,即 6a1,求得 0a , 综上 a , 故答案为:(, 【点评】本题主要考查带有绝对值的函数,奇函数的性质,函数的图象特征,根据分段 函数的性质,将条件转化不等式恒成立是解决本题的关键综合性较强,难度较大 二、解答题;本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区

    24、域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15在ABC 中,三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 (sinBsinC,sinC sinA), (sinB+sinC,sinA),且 (1)求角 B 的大小; (2)若 bc cosA,ABC 的外接圆的半径为 1,求ABC 的面积 【分析】 (1)由已知利用平面向量垂直的坐标运算,结合正弦定理和余弦定理可求 cosB 的值,结合 B 的范围即可求出 B 的值; (2)由已知利用余弦定理,勾股定理的逆定理可得 C ,根据三角形的内角和定理可 求 A ,进而利用正弦定理可求 a,b 的值,根据三角形的面积公式即可求解

    25、解:(1) (sinBsinC,sinCsinA), (sinB+sinC,sinA),且 , (sinBsinC) (sinB+sinC)+(sinCsinA) sinA0, b2a2+c2ac, cosB , 由 B(0,),可得 B ; (2)bc cosA, cosA ,整理可得:a2+b2c2,可得 C , ABC , ABC 的外接圆的半径为 1,由正弦定理可得 2, 解得:a1,b , SABC ab 【点评】本题主要考查了平面向量垂直的坐标运算,正弦定理和余弦定理,三角形的内 角和定理,三角形的面积公式等知识在解三角形中的综合应用,考查了转化思想,属于 基础题 16如图在直四棱

    26、柱 ABCDA1B1C1D1中,E,F 分別 AB,BC 的中点,A1C1与 B1D1交于 点 O (1)求证:A1,C1,F,E 四点共面; (2)若底面 ABCD 是菱形,且 ODA1E,求证:OD平面 A1C1FE 【分析】(1)连接 AC,由 EF 是ABC 的中位线,可得 EFAC,又 AA1 CC1,可证 ACA1C1,从而可证 EFA1C1,即 A1,C1,F,E 四点共面; (2)连接 BD,可证 DD1A1C1,又 A1C1B1D1,可证 A1C1平面 BB1DD1,可得 OD A1C1,结合 ODA1E,即可证明 OD平面 A1C1FE 【解答】(本题满分为 14 分) 解

    27、:(1)连接 AC,因为 E,F 分别是 AB,BC 的中点,所以 EF 是ABC 的中位线, 所以 EFAC, 由直棱柱知:AA1 CC1,所以四边形 AA1C1C 为平行四边形,所以 ACA1C1,5 分 所以 EFA1C1, 故 A1,C1,F,E 四点共面;7 分, (2)连接 BD,因为直棱柱中 DD1平面 A1B1C1D1,A1C1平面 A1B1C1D1, 所以 DD1A1C1, 因为底面 A1B1C1D1是菱形,所以 A1C1B1D1, 又 DD1B1D1D1,所以 A1C1平面 BB1DD1,11 分 因为 OD平面 BB1DD1, 所以 ODA1C1, 又 ODA1E,A1C

    28、1A1EA1,A1C1平面 A1C1FE,A1E平面 A1C1FE, 所以 OD平面 A1C1FE14 分 【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定,线面垂直的性质的应用,考查了空间 想象能力和推理论证能力,属于中档题 17已知函数 f(x)x22ax+1 (1)若函数 g(x)logaf(x)+a(a0,a1)的定义域为 R,求实数 a 的取值范围; (2)当 x0 时,恒有不等式 lnx 成立,求实数 a 的取值范围 【分析】(1)由题可知 x22ax+1+a0 在 R 上恒成立,利用二次函数的性质可得 a 的 范围; (2)整理不等式得 x lnx2a,构造函数 f(x)x lnx,利

    29、用导数求出函数的 最小值即可 【解答】(1)由题意可知, x22ax+1+a0 在 R 上恒成立, 4a244a0, 0a ,且 a1; (2) lnx, x lnx2a, 令 f(x)x lnx, f(x) 1, 令 f(x) 10, x , x( ,+)时,f(x)0,f(x)递增; x(0, )时,f(x)0,f(x)递减; f(x)f( ) ln , a ( ln ) 【点评】考查了对数函数,二次函数的性质和恒成立问题的转换难点是利用导函数求 出构造函数的最小值 18(16 分)如图,墙上有一壁画,最高点 A 离地面 4 米,最低点 B 离地面 2 米观察者 从距离墙 x(x1)米,离

    30、地面高 a(1a2)米的 C 处观赏该壁画,设观赏视角ACB (1)若 a1.5,问:观察者离墙多远时,视角 最大? (2)若 tan ,当 a 变化时,求 x 的取值范围 【分析】(1)首项利用两角和的正切公式建立函数关系,进一步利用判别式确定函数的 最大值; (2)利用两角和的正切公式建立函数关系,利用 a 的取值范围即可确定 x 的范围 解:(1)如图,作 CDAF 于 D,则 CDEF, 设ACD,BCD,CDx,则 , 在 RtACD 和 RtBCD 中,tan ,tan , 则 tantan() (x0), 令 u ,则 ux 22x+1.25u0, 上述方程有大于 0 的实数根,

    31、0, 即 441.25u20,u ,即(tan)max , 正切函数 ytanx 在(0, )上是增函数, 视角 同时取得最大值, 此时,x , 观察者离墙 米远时,视角 最大; (2)由(1)可知,tan , 即 x24x+4a2+6a4, (x2)2(a3)2+5, 1a2, 1(x2)24, 化简得:0x1 或 3x4, 又x1, 3x4 【点评】本题考查应用两角和的正切公式及其函数的单调性与最值,注意解题方法的积 累,属于中档题 19(16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆 (ab0)的离心率是 e, 定义直线 y 为椭圆的“类准线”,已知椭圆 C 的“类准线”方程为 y ,长

    32、轴 长为 4 (1)求椭圆 C 的方程; (2)点 P 在椭圆 C 的“类准线”上(但不在 y 轴上),过点 P 作圆 O:x2+y23 的切线 l,过点 O 且垂直于 OP 的直线 l 交于点 A,问点 A 是否在椭圆 C 上?证明你的结论 【分析】(1)由题意列关于 a,b,c 的方程,联立方程组求得 a24,b23,c21,则 椭圆方程可求; (2)设 P(x0,2 )(x 00),当 x0 时和 x0 时,求出 A 的坐标,代入椭圆 方程验证知,A 在椭圆上,当 x0 时,求出过点 O 且垂直于 0P 的直线与椭圆的交 点,写出该交点与 P 点的连线所在直线方程,由原点到直线的距离等于

    33、圆的半径说明直 线是圆的切线,从而说明点 A 在椭圆 C 上 解:(1)由题意得: 2 ,2a4, 又 a2b2+c2,联立以上可得: a24,b23,c21 椭圆 C 的方程为 y 21; (2)如图,由(1)可知, 椭圆的类准线方程为 y2 , 不妨取 y2 , 设 P(x0,2 )(x00), 则 kOP , 过原点且与 OP 垂直的直线方程为 y x, 当 x0 时,过 P 点的圆的切线方程为 x , 过原点且与 OP 垂直的直线方程为 y x, 联立 ,解得:A( , ), 代入椭圆方程成立; 同理可得,当 x0 时,点 A 在椭圆上; 当 x0 时, 联立 , 解得 A1( , )

    34、,A2( , ), PA1所在直线方程为(2 x0)x(x0 6)y x0212 0 此时原点 O 到该直线的距离 d , 说明 A 点在椭圆 C 上; 同理说明另一种情况的 A 也在椭圆 C 上 综上可得,点 A 在椭圆 C 上 另解:设切点为(x0,y0),由圆上一点的切线方程可得 切线 l 的方程为 x0x+y0y3,代入 y2 ,可得 x , 即有 P( ,2 ),kOP , 与 OP 垂直的直线,且过 O 的直线为 y x, 代入 x0x+y0y3,结合 x02+y023,可得 x , y , 即为 A( , ), 由 3( ) 2+4( )2 12, 则点 A 在椭圆 C 上 【点

    35、评】本题是新定义题,考查了椭圆方程的求法,考查直线与椭圆位置关系的应用, 考查计算能力,属难题 20(16 分)已知数列an的奇数项是公差为 d1的等差数列,偶数项是公差为 d2的等差数 列,Sn是数列an的前 n 项和,a11,a22 (1)若 S516,a4a5,求 a10; (2)已知 S1515a8,且对任意 nN*,有 anan+1恒成立,求证:数列an是等差数列; (3)若 d13d2(d10),且存在正整数 m、n(mn),使得 aman求当 d1最大时, 数列an的通项公式 【分析】 (1)确定数列的前 5 项,利用 S516,a4a5,建立方程,求出 d12,d23, 从而可

    36、求 a10; (2)先证明 d1d2,再利用 S1515a8,求得 d1d22,从而可证数列an是等差数列; (3)若 d13d2(d10),且存在正整数 m、n(mn),使得 aman,在 m,n 中必然 一个是奇数,一个是偶数不妨设 m 为奇数,n 为偶数,利用 aman,及 d13d2,可得 ,从而可求当 d1 最大时,数列an的通项公式 【解答】(1)解:根据题意,有 a11,a22,a3a1+d11+d1,a4a2+d22+d2,a5 a3+d11+2d1 S516,a4a5, a1+a2+a3+a4+a57+3d1+d216,2+d21+2d1 d12,d23 a102+4d214

    37、 (2)证明:当 n 为偶数时,anan+1恒成立,2 , (d2d1)+1d20 d2d10 且 d21 当 n 为奇数时,anan+1恒成立, , (1n)(d1d2)+20 d1d20 d1d2 S1515a8 ,8 14 30+45d2 d1d22 ann 数列an是等差数列; (3)解:若 d13d2(d10),且存在正整数 m、n(mn),使得 aman,在 m,n 中必然一个是奇数,一个是偶数 不妨设 m 为奇数,n 为偶数 aman , d13d2 , m 为奇数,n 为偶数,3mn1 的最小正值为 2,此时 d13,d21 数列an的通项公式为 an , 为奇数 , 为偶数

    38、【点评】本题考查数列的通项,考查数列的求和,考查学生分析解决问题的能力,确定 数列的通项是关键 选做题本题包括 21、22、23 三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若 多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.选修 4-2: 矩阵与变换(本小题满分 10 分) 21求矩阵 的特征值及对应的特征向量 【分析】先根据特征值的定义列出特征多项式,令 f()0 解方程可得特征值,再由 特征值列出方程组即可解得相应的特征向量 解:特征多项式 f()| | (3) 2126+8 由 f()0,解得 12,24 将 12 代入特征方程组,得 x+y0,可取 为

    39、属于特征值 12 的一个特征向量 同理,当 24 时,由 xy0, 所以可取 为属于特征值 24 的一个特征向量 综上所述,矩阵 有两个特征值 12,24; 属于 12 的一个特征向量为 ,属于 14 的一个特征向量为 【点评】本题主要考查来了矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识,属于矩阵中的基 础题 选修 4-4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 22在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C: ( 为参数)以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴,建立坐标系,直线 l 的极坐标方程为 (cos sin)+40,求曲线 C 上的点到直线 l 的最大距离 【分析】由 xcos,ysin,可得

    40、直线的普通方程,由点到直线的距离公式可得曲 线 C 上的点到直线的距离,运用两角和的正弦公式和正弦函数的值域,即可得到所求最 大距离 解:由 xcos,ysin,可得: 直线 l 的极坐标方程:(cos sin)+40, 即为 x y+40, 曲线 C 上的点到直线 l 的距离为 d 2 sin( ) 当 2k ,即 2k ,kZ,取得最大值 2 【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化,点到直线的距离公式和正弦函数的值域的 运用,考查运算能力,属于中档题 选修 4-5:不等式选讲(本小题满分 0 分) 23设 x,y 均为正数,且 xy,求证: 【分析】作差,构建满足基本不等式的条件,利用基本

    41、不等式证明即可 【解答】证:x0,y0,xy0, ,当且仅当 xy1 时取等号, 【点评】本题考查基本不等式的运用,解题的关键是构建满足基本不等式的条件,属于 中档题 必做题第 24 题、第 25 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤. 24如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1中,AC3,BC4,AB5,AA14 (1)设 ,异面直线 AC1与 CD 所成角的余弦值为 ,求 的值; (2)若点 D 是 AB 的中点,求二面角 DCB1B 的余弦值 【分析】(1)以 CA、CB、CC1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空

    42、间直角坐标系, 利用向量法能求出 的值 (2)求出平面 CDB1的法向量和面 CDB1的一个法向量,利用向量法能求出二面角 D CB1B 的余弦值 解:(1)由 AC3,BC4,AB5,得ACB90(1 分) 以 CA、CB、CC1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 则 A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0), 设 D(x,y,z),则由 ,得 , , , 而 , , , 根据 ,解得, 或 (2) , , , , , , 设平面 CDB1的法向量 (x,y,z), 则 ,取 x4,得面 CDB1的一个法向量为 , , , 而平面 CBB1的一个

    43、法向量为 , , , 并且 , 与二面角 DCB1B 相等, 所以二面角 DCB1B 的余弦值为 , (第(1)题中少一解扣(1 分);没有交代建立直角坐标系过程扣(1 分)第(2)题 如果结果相差符号扣(1 分) 【点评】本题考查满足异面直线所成余弦值的实数值的求法,考查二面角的余弦值的求 法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用 25设 f(x,n)(1+x)n,n一、选择题* (1)求 f(x,6)的展开式中系数最大的项; (2)nN*时,化简 C 4n1+C 4n2+C 4n3+C 40+C 41; (3)求证:C 2C 3C nC n2n1 【分析】(1)中间项的二项式系数(也是系数)最大; (2)在原式乘以 4,然后逆用二项式定理即可; (3)根据 ,将左边利用倒序相加法求和 解:(1)f(x,6)(1+x)n,通项为: ,故各项的系数即为二项式系数, 故系数最大的项为 (2)C 4n1+C 4n2+C 4n3+C 40+C 41 C 4n+C 4n1+C 4n 2+C 41+C (3)证明:令 SC 2C 3C (n1) nC , 则 , 所以 S (n1) (n2) 2 , +得: 2Sn( )n 2n, Sn 2n1 【点评】本题考查二项式定理的通项、系数的性质以及赋值法同时考查学生的逻辑推 理和数学运算等数学核心素养属于中档题


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