1、吉林省延边州吉林省延边州 2020 届高三下学期届高三下学期 4 月教学质量检测月教学质量检测 数学（理）试题数学（理）试题 一选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1已知全集1,2,3,4,5,6,7,8,9I ，集合3,4,5,6A，集合5,6,7,8B ，则图中阴影部分所表示 的集合为（ ） A3,4,7,8 B3,4,5,6,7,8 C1,2,9 D5,6 2复数 21 1 1 i i 的实部为a，虚部为b，则ab（ ） A3 B2 C2 D3 3已知向量,1ax，2,by，4,2c ，满足ac，aba，则 x y
2、 （ ） A81 B9 C9 D81 4九章算术均输中有如下问题：“今有五人分十钱，令上二人所得与下三人等，上下人差均等，问 各得几何”其意思为“已知甲乙丙丁戊五人分 10 钱，甲乙两人所得与丙丁戊三人所得相同，且 甲乙丙丁戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱?”（“钱”是古代的一种重量单位）这个问题 中，乙所得为（ ） A 4 3 钱 B 7 3 钱 C 8 3 钱 D10 3 钱 5要得到sin 2 3 yx 的图像，只需将cos2yx的图像（ ） A向左平移 5 12 个单位长度 B向左平移 5 6 个单位长度 C向右平移 5 12 个单位长度 D向右平移 5 6 个单位长度 6命题“
3、对1,2x ， 2 0axxa”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A 1 2 a B 1 2 a C2a D 1 3 a 7 在正方体 1111 ABCDABC D中， 点EFG分别为棱 11 AD、 1 A A、 11 AB的中点， 给出下列四个结论： 1 EFBC 1 BCEFG平面；异面直线FG， 1 BC所成角的大小为 4 ； 1 ACEFG平面其 中所有正确结论的序号为（ ） A B C D 8已知圆 22 :122Cxy，若直线4ykx上总存在点P，使得过点P的圆C的两条切线互 相垂直，则实数k的取值范围是（ ） A 4 3 k 或0k B 3 4 k C 3 4 k 或1k
4、D1k 92013 年 5 月，华人数学家张益唐教授发表论文素数间的有界距离，破解了“孪生素数猜想”这一世 纪难题， 证明了孪生素数猜想的弱化形式 孪生素数就是指相差 2 的素数对， 最小的 6 对孪生素数是3,5， 5,7，11,13，17,19，29,31，41,43现从这 6 对孪生素数中取 2 对进行研究，则取出的 4 个 素数的和大于 100 的概率为（ ） A 1 3 B 1 5 C 1 6 D 2 5 10已知 1 F， 2 F是双曲线 22 22 1 xy ab ，0,0ab的两个焦点，以线段 12 FF为边作正三角形 12 MFF， 若边 1 MF的中点在双曲线上，则双曲线的
5、离心率是（ ） A 31 2 B2 31 C42 3 D31 11三棱锥PABC内接于半径为 2 的球中，PAABC 平面， 2 BAC ，2 2BC ，则三棱锥 PABC的体积的最大值是（ ） A4 2 B2 2 C 4 2 3 D 3 2 4 12已知函数 2 2 log1 ,13 816,3, xx f x xxx ，若方程 f xm有 4 个不同的实数根 1 x， 2 x， 3 x， 4 x且 1234 xxxx，则 34 12 11 xx xx （ ） A6 B7 C8 D9 二填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13在 5678 1111xxxx的展开式中，含
6、5 x的项的系数是_ 14在等比数列 n a中，若 5713 4aaaa，则 6 2 a a _ 15 若函数 f x与 g x满足： 存在实数t， 使得 f tg t， 则称函数 g x为 f x的 “友导” 函数 已 知函数 2 1 3 2 g xkxx为函数 2 lnf xxxx的“友导”函数，则k的取值范围是_ 16数学中有许多形状优美寓意美好的曲线，曲线 22 :1C xyx y 就是其中之一（如图）给出下列 三个结论： 曲线C恰好经过 6 个整点（即横纵坐标均为整数的点）； 曲线C上存在到原点的距离超过2的点； 曲线C所围成的“心形”区域的面积小于 3 其中，所有错误结论的序号是_
7、 三解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生 都必须作答第 2223 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：60 分 17在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 3 sincoscossin 2 aBBbABc （1）若236ac，求边b的大小； （2）若 1 coscos 4 AC 且2 3b ，求ABC的面积 18 已知ABC中，90ABC，2 6AC ，2 2BC ，D，E分别是AC，AB的中点， 将ABC 沿DE翻折，得到如图所示的四棱锥PBCDE，且120PEB，设F为PC的中点 （1）证明：BCDF；
8、（2）求直线PD与平面PBC所成角的的正弦值 19某村为了脱贫致富，引进了两种麻鸭品种，一种是旱养培育的品种，另一种是水养培育的品种为了 了解养殖两种麻鸭的经济效果情况，从中随机抽取 500 只麻鸭统计了它们一个季度的产蛋量（单位：个）， 制成了如图的频率分布直方图，且已知麻鸭的产蛋量在85,105的频率为 0.66 （1）求a，b的值； （2）已知本次产蛋量近似服从 2 XN，（其中近似为样本平均数， 2 似为样本方差）若本村 约有 10000 只麻鸭，试估计产蛋量在 110120 的麻鸭数量（以各组区间的中点值代表该组的取值） （3）若以正常产蛋 90 个为标准，大于 90 个认为是良种，
9、小于 90 个认为是次种根据统计得出两种培育 方法的2 2列联表如下，请完成表格中的统计数据，并判断是否有 99.5%的把握认为产蛋量与培育方法有 关 良种 次种 总计 旱养培育 160 260 水养培育 60 总计 340 500 附： 2 ,XN ，则 0.6827PX ， 220.9545PX ，330.9973PX 2 2 n adbc K abcdacbd ，其中nabcd 2 0 P Kk 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 20已知函数 l
10、n a f xxx x （1）若1a ，求曲线 f x在点 1,1f处的切线方程； （2）对任意的 1 , 2 x ， 2x xf xex，恒成立，请求出a的取值范围 21 已 知 椭 圆 22 2 :110 3 xy Ca a 的 右 焦 点F在 圆 2 2 :21Dxy上 ， 直 线 1 :30xm ym交椭圆于M，N两点 （1）求椭圆C的方程； （2）若OMON（O为坐标原点），求m的值； （3）设点N关于x轴对称点为 1 N（ 1 N与点M不重合），且直线 1 N M与x轴交于点P，试问PMN的 面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由 （二）选考题：共 10
11、分请考生在第 2223 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 1 cos sin x y （为参数），曲线 2 C的参数方程为 3 13 xt yt （t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 1 C， 2 C的极坐标方程； （2）若射线1:0 分别交 1 C， 2 C于A，B两点，求 OA OB 的最大值 23设函数 231f xxx （1）解不等式 4f x ； （2）若存在 0 3 ,1 2 x 使不等式 0 1af x成立，求实数a的取值范围 延边州延边州 2020 年高三教学质量检测年
12、高三教学质量检测 理科数学参考答案及评分标准理科数学参考答案及评分标准 一、选择填空题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B D B A C D A B D C C 二、填空题 1384； 144； 152,； 16 三、解答题 17解（1）在ABC中，由正弦定理可得 3 sinsincossincossinsin 2 ABBBABC， 3 sinsincoscossinsin 2 BABABC， 3 sinsinsin 2 BABC， 3 sinsinsin 2 BCC， 在锐角ABC中，sin0C ， 3 sin 2 B， 1 cos 2 B， 由已知得
13、3a ，2c 所以由余弦定理 222 2cos7bacacB7b ， （2）由 1 coscoscossinsincos 2 ACACACB ， 3 sinsin 4 AC， 由正弦定理得 sinsinsin abc ABC 2 2 sinsinsin acb ACB ， 2 33 44 acb ， 2 bac 2 12b ，12ac， 113 sin123 3 222 ABC SacB 18（1）证明：取BC的中点G，连接DG，FG，DEBG，且DEBG 四边形BGDE是平行四边形，DGBE， D，E分别是AC，AB的中点，DEBC，90ABC，DEBE，DEPE， PEBEE，又PE，BE
14、PBE 平面 DEPBE 平面，BCPBE 平面， PBPBE 平面，BCPB，FGPB，BCFG， BCBE，DGBE，BCDG FGDGG，又FG，DGDFG 平面，BCDFG， DFDFG 平面，又BCDF （2）由（1）知：DEPBE 平面，以E为坐标原点，ED为x轴，EB为y轴，建立如图所示的空间 直角坐标系Exyz，120PEB，30PEH 在ABC中，90ABC，2 6AC ， 2 2BC ，4AB，2PE，2ED ， 点P到z轴的距离为 1， 0, 1, 3P， 2,0,0D，0,2,0B， 2 2,2,0C， 0,3,3PB ， 2 2,0,0BC ， 2,1,3PD ， 设
15、平面PBC的法向量为, ,znx y， 由 330 2 20 n PByz n BCx ，得 3 0 zy x ， 令1y ，得 0,1, 3n 设直线PD与平面PBC所成的角为 所以 2,1,3PD，则 26 sincos, 626 n PD n PD n PD 即直线PD与平面PBC所成的角的正弦值为 6 6 19解：（1）由产蛋量在85,105的频率为 0.66，可得产蛋量在85,105的麻鸭数量为500 0.66330 （只） 产蛋量在75,85的麻鸭数量为0.006 10 50030（只） 产蛋量在85,95的麻鸭数量为0.024 10 500120（只） 产蛋量在115,125的麻
16、鸭数量为0.008 10 50040（只） 330 120500 100.042a ，500 330 3040500 100.02b （2） 1 80 3090 120 100 210 110 100 120 40100 500 22222 2 1 301008012010090210100 100100100 11040100120 500 因为 1 1101201002 101002 10100 10100 100.1359 2 PXPXPX 所以 10000 只麻鸭中估计产蛋量在 110120 的麻鸭数量为0.1359 100001359（只） （3）填表如下： 良种 次种 总计 旱养培
17、育 100 160 260 水养培育 60 180 240 总计 160 340 500 所以 2 2 500100 18060 160 10.3937.879 260 240 160 340 K ， 所以有 99.5%的把握认为产蛋量与培育方法有关 20解：（1）因为1a ，所以 2 11 1 fx xx ， 11 f ， 12f 所以切线方程为1yx （2）不等式 2x xf xex，对任意的 1 , 2 x 恒成立， 即ln x aexx对任意的 1 , 2 x 恒成立 令 ln x v xexx，则 ln1 x v xex， 令 ln1 x xex，则 1 x xe x ， 易知 x在
18、 1 , 2 上单调递增， 因为 1 2 1 20 2 e ， 110e ，且 x的图象在 1 ,1 2 上连续， 所以存在唯一的 0 1 ,1 2 x ，使得 0 0x，即 0 0 1 0 x e x ，则 00 lnxx 当 0 1 , 2 xx 时， x单调递减， 当 0, xx时， x单调递增 则 x在 0 xx处取得最小值， 且最小值为 0 0000 00 11 ln1121 10 x xexxx xx ， 所以 0v x，即 v x在 1 , 2 上单调递增， 所以 1 2 11 ln 22 ae 21解：（1）求得圆 2 2 :21Dxy与x轴交点是 3,0，1,0 所以3c 或
19、2c ，从而 2 12a 或 2 4a （舍去） 故椭圆方程是 22 1 123 xy （2）设 11 ,M x y， 22 ,N xy直线方程与椭圆方程联立得 22 4630mymy 所以 12 2 6 4 m yy m ， 12 2 3 4 y y m ，既而得 2 12 2 36 12 4 m x x m 由OMON得 1212 0x xy y得 11 2 m （3）因为 11 ,M x y， 122 ,Nxy所以直线 1 MN的方程为 11 2121 yyxx yyxx 令0y 得到 1211212 1 1212 23 4 P yxxmy yyy xx yyyy 所以 2 2 1212
20、122 2 2 1113612 4 2224 4 ABC m SFPyyyyy y m m 2 2 2 2 2 11 2 32 31 9 4 16 1 m m m m 当且仅当2m 时，取等号，所以最大值为 1 22解：（1）曲线 1 C的普通方程为 2 2 11xy，极坐标方程为2cos 曲线 2 C的普通方程为340xy，极坐标方程为3 cossin40 （2）射线l分别交 1 C， 2 C于A，B两点， 则 1 2cosOA， 2 4 3cossin OB ， 1 2 2cos 4 3cossin OA OB 2cos3cossin 4 2 3cossincos 2 2 313 cos1
21、2sincos 222 2 313 cos2sin2 222 2 13 sin 2 234 12 时， max 23 4 OA OB 23解：（1） 231f xxx 3 32 2 3 41 2 321 xx f xxx xx 3 42 324 x f x x 或 3 1 2 44 x x 或 1 324 x x 2x或01x或1x 综上，不等式 4f x 的解集为： , 20, （2）由（1）知， 3 ,1 2 x 时， 4f xx 3 2 x 时， min 5 2 f x 若存在 0 3 ,1 2 x 使不等式 0 1af x成立 53 1 22 aa或 7 2 a 实数a的取值范围为 73 , 22
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