1、2020 年高考数学二模试卷（理科）年高考数学二模试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题）. 1设集合 Ax|21x4，Bx|x24x120，则 A（RB）（ ） A（2，1） B（3，6） C（3，6 D（6，2） 2已知复数 z1i， 为 z 的共轭复数，则 （ ） A B C D 3已知向量 （0，2）， （2 ，x），且 与 的夹角为 ，则 x（ ） A2 B2 C1 Dl 4若 x，y 满足约束条件 ， ， ， ，则 z4x+y 的取值范围为（ ） A5，1 B5，5 C1，5 D7，3 5如图所示的程序框图，当其运行结果为 31 时，则图中判断框处应填入的是（ ） Ai3？ Bi
2、4？ Ci5？ Di6？ 6函数 f（x）x3cosx+xln|x|在，0）（0，的图象大致为（ ） A B C D 7山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外据统计， 烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm）服从正态分布 N（80，52），则 直径在（75，90内的概率为（ ） 附：若 XN（ ，2），则 P（ X +）0.6826，P（2X +2） 0.9544 A0.6826 B0.8413 C0.8185 D0.9544 8已知椭圆 与直线 交于 A，B 两点焦点 P（0，c），其 中 c 为半焦距，若ABF 是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
3、A B C D 9将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 g（x）的图 象，给出下列关于 g（x）的结论： 它的图象关于直线 对称；它的最小正周期为 它的图象关于点 ， 对称；它在 ， 上单调递增 其中所有正确结论的编号是（ ） A B C D 10如图，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1， ，E，F 分别为 AB，BC 的中点，异 面直线 AB1与 C1F 所成角的余弦值为 m，则（ ） A直线 A1E 与直线 C1F 异面，且 B直线 A1E 与直线 C1F 共面，且 C直线 A1E 与直线 C1F 异面，且 D直线 A1E 与直线 C1F 共面，且 11 南宋数学家杨辉在 详解九
4、章算法 和 算法通变本末 中， 提出了一些新的垛积公式， 所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之 差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究， 在杨辉之后一般称为 “垛积术” 现 有高阶等差数列， 其前 7 项分别为 1， 4， 8， 14， 23， 36， 54， 则该数列的第 19 项为 （ ） （注： ） A1624 B1198 C1024 D1560 12已知函数 f（x）ax2x+lnx 有两个不同的极值点 x1，x2，若不等式 f（x1）+f（x2）2 （x1+x2）+t 有解，则 t 的取值范围是（ ） A（，2ln2） B（，2ln2
5、C（，11+2ln2） D（，11+2ln2 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡中的横线上. 13已知数列an是等比数列，a11，a336，则 a2 14已知双曲线 1（ab0）与抛物线 y 28x 有一个共同的焦点 F，两曲线的一 个交点 P，若|PF|5，则点 F 到双曲线的渐近线的距离为 15 若 x5a0+a1（x2） +a2（x2） 2+a 5（x2） 5， 则 a 1 ， a1+a2+a5 16如图，在三棱锥 ABCD 中，点 E 在 BD 上，EAEBECED，BD CD，ACD 为正三角形，点 M，N 分别在 AE，CD 上运动（不含
6、端点），且 AMCN，则当四面体 CEMN 的体积取得最大值 时，三棱锥 ABCD 的外接球的表面积为 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证眀过程或演算步骤.第 17 21 题为必考题，每道试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一） 必考题：共 60 分 17ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知（sinA+sinB）（ab）+bsinC csinC点 D 为边 BC 的中点，且 AD （1）求 A； （2）若 b2c，求ABC 的面积 18 追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向 为了
7、改善空 气质量，某城市环保局随机抽取了一年内 100 天的空气质量指数（AQI）的检测数据，结 果统计如下： AQI 0，50 （50，100 （100，150 （150，200 （200，250 （250，300 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 天数 6 14 18 27 25 10 （1）从空气质量指数属于0，50，（50，100的天数中任取 3 天，求这 3 天中空气质量 至少有 2 天为优的概率； （2）已知某企业每天的经济损失 y（单位：元）与空气质量指数 x 的关系式为 ， ， ， ，试估计该企业一个月（按 30 天计算）的经济损失的数学期 望 19如图，
8、ABCD 是正方形，点 P 在以 BC 为直径的半圆弧上（P 不与 B，C 重合），E 为 线段 BC 的中点，现将正方形 ABCD 沿 BC 折起，使得平面 ABCD平面 BCP （1）证明：BP平面 DCP （2）三棱锥 DBPC 的体积最大时，求二面角 BPDE 的余弦值 20设抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，准线为 l，AB 为过焦点 F 且垂直于 x 轴的 抛物线 C 的弦，已知以 AB 为直径的圆经过点（1，0） （1）求 p 的值及该圆的方程； （2）设 M 为 l 上任意一点，过点 M 作 C 的切线，切点为 N，证明：MFNF 21已知函数 f（x）ax2+ax+
9、1e2x （1）若函数 g（x）f（x），试讨论 g（x）的单调性； （2）若x（0，+），f（x）0，求 a 的取值范围 （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，已知点 M（1， ），C1的参数方程为 （t 为参数）， 以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 2+cos2 （1）求 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程； （2）设曲线 C1与曲线 C2相交于 A，B 两点，求 的值 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数
10、 f（x）|x3|+|x1| （1）求不等式 f（x）6 的解集； （2）设 f（x）的最小值为 M，正数 a，b 满足 a2+4b2M，证明：a+2b4ab 参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1设集合 Ax|21x4，Bx|x24x120，则 A（RB）（ ） A（2，1） B（3，6） C（3，6 D（6，2） 【分析】根据题意求出集合 A、B，由补集的运算求出RB，由并集的运算得到结果 解：因为 Ax|3x1，Bx|x2 或 x6，即RBx|2x6，所以 A RB（3，6）， 故选：B 【点评
11、】本题考查了并、补集的混合运算，属于基础题 2已知复数 z1i， 为 z 的共轭复数，则 （ ） A B C D 【分析】把 z1i 代入 ，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 解：z1i， ， 故选：C 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3已知向量 （0，2）， （2 ，x），且 与 的夹角为 ，则 x（ ） A2 B2 C1 Dl 【分析】由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，求出 x 的值 解：向量 （0，2）， （2 ，x），且 与 的夹角为 ， 0+2x2 cos ，即 2x ，求得 x2， 故选：B 【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义
12、和公式，属于基础题 4若 x，y 满足约束条件 ， ， ， ，则 z4x+y 的取值范围为（ ） A5，1 B5，5 C1，5 D7，3 【分析】画出不等式组表示的平面区域，结合图形找出最优解，求出目标函数的最值即 可 解：画出可行域（图略）， 由图可知，当直线 z4x+y 经过点 A（1，1）时，z 取得最小值5； 经过点 B（1，1）时，z 取得最大值 5， 故5z5 故选：B 【点评】本题主要考查了用平面区域表示二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数 形结合的思想，属中档题目标函数有唯一最优解是最常见的问题，这类问题一般要分 三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解 5如图所示的程序框
13、图，当其运行结果为 31 时，则图中判断框处应填入的是（ ） Ai3？ Bi4？ Ci5？ Di6？ 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 解：模拟程序的运行，可得 当 S1 时，i9； 当 S1+910 时，i8； 当 S1+9+818 时，i7； 当 S1+9+8+725 时，i6； 当 S1+9+8+7+631 时，i5 此时输出 S31，则图中判断框处应填入的是 i5？ 故选：C 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题
14、 6函数 f（x）x3cosx+xln|x|在，0）（0，的图象大致为（ ） A B C D 【分析】判断函数的奇偶性，利用 f（）的对应性进行排除即可 解：f（x）是奇函数，排除 C，D； f（）（ln2）0，排除 A 故选：B 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性结合排除法是 解决本题的关键比较基础 7山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外据统计， 烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm）服从正态分布 N（80，52），则 直径在（75，90内的概率为（ ） 附：若 XN（ ，2），则 P（ X +）0.6826，P（2X
15、+2） 0.9544 A0.6826 B0.8413 C0.8185 D0.9544 【分析】利用正态分布的对称性可得：直径在（75，90内的概率P（2X+2 ） P（ 2X+2）P（ X +），即可得出 解：烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm）服从正态分布 N（80，52）， 可得：80，5 则直径在（75，90内的概率P（2X +2） P（ 2X+2）P （ X +） P（2X +2）+P（X +） （0.6826+0.9544）0.8185 故选：C 【点评】本题考查了正态分布的对称性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 8已知椭圆 与直线 交于 A，B 两点焦点 P（0
16、，c），其 中 c 为半焦距，若ABF 是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A B C D 【分析】利用已知条件求出 A、B 坐标，结合三角形是直角三角形，推出 a、b、c 关系， 然后求解离心率即可 解：椭圆 与直线 交于 A，B 两点焦点 P（0，c），其 中 C 为半焦距， 若ABF 是直角三角形，不妨设 A（0，a），B（b，0）， 则 0，解得 b 2ac，即 a2c2ac，即 e2+e10，e（0，1）， 故 e 故选：A 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查 9将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 g（x）的图 象，给出下列关于 g（x）的结论： 它
17、的图象关于直线 对称；它的最小正周期为 它的图象关于点 ， 对称；它在 ， 上单调递增 其中所有正确结论的编号是（ ） A B C D 【分析】由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质， 得出结论 解：将函数 2sin（3x ）+1 的图象向左平移 个单位长 度， 得到函数 g（x）2sin（3x ）+12sin（3x ）+1 的图象 令x ， 求得g （x） 2sin 10， 不是最值， 故g （x） 的图象不关于直线 对称， 故 不正确； 它的最小正周期为 ，故正确； 当 x 时，g（x）1，故 g（x）的图象关于点 ， 对称，故正确； 在 ， 上，3x 5 ，6
18、 ，g（x）没有单调性，故错误， 故选：B 【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，属于中档题 10如图，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1， ，E，F 分别为 AB，BC 的中点，异 面直线 AB1与 C1F 所成角的余弦值为 m，则（ ） A直线 A1E 与直线 C1F 异面，且 B直线 A1E 与直线 C1F 共面，且 C直线 A1E 与直线 C1F 异面，且 D直线 A1E 与直线 C1F 共面，且 【分析】连结 EF，A1C1，C1D，DF，推导出 EFA1C1，从而直线 A1E 与直线 C1F 共面， 由题意得 AB1C1D，得异面直线 AB1与 C1F 所成角为
19、DC1F，由此能推导出直线 A1E 与直线 C1F 共面，且 解：连结 EF，A1C1，C1D，DF， E，F 分别为 AB，BC 的中点，EFA1C1， 直线 A1E 与直线 C1F 共面， 由题意得 AB1C1D，异面直线 AB1与 C1F 所成角为DC1F， 设 AA1 ，则 AB 2，则 DF ，C1F ， ， 由余弦定理得异面直线 AB1与 C1F 所成角的余弦值： mcosDC1 F 综上：直线 A1E 与直线 C1F 共面，且 故选：B 【点评】本题考查两直线的位置关系的判断，考查异面直线所成角的余弦值的求法，考 查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，
20、是中档题 11 南宋数学家杨辉在 详解九章算法 和 算法通变本末 中， 提出了一些新的垛积公式， 所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之 差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究， 在杨辉之后一般称为 “垛积术” 现 有高阶等差数列， 其前 7 项分别为 1， 4， 8， 14， 23， 36， 54， 则该数列的第 19 项为 （ ） （注： ） A1624 B1198 C1024 D1560 【分析】设该数列为an，令 bnan+1an，设bn的前 n 项和为 Bn，又令 cnbn+1bn， 设cn的前 n 项和为n运用等差数列的通项公式和求和公
21、式，以及前 n 项自然数的平方 和公式，计算可得所求 解：设该数列为an，令 bnan+1an， 设bn的前 n 项和为 Bn， 又令 cnbn+1bn，设cn的前 n 项和为n 易 cnn， ，进而得 ， 所以 ，则 ， 所以 an+11+Bn，所以 a191024 故选：C 【点评】本题考查数列的求和，注意运用等差数列的通项公式和求和公式，考查构造数 列法，化简运算能力，属于中档题 12已知函数 f（x）ax2x+lnx 有两个不同的极值点 x1，x2，若不等式 f（x1）+f（x2）2 （x1+x2）+t 有解，则 t 的取值范围是（ ） A（，2ln2） B（，2ln2 C（，11+2
22、ln2） D（，11+2ln2 【分析】由题意可得，得 ，不等式 f（x1）+f（x2）2（x1+x2）+t 有解，即 t f（x1）+f（x2）2（x1+x2）的最大值，而 f（x1）+f（x2）2（x1+x2 ） 1ln2a， 令 h（a） 1ln2a，利用导数研究其最大值即可 解：根据条件 ， 因为函数 f（x）ax2x+lnx 有两个不同的极值点 x1，x2， 所以方程 2ax2x+10 有两个不相等的正实数根，则 ，解得 若不等式 f（x1）+f（x2）2（x1+x2）+t 有解， 所以 tf（x1）+f（x2）2（x1+x2）max 因为 设 ， ， 故 h（a）在 ， 上单调递增
23、， 故 ， 所以 t11+2ln2， 所以 t 的取值范围是（，11+2ln2） 故选：C 【点评】本题考查利用导数研究函数的极值及恒成立问题，考查降元思维及化简变形， 运算求解能力，属于中档题 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡中的横线上. 13已知数列an是等比数列，a11，a336，则 a2 6 【分析】结合已知及等比数列的通项公式可求公比 q，进而可求 解：设an的公比为 q，由 a11，a336，得 q236， 所以 q6， 故 a26 故答案为：6 【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式的简单应用，属于基础试题 14已知双曲线 1（ab
24、0）与抛物线 y 28x 有一个共同的焦点 F，两曲线的一 个交点 P，若|PF|5，则点 F 到双曲线的渐近线的距离为 【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得 p 和 c 的关系，根据抛物线的定义可以 求出 P 的坐标，代入双曲线方程与 p2c，b2c2a2，解得 a，b，得到渐近线方程，再 由点到直线的距离公式计算即可得到 解：抛物线 y28x 的焦点坐标 F（2，0），p4， 抛物线的焦点和双曲线的焦点相同， p2c，即 c2， 设 P（m，n），由抛物线定义知： |PF|m m+25，m3 P 点的坐标为（3， ） 解得：a1，b ， 则渐近线方程为 y x， 即有点 F 到双曲线
25、的渐近线的距离为 d ， 故答案为： 【点评】本题主要考查了双曲线，抛物线的简单性质考查了学生综合分析问题和基本 的运算能力解答关键是利用性质列出方程组 15 若 x5a0+a1（x2） +a2（x2） 2+a 5（x2） 5， 则 a 1 80 ， a1+a2+a5 211 【分析】根据右边的特点，可将左边看成2+（x2）5，然后利用赋值法求解 解：x52+（x2）5， 则 令 x3，得 ；令 x2，得 ，故 a1+a2+ +a524332211 故答案为：80，211 【点评】本题考查二项式定理的逆用和赋值法要注意对二项式定理的准确理解属于 中档题 16如图，在三棱锥 ABCD 中，点 E
26、 在 BD 上，EAEBECED，BD CD，ACD 为正三角形，点 M，N 分别在 AE，CD 上运动（不含端点），且 AMCN，则当四面体 CEMN 的体积取得最大值 时，三棱锥 ABCD 的外接球的表面积为 32 【分析】设 EDa，则 CD a可得 CEED当平面 ABD平面 BCD 时，当四面 体 CEMN 的体积才有可能取得最大值，设 AMx则四面体 CEMN 的体积 （a x） ax ax（ax）利用基本不等式的性质可得最大值，进而得出结 论 解：设 EDa，则 CD a可得 CE2+DE2CD2，CEED 当平面 ABD平面 BCD 时， 当四面体 CEMN 的体积才有可能取得
27、最大值， 设 AMx 则四面体CEMN的体积 （ax） ax ax （ax） a ， 当且仅当 x 时取等号 解得 a2 此时三棱锥 ABCD 的外接球的表面积4a232 故答案为：32 【点评】本题考查了直角三角形的性质、三棱锥的体积计算公式、基本不等式的性质、 球的表面积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证眀过程或演算步骤.第 17 21 题为必考题，每道试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一） 必考题：共 60 分 17ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知（sin
28、A+sinB）（ab）+bsinC csinC点 D 为边 BC 的中点，且 AD （1）求 A； （2）若 b2c，求ABC 的面积 【分析】（1）由已知结合正弦定理可得，b2+c2a2bc，然后结合余弦定理可求 cosA， 进而可求 A； （2）先结合第一问的结论求出B ，C ；再在直角BAD 中求出边长即可求出结 论 解：（1）ABC 中，（sinA+sinB）（ab）+bsinCcsinC； （sinA+sinB）（ab）（sinCsinB）c， 由正弦定理可得，（a+b）（ab）（cb）c， 化简可得，b2+c2a2bc， 由余弦定理可得，cosA ， 0A， A ， （2）b2+c
29、2a2bc，b2c， a23c2b2c2， B ，C ； ； 在直角BAD 中，AD2c2 7c2 c 2c2，a2 ； SABC ac2 【点评】本题综合考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式等知识的综合应用， 属于中档试题 18 追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向 为了改善空 气质量，某城市环保局随机抽取了一年内 100 天的空气质量指数（AQI）的检测数据，结 果统计如下： AQI 0，50 （50，100 （100，150 （150，200 （200，250 （250，300 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 天数 6 14 1
30、8 27 25 10 （1）从空气质量指数属于0，50，（50，100的天数中任取 3 天，求这 3 天中空气质量 至少有 2 天为优的概率； （2）已知某企业每天的经济损失 y（单位：元）与空气质量指数 x 的关系式为 ， ， ， ，试估计该企业一个月（按 30 天计算）的经济损失的数学期 望 【分析】（1）设 为选取的 3 天中空气质量为优的天数，则 P（2）P（2）+P （3）由此能求出这 3 天中空气质量至少有 2 天为优的概率 （2）任选一天，设该天的经济损失为 X 元，则 X 的可能取值为 0，220，1480，由此能 求出该企业一个月的经济损失的数学期望 解：（1）设 为选取的
31、3 天中空气质量为优的天数， 则 P（2）P（2）+P（3） （2）任选一天，设该天的经济损失为 X 元， 则 X 的可能取值为 0，220，1480， P（X0）P（0X100） ， P（X220）P（100X250） ， P（X1480）P（250X300） ， E（X） 302（元）， 故该企业一个月的经济损失的数学期望为 30EX9060（元） 【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查互斥事件 概率加法定理、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19如图，ABCD 是正方形，点 P 在以 BC 为直径的半圆弧上（P 不与 B，C 重合），E 为 线
32、段 BC 的中点，现将正方形 ABCD 沿 BC 折起，使得平面 ABCD平面 BCP （1）证明：BP平面 DCP （2）三棱锥 DBPC 的体积最大时，求二面角 BPDE 的余弦值 【分析】（1）先证明 DC平面 BPC，得到 BPDC，再证明线面垂直即可； （2）以 E 为原点，分别以 EB，EP，EG 所在直线为为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示 的空间直角坐标系，求出平面 BDP 和平面 EDP 的法向量，利用夹角公式求出即可 【解答】（1）证明：因为平面 ABCD平面 BPC，且 ABCD 是正方形， 所以 DC平面 BPC， 因为 BP平面 BPC，所以 BPDC， 因为点
33、 P 在以 BC 为直径的半圆弧上，所以 BPPC， 又 DCPCC，所以 BP平面 DCP； （2）解：根据题意，当点 P 位于 BC 的中点时，BCP 的面积最大，三棱锥 DBPC 的 体积也最大， 不妨设 BC2，记 AD 中点为 G， 以 E 为原点，分别以 EB，EP，EG 所在直线为为 x 轴、y 轴、z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 E（0，0，0），B（1，0，0），D（1，0，2），P（0，1，0）， ， ， ， ， ， ， ， ， 设平面 BDP 的法向量为 ， ， ， 则 令 x1，得 ， ， ， 设平面 DEP 的法向量为 ， ， ， ， 令 a2，得 ，
34、， ， 所以 cos ， ， 由图可知，二面角 BPDE 为锐角， 故二面角 BPDE 的余弦值为 【点评】考查面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理和性质定理，向量法求二面角 的余弦值，中档题 20设抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，准线为 l，AB 为过焦点 F 且垂直于 x 轴的 抛物线 C 的弦，已知以 AB 为直径的圆经过点（1，0） （1）求 p 的值及该圆的方程； （2）设 M 为 l 上任意一点，过点 M 作 C 的切线，切点为 N，证明：MFNF 【分析】（1）易知 A（ ，p），所以 p ，即可解得 p 的值，得到圆心坐标 为（1，0），半径为 2，从而求出改圆的
35、方程； （2）设 M（1，y0），MN 的方程为 yk（x+1）+y0，与抛物线方程联立，由0 可 得令0 可得 ，所以 ，与抛物线方程联立可求出 N 点的坐标，从而得 到 0，故 MFNF 解：（1）易知 A 点的坐标为（ ，p）， 所以 p ，解得 p2， 又圆的圆心为 F（1，0）， 所以圆的方程为（x1）2+y4； （2）证明：易知直线 MN 的斜率存在且不为 0， 设 M（1，y0），MN 的方程为 yk（x+1）+y0，代入 C 的方程得 ky24y+4（y0+k） 0， 令1616k（y0+k）0得 ， 所以 ky24y+4（y0+k） 0，解得 ， 将 代入 C 的方程，得 x
36、 ，即 N 点的坐标为（ ， ）， 所以 （2，y0）， （ ， ）， 所以 2 y 0 2 （ ） 0 故 MFNF 【点评】本题主要考查了抛物线的方程，以及直线与抛物线的位置关系，考查了平面向 量的基本知识，是中档题 21已知函数 f（x）ax2+ax+1e2x （1）若函数 g（x）f（x），试讨论 g（x）的单调性； （2）若x（0，+），f（x）0，求 a 的取值范围 【分析】（1）根据导数和函数单调性，分类讨论即可判断函数的 g（x）的单调性； （2）根据导数和函数最值的关系，分离参数，即可求出 a 的取值范围 解：（1）因为 g（x）f（x）2ax+a2e2x， 所以 g（x）2
37、a4e2x2（2e2xa）， 当 a0 时，g（x）0，g（x）在一、选择题上单调递减 当 a0 时，令 g（x）0，则 ：令 g（x）0，则 ， 所以 g（x）在 ， 上单调递增，在 ， 上单调递减 综上所述，当 a0 时，g（x）在 R 上单调递减； 当 a0 时，g（x）在 ， 上单调递增，在 ， 上单调递减 （2） ， 令 f（x）0，得 设 ，则 当 x0 时，h（x）0，h（x）在（0，+）上单调递增， 所以 h（x）在（0，+）上的值域是（2，+），即 当 a2 时，f（x）0 没有实根，且 f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递减，f（x） f（0）0，符合题意 当 a2 时
38、，h（0）2a， 所以 有唯一实根 x0， 当 x（0，x0）时，f（x）0，f（x）在（0，x0）上单调递增，f（x）f（0）0，不 符合题意 综上，a2，即 a 的取值范围为（，2 【点评】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研究函数的 单调性、极值，并考查数学证明利用导数研究函数的单调性，求解函数的单调区间、 极值、最值问题，是函数这一章最基本的知识，也是教学中的重点和难点，学生应熟练 掌握 （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，已知点
39、M（1， ），C1的参数方程为 （t 为参数）， 以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 2+cos2 （1）求 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程； （2）设曲线 C1与曲线 C2相交于 A，B 两点，求 的值 【分析】（1）由代入消元法，消去 t 可得 C1的普通方程；由 xcos，x2+y22，代 入计算可得 C2的直角坐标方程； （2）判断 M 在 C2上，设出曲线 C1的参数的标准方程，代入曲线 C2的直角坐标方程， 再由韦达定理和参数的几何意义，计算可得所求值 解：（1）由 C1的参数方程 （t 为参数），消去参数 t，可得 ， 由曲
40、线 C2的极坐标方程 2+cos2，得 22 +2cos2 3， 由 xcos，x2+y22， 所以 C2的直角坐方程为 3x2+2y23，即 （2）因为 ， 在曲线 C1上， 故可设曲线 C1的参数方程为 （t 为参数）， 代入 3x2+2y23，化简可得 3t2+8t+20， 设 A，B 对应的参数分别为 t1，t2，则644320， 且 ， ， 所以 【点评】本题考查参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线的参数方程 的运用，注意参数的几何意义，考查方程思想和运算能力，属于中档题 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x3|+|x1| （1）求不等式 f（x）6 的
41、解集； （2）设 f（x）的最小值为 M，正数 a，b 满足 a2+4b2M，证明：a+2b4ab 【分析】（1）先将 f（x）写为分段函数的形式，然后根据 f（x）6 利用零点分段法解 不等式即可； （2） 先利用绝对值三角不等式求出 f （x） 的最小值 M， 然后利用分析法证明不等式即可 解：（1）f（x）|x3|+|x1| ， ， ， f（x）6， 或 或 ， 即以1x1 或 3x5 或 1x3， 不等式的解集为1，5 （2）（x）|x+3|+|x1|x3x+1|2，M2， a0，b0，要证 a+2b4ab，只需证（a+2b）216a2b2， 即证 a2+4b2+4ab16a2b2， a2+4b22，只要证 2+4ab16a2b2， 即证 8（ab）22ab10，即证（4ab+1）（2ab1）0， 4ab+10，只需证 ， 2a2+4b24ab， 成立， a+2b4ab 【点评】 本题考查了绝对值不等式的解法， 绝对值三角不等式和利用分析法证明不等式， 考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题
浙公网安备33030202001339号