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    2020年3月山西省太原五中高考数学模拟试卷(文科)含答案解析

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    2020年3月山西省太原五中高考数学模拟试卷(文科)含答案解析

    1、2020 年年 3 月山西省太原五中高考数学模拟试卷(文科)月山西省太原五中高考数学模拟试卷(文科) 一、选择题(本大题共一、选择题(本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分,每小题有且只有一个正确选项)分,每小题有且只有一个正确选项) 1已知集合 Ax|lnx1,Bx|1x2,则 AB( ) A (0,e) B (1,2) C (1,e) D (0,2) 2已知复数 = 2 3,则|z|( ) A1 B2 C3 D2 3已知向量 = (1, 2),向量 = (3,4),则向量 在 方向上的投影为( ) A1 B1 C5 D5 4 若过椭圆 2 9 + 2 4 =

    2、1内一点 P (2, 1) 的弦被该点平分, 则该弦所在的直线方程为 ( ) A8x+9y250 B3x4y50 C4x+3y150 D4x3y90 5 已知函数 f (x) x3+x+1+sinx, 若 f (a1) +f (2a2) 2, 则实数 a 的取值范围是 ( ) A1, 3 2 B 3 2 ,1 C1, 1 2 D 1 2 ,1 6已知命题 p:xR,x20,命题 q:,R,使 tan(+)tan+tan,则下列命 题为真命题的是( ) Apq Bp(q) C (p)q Dp(q) 7荷花池中,有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时,均从一叶跳到 另一叶) ,而且逆

    3、时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍,如图假设现在青蛙 在 A 叶上,则跳三次之后停在 A 叶上的概率是( ) A1 3 B2 9 C4 9 D 8 27 8庄子说: “一尺之锤,日取其半,万世不竭” ,这句话描述的是一个数列问题,现用程序 框图描述,如图所示,若输入某个正整数 n 后,输出的 S(15 16, 63 64) ,则输入的 n 的值 为( ) A7 B6 C5 D4 9函数() = | + 在,0)(0,的图象大致为( ) A B C D 10如图,在长方体 ABCDA1B1C1D1中,AB8,AD6,异面直线 BD 与 AC1所成角的 余弦值为1 5,则该长方体外接球的表

    4、面积为( ) A98 B196 C784 D1372 3 11 若() + 1 = 1 (+1), 当 x0, 1时, f (x) x, 若在区间 (1, 1内, () = () 2 ,(0)有两个零点,则实数 m 的取值范围是( ) A0, 1 3) B(0, 2 3 C(0, 1 3 D2 3 ,+ ) 12已知 a 为常数,函数() = 1 2 2 有两个极值点 x1,x2,且 x1x2,则有( ) A(1)0,(2) 1 2 B(1)0,(2) 1 2 C(1)0,(2) 1 2 D(1)0,(2) 1 2 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分

    5、,共分,共 20 分,把答案填在题中的横线上)分,把答案填在题中的横线上) 13已知实数 x,y 满足 + + 2 0 2 2 0 1 ,则 z3x+y 的最小值是 14在区间2,4上随机地取一个数 x,若 x 满足|x|m 的概率为5 6,则 m 15在ABC 中,内角 A、 ,B,C 的对边分别为 a,b,c,若(a+b)sinBcsinCasinA, = 23,ABC 的面积记为 S,则当 + 2 取最小值时,ab 16如图所示,正方形 ABCD 与正方形 DEFG 的边长分别为 a,b(ab) ,原点 O 为 AD 的中点,抛物线 y22px(p0)经过 C,F 两点,则 = 三、解答

    6、题(本大题三、解答题(本大题 5 小题,共小题,共 60 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17ABC 的内角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c ()若 a,b,c 成等差数列,证明:sinA+sinC2sin(A+C) ; ()若 a,b,c 成等比数列,求 cosB 的最小值 18 如图所示的多面体中, AD平面 PDC, 四边形 ABCD 为平行四边形, E 为 AD 的中点, F 为线段 PB 上的一点,CDP120,AD3,AP5, = 27 ()试确定点 F 的位置,使得直线 EF平面 PDC; ()若 PB3BF,求

    7、直线 AF 与平面 PBC 所成角的正弦值 192016 年春节期间全国流行在微信群里发、抢红包,现假设某人将 688 元发成手气红包 50 个,产生的手气红包频数分布表如表: 全额分组 1,5) 5,9) 9,13) 13,17) 17,21) 21,25 频数 3 9 17 11 8 2 (I)求产生的手气红包的金额不小于 9 元的频率; ()估计手气红包金额的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ; ()在这 50 个红包组成的样本中,将频率视为概率 (i)若红包金额在区间21,25内为最佳运气手,求抢得红包的某人恰好是最佳运气手 的概率; (ii)随机抽取手气红包金额在1,

    8、5)21,25内的两名幸运者,设其手气金额分别 为 m,n,求事件“|mn|16”的概率 20已知椭圆 C: 2 2 + 2 2 = 1(0)的离心率为 2 2 ,与坐标轴分别交于 A,B 两点,且 经过点 Q(2,1) ()求椭圆 C 的标准方程; ()若 P(m,n)为椭圆 C 外一动点,过点 P 作椭圆 C 的两条互相垂直的切线 l1、l2, 求动点 P 的轨迹方程,并求ABP 面积的最大值 21已知函数 f(x)axlnxx2ax+1(aR)在定义域内有两个不同的极值点 (1)求实数 a 的取值范围; (2)设两个极值点分别为 x1,x2,x1x2,证明:f(x1)+f(x2)2x12

    9、+x22来源:学_科_网 Z_X_X_K 请考生在请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分选修选修 44: 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 22已知直线 l 的参数方程为 = 1 + 2 = 2 , (t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 正半轴为极 轴,建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程是 = 12 (1)写出直线 l 的极坐标方程与曲线 C 的直角坐标方程 (2)若点 P 是曲线 C 上的动点,求点 P 到直线 l 的距离的最小值,并求出此时点 P 的 坐标 选修选修 45:不等式选讲:不等式选讲 23设函数

    10、 f(x)|x+2|x2| (1)解不等式 f(x)2; (2)当 xR,0y1 时,证明:|x+2|x2| 1 + 1 1 一、选择题(本大题共一、选择题(本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分,每小题有且只有一个正确选项)分,每小题有且只有一个正确选项) 1已知集合 Ax|lnx1,Bx|1x2,则 AB( ) A (0,e) B (1,2) C (1,e) D (0,2) 可以求出集合 A,然后进行交集的运算即可 Ax|0xe,Bx|1x2, AB(0,2) 故选:D 本题考查了描述法、区间的定义,对数函数的单调性和定义域,交集的运算,考查了计 算能力,属于

    11、基础题 2已知复数 = 2 3,则|z|( ) A1 B2 C3 D2 利用复数模的运算性质即可得出 解:复数 = 2 3,则|z|= 2 |3| = 2 (3)2+(1)2 =1 故选:A 本题考查了复数模的运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题 3已知向量 = (1, 2),向量 = (3,4),则向量 在 方向上的投影为( ) A1 B1 C5 D5 根据向量 在 方向上的投影= | |,带入数值即可 向量 = (1, 2),向量 = (3,4); =(1)(3)+(2)4385; 向量 在 方向上的投影= | |= 38 (3)2+42 = 1 故选:B 本题主要考查向量的投影

    12、,熟记公式是解决本题的关键,属于简单题 4 若过椭圆 2 9 + 2 4 = 1内一点 P (2, 1) 的弦被该点平分, 则该弦所在的直线方程为 ( ) A8x+9y250 B3x4y50 C4x+3y150 D4x3y90 设出 A、B 坐标,利用平方差法,求解直线的斜率,然后求解直线方程 设弦的两端点为 A (x1, y1) , B (x2, y2) , P 为 AB 中点, A, B 在椭圆上, 12 9 + 12 4 = 1, 22 9 + 22 4 = 1, 两式相减得:1 2;22 9 + 12;22 4 = 0, x1+x24,y1+y22, 可得:1;2 1;2 = 8 9,

    13、 则 k= 8 9,且过点 P(2,1) ,有 y1= 8 9(x2) , 整理得 8x+9y250 故选:A 本题考查直线与椭圆的位置关系,考查点差法的运用,考查学生的计算能力,属于中档 题 5 已知函数 f (x) x3+x+1+sinx, 若 f (a1) +f (2a2) 2, 则实数 a 的取值范围是 ( ) A1, 3 2 B 3 2 ,1 C1, 1 2 D 1 2 ,1 令 g(x)f(x)1x3+x+sinx,xR利用函数的定义判断奇偶性,利用导数判断函 数的单调性即可转化求解实数 a 的取值范围 令 g(x)f(x)1x3+x+sinx,xR 则 g(x)g(x) ,g(x

    14、)在 R 上为奇函数 g(x)3x 2+1+cosx0, 函数 g(x)在 R 上单调递增 f(a1)+f(2a2)2,化为:f(a1)1+f(2a2)10, 即 g(a1)+g(2a2)0,化为:g(2a2)g(a1)g(1a) , 2a21a, 即 2a2+a10, 解得1a 1 2 实数 a 的取值范围是1,1 2 故选:C 本题考查了构造法、利用导数研究函数的单调性奇偶性、方程与不等式的解法、等价转 化方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题 6已知命题 p:xR,x20,命题 q:,R,使 tan(+)tan+tan,则下列命 题为真命题的是( ) Apq Bp(q) C (p)q

    15、Dp(q) 分别判断命题 p,q 的真假,然后利用复合命题与简单命题真假之间的关系进行判断 命题 p:xR,x20,为假命题,故p 为真命题; 命题 q:,R,使 tan(+)tan+tan,当 成立, 所以命题 q 为真命题,q 为假命题, 则 pq 为假命题,p(q)为假命题,pq 为真命题,pq 为假命题, 故选:C 本题主要考查复合命题的真假判断,要求熟练掌握复合命题与简单命题真假之间的关系 7荷花池中,有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时,均从一叶跳到 另一叶) ,而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍,如图假设现在青蛙 在 A 叶上,则跳三次之后停在 A

    16、叶上的概率是( ) A1 3 B2 9 C4 9 D 8 27 根据条件先求出逆时针和顺时针跳的概率,然后根据跳 3 次回到 A,则应满足 3 次逆时 针或者 3 次顺时针,根据概率公式即可得到结论 设按照顺时针跳的概率为 p,则逆时针方向跳的概率为 2p,则 p+2p3p1, 解得 p= 1 3,即按照顺时针跳的概率为 1 3,则逆时针方向跳的概率为 2 3, 若青蛙在 A 叶上,则跳 3 次之后停在 A 叶上, 则满足 3 次逆时针或者 3 次顺时针, 若先按逆时针开始从 AB,则对应的概率为2 3 2 3 2 3 = 8 27, 若先按顺时针开始从 AC,则对应的概率为1 3 1 3 1

    17、 3 = 1 27, 则概率为 1 27 + 8 27 = 9 27 = 1 3, 故选:A 本题主要考查概率的计算,利用独立重复试验的概率公式是解决本题的关键 8庄子说: “一尺之锤,日取其半,万世不竭” ,这句话描述的是一个数列问题,现用程序 框图描述,如图所示,若输入某个正整数 n 后,输出的 S(15 16, 63 64) ,则输入的 n 的值 为( ) A7 B6 C5 D4 模拟程序的运行,依次写出前几次循环得到的 S,k 的值,由题意,说明当算出的值 S (15 16, 63 64)后进行判断时判断框中的条件满足,即可求出此时的 n 值 框图首先给累加变量 S 赋值 0,给循环变

    18、量 k 赋值 1, 输入 n 的值后,执行循环体,S= 1 2,k1+12; 判断 2n 不成立,执行循环体,S= 3 4,k2+13; 判断 3n 不成立,执行循环体,S= 7 8,k3+14; 判断 4n 不成立,执行循环体,S= 15 16,k4+15 判断 5n 不成立,执行循环体,S= 31 32,k4+16 判断 6n 不成立,执行循环体,S= 63 64,k4+17 由于输出的 S(15 16, 63 64) ,可得:当 S= 31 32,k6 时,应该满足条件 6n,即:5n 6, 可得输入的正整数 n 的值为 5 故选:C 本题考查了程序框图中的循环结构,是直到型循环,即先执

    19、行后判断,不满足条件继续 执行循环,直到条件满足跳出循环,算法结束,是基础题 9函数() = | + 在,0)(0,的图象大致为( ) A B C D 由函数的奇偶性及特殊点,观察选项即可得解 () = | = (), 函数 f(x)为奇函数, 又(1) = 0,( 2) = 0,( 3)0,()0, 选项 D 符合题意 故选:D 本题考查由函数解析式找函数图象,一般从奇偶性,特殊点,单调性等角度运用排除法 求解,属于基础题 10如图,在长方体 ABCDA1B1C1D1中,AB8,AD6,异面直线 BD 与 AC1所成角的 余弦值为1 5,则该长方体外接球的表面积为( ) A98 B196 C

    20、784 D1372 3 由题意建立空间直角坐标系,由异面直线的余弦值求出长方体的高,由题意长方体的对 角线等于外接球的直径,进而求出外接球的半径,求出外接球的表面积 由题意建立如图所示的空间直角坐标系,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴 DD1为 z 轴,D 为坐标 原点, 由题意知 A(6,0,0) ,B(6,8,0) ,D(0,0,0) , 设 D(0,0,a) ,则 C1(0,8,a) , =(6,8,0) ,1 =(6,8,a) , cos ,1 = 1 | |1| = 36+64 10100+2 = 14 5100+2 , 由题意可得:1 5 = 14 5100:2,解得:a 296

    21、, 由题意长方体的对角线等于外接球的直径, 设外接球的半径为 R,则(2R)282+62+a2196, 所以该长方体的外接球的表面积 S4R2196, 故选:B 考查异面直线的夹角即外接球的表面积公式,属于中档题 11 若() + 1 = 1 (+1), 当 x0, 1时, f (x) x, 若在区间 (1, 1内, () = () 2 ,(0)有两个零点,则实数 m 的取值范围是( ) A0, 1 3) B(0, 2 3 C(0, 1 3 D 2 3,+)来源:. 当 x (1, 0) 时, x+1 (0, 1) , 则 f (x) +1= 1 (+1) = 1 +1, 所以 f (x) =

    22、 1 +1 1, 故 f (x) = 1 +1 1, 10 ,0 1 , 题目问题等价于函数 yf (x) 与函数 ym(x+ 1 2) 在区间 ( 1,1内有两个交点,在同一坐标系内画出两个函数的图象,根据图象,利用数形结合法 即可求出 m 的取值范围 依题意,() + 1 = 1 (+1),又当 x0,1时,f(x)x, 故当 x(1,0)时,x+1 (0,1) ,则 f (x) +1= 1 (+1) = 1 +1,所以 f(x) = 1 +1 1, 故 f(x)= 1 +1 1, 10 ,0 1 , 由() = () 2 ,(0)在区间 (1, 1内有两个零点, 得方程 f (x) m

    23、(x+ 1 2) 在区间(1,1内有两个根, 等价于函数 yf(x)与函数 ym(x+ 1 2)在区间(1,1内有两个交点, 而函数 ym(x+ 1 2)恒过定点( 1 2,0) ,在同一坐标系内画出两个函数的图象,如图所 示:, 当 ym(x+ 1 2)过点(1,1)时,斜率 m= 2 3, 当 ym(x+ 1 2)过点(1,0)时,斜率 m0, 由图象可知,当 0m 2 3时,两个函数图象有两个交点,即() = () 2 ,(0)有两个零点, 故选:B 本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系,以及直线过定点问题,是中档题 12已知 a 为常数,函数() = 1 2 2 有两个极值点 x1

    24、,x2,且 x1x2,则有( ) A(1)0,(2) 1 2 B(1)0,(2) 1 2 C(1)0,(2) 1 2 D(1)0,(2) 1 2 依题意, = 的两根为 x1,x2,设() = ,利用导数可知 0x11,x21,则可得 ()极小值= (1) ( 1 2,0),()极大值 = (2) ( 1 2 ,+ ) f(x)xaex,则 f(x)0 的两根为 x1,x2,即 = 的两根为 x1,x2, 设() = ,则() = ()2 = 1 ,令 g(x)0,解得 x1, g(x)在(,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减,函数 g(x)的图象如下, 由图可知,0x11,x21,且当

    25、x(,x1)(x2,+)时, ,则 f(x) 0,f(x)单调递减,当 x(x1,x2)时, ,则 f(x)0,f(x)单调递增, f (x)极小值= (1) = 1 2 12 1 1 1= 1 2 12 1, 又 x1 (0, 1) , 故(1) ( 1 2 ,0),来源:学科网 f (x)极大值= (2) = 1 2 22 2 2 2= 1 22 2 2, 又x2 (1, +) , 故(2) ( 1 2, + ) 故选:A 本题主要考查利用导数研究函数的极值, 考查转化思想及数形结合思想, 考查计算能力, 属于中档题 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 4 小题,每小题小题,每小题

    26、5 分,共分,共 20 分,把答案填在题中的横线上)分,把答案填在题中的横线上) 13已知实数 x,y 满足 + + 2 0 2 2 0 1 ,则 z3x+y 的最小值是 8 作出不等式组表示的平面区域;作出目标函数对应的直线;结合图象知当直线过 M 时, z 取得最小值 画出不等式组 + + 2 0 2 2 0 1 表示的可行域如图阴影区域所示 = 1 + + 2 = 0M(3,1) 平移直线 3x+y0,易知当直线 z3x+y 经过点 M(3,1)时, 目标函数 z3x+y 取得最小值, 且 zmin3(3)+18 故答案为:8 本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值是

    27、中档题 14在区间2,4上随机地取一个数 x,若 x 满足|x|m 的概率为5 6,则 m 3 画出数轴,利用 x 满足|x|m 的概率为5 6,直接求出 m 的值即可 如图区间长度是 6,区间2,4上随机地取一个数 x,若 x 满足|x|m 的概率为5 6,所以 m3 故答案为:3 本题考查几何概型的求解,画出数轴是解题的关键 15在ABC 中,内角 A、 ,B,C 的对边分别为 a,b,c,若(a+b)sinBcsinCasinA, = 23,ABC 的面积记为 S,则当 + 2 取最小值时,ab 46 3 由正弦定理化简已知等式可得 a2+b2c2ab,利用余弦定理可求 cosC= 1

    28、2,结合范 围 C(0,) ,可求 C= 2 3 ,进而由题意,利用三角形的面积公式,基本不等式即可求 解 (a+b)sinBcsinCasinA, (a+b)bc2a2,可得 a2+b2c2ab, cosC= 2+22 2 = 2 = 1 2, C(0,) , C= 2 3 , ABC 的面积记为 S, + 2 22,当且仅当 S= 2 ,即 S= 2 = 1 2absinC= 3 4 ab 时等 号成立,解得此时 ab= 46 3 故答案为:46 3 本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形的面积公式,基本不等式在解三角形中的 综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题 16如图所示,

    29、正方形 ABCD 与正方形 DEFG 的边长分别为 a,b(ab) ,原点 O 为 AD 的中点,抛物线 y22px(p0)经过 C,F 两点,则 = 2 + 1 可先由图中的点与抛物线的位置关系,写出 C,F 两点的坐标,再将坐标代入抛物线方 程中,消去参数 p 后,得到 a,b 的关系式,再寻求 的值 由题意可得( 2 , ),( 2 + ,), 将 C,F 两点的坐标分别代入抛物线方程 y22px 中,得 ()2= 2 2 2= 2( 2 + ) a0,b0,p0,两式相比消去 p 得 2 = 1 :2,化简整理得 a 2+2abb20, 此式可看作是关于 a 的一元二次方程,由求根公式

    30、得 = 282 2 = (1 2), 取 = (2 1), 从而 = 1 2;1 =2 + 1, 故答案为:2 + 1 本题关键是弄清两个正方形与抛物线的位置关系,这样才能顺利写出 C,F 的坐标,接 下来是消参,得到了一个关于 a,b 的齐次式,应注意根的取舍与细心的计算 三、解答题(本大题三、解答题(本大题 5 小题,共小题,共 60 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17ABC 的内角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c ()若 a,b,c 成等差数列,证明:sinA+sinC2sin(A+C) ; ()若 a,b,c 成等比

    31、数列,求 cosB 的最小值 ()由 a,b,c 成等差数列,利用等差数列的性质列出关系式,利用正弦定理化简, 再利用诱导公式变形即可得证; ()由 a,bc 成等比数列,利用等比数列的性质列出关系式,再利用余弦定理表示出 cosB,将得出的关系式代入,并利用基本不等式变形即可确定出 cosB 的最小值 ()a,b,c 成等差数列, 2ba+c, 利用正弦定理化简得:2sinBsinA+sinC, sinBsin(A+C)sin(A+C) , sinA+sinC2sinB2sin(A+C) ; ()a,b,c 成等比数列, b2ac, cosB= 2+22 2 = 2+2 2 2 2 = 1

    32、2, 当且仅当 ac 时等号成立, cosB 的最小值为1 2 此题考查了正弦、余弦定理,等差、等比数列的性质,以及基本不等式的运用,熟练掌 握定理是解本题的关键 18 如图所示的多面体中, AD平面 PDC, 四边形 ABCD 为平行四边形, E 为 AD 的中点, F 为线段 PB 上的一点,CDP120,AD3,AP5, = 27 ()试确定点 F 的位置,使得直线 EF平面 PDC; ()若 PB3BF,求直线AF 与平面 PBC 所成角的正弦值 ()设 F 为 BP 中点,取 AP 中点 G,连结 EF、EG、FG,推导出 GFABCD,EG DP, 从而平面 GEF平面 PDC,

    33、进而当点 F 为 BP 中点时, 使得直线 EF平面 PDC ()以 D 为原点,DC 为 x 轴,在平面 PDC 中过 D 作 CD 垂线为 y 轴,DA 为 z 轴, 建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线 AF 与平面 PBC 所成角的正弦值 ()设 F 为 BP 中点,取 AP 中点 G,连结 EF、EG、FG, AD平面 PDC,四边形 ABCD 为平行四边形,E 为 AD 的中点, GFABCD,EGDP, EGFGG,DPCDD,平面 GEF平面 PDC, EF平面 GEF,当点 F 为 BP 中点时,使得直线 EF平面 PDC ()以 D 为原点,DC 为 x 轴,在平面 P

    34、DC 中过 D 作 CD 垂线为 y 轴,DA 为 z 轴, 建立空间直角坐标系, 为 AD 的中点,F 为线段 PB 上的一点,CDP120,AD3,AP5, = 27来 源:学.科.网 Z.X.X.K cos120= 2+(5232)(27)2 25232 ,解得 CD6, A(0,0,3) ,B(6,0,3) ,P(2,23,0) ,C(6,0,0) , 设 F(a,b,c) ,由 PB3BF,得 = 1 3 ,即(a6,b,c3)= 1 3(8,23, 3) , 解得 a= 10 3 ,b= 23 3 ,c2,F(10 3 ,23 3 ,2) , =(10 3 , 23 3 ,1) ,

    35、 =(0,0,3) , =(8,23,0) , 设平面 PBC 的法向量 =(x,y,z) , 则 = 3 = 0 = 8 + 23 = 0 ,取 x1,得 =(1, 4 3 ,0) , 设直线 AF 与平面 PBC 所成角为 , 则直线 AF 与平面 PBC 所成角的正弦值为: sin= | | | | | = 6 121 9 19 3 = 1857 209 本题考查满足面面平行的点的位置位置的确定,考查线面角的正弦值的求法,考查空间 中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题 192016 年春节期间全国流行在微信群里发、抢红包,现假设某人将 688 元发成手气红

    36、包 50 个,产生的手气红包频数分布表如表: 全额分组 1,5) 5,9) 9,13) 13,17) 17,21) 21,25 频数 3 9 17 11 8 2 (I)求产生的手气红包的金额不小于 9 元的频率; ()估计手气红包金额的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ; ()在这 50 个红包组成的样本中,将频率视为概率 (i)若红包金额在区间21,25内为最佳运气手,求抢得红包的某人恰好是最佳运气手 的概率; (ii)随机抽取手气红包金额在1,5)21,25内的两名幸运者,设其手气金额分别 为 m,n,求事件“|mn|16”的概率 ()由题意利用互斥事件概率加法公式能求出产

    37、生的手气红包的金额不小于 9 元的频 率 ()先求出手气红包在1,5) 、5,9) 、9,13) 、13,17) 、17,21) 、21,25内的 频率,由此能求了出手气红包金额的平均数来源:Z+xx+k.Com () (i)由题可知红包金额在区间21,25内有两人,由此能求出抢得红包的某人恰好 是最佳运气手的概率 (ii)由频率分布表可知,红包金额在1,5)内有 3 人,在21,25内有 2 人,由此能求 出事件“|mn|16“的概率 P(|mn|16) ()由题意得产生的手气红包的金额不小于 9 元的频率: p= 17+11+8+2 50 = 19 25, 产生的手气红包的金额不小于 9

    38、元的频率为19 25 ()手气红包在1,5)内的频率为 3 50 =0.06, 手气红包在5,9)内的频率为 9 50 =0.18, 手气红包在9,13)内的频率为17 50 =0.34, 手气红包在13,17)内的频率为11 50 =0.22, 手气红包在17,21)内的频率为 8 50 =0.16, 手气红包在21,25内的频率为 2 50 =0.04, 则手气红包金额的平均数为: =30.06+70.18+110.34+150.22+190.16+230.0412.44 () (i)由题可知红包金额在区间21,25内有两人, 抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率 p= 2 50 = 1

    39、25 (ii)由频率分布表可知,红包金额在1,5)内有 3 人, 设红包金额分别为 a,b,c,在21,25内有 2 人, 设红包金额分别为 x,y, 若 m,n 均在1,5)内,有 3 种情况: (a,b) , (a,c) , (b,c) , 若 m,n 均在21,25内只有一种情况: (x,y) , 若 m,n 分别在1,5)和21,25)内,有 6 种情况, 即(a,x) , (a,y) , (b,x) , (b,y) , (c,x) , (c,y) , 基本事件总数 n10, 而事件“|mn|16“所包含的基本事件有 6 种, P(|mn|16)= 6 10 = 3 5 本题考查频率的

    40、求法,考查概率的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意频数分布 表的性质的合理运用 20已知椭圆 C: 2 2 + 2 2 = 1(0)的离心率为 2 2 ,与坐标轴分别交于 A,B 两点,且 经过点 Q(2,1) ()求椭圆 C 的标准方程; ()若 P(m,n)为椭圆 C 外一动点,过点 P 作椭圆 C 的两条互相垂直的切线 l1、l2, 求动点 P 的轨迹方程,并求ABP 面积的最大值 ()由离心率及椭圆过的点的坐标,及 a,b,c 之间的关系可得 a,b 的值,进而求出 椭圆的方程; ()过 P 的两条切线分斜率存在和不存在两种情况讨论,当斜率不存在时,直接由椭 圆的方程可得切点 A,

    41、B 的坐标,当切线的斜率存在且不为 0 时,设过 P 的切线方程, 与椭圆联立由判别式等于 0 可得参数的关系,进而可得 PA,PB 的斜率之积,由直线 PA,PB 互相垂直可得斜率之积等于1,进而可得 m,n 之间的关系,即 P 的轨迹方程, 显然切线斜率不存在时的点 P 也在轨迹方程上; 因为 PA, PB 互相垂直, 所以三角形 PAB 的面积为 SABP= 1 2|PA|PB| 1 2 |2+|2 2 = |2 4 ,当且仅当|PA|PB|时取等号,可得 球切线 PA 的斜率为 1,求出直线 PA 的方程,与椭圆联立求出 A 的坐标,进而求出|PA| 的值,再求|AB|的值,即求出三角

    42、形 PAB 面积的最大值 ()由题意可得 e= = 2 2 , 2 2 + 1 2 =1,c2a2b2,解得 a24,b22, 所以椭圆的方程为: 2 4 + 2 2 =1; ()设两个切点分别为 A,B,当两条切线中有一条斜率不存在时, 即 A,B 两点分别位于椭圆的长轴和短轴的端点,此时 P 的坐标为: (2,2) , 当两条切线的斜率存在且不为 0 时,设过 P 的切线的方程为:ynk(xm) , 联立直线 ynk(xm)和椭圆的方程 = + 2 4 + 2 2 = 1 ,整理可得(1+2k2)x24k (kmn)x+2(kmn)240, 由题意可得16k2(kmn)24(1+2k2)2(k


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