1、2020 年高考数学模拟试卷（年高考数学模拟试卷（5 月份）月份） 一、选择题 1已知集合 U1，2，3，4，5，6，A1，3，5，B2，3，4，则集合 AUB 是 （ ） A1，3，5，6 B1，3，5 C1，3 D1，5 2设 xR，则“|x2|1”是“x24x+30”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件 3某校有 200 位教职员工，其每周用于锻炼所用时间的频率分布直方图如图所示据图估 计，每周锻炼时间在10，12小时内的人数为（ ） A18 B36 C54 D72 4函数 f（x） （其中 e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ） A B
2、 C D 5已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积 为 ，AB2，AC1，BAC60，则此球的表面积等于（ ） A8 B9 C10 D11 6已知函数 f（x）2|x|log |x|，且 af（ln ），bf（log 2 ），cf（2 1），则 a，b， c 的大小关系为（ ） Acab Bbca Cacb Dbac 7已知函数 f（x）sin（x+）（0，| ），其图象相邻两条对称轴之间的距离 为 ，且函数 f（x ）是偶函数，下列判断正确的是（ ） A函数 f（x）的最小正周期为 2 B函数 f（x）的图象关于点（ ，0）d 对称 C函数 f（
3、x）的图象关于直线 x 对称 D函数 f（x）在 ，上单调递增 8已知双曲线 C： 1（a0，b0）的左焦点为 F（c，0），抛物线 y 24cx 的准线与双曲线的一个交点为 P， 点 M 为线段 PF 的中点， 且OFM 为等腰直角三角形， 则双曲线 C 的离心率为（ ） A B 1 C D 9已知函数 f（x） ， ， ，若函数 g（x）|f（x）|x+m 恰有三个零点，则实 数 m 的取值范围是（ ） A ， ， B ， ， C ， ， D ， ， 二.填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分. 10复数 的共轭复数是 11（ ） 6的展开式中常数项是 12已知圆心为
4、C 的圆经过点 A（1，1）和 B（2，2），且圆心 C 在直线 l：xy1 0 上，则圆心为 C 的圆的标准方程是 13已知箱中装有 10 个不同的小球，其中 2 个红球、3 个黑球和 5 个白球，现从该箱中有 放回地依次取出 3 个小球则 3 个小球颜色互不相同的概率是 ；若变量 为取出 3 个球中红球的个数，则 的数学期望 E（）为 14已知正数 x，y 满足 3，则当 x 时，x+y 的最小值是 15在平面凸四边形 ABCD 中，AB2，点 M，N 分别是边 AD，BC 的中点，且 ， 若 ，则 三.解答题：本大题共 5 个小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16
5、在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 bc1，cosA ，ABC 的 面积为 2 （）求 a 及 sinC 的值； （）求 cos（2A ）的值 17如图，在四棱锥 PABCD 中，PAD 为等边三角形，边长为 2，ABC 为等腰直角三 角形，ABBC，AC1，DAC90，平面 PAD平面 ABCD （1）证明：AC平面 PAD； （2）求平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值； （3） 棱 PD 上是否存在一点 E， 使得 AE平面 PBC？若存在， 求出 的值； 若不存在， 请说明理由 18已知等比数列an的公比 q1，且 a3+a4+a528，a4+2
6、 是 a3，a5的等差中项数列bn 满足 b11，数列（bn+1bn）an的前 n 项和为 2n2+n （）求数列an的通项公式； （）求数列bn的通项公式 19已知点 A，B 分别是椭圆 C： 1（ab0）的左顶点和上顶点，F 为其右焦 点， 1，且该椭圆的离心率为 ； （）求椭圆 C 的标准方程； （） 设点 P 为椭圆上的一动点， 且不与椭圆顶点重合， 点 M 为直线 AP 与 y 轴的交点， 线段 AP 的中垂线与 x 轴交于点 N，若直线 OP 斜率为 kOP，直线 MN 的斜率为 kMN，且 kOP kMN （O 为坐标原点），求直线 AP 的方程 20（16 分）已知 f（x）x
7、24x6lnx （）求 f（x）在（1，f（1）处的切线方程以及 f（x）的单调性； （）对x（1，+），有 xf（x）f（x）x2+6k（1 ）12 恒成立，求 k 的最 大整数解； （）令 g（x）f（x）+4x（a6）lnx，若 g（x）有两个零点分别为 x1，x2（x1x2） 且 x0为 g（x）的唯一的极值点，求证：x1+3x24x0 参考答案 一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1已知集合 U1，2，3，4，5，6，A1，3，5，B2，3，4，则集合 AUB 是 （ ） A1，3，5，6 B1，3，5 C1，3 D1，5 【分析】先利用补集的定义算出U
8、B，再利用集合的交集运算即可求出 AUB 解：集合 U1，2，3，4，5，6，B2，3，4， UB1，5，6， AUB1，5， 故选：D 【点评】本题主要考查了集合的基本运算，是基础题 2设 xR，则“|x2|1”是“x24x+30”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件 【分析】先解出两个不等式，再判断充要性 解：“|x2|1”，解之得 x1 或 x3， “x24x+30”，解之得 x1 或 x3， 故“|x2|1”是“x24x+30”的充分必要条件 故选：C 【点评】本题考查充要性，以及解不等式，属于基础题 3某校有 200 位教职员工，其每周
9、用于锻炼所用时间的频率分布直方图如图所示据图估 计，每周锻炼时间在10，12小时内的人数为（ ） A18 B36 C54 D72 【分析】由频率分布直方图求出每周锻炼时间在10，12小时内的频率，由此能求出每周 锻炼时间在10，12小时内的人数 解：由频率分布直方图得： 每周锻炼时间在10，12小时内的频率为：1（0.03+0.06+0.18+0.14）20.18， 每周锻炼时间在10，12小时内的人数为：2000.1836 故选：B 【点评】本题考查频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 4函数 f（x） （其中 e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ） A
10、B C D 【分析】由函数为偶函数，排除 AC；由 x+时，f（x）0，排除 B，由此得到答案 解： ，故函数 f（x）为偶函数， 其图象关于 y 轴对称，故排除 A，C； 当 x+时，x3（ex1）ex+1，f（x）0，故排除 B 故选：D 【点评】本题考查函数图象的确定，考查读图识图能力，属于基础题 5已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积 为 ，AB2，AC1，BAC60，则此球的表面积等于（ ） A8 B9 C10 D11 【分析】由 AB2，AC1，BAC60可得三角形 ABC 的面积及外接圆的半径，再 由三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱
11、垂直于底面，所以三棱柱的外接球的球心是过底面外接圆 的圆心作垂直于底面的直线与中截面的交点，可得外接球的半径，进而求出外接球的表 面积 解 ： 由AB 2 ， AC 1 ， BAC 60 ， 由 余 弦 定 理 可 得 BC ， 所以 SABC ，所以 V柱SABC AA1 ，所以 可得 AA12， 设三角形 ABC 的外接圆的半径为 r，所以 r 1， 因为三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面， 所以三棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线与中截面的交点， 设外接球的半径为 R，则 R2r2+（ ）212+122， 所以外接球的表面积 S4R2428， 故选：A 【点
12、评】本题考查三棱柱的体积及三棱柱的棱长与外接球的半径之间的关系，及球的表 面积公式，属于中档题 6已知函数 f（x）2|x|log |x|，且 af（ln ），bf（log 2 ），cf（2 1），则 a，b， c 的大小关系为（ ） Acab Bbca Cacb Dbac 【分析】由定义判断函数为偶函数且在（0，+）上为增函数，再由 ln 2 1log 23 及 函数单调性得结论 解：由 f（x）2|x|log |x|2 |x|log |x|f（x），可知 f（x）为偶函数， 又当 x0 时，f（x）2xlog x2 x+log 2x 为增函数， 且 0ln ln ，bf（log2 ）f（l
13、og 2 ）f（log 23），log23log221 ln 2 1log 23 则 acb 故选：C 【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的应用，考查数学转化思想方法，是中档题 7已知函数 f（x）sin（x+）（0，| ），其图象相邻两条对称轴之间的距离 为 ，且函数 f（x ）是偶函数，下列判断正确的是（ ） A函数 f（x）的最小正周期为 2 B函数 f（x）的图象关于点（ ，0）d 对称 C函数 f（x）的图象关于直线 x 对称 D函数 f（x）在 ，上单调递增 【分析】由题意可求 f（x）的周期 T，利用周期公式可求 ，函数 f（x ）是偶函数， 可得 k ，kZ，又| ，解得 ，可
14、得解析式 f（x）sin（2x ），利用 正弦函数的图象和性质即可判断求解 解：函数 f（x）sin（x+）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 ， 函数 f（x）的周期 T，故 A 错误； 0 2， 函数 f（x ）的解析式为：f（x）sin2（x ）+sin（2x ）， 函数 f（x ）是偶函数， k ，kZ，又| ，解得： f（x）sin（2x ） 由 2x k，kZ，解得对称中心为：（ ，0），kZ，故 B 错误； 由 2x k ，kZ，解得对称轴是：x ，kZ，故 C 错误； 由 2k 2x 2k ，kZ，解得单调递增区间为：k ，k ，kZ，故 D 正确 故选：D 【点评】本题主要考
15、查了由 yAsin（x+）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图 象和性质，考查了计算能力和数形结合的方法，属于中档题 8已知双曲线 C： 1（a0，b0）的左焦点为 F（c，0），抛物线 y 24cx 的准线与双曲线的一个交点为 P， 点 M 为线段 PF 的中点， 且OFM 为等腰直角三角形， 则双曲线 C 的离心率为（ ） A B 1 C D 【分析】根据抛物线 y24cx 的准线为 xc，不妨设点 P 的坐标为（c，y），y0， 将其代入双曲线方程可求得 y，当确定点 P 的坐标后就能得到点 M 的坐标，由于OFM 为等腰直角三角形， 可根据|MF|OF|建立a、 b、 c的关系式， 再
16、结合b2c2a2和 即可得解 解：抛物线 y24cx 的准线为 xc，不妨设点 P 的坐标为（c，y），y0， 代入双曲线方程有 ，解得 ， 点 P 的坐标为 ， ， 点 M 为线段 PF 的中点，且 F（c，0），M（c， ）， OFM 为等腰直角三角形， 即 2acb 2c2a2， ，解得 （舍负）， 故选：B 【点评】 本题考查双曲线与抛物线的几何性质， 涉及抛物线的准线方程、 双曲线的焦点、 离心率等，考查学生灵活运用知识的能力和运算能力，属于基础题 9已知函数 f（x） ， ， ，若函数 g（x）|f（x）|x+m 恰有三个零点，则实 数 m 的取值范围是（ ） A ， ， B ，
17、， C ， ， D ， ， 【分析】本题等价于函数 y|f（x）|的与 yxm 的图象有 3 个交点，分别利用到时求 出切点时 m 的值即可得到 m 取值范围 解：作出函数 y|f（x）|的与 yxm 图象如图： 当 yxm 为 y 的切线时，即 1，解得 x1， 即切点为（1，1），代入 yxm 得 m2， 所以 m2； 当 yxm 为 y2xx2（x（0，1）的切线时， 即 22x1，解得 x ， 即切点为（ ， ），代入 yxm 得 m ， 所以 m0； 故 m 的取值范围是（，2）（ ，0， 故选：A 【点评】本题考查了函数图象的画法，根据零点个数求参数的取值范围，属于中档题 二.填空
18、题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分. 10复数 的共轭复数是 i 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出 解：复数 i 的共轭复数是i 故答案为：i 【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题 11（ ） 6的展开式中常数项是 160 【分析】据二项展开式的通项公式求得第 r+1 项，令 x 的指数为 0 得常数项 解：展开式的通项为 Tr+1（2）rC6rx3r 令 3r0 得 r3 所以展开式的常数项为（2）3C63160 故答案为：160 【点评】二项展开式的通项公式是解决二项展开式特定项问题的工具 12已知圆心为 C 的圆经过点 A（1
19、，1）和 B（2，2），且圆心 C 在直线 l：xy1 0 上，则圆心为 C 的圆的标准方程是 （x3）2+（y2）225 【分析】由已知求出 AB 的垂直平分线方程，与已知直线方程联立求得圆心坐标，再求出 半径，则圆的方程可求 解：由 A（1，1），B（2，2），得 AB 的中点为（ ， ）， 又 ，AB 的垂直平分线方程为 ，即 x3y+30 联立 ，解得 圆心坐标为 C（3，2），半径为|CA|5 圆心为 C 的圆的标准方程是（x3）2+（y2）225 故答案为：（x3）2+（y2）225 【点评】本题圆的标准方程的求法，考查计算能力，属于基础题 13已知箱中装有 10 个不同的小球，其
20、中 2 个红球、3 个黑球和 5 个白球，现从该箱中有 放回地依次取出 3 个小球则 3 个小球颜色互不相同的概率是 ；若变量 为取出 3 个球中红球的个数，则 的数学期望 E（）为 【分析】基本事件总数 n1031000，3 个小球颜色互不相同包含的基本事件个数 m 103（23+33+53 ）180，由此能求出 3 个小球 颜色互不相同的概率；若变量 为取出 3 个球中红球的个数，则 （n， ），由此能 求出 的数学期望 E（） 解：箱中装有 10 个不同的小球，其中 2 个红球、3 个黑球和 5 个白球， 现从该箱中有放回地依次取出 3 个小球， 基本事件总数 n1031000， 3 个
21、小球颜色互不相同包含的基本事件个数 m103 （23+33+53 ）180， 则 3 个小球颜色互不相同的概率是 P ； 若变量 为取出 3 个球中红球的个数，则 （n， ）， 的数学期望 E（）3 故答案为： ， 【点评】本题考查概率、数学期望的求法，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查 数据分析能力、运算求解能力，是中档题 14已知正数 x，y 满足 3，则当 x 时，x+y 的最小值是 1 【分析】由已知可得， 0，可得 y ，代入后进行分离，结合基本不等式即 可求解 解：正数 x，y 满足 3， 0，可得 y ， x+y ， 令 t3y1 则 y 且 t0， x+y ， ， 当且仅当
22、 4t 即 t ，此时 xy 取最小值 1， 故答案为： ，1 【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑 15在平面凸四边形 ABCD 中，AB2，点 M，N 分别是边 AD，BC 的中点，且 ， 若 ，则 2 【分析】取 BD 的中点 O，连接 OM，ON，运用向量的中点表示和数量积的性质，以及 加减运算，计算可得所求值 解：取 BD 的中点 O，连接 OM，ON， 可得 ， 平方可得 ， 即有 ， ，即有 （ ） （ ） （ ） （ ） （4 ） ， 解得 ， 所以 ， 故答案为：2 【点评】本题考查向量数量积的性质和向量的中点表示，化简整理的运算能力，属于
23、中 档题 三.解答题：本大题共 5 个小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 bc1，cosA ，ABC 的 面积为 2 （）求 a 及 sinC 的值； （）求 cos（2A ）的值 【分析】（）由题意利用同角三角函数的基本关系求得 sinA 的值，再根据三角形的面 积求得 b、c 的值，再利用余弦定理、正弦定理求得 a 及 sinC 的值 （） 利用二倍角公式求得 sin2A、 cos2A的值， 再利用两角差的余弦公式求得 cos （2A ） 的值 解：（）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，
24、b，c，且 bc1，cosA ， sinA ， ABC 的面积为 bc sinA bc2 ，bc6，b3，c2， a 3 再根据正弦定理可得 ，即 ，sinC （）sin2A2sinAcosA ，cos2A2cos2A1 ， 故 cos（2A ）cos2Acos sin2Asin 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，正弦定理、余弦定理、二倍角公式、 两角差的余弦公式，属于中档题 17如图，在四棱锥 PABCD 中，PAD 为等边三角形，边长为 2，ABC 为等腰直角三 角形，ABBC，AC1，DAC90，平面 PAD平面 ABCD （1）证明：AC平面 PAD； （2）求平面 PAD
25、与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值； （3） 棱 PD 上是否存在一点 E， 使得 AE平面 PBC？若存在， 求出 的值； 若不存在， 请说明理由 【分析】（1）用面面垂直的性质定理证明线面垂直； （2）取 AD 的中点 O，连接 PO，得 PO平面 ABCD，以 AD 为 x 轴，AC 为 y 轴，过 A 平行于 PO 的直线为 z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 用平面的法向量的夹角求二 面角： （3）假设棱 PD 上存在一点 E，使得 AE平面 PBC，设 ，由 与平面 PBC 的法向量垂直求得 ，如果求不出，说明不存在 解：（1）平面 PAD平面 ABCD，ACAD， 平面
26、PAD平面 ABCDAD，AC平面 ABCD， AC平面 PAD； （2）取 AD 的中点 O，连接 PO，由于PAD 是等边三角形，所以 POAD，由平面 PAD 平面 ABCD，得 PO平面 ABCD， ， 以 AP 为 x 轴，AC 为 y 轴，过 A 平行于 PO 的直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐 标系， 则 A（0，0，0），D（2，0，0），C（0，1，0）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设平面 PBC 的一个法向量为 ， ， ， 则 x+y z0， x y0， 取 ，则 ，z2， ， ， ， 平面 PAD 的一个法向量为 ， ， ， ， ， 平面 P
27、AD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值为 ； （3）假设棱 PD 上存在一点 E，使得 AE平面 PBC，设 （01）， 由（2） ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又平面 PBC 的一个法向量是 ， ， ， ，解得 ， 又 AE 平面 PBC，棱 PD 上存在一点 E，使得 AE平面 PBC，且 【点评】本题考查由面面垂直证明线面垂直，考查用空间向量法求二面角，研究线面平 行考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题 18已知等比数列an的公比 q1，且 a3+a4+a528，a4+2 是 a3，a5的等差中项数列bn 满足 b11，数列（bn+1bn）an的前 n 项和为 2
28、n2+n （）求数列an的通项公式； （）求数列bn的通项公式 【分析】（）运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公 比，进而得到所求通项公式； （）设 cn（bn+1bn）an，数列cn前 n 项和为 Sn由数列的递推式求得 cn，再由数 列的恒等式可得 bn，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得 所求通项公式 解：（）由题知 a3+a4+a528，a4+2 是 a3，a5的等差中项， 所以 a3+a52a4+4，解得 a48，a3+a520， 即 a1q38，a1q2+a1q420， 解得 a11，q2， 所以 ； （）设 cn（bn+1bn）a
29、n，数列cn前 n 项和为 Sn 由 ， ， ， ，S n2n 2+n，S n12（n1） 2+n1 解得 cn4n1 由（1）可知 ， 所以 ， 故 ， ， bnb1 （bnbn1） + （bn1bn2） + （b3b2） + （b2b1） ， 设 ， ， 所以 ， 相 减 可 得 3+4 （4n5） （ ） n1， 化简可得 ， ， 又 b11，所以 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的恒等 式和数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题 19已知点 A，B 分别是椭圆 C： 1（ab0）的左顶点和上顶点，F 为其右焦 点， 1，且该椭圆的
30、离心率为 ； （）求椭圆 C 的标准方程； （） 设点 P 为椭圆上的一动点， 且不与椭圆顶点重合， 点 M 为直线 AP 与 y 轴的交点， 线段 AP 的中垂线与 x 轴交于点 N，若直线 OP 斜率为 kOP，直线 MN 的斜率为 kMN，且 kOP kMN （O 为坐标原点），求直线 AP 的方程 【分析】（）由离心率及数量积求出 a，b，进而求出椭圆的方程； （）设直线 AP 的方程与椭圆联立，由题意求出 P 的坐标，进而求出 AP 中点的坐标， 求出 AP 中垂线的方程，由题意求出 N 的坐标，及直线 MN 的斜率，OP 的斜率，再由斜 率之积求出 AP 的斜率 k 的值，进而求出
31、直线 AP 的方程 解： （ I） 依题意知： A （a， 0） ， B （0， b） ， F （c， 0） ， （a， b） ， （c， b） ， 则由题意： ac+b 21，又 e ，解得：a 24，b23， 椭圆 C 的标准方程为： （ II）由题意 A（2，0），设直线 AP 的斜率为 k，直线 AP 方程为：yk（x+2）， 所以 M（0，2k），设 P（xP，yP），AP 中点为 H（xH，yH），N（xN，0）， 由 整理得：（3+4k2）x2+16k2x+16k2120， （2） xP ， 解得 xP ， 所以 yPk （ 2） P （ ， ）， 中点 H（ ， ）， AP 中
32、垂线方程为：y （x ），令 y0，得 xN ， 所以 N 的坐标（ ，0）， kOP ，k MN ， kOP kMN 12，解得 k 2 ， ， 直线 AP 的方程为：y （x+2）， 即直线 AP 的方程：3x2y+60 【点评】考查椭圆的性质及直线与椭圆的综合应用，属于中档题 20（16 分）已知 f（x）x24x6lnx （）求 f（x）在（1，f（1）处的切线方程以及 f（x）的单调性； （）对x（1，+），有 xf（x）f（x）x2+6k（1 ）12 恒成立，求 k 的最 大整数解； （）令 g（x）f（x）+4x（a6）lnx，若 g（x）有两个零点分别为 x1，x2（x1x2）
33、 且 x0为 g（x）的唯一的极值点，求证：x1+3x24x0 【分析】（）求得 f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方 程；由导数大于 0，可得增区间；导数小于 0，可得减区间，注意定义域； （） xf （x） f （x） x2+6k （1 ） 12 等价于 k （ ）min， 可令 h （x） ， 求得 导数，再构造函数，求得导数，判断单调性可得 h（x）的单调性，以及最小值，即可得 到所求 k 的最大整数解； （）求得 g（x）的导数和单调性，由极小值小于 0，可得 a2e，再由分析法，注意构 造函数，求得导数和单调性，即可得证 解：（）f（x）x24x6lnx 的
34、导数为 f（x）2x4 ， 可得 f（1）8，f（1）3， 所以 f（x）在（1，f（1）处的切线方程为 y+38（x1）即 y8x+5； 由 f（x） （x+1）（x3），由 f（x）0，可得 x3；由 f（x）0，可得 0 x3， 所以 f（x）的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+）； （）xf（x）f（x）x2+6k（1 ）12 等价于 k（ ）min， 可令 h（x） ，h（x） ， 记 m（x）x2lnx，m（x）1 0，所以 m（x）为（1，+）上的递增函数， 且 m（3）1ln30，m（4）2ln40，所以x0（3，4），m（x0）0， 即 x02lnx00， 所以
35、 h（x）在（1，x0）上递减，在（x0，+）上递增， 且 h（x）minh（x0） x0（3，4）， 所以 k 的最大整数解为 3； （） 证明： g （x） x2alnx， g （x） 2x 0， 可得 x0 ， 当 x（0， ），g（x）0，x（ ，+），g（x）0， 所以 g（x）在（0， ）上单调递减，（ ，+）上单调递增，而要使 g（x）有两个 零点，要满足 g（x0）0， 即 g（ ）（ ） 2aln 0 可得 a2e， 因为 0x1 ，x2 ，令 t（t1）， 由 f（x1）f（x2）x12alnx1x22alnx2， 即 x12alnx1t2x12alntx1x12 ， 而 x1+3x24x0（3t+1）x12 （3t+1）2x128a， 即（3t+1）2 8a， 由 a0，t1，只需证（3t+1）2lnt8t2+80， 令 h（t）（3t+1）2lnt8t2+8，则 h（t）（18t+6）lnt7t+6 ， 令 n（t）（18t+6）lnt7t+6 ，则 n（t）18lnt+11 0（t1）， 故 n（t）在（1，+）上递增，n（t）n（1）0； 故 h（t）在（1，+）上递增，h（t）h（1）0； x1+3x24x0 【点评】本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查构造函数法和分析法，考 查转化思想和化简运算能力，属于难题
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