1、2020 年高考（文科）数学（年高考（文科）数学（5 月份）三诊一模试卷月份）三诊一模试卷 一、选择题（共 12 小题）. 1已知集合 Ax|x1 或 x2，B3，2，1，0，1，2，3，则 AB（ ） A3，2 B2，3 C3，2，3 D3，2，2，3 2若复数 z 满足（1+2i）z5i，则 z（ ） A2+i B2i C2+i D2i 3在正项等比数列an中，若 a11，a32a2+3，则其前 3 项的和 S3（ ） A3 B9 C13 D24 4已知向量 （1，1）， （2，4），则（ ） （ ） A14 B4 C4 D14 5已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A
2、 B C2 D4 6执行如图所示的程序框图，则输出的 T（ ） A B C D1 7已知 f（x）是定义在 R 上的减函数，则关于 x 的不等式 f（x2x）f（x）0 的解集为 （ ） A（，0）（2，+） B（0，2） C（，2） D（2，+） 8已知圆 C：（x1）2+y2r2（r1）与 x 轴负半轴的交点为 M，过点 M 且斜率为 1 的直 线 l 与圆 C 的另一个交点为 N，若 MN 的中点 P 恰好落在 y 轴上，则|MN|（ ） A2 B C D 9抛物线上任意两点 A、B 处的切线交于点 P，称PAB 为“阿基米德三角形”当线段 AB 经过抛物线焦点 F 时，PAB 具有以下
3、特征： P 点必在抛物线的准线上；PAB 为直角三角形，且 PAPBPFAB 若经过抛物线 y24x 焦点的一条弦为 AB，阿基米德三角形为PAB， 且点 P 的纵坐标为 4，则直线 AB 的方程为（ ） Ax2y10 B2x+y20 Cx+2y10 D2xy20 10若直线 yax 与曲线 ylnx1 相切，则 a（ ） Ae B1 C D 11已知正四棱锥 PABCD 的所有顶点都在球 O 的球面上，若 ，且 PABCD 的体积为 ，则球 O 的表面积为（ ） A25 B C D5 12如图，某公园内有一个半圆形湖面，O 为圆心，半径为 1 千米，现规划在半圆弧岸边上 取点 C，D，E，满
4、足AODDOE2AOC，在扇形 AOC 和四边形 ODEB 区域内种 植荷花， 在扇形 COD 区域内修建水上项目， 并在湖面上修建栈道 DE， EB 作为观光路线， 则当 DE+EB 取得最大值时，sinAOC（ ） A B C D 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13能说明命题“xR 且 x0， ”是假命题的 x 的值可以是 （写出一 个即可） 14由三角形的垂心与各顶点连线的中点构成的三角形称为“欧拉三角形”已知DEF 是 锐角ABC 的欧拉三角形，若向ABC 所在区域内随机投一个点，则该点落在DEF 内 的概率为 15已知 F 是双曲线 M： ， 的右焦点，
5、点 P 在 M 上，O 为坐标原 点，若 ， ，则 M 的离心率为 16 定义域为R的偶函数f （x） 满足f （1+x） +f （1x） 0， 当x0， 1） 时， ， 给出下列 四个结论： |f（x）|1； 若 f（x1）+f（x2）0，则 x1+x20； 函数 f（x）在（0，4）内有且仅有 3 个零点； 其中，正确结论的序号是 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17已知三棱柱 ABCA1B1C1，底面 ABC 为等边三角形，侧棱 AA1平面 ABC，D 为 CC1 中点，AA12AB，AB1和 A1B 交于点 O （1）证明：OD平面 ABC； （2）若 AB2，求点 B 到
6、平面 A1B1D 的距离 182020 年 1 月，教育部关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见印发， 自 2020 年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称“强基计划”）强基计划 聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域以及国家人 才紧缺的人文社会科学领域，选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或 基础学科拔尖的学生新材料产业是重要的战略性新兴产业，如图是我国 20112019 年 中国新材料产业市场规模及增长趋势图其中柱状图表示新材料产业市场规模（单位： 万亿元），折线图表示新材料产业市场规模年增长率（%） （1）求 2015 年至 20
7、19 年这 5 年的新材料产业市场规模的平均数； （2）从 2012 年至 2019 年中随机挑选一年，求该年新材料产业市场规模较上一年的年增 加量不少于 6000 亿元的概率； （3）由图判断，从哪年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最大（结 论不要求证明） 19ABC 的角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 b2+c2a2+bc （1）求 A； （2）从三个条件：a b ABC 的面积为 中任选一个作为已知条件， 求ABC 周长的取值范围 20已知函数 （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 f（x）存在两个极值点 x1，x2，求 f（x1）+f（x2）的最小值 2
8、1椭圆规是画椭圆的一种工具，如图 1 所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标 M，N， 有一根旋杆将两个滑标连成一体，|MN|4，D 为旋杆上的一点，且在 M，N 两点之间， 且|ND|3|MD|，当滑标 M 在滑槽 EF 内作往复运动，滑标 N 在滑槽 GH 内随之运动时， 将笔尖放置于 D 处可画出椭圆，记该椭圆为 C如图 2 所示，设 EF 与 GH 交于点 O， 以 EF 所在的直线为 x 轴，以 GH 所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 A1，A2是椭圆 C 的左、右顶点，点 P 为直线 x6 上的动点，直线 A1P，A2P 分 别交椭圆于
9、Q，R 两点，求四边形 A1QA2R 面积为 ，求点 P 的坐标 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答并用铅笔在答题卡选考题 区域内把所选的题号涂黑如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数 方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ， （t 为参数），以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （1）求直线 l 的极坐标方程； （2）设动点 M 的极坐标为（，），射线 OM 与直线 l 相交于点 A，且满足|OA| |OM| 4，求点 M 轨迹的极坐标方程 选修 4-5：不等式选讲 23已知 f（x）2|x+1|+
10、|x1| （1）解不等式 f（x）4； （2）设 f（x）的最小值为 m，实数 a，b，c 满足 a2+b2+c2m，证明： 参考答案 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知集合 Ax|x1 或 x2，B3，2，1，0，1，2，3，则 AB（ ） A3，2 B2，3 C3，2，3 D3，2，2， 3 【分析】利用交集定义直接求解 解：集合 Ax|x1 或 x2，B3，2，1，0，1，2，3， AB3，2，3 故选：C 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 2若复数 z 满足（1+2i）z5i，则 z（ ） A2+i B2
11、i C2+i D2i 【分析】通过分母实数化，求出 z 即可 解：z 满足（1+2i）z5i， z 2+i 故选：A 【点评】 本题考查了复数的运算， 熟练掌握运算性质是解题的关键， 本题是一道基础题 3在正项等比数列an中，若 a11，a32a2+3，则其前 3 项的和 S3（ ） A3 B9 C13 D24 【分析】设正项等比数列an的公比为 q0，由 a11，a32a2+3，可得 q22q+3，解 得 q再利用求和公式即可得出 解：设正项等比数列an的公比为 q0，a11，a32a2+3， q22q+3，解得 q3 则其前 3 项的和 S31+3+3213 故选：C 【点评】本题考查了等
12、比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属 于基础题 4已知向量 （1，1）， （2，4），则（ ） （ ） A14 B4 C4 D14 【分析】先根据平面向量的线性坐标运算求出 （1，3），再根据数量积的坐 标运算求解即可 解： （1，1）， （2，4）， （1，3）， （ ） 134 故选：B 【点评】本题考查平面向量坐标运算的混合运算，考查学生的计算能力，属于基础题 5已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B C2 D4 【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体是底面半径为 1，高是 2 的圆柱截去四分 之一，再由圆柱体积公式求解 解：由三视图还原原
13、几何体如图， 可知该几何体是底面半径为 1，高是 2 的圆柱截去四分之一 其体积为 V 故选：B 【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题 6执行如图所示的程序框图，则输出的 T（ ） A B C D1 【分析】根据程序框图一步一步进行运算，直到跳出循环 解：k1，S0，T0； S0+11，T1，k2； S1+23，T ，k3； S3+36，输出 T ； 故选：C 【点评】本题考查程序框图，注意一步一步运算，属于基础题 7已知 f（x）是定义在 R 上的减函数，则关于 x 的不等式 f（x2x）f（x）0 的解集为 （ ） A（，0）（2，+） B（0，2）
14、C（，2） D（2，+） 【分析】根据题意，由函数的单调性分析：f（x2x）f（x）0f（x2x）f（x） x2xx，结合一元二次不等式的解法分析可得答案 解：根据题意，f（x）是定义在 R 上的减函数，则 f（x2x）f（x）0f（x2x）f （x）x2xx， 即 x22x0，解可得 0x2，即不等式的解集为（0，2）； 故选：B 【点评】本题考查函数的单调性的性质以及应用，涉及不等式的解法，属于基础题 8已知圆 C：（x1）2+y2r2（r1）与 x 轴负半轴的交点为 M，过点 M 且斜率为 1 的直 线 l 与圆 C 的另一个交点为 N，若 MN 的中点 P 恰好落在 y 轴上，则|MN
15、|（ ） A2 B C D 【分析】由题意画出图形，求出 M 的坐标，写出直线 l 的方程，与圆的方程联立求得 N 点横坐标，再由中点坐标公式求得 r，进一步求出 M 与 N 的坐标，则答案可求 解：取 y0，可得 x1r 或 x1+r， 由题意可得，M（1r，0）， 设直线 l 的方程为 yx+r1， 联立 ，得 x 2+（r2）x+1r0 由 1r+xN2r，得 xN1 由 MN 的中点 P 恰好落在 y 轴上，得 1r+10，即 r2 M（1，0），N（1，2），则|MN| 故选：B 【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，考查运算 能力，是中档题 9抛物线上
16、任意两点 A、B 处的切线交于点 P，称PAB 为“阿基米德三角形”当线段 AB 经过抛物线焦点 F 时，PAB 具有以下特征： P 点必在抛物线的准线上；PAB 为直角三角形，且 PAPBPFAB 若经过抛物线 y24x 焦点的一条弦为 AB，阿基米德三角形为PAB， 且点 P 的纵坐标为 4，则直线 AB 的方程为（ ） Ax2y10 B2x+y20 Cx+2y10 D2xy20 【分析】由PAB 为“阿基米德三角形”，且线段 AB 经过抛物线 y24x 焦点，可得：P 点必在抛物线的准线上，可求出点 P（1，4），从而得到直线 PF 的斜率为2， 又 PFAB，所以直线 AB 的斜率为
17、，再利用点斜式即可求出直线 AB 的方程 解：由题意可知，抛物线 y24x 的焦点 F 的坐标为（1，0），准线方程为：x1， 由PAB 为“阿基米德三角形”，且线段 AB 经过抛物线 y24x 焦点，可得：P 点必在 抛物线的准线上， 点 P（1，4）， 直线 PF 的斜率为： 2， 又PFAB，直线 AB 的斜率为 ， 直线 AB 的方程为：y0 ，即 x2y10， 故选：A 【点评】本题主要考查了抛物线的定义，以及抛物线的性质，是中档题 10若直线 yax 与曲线 ylnx1 相切，则 a（ ） Ae B1 C D 【分析】先对曲线求出导数，然后设切点，根据切点是公共点、切点处的导数是切
18、线的 斜率列出方程组，即可求出 a 的值 解： ，设切点为（x，lnx1）， 则 ，解得 故选：D 【点评】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法利用切点是公共点、切点处的导 数是切线斜率，构造方程组是此类问题的基本思路属于基础题 11已知正四棱锥 PABCD 的所有顶点都在球 O 的球面上，若 ，且 PABCD 的体积为 ，则球 O 的表面积为（ ） A25 B C D5 【分析】根据条件作图，数形结合求出球 O 的半径 r 即可 解：如图，VPABCD 正 PH （2 ） 2 PH ，则 PH8， 设球 O 的半径为 r，则在 RtAOH 中，AO2AH2+OH2， 即 r2（4r）2+2
19、2，解得 r ， 则球 O 的表面积为 4r24 25， 故选：A 【点评】本题考查正四棱锥的外接球的表面积的求法，考查正四棱锥的结构特征、球的 性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 12如图，某公园内有一个半圆形湖面，O 为圆心，半径为 1 千米，现规划在半圆弧岸边上 取点 C，D，E，满足AODDOE2AOC，在扇形 AOC 和四边形 ODEB 区域内种 植荷花， 在扇形 COD 区域内修建水上项目， 并在湖面上修建栈道 DE， EB 作为观光路线， 则当 DE+EB 取得最大值时，sinAOC（ ） A B C D 【分析】设AOC，则AODDOE2，BOE4，（0， ）可得： D
20、E2sin，BE2sin（ 2），DE+BE2sin+2sin（ 2），化简和差公式、三角 函数及其二次函数的单调性即可得出 解：设AOC，则AODDOE2，BOE4，（0， ） 可得：DE2sin，BE2sin（ 2）， DE+BE2sin+2sin （ 2） 2sin+2cos22sin+2 （12sin2） 4 ， 当 sin 时，DE+EB 取得最大值 故选：B 【点评】本题考查了化简和差公式、三角函数及其二次函数的单调性，考查了推理能力 与计算能力，属于基础题 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13能说明命题“xR 且 x0， ”是假命题的 x 的值可以是
21、1，（任意负数 均可以） （写出一个即可） 【分析】全称命题的否定只需举出一个反例即可例如 x1，带入 解：当 时， ，当且仅当 取等号， 当 时， ，当且仅当 取等号， 只需 x 取值为负数，即可例如 x1 时 【点评】本题考察了，全称命题的真假，基本不等式应用（也可以利用对勾函数图象来 解决），属于基础题 14由三角形的垂心与各顶点连线的中点构成的三角形称为“欧拉三角形”已知DEF 是 锐角ABC 的欧拉三角形，若向ABC 所在区域内随机投一个点，则该点落在DEF 内 的概率为 【分析】 做出， 根据中点连线三角形与大三角形相似， 面积比为相似比的平方即可求解 解：根据中位线定理，显然DE
22、FABC，且相似比为 设 A“点落在DEF 内”，“点落在ABC 内”， 故答案为： 【点评】本题考查几何概型条件下的概率计算问题，注意抓住几何图形性质解题属于 中档题 15已知 F 是双曲线 M： ， 的右焦点，点 P 在 M 上，O 为坐标原 点，若 ， ，则 M 的离心率为 【分析】 设 P 的坐标， 求出 ， 的坐标， 由POF ， 所以 cosPOF ，求出 P 的横坐标，代入 x0 2+y 0 24b2进而求出纵坐标，再将 P 坐标代入双曲线的方 程可得 a，b 的关系，由 a，b，c 之间的关系求出离心率 解：设 P（x0，y0）由题意可得 x00，设 y00， （x0，y0），
23、由题意|OP|2b，可得 x0 2+y 0 24b2， （c，0）， 由POF ，所以 cosPOF ，可得 x0b， y023b2，y00，将 P 点的坐标代入双曲线的方程可得： 31，所以 b 24a2， 所以双曲线的离心率 e ， 故答案为： 【点评】本题考查双曲线的性质，及数量积的应用，属于中档题 16 定义域为R的偶函数f （x） 满足f （1+x） +f （1x） 0， 当x0， 1） 时， ， 给出下列 四个结论： |f（x）|1； 若 f（x1）+f（x2）0，则 x1+x20； 函数 f（x）在（0，4）内有且仅有 3 个零点； 其中，正确结论的序号是 【分析】由 f（1+x
24、）+f（1x）0 可知 f（x）关于点（1，0）对称，令 x1，可得 f（1） 0，再结合 f（x）为偶函数，且当 x0，1）时， ，可以作出函数的图象， 根据图象逐一判断每个选项的正误即可得解 解：f（1+x）+f（1x）0，f（x）关于点（1，0）对称， 令 x1，则 f（1）+f（1）0，f（1）0， 又f（x）为偶函数，且当 x0，1）时， ，可作出函数 f（x）的图象如 下所示， 1f（x）1，|f（x）|1，即正确； 取 x11，x22，满足 f（x1）+f（x2）0，但 x1+x210，即错误； 函数 f（x）在（0，4）内的零点为 x1，2，3，有且仅有 3 个，即正确 正确的
25、是， 故答案为： 【点评】本题考查函数的图象与性质，分析出函数的对称性和作出函数图象是解题的关 键，考查学生的作图能力和分析能力，属于中档题 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17已知三棱柱 ABCA1B1C1，底面 ABC 为等边三角形，侧棱 AA1平面 ABC，D 为 CC1 中点，AA12AB，AB1和 A1B 交于点 O （1）证明：OD平面 ABC； （2）若 AB2，求点 B 到平面 A1B1D 的距离 【分析】（1）如图所示，取 AB 的中点 E，连接 CE，OE在ABB1中，利用三角形中 位线定理可得：EOBB1，EO BB1D 为 CC1 的中点，可得：EOCD，E
26、OCD利 用平行四边形的性质可得：ODEC，利用线面平行的判定定理可得：OD平面 ABC （2）AB2，ABC 与A1B1C1为等边三角形，及其侧棱 AA1平面 ABC，可得 A1D B1D2 ，A 1B12，可得 ， ，点 A1到平面 BB1C1C 的距离为 设点 A1 到平面 A1B1D 的距离为 h利用 ，即可得出 h 【解答】（1）证明：如图所示，取 AB 的中点 E，连接 CE，OE在ABB1中，E 为 AB 的中点，O 为 AB1的中点， EOBB1，EO BB1 D 为 CC1的中点，CD CC1 BB1且 CDBB1 EOCD，EOCD 四边形 CDOE 为平行四边形 ODEC
27、， 而 OD平面 ABC，EC平面 ABC OD平面 ABC （2）解：AB2，ABC 与A1B1C1为等边三角形，AA12AB4CC1 C1D2 侧棱 AA1平面 ABC， A1DB1D2 ，A1B12， 可得 4 点 A1到平面 BB1C1C 的距离为 设点 A1到平面 A1B1D 的距离为 h 则 ， 4 h， 解得 h 【点评】本题考查了直角与等边三角形三角形的性质、三角形中位线定理、线面面面平 行与垂直的判定与性质定理、等体积法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 182020 年 1 月，教育部关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见印发， 自 2020 年起，在部分高校
28、开展基础学科招生改革试点（也称“强基计划”）强基计划 聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域以及国家人 才紧缺的人文社会科学领域，选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或 基础学科拔尖的学生新材料产业是重要的战略性新兴产业，如图是我国 20112019 年 中国新材料产业市场规模及增长趋势图其中柱状图表示新材料产业市场规模（单位： 万亿元），折线图表示新材料产业市场规模年增长率（%） （1）求 2015 年至 2019 年这 5 年的新材料产业市场规模的平均数； （2）从 2012 年至 2019 年中随机挑选一年，求该年新材料产业市场规模较上一年的年增
29、加量不少于 6000 亿元的概率； （3）由图判断，从哪年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最大（结 论不要求证明） 【分析】（1）利用折线图能求出 2015 年至 2019 年这 5 年的新材料产业市场规模的平均 数 （2）设 A 表示事件”从 2012 年至 2019 年中随机挑选一年，该年新材料产业市场规模的 增加值达到 6000 亿元“，利用列举法能求出该年新材料产业市场规模较上一年的年增加 量不少于 6000 亿元的概率 （3）由图判断，从 2012 年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最大 解：（1）2015 年至 2019 年这 5 年的新材料产业市场规模
30、的平均数为： 3.26 万亿元 （2）设 A 表示事件”从 2012 年至 2019 年中随机挑选一年，该年新材料产业市场规模的 增加值达到 6000 亿元“， 从 2012 年起，每年新材料产业市场规模的增加值依次为： 3000，2000，3000，5000，6000，4000，8000，6000，（单位：亿元）， P（A） （3）由图判断，从 2012 年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最大 【点评】本题考查平均数、概率、方差的求法，考查古典概型、列举法、折线图的性质 等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 19ABC 的角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 b2+
31、c2a2+bc （1）求 A； （2）从三个条件：a b ABC 的面积为 中任选一个作为已知条件， 求ABC 周长的取值范围 【分析】（1）运用余弦定理，结合条件可得所求角； （2）选，先通过正弦定理，再由三角函数的和差公式，结合三角函数的图象和性 质，可得所求范围； 选，可通过三角形的面积公式，求得 bc4，再由余弦定理和基本不等式，计算可得 所求范围 解：（1）b2+c2a2+bc，可得 cosA ， 由 A（0，），可得 A ； （2）选a ，又 A ，可得 2， 可设 B d，C d， d ， 即有三角形 ABC 的周长 la+b+c2sinB+2sinC 2sin（ d）+2sin
32、（ d） 2（ cosd sind cosd sind） 2 cosd ， 由 cosd（ ，1，可得周长 l 的范围是（2 ，3 ； 选b ， 由 A ， 由正弦定理可得 a ， c ， 则周长为 la+b+c ，由 B（0， ），可得 0 ，即有 0tan ， 可得ABC 的周长的取值范围是（2 ，+）； 若选SABC ，由 A ，可得 SABC bcsinA bc ，即 bc4， 由余弦定理可得 a2b2+c22bccosAb2+c2bc（b+c）23bc（b+c）212， 则周长 la+b+c （b+c）， 由 b+c2 4，当且仅当 bc2 时等号成立，所以 l 46， 则ABC 的
33、周长的范围是6，+） 【点评】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理、面积公式的运用，考查三角函数的恒 等变换和三角函数的性质和基本不等式的运用，以及不等式的性质，考查运算能力，属 于中档题 20已知函数 （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 f（x）存在两个极值点 x1，x2，求 f（x1）+f（x2）的最小值 【分析】（1）先求出导函数 f（x），再对 a 的值分情况讨论，分别由导函数 f（x）的 正负得到函数 f（x）的单调性即可； （2）由（1）可知，f（x）有两个极值点时，a0 且 a2，不妨设 x11， ，所以 f（x1）+f（x2）（a+2）ln 2lna， 设 h （x） （x
34、+2） ln 2lnx， x （0， +） ， 利用导数得到 h （x）minh （ ） 2ln2， 所以当 a 0 且 a2 时，f（x1）+f（x2）的最小值为 2ln2 解：（1）函数 ，定义域为（0，+）， f（x）a ， 由 f（x）0 得：x1 或 x ， 若 0a2，则 ， 由 f（x）0 得，1x ；由 f（x）0 得，0x1 或 x ， 函数 f（x）在（1，0）和（ ，+）上单调递增，在（1， ）上单调递减； 若 a2，则 ， 此时 f（x） 0 恒成立， 函数 f（x）在（0，+）上单调递增； 若 a2，则 ， 由 f（x）0 得， x1；由 f（x）0 得，0x 或 x
35、1， 函数 f（x）在（0， ）和（1，+）上单调递增，在（ ，1）上单调递减； （2）由（1）可知，f（x）有两个极值点时，a0 且 a2，不妨设 x11， ， f（x1）f（1）a2lna，f（x2）f（ ）2a+（a+2）ln lna， f（x1）+f（x2）（a+2）ln 2lna， 设 h（x）（x+2）ln 2lnx，x（0，+）， 则 h（x）（x+2）（lnxln2）2lnx， h（x）lnxln2+1， 由 h（x）0 得 0x ，函数 h（x）在（0， ）上单调递减； 由 h（x）0 得 x ，函数 h（x）在（ ，+）上单调递增， x0 时，h（x）minh（ ） 2ln
36、2， 当 a0 且 a2 时，f（x1）+f（x2）的最小值为 2ln2 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，是中档题 21椭圆规是画椭圆的一种工具，如图 1 所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标 M，N， 有一根旋杆将两个滑标连成一体，|MN|4，D 为旋杆上的一点，且在 M，N 两点之间， 且|ND|3|MD|，当滑标 M 在滑槽 EF 内作往复运动，滑标 N 在滑槽 GH 内随之运动时， 将笔尖放置于 D 处可画出椭圆，记该椭圆为 C如图 2 所示，设 EF 与 GH 交于点 O， 以 EF 所在的直线为 x 轴，以 GH 所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系 （1
37、）求椭圆 C 的方程； （2）设 A1，A2是椭圆 C 的左、右顶点，点 P 为直线 x6 上的动点，直线 A1P，A2P 分 别交椭圆于 Q，R 两点，求四边形 A1QA2R 面积为 ，求点 P 的坐标 【分析】（1）由|MN|的值及|ND|3|MD|，可得|MD|，|ND|的值，由题意可得椭圆的长半 轴及短半轴长，进而求出椭圆的方程； （2）由（1）可得 A1，A2电子版，由题意设 P 的坐标，进而求出直线 A1P，直线 A2P 的 方程，与椭圆联立分别求出 Q，R 的坐标，进而求出四边形的面积的表达式，换元由均 值不等式可得 P 的坐标 解：（1）由|MN|4，D 为旋杆上的一点，且在
38、M，N 两点之间，且|ND|3|MD|，可得 |MD|1，|ND|3 所以椭圆的长半轴 a 为 3，短半轴 b 为 1， 所以椭圆的方程为： y 21； （2）由（1 可得 A1（3，0），A2（3，0），设 P（6，t），t0， 则直线 A1P 的方程为：y （x+3），直线 A2P 的方程为：y （x3）， 设 Q（x1，y1），R（x2，y2）， 由 整理可得：（9+t2）y26ty0，因为 y 0，所以 yQ ， 由 整理可得（1+t2）y2+2ty0，因为 y 0，所以 yR ， 所以四边形 A1QA2R 的面积 S |A1A2|yQyR | 6（ ） ， 因为 t0，m t ，所以
39、 S 3 ，解得 m2 ，即 t ， 当 t0，由对称性可得 t ， 综上所述：当点 P（6， ）或（6， ）时，四边形 A1QA2R 面积为 【点评】本题考查求椭圆方程的方法及直线与椭圆的综合，及均值不等式的应用，属于 中档题 一、选择题 22在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ， （t 为参数），以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （1）求直线 l 的极坐标方程； （2）设动点 M 的极坐标为（，），射线 OM 与直线 l 相交于点 A，且满足|OA| |OM| 4，求点 M 轨迹的极坐标方程 【分析】 （1） 直接利用转换关系， 把参数方程极坐标方程
40、和直角坐标方程之间进行转换 （2）利用极径的应用求出结果 解：（1）直线 l 的参数方程为 ， （t 为参数），转换为直角坐标方程为 x+y 20转换为极坐标方程为 cos+sin+20 （2）设动点 M 的极坐标为（，），射线 OM 与直线 l 相交于点 A，且满足|OA| |OM| 4， 所以 A（ ， ）， 所以 ，转换为 2sin+2cos（0） 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径 的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 选修 4-5：不等式选讲 23已知 f（x）2|x+1|+|x1| （1）解不等式 f（x）4；
41、（2）设 f（x）的最小值为 m，实数 a，b，c 满足 a2+b2+c2m，证明： 【分析】（1）利用绝对值的意义，写出分段函数，即可求不等式 f（x）4 的解集； （2）利用绝对值不等式，求出 m，再利用柯西不等式进行证明 解：（1）f（x） ， ， ， ， 不等式 f（x）4 等价于 或 或 ， 解得 x1 或1x1 或 x1， 不等式的解集为 ，1； （2）由（1）可知，f（x）在（，1递减，在（1，+）递增， f（x）的最小值为 f（1）2， m2， 即 a2+b2+c22， 根据柯西不等式得（a+b+c）2（12+12+12）（a2+b2+c2）6， 故 【点评】本题考查不等式的解法，考查柯西不等式证明不等式，考查学生分析解决问题 的能力，属于中档题
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