1、2020 年年 3 月山西省太原五中高考数学模拟试卷（文科）月山西省太原五中高考数学模拟试卷（文科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，每小题有且只有一个正确选项）分，每小题有且只有一个正确选项） 1已知集合 Ax|lnx1，Bx|1x2，则 AB（ ） A （0，e） B （1，2） C （1，e） D （0，2） 2已知复数 = 2 3，则|z|（ ） A1 B2 C3 D2 3已知向量 = (1， 2)，向量 = (3，4)，则向量 在 方向上的投影为（ ） A1 B1 C5 D5 4 若过椭圆 2 9 + 2 4 =
2、1内一点 P （2， 1） 的弦被该点平分， 则该弦所在的直线方程为 （ ） A8x+9y250 B3x4y50 C4x+3y150 D4x3y90 5 已知函数 f （x） x3+x+1+sinx， 若 f （a1） +f （2a2） 2， 则实数 a 的取值范围是 （ ） A1， 3 2 B 3 2 ，1 C1， 1 2 D 1 2 ，1 6已知命题 p：xR，x20，命题 q：，R，使 tan（+）tan+tan，则下列命 题为真命题的是（ ） Apq Bp（q） C （p）q Dp（q） 7荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到 另一叶） ，而且逆
3、时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图假设现在青蛙 在 A 叶上，则跳三次之后停在 A 叶上的概率是（ ） A1 3 B2 9 C4 9 D 8 27 8庄子说： “一尺之锤，日取其半，万世不竭” ，这句话描述的是一个数列问题，现用程序 框图描述，如图所示，若输入某个正整数 n 后，输出的 S（15 16， 63 64） ，则输入的 n 的值 为（ ） A7 B6 C5 D4 9函数() = | + 在，0）（0，的图象大致为（ ） A B C D 10如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB8，AD6，异面直线 BD 与 AC1所成角的 余弦值为1 5，则该长方体外接球的表
4、面积为（ ） A98 B196 C784 D1372 3 11 若() + 1 = 1 (+1)， 当 x0， 1时， f （x） x， 若在区间 （1， 1内， () = () 2 ，(0)有两个零点，则实数 m 的取值范围是（ ） A0， 1 3) B(0， 2 3 C(0， 1 3 D2 3 ，+ ) 12已知 a 为常数，函数() = 1 2 2 有两个极值点 x1，x2，且 x1x2，则有（ ） A(1)0，(2) 1 2 B(1)0，(2) 1 2 C(1)0，(2) 1 2 D(1)0，(2) 1 2 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分
5、，共分，共 20 分，把答案填在题中的横线上）分，把答案填在题中的横线上） 13已知实数 x，y 满足 + + 2 0 2 2 0 1 ，则 z3x+y 的最小值是 14在区间2，4上随机地取一个数 x，若 x 满足|x|m 的概率为5 6，则 m 15在ABC 中，内角 A、 ，B，C 的对边分别为 a，b，c，若（a+b）sinBcsinCasinA， = 23，ABC 的面积记为 S，则当 + 2 取最小值时，ab 16如图所示，正方形 ABCD 与正方形 DEFG 的边长分别为 a，b（ab） ，原点 O 为 AD 的中点，抛物线 y22px（p0）经过 C，F 两点，则 = 三、解答
6、题（本大题三、解答题（本大题 5 小题，共小题，共 60 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17ABC 的内角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c （）若 a，b，c 成等差数列，证明：sinA+sinC2sin（A+C） ； （）若 a，b，c 成等比数列，求 cosB 的最小值 18 如图所示的多面体中， AD平面 PDC， 四边形 ABCD 为平行四边形， E 为 AD 的中点， F 为线段 PB 上的一点，CDP120，AD3，AP5， = 27 （）试确定点 F 的位置，使得直线 EF平面 PDC； （）若 PB3BF，求
7、直线 AF 与平面 PBC 所成角的正弦值 192016 年春节期间全国流行在微信群里发、抢红包，现假设某人将 688 元发成手气红包 50 个，产生的手气红包频数分布表如表： 全额分组 1，5） 5，9） 9，13） 13，17） 17，21） 21，25 频数 3 9 17 11 8 2 （I）求产生的手气红包的金额不小于 9 元的频率； （）估计手气红包金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ； （）在这 50 个红包组成的样本中，将频率视为概率 （i）若红包金额在区间21，25内为最佳运气手，求抢得红包的某人恰好是最佳运气手 的概率； （ii）随机抽取手气红包金额在1，
8、5）21，25内的两名幸运者，设其手气金额分别 为 m，n，求事件“|mn|16”的概率 20已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1(0)的离心率为 2 2 ，与坐标轴分别交于 A，B 两点，且 经过点 Q（2，1） （）求椭圆 C 的标准方程； （）若 P（m，n）为椭圆 C 外一动点，过点 P 作椭圆 C 的两条互相垂直的切线 l1、l2， 求动点 P 的轨迹方程，并求ABP 面积的最大值 21已知函数 f（x）axlnxx2ax+1（aR）在定义域内有两个不同的极值点 （1）求实数 a 的取值范围； （2）设两个极值点分别为 x1，x2，x1x2，证明：f（x1）+f（x2）2x12
9、+x22来源:学_科_网 Z_X_X_K 请考生在请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修选修 44： 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 22已知直线 l 的参数方程为 = 1 + 2 = 2 ， （t 为参数） ，以坐标原点为极点，x 正半轴为极 轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程是 = 12 （1）写出直线 l 的极坐标方程与曲线 C 的直角坐标方程 （2）若点 P 是曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离的最小值，并求出此时点 P 的 坐标 选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲 23设函数
10、 f（x）|x+2|x2| （1）解不等式 f（x）2； （2）当 xR，0y1 时，证明：|x+2|x2| 1 + 1 1 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，每小题有且只有一个正确选项）分，每小题有且只有一个正确选项） 1已知集合 Ax|lnx1，Bx|1x2，则 AB（ ） A （0，e） B （1，2） C （1，e） D （0，2） 可以求出集合 A，然后进行交集的运算即可 Ax|0xe，Bx|1x2， AB（0，2） 故选：D 本题考查了描述法、区间的定义，对数函数的单调性和定义域，交集的运算，考查了计 算能力，属于
11、基础题 2已知复数 = 2 3，则|z|（ ） A1 B2 C3 D2 利用复数模的运算性质即可得出 解：复数 = 2 3，则|z|= 2 |3| = 2 (3)2+(1)2 =1 故选：A 本题考查了复数模的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 3已知向量 = (1， 2)，向量 = (3，4)，则向量 在 方向上的投影为（ ） A1 B1 C5 D5 根据向量 在 方向上的投影= | |，带入数值即可 向量 = (1， 2)，向量 = (3，4)； =（1）（3）+（2）4385； 向量 在 方向上的投影= | |= 38 (3)2+42 = 1 故选：B 本题主要考查向量的投影
12、，熟记公式是解决本题的关键，属于简单题 4 若过椭圆 2 9 + 2 4 = 1内一点 P （2， 1） 的弦被该点平分， 则该弦所在的直线方程为 （ ） A8x+9y250 B3x4y50 C4x+3y150 D4x3y90 设出 A、B 坐标，利用平方差法，求解直线的斜率，然后求解直线方程 设弦的两端点为 A （x1， y1） ， B （x2， y2） ， P 为 AB 中点， A， B 在椭圆上， 12 9 + 12 4 = 1， 22 9 + 22 4 = 1， 两式相减得：1 2;22 9 + 12;22 4 = 0， x1+x24，y1+y22， 可得：1;2 1;2 = 8 9，
13、 则 k= 8 9，且过点 P（2，1） ，有 y1= 8 9（x2） ， 整理得 8x+9y250 故选：A 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档 题 5 已知函数 f （x） x3+x+1+sinx， 若 f （a1） +f （2a2） 2， 则实数 a 的取值范围是 （ ） A1， 3 2 B 3 2 ，1 C1， 1 2 D 1 2 ，1 令 g（x）f（x）1x3+x+sinx，xR利用函数的定义判断奇偶性，利用导数判断函 数的单调性即可转化求解实数 a 的取值范围 令 g（x）f（x）1x3+x+sinx，xR 则 g（x）g（x） ，g（x
14、）在 R 上为奇函数 g（x）3x 2+1+cosx0， 函数 g（x）在 R 上单调递增 f（a1）+f（2a2）2，化为：f（a1）1+f（2a2）10， 即 g（a1）+g（2a2）0，化为：g（2a2）g（a1）g（1a） ， 2a21a， 即 2a2+a10， 解得1a 1 2 实数 a 的取值范围是1，1 2 故选：C 本题考查了构造法、利用导数研究函数的单调性奇偶性、方程与不等式的解法、等价转 化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题 6已知命题 p：xR，x20，命题 q：，R，使 tan（+）tan+tan，则下列命 题为真命题的是（ ） Apq Bp（q） C （p）q
15、Dp（q） 分别判断命题 p，q 的真假，然后利用复合命题与简单命题真假之间的关系进行判断 命题 p：xR，x20，为假命题，故p 为真命题； 命题 q：，R，使 tan（+）tan+tan，当 成立， 所以命题 q 为真命题，q 为假命题， 则 pq 为假命题，p（q）为假命题，pq 为真命题，pq 为假命题， 故选：C 本题主要考查复合命题的真假判断，要求熟练掌握复合命题与简单命题真假之间的关系 7荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到 另一叶） ，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图假设现在青蛙 在 A 叶上，则跳三次之后停在 A
16、叶上的概率是（ ） A1 3 B2 9 C4 9 D 8 27 根据条件先求出逆时针和顺时针跳的概率，然后根据跳 3 次回到 A，则应满足 3 次逆时 针或者 3 次顺时针，根据概率公式即可得到结论 设按照顺时针跳的概率为 p，则逆时针方向跳的概率为 2p，则 p+2p3p1， 解得 p= 1 3，即按照顺时针跳的概率为 1 3，则逆时针方向跳的概率为 2 3， 若青蛙在 A 叶上，则跳 3 次之后停在 A 叶上， 则满足 3 次逆时针或者 3 次顺时针， 若先按逆时针开始从 AB，则对应的概率为2 3 2 3 2 3 = 8 27， 若先按顺时针开始从 AC，则对应的概率为1 3 1 3 1
17、 3 = 1 27， 则概率为 1 27 + 8 27 = 9 27 = 1 3， 故选：A 本题主要考查概率的计算，利用独立重复试验的概率公式是解决本题的关键 8庄子说： “一尺之锤，日取其半，万世不竭” ，这句话描述的是一个数列问题，现用程序 框图描述，如图所示，若输入某个正整数 n 后，输出的 S（15 16， 63 64） ，则输入的 n 的值 为（ ） A7 B6 C5 D4 模拟程序的运行，依次写出前几次循环得到的 S，k 的值，由题意，说明当算出的值 S （15 16， 63 64）后进行判断时判断框中的条件满足，即可求出此时的 n 值 框图首先给累加变量 S 赋值 0，给循环变
18、量 k 赋值 1， 输入 n 的值后，执行循环体，S= 1 2，k1+12； 判断 2n 不成立，执行循环体，S= 3 4，k2+13； 判断 3n 不成立，执行循环体，S= 7 8，k3+14； 判断 4n 不成立，执行循环体，S= 15 16，k4+15 判断 5n 不成立，执行循环体，S= 31 32，k4+16 判断 6n 不成立，执行循环体，S= 63 64，k4+17 由于输出的 S（15 16， 63 64） ，可得：当 S= 31 32，k6 时，应该满足条件 6n，即：5n 6， 可得输入的正整数 n 的值为 5 故选：C 本题考查了程序框图中的循环结构，是直到型循环，即先执
19、行后判断，不满足条件继续 执行循环，直到条件满足跳出循环，算法结束，是基础题 9函数() = | + 在，0）（0，的图象大致为（ ） A B C D 由函数的奇偶性及特殊点，观察选项即可得解 () = | = ()， 函数 f（x）为奇函数， 又(1) = 0，( 2) = 0，( 3)0，()0， 选项 D 符合题意 故选：D 本题考查由函数解析式找函数图象，一般从奇偶性，特殊点，单调性等角度运用排除法 求解，属于基础题 10如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB8，AD6，异面直线 BD 与 AC1所成角的 余弦值为1 5，则该长方体外接球的表面积为（ ） A98 B196 C
20、784 D1372 3 由题意建立空间直角坐标系，由异面直线的余弦值求出长方体的高，由题意长方体的对 角线等于外接球的直径，进而求出外接球的半径，求出外接球的表面积 由题意建立如图所示的空间直角坐标系，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴 DD1为 z 轴，D 为坐标 原点， 由题意知 A（6，0，0） ，B（6，8，0） ，D（0，0，0） ， 设 D（0，0，a） ，则 C1（0，8，a） ， =（6，8，0） ，1 =（6，8，a） ， cos ，1 = 1 | |1| = 36+64 10100+2 = 14 5100+2 ， 由题意可得：1 5 = 14 5100:2，解得：a 296
21、， 由题意长方体的对角线等于外接球的直径， 设外接球的半径为 R，则（2R）282+62+a2196， 所以该长方体的外接球的表面积 S4R2196， 故选：B 考查异面直线的夹角即外接球的表面积公式，属于中档题 11 若() + 1 = 1 (+1)， 当 x0， 1时， f （x） x， 若在区间 （1， 1内， () = () 2 ，(0)有两个零点，则实数 m 的取值范围是（ ） A0， 1 3) B(0， 2 3 C(0， 1 3 D 2 3，+)来源:. 当 x （1， 0） 时， x+1 （0， 1） ， 则 f （x） +1= 1 (+1) = 1 +1， 所以 f （x） =
22、 1 +1 1， 故 f （x） = 1 +1 1， 10 ，0 1 ， 题目问题等价于函数 yf （x） 与函数 ym（x+ 1 2） 在区间 （ 1，1内有两个交点，在同一坐标系内画出两个函数的图象，根据图象，利用数形结合法 即可求出 m 的取值范围 依题意，() + 1 = 1 (+1)，又当 x0，1时，f（x）x， 故当 x（1，0）时，x+1 （0，1） ，则 f （x） +1= 1 (+1) = 1 +1，所以 f（x） = 1 +1 1， 故 f（x）= 1 +1 1， 10 ，0 1 ， 由() = () 2 ，(0)在区间 （1， 1内有两个零点， 得方程 f （x） m
23、（x+ 1 2） 在区间（1，1内有两个根， 等价于函数 yf（x）与函数 ym（x+ 1 2）在区间（1，1内有两个交点， 而函数 ym（x+ 1 2）恒过定点（ 1 2，0） ，在同一坐标系内画出两个函数的图象，如图所 示：， 当 ym（x+ 1 2）过点（1，1）时，斜率 m= 2 3， 当 ym（x+ 1 2）过点（1，0）时，斜率 m0， 由图象可知，当 0m 2 3时，两个函数图象有两个交点，即() = () 2 ，(0)有两个零点， 故选：B 本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，以及直线过定点问题，是中档题 12已知 a 为常数，函数() = 1 2 2 有两个极值点 x1
24、，x2，且 x1x2，则有（ ） A(1)0，(2) 1 2 B(1)0，(2) 1 2 C(1)0，(2) 1 2 D(1)0，(2) 1 2 依题意， = 的两根为 x1，x2，设() = ，利用导数可知 0x11，x21，则可得 ()极小值= (1) ( 1 2，0)，()极大值 = (2) ( 1 2 ，+ ) f（x）xaex，则 f（x）0 的两根为 x1，x2，即 = 的两根为 x1，x2， 设() = ，则() = ()2 = 1 ，令 g（x）0，解得 x1， g（x）在（，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，函数 g（x）的图象如下， 由图可知，0x11，x21，且当
25、x（，x1）（x2，+）时， ，则 f（x） 0，f（x）单调递减，当 x（x1，x2）时， ，则 f（x）0，f（x）单调递增， f （x）极小值= (1) = 1 2 12 1 1 1= 1 2 12 1， 又 x1 （0， 1） ， 故(1) ( 1 2 ，0)，来源:学科网 f （x）极大值= (2) = 1 2 22 2 2 2= 1 22 2 2， 又x2 （1， +） ， 故(2) ( 1 2， + ) 故选：A 本题主要考查利用导数研究函数的极值， 考查转化思想及数形结合思想， 考查计算能力， 属于中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题
26、5 分，共分，共 20 分，把答案填在题中的横线上）分，把答案填在题中的横线上） 13已知实数 x，y 满足 + + 2 0 2 2 0 1 ，则 z3x+y 的最小值是 8 作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过 M 时， z 取得最小值 画出不等式组 + + 2 0 2 2 0 1 表示的可行域如图阴影区域所示 = 1 + + 2 = 0M（3，1） 平移直线 3x+y0，易知当直线 z3x+y 经过点 M（3，1）时， 目标函数 z3x+y 取得最小值， 且 zmin3（3）+18 故答案为：8 本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值是
27、中档题 14在区间2，4上随机地取一个数 x，若 x 满足|x|m 的概率为5 6，则 m 3 画出数轴，利用 x 满足|x|m 的概率为5 6，直接求出 m 的值即可 如图区间长度是 6，区间2，4上随机地取一个数 x，若 x 满足|x|m 的概率为5 6，所以 m3 故答案为：3 本题考查几何概型的求解，画出数轴是解题的关键 15在ABC 中，内角 A、 ，B，C 的对边分别为 a，b，c，若（a+b）sinBcsinCasinA， = 23，ABC 的面积记为 S，则当 + 2 取最小值时，ab 46 3 由正弦定理化简已知等式可得 a2+b2c2ab，利用余弦定理可求 cosC= 1
28、2，结合范 围 C（0，） ，可求 C= 2 3 ，进而由题意，利用三角形的面积公式，基本不等式即可求 解 （a+b）sinBcsinCasinA， （a+b）bc2a2，可得 a2+b2c2ab， cosC= 2+22 2 = 2 = 1 2， C（0，） ， C= 2 3 ， ABC 的面积记为 S， + 2 22，当且仅当 S= 2 ，即 S= 2 = 1 2absinC= 3 4 ab 时等 号成立，解得此时 ab= 46 3 故答案为：46 3 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式在解三角形中的 综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 16如图所示，
29、正方形 ABCD 与正方形 DEFG 的边长分别为 a，b（ab） ，原点 O 为 AD 的中点，抛物线 y22px（p0）经过 C，F 两点，则 = 2 + 1 可先由图中的点与抛物线的位置关系，写出 C，F 两点的坐标，再将坐标代入抛物线方 程中，消去参数 p 后，得到 a，b 的关系式，再寻求 的值 由题意可得( 2 ， )，( 2 + ，)， 将 C，F 两点的坐标分别代入抛物线方程 y22px 中，得 ()2= 2 2 2= 2( 2 + ) a0，b0，p0，两式相比消去 p 得 2 = 1 :2，化简整理得 a 2+2abb20， 此式可看作是关于 a 的一元二次方程，由求根公式
30、得 = 282 2 = (1 2)， 取 = (2 1)， 从而 = 1 2;1 =2 + 1， 故答案为：2 + 1 本题关键是弄清两个正方形与抛物线的位置关系，这样才能顺利写出 C，F 的坐标，接 下来是消参，得到了一个关于 a，b 的齐次式，应注意根的取舍与细心的计算 三、解答题（本大题三、解答题（本大题 5 小题，共小题，共 60 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17ABC 的内角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c （）若 a，b，c 成等差数列，证明：sinA+sinC2sin（A+C） ； （）若 a，b，c 成等比
31、数列，求 cosB 的最小值 （）由 a，b，c 成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简， 再利用诱导公式变形即可得证； （）由 a，bc 成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用余弦定理表示出 cosB，将得出的关系式代入，并利用基本不等式变形即可确定出 cosB 的最小值 （）a，b，c 成等差数列， 2ba+c， 利用正弦定理化简得：2sinBsinA+sinC， sinBsin（A+C）sin（A+C） ， sinA+sinC2sinB2sin（A+C） ； （）a，b，c 成等比数列， b2ac， cosB= 2+22 2 = 2+2 2 2 2 = 1
32、2， 当且仅当 ac 时等号成立， cosB 的最小值为1 2 此题考查了正弦、余弦定理，等差、等比数列的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌 握定理是解本题的关键 18 如图所示的多面体中， AD平面 PDC， 四边形 ABCD 为平行四边形， E 为 AD 的中点， F 为线段 PB 上的一点，CDP120，AD3，AP5， = 27 （）试确定点 F 的位置，使得直线 EF平面 PDC； （）若 PB3BF，求直线AF 与平面 PBC 所成角的正弦值 （）设 F 为 BP 中点，取 AP 中点 G，连结 EF、EG、FG，推导出 GFABCD，EG DP， 从而平面 GEF平面 PDC，
33、进而当点 F 为 BP 中点时， 使得直线 EF平面 PDC （）以 D 为原点，DC 为 x 轴，在平面 PDC 中过 D 作 CD 垂线为 y 轴，DA 为 z 轴， 建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 AF 与平面 PBC 所成角的正弦值 （）设 F 为 BP 中点，取 AP 中点 G，连结 EF、EG、FG， AD平面 PDC，四边形 ABCD 为平行四边形，E 为 AD 的中点， GFABCD，EGDP， EGFGG，DPCDD，平面 GEF平面 PDC， EF平面 GEF，当点 F 为 BP 中点时，使得直线 EF平面 PDC （）以 D 为原点，DC 为 x 轴，在平面 P
34、DC 中过 D 作 CD 垂线为 y 轴，DA 为 z 轴， 建立空间直角坐标系， 为 AD 的中点，F 为线段 PB 上的一点，CDP120，AD3，AP5， = 27来 源:学.科.网 Z.X.X.K cos120= 2+(5232)(27)2 25232 ，解得 CD6， A（0，0，3） ，B（6，0，3） ，P（2，23，0） ，C（6，0，0） ， 设 F（a，b，c） ，由 PB3BF，得 = 1 3 ，即（a6，b，c3）= 1 3（8，23， 3） ， 解得 a= 10 3 ，b= 23 3 ，c2，F（10 3 ，23 3 ，2） ， =（10 3 ， 23 3 ，1） ，
35、 =（0，0，3） ， =（8，23，0） ， 设平面 PBC 的法向量 =（x，y，z） ， 则 = 3 = 0 = 8 + 23 = 0 ，取 x1，得 =（1， 4 3 ，0） ， 设直线 AF 与平面 PBC 所成角为 ， 则直线 AF 与平面 PBC 所成角的正弦值为： sin= | | | | | = 6 121 9 19 3 = 1857 209 本题考查满足面面平行的点的位置位置的确定，考查线面角的正弦值的求法，考查空间 中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 192016 年春节期间全国流行在微信群里发、抢红包，现假设某人将 688 元发成手气红
36、包 50 个，产生的手气红包频数分布表如表： 全额分组 1，5） 5，9） 9，13） 13，17） 17，21） 21，25 频数 3 9 17 11 8 2 （I）求产生的手气红包的金额不小于 9 元的频率； （）估计手气红包金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ； （）在这 50 个红包组成的样本中，将频率视为概率 （i）若红包金额在区间21，25内为最佳运气手，求抢得红包的某人恰好是最佳运气手 的概率； （ii）随机抽取手气红包金额在1，5）21，25内的两名幸运者，设其手气金额分别 为 m，n，求事件“|mn|16”的概率 （）由题意利用互斥事件概率加法公式能求出产
37、生的手气红包的金额不小于 9 元的频 率 （）先求出手气红包在1，5） 、5，9） 、9，13） 、13，17） 、17，21） 、21，25内的 频率，由此能求了出手气红包金额的平均数来源:Z+xx+k.Com （） （i）由题可知红包金额在区间21，25内有两人，由此能求出抢得红包的某人恰好 是最佳运气手的概率 （ii）由频率分布表可知，红包金额在1，5）内有 3 人，在21，25内有 2 人，由此能求 出事件“|mn|16“的概率 P（|mn|16） （）由题意得产生的手气红包的金额不小于 9 元的频率： p= 17+11+8+2 50 = 19 25， 产生的手气红包的金额不小于 9
38、元的频率为19 25 （）手气红包在1，5）内的频率为 3 50 =0.06， 手气红包在5，9）内的频率为 9 50 =0.18， 手气红包在9，13）内的频率为17 50 =0.34， 手气红包在13，17）内的频率为11 50 =0.22， 手气红包在17，21）内的频率为 8 50 =0.16， 手气红包在21，25内的频率为 2 50 =0.04， 则手气红包金额的平均数为： =30.06+70.18+110.34+150.22+190.16+230.0412.44 （） （i）由题可知红包金额在区间21，25内有两人， 抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率 p= 2 50 = 1
39、25 （ii）由频率分布表可知，红包金额在1，5）内有 3 人， 设红包金额分别为 a，b，c，在21，25内有 2 人， 设红包金额分别为 x，y， 若 m，n 均在1，5）内，有 3 种情况： （a，b） ， （a，c） ， （b，c） ， 若 m，n 均在21，25内只有一种情况： （x，y） ， 若 m，n 分别在1，5）和21，25）内，有 6 种情况， 即（a，x） ， （a，y） ， （b，x） ， （b，y） ， （c，x） ， （c，y） ， 基本事件总数 n10， 而事件“|mn|16“所包含的基本事件有 6 种， P（|mn|16）= 6 10 = 3 5 本题考查频率的
40、求法，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频数分布 表的性质的合理运用 20已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1(0)的离心率为 2 2 ，与坐标轴分别交于 A，B 两点，且 经过点 Q（2，1） （）求椭圆 C 的标准方程； （）若 P（m，n）为椭圆 C 外一动点，过点 P 作椭圆 C 的两条互相垂直的切线 l1、l2， 求动点 P 的轨迹方程，并求ABP 面积的最大值 （）由离心率及椭圆过的点的坐标，及 a，b，c 之间的关系可得 a，b 的值，进而求出 椭圆的方程； （）过 P 的两条切线分斜率存在和不存在两种情况讨论，当斜率不存在时，直接由椭 圆的方程可得切点 A，
41、B 的坐标，当切线的斜率存在且不为 0 时，设过 P 的切线方程， 与椭圆联立由判别式等于 0 可得参数的关系，进而可得 PA，PB 的斜率之积，由直线 PA，PB 互相垂直可得斜率之积等于1，进而可得 m，n 之间的关系，即 P 的轨迹方程， 显然切线斜率不存在时的点 P 也在轨迹方程上； 因为 PA， PB 互相垂直， 所以三角形 PAB 的面积为 SABP= 1 2|PA|PB| 1 2 |2+|2 2 = |2 4 ，当且仅当|PA|PB|时取等号，可得 球切线 PA 的斜率为 1，求出直线 PA 的方程，与椭圆联立求出 A 的坐标，进而求出|PA| 的值，再求|AB|的值，即求出三角
42、形 PAB 面积的最大值 （）由题意可得 e= = 2 2 ， 2 2 + 1 2 =1，c2a2b2，解得 a24，b22， 所以椭圆的方程为： 2 4 + 2 2 =1； （）设两个切点分别为 A，B，当两条切线中有一条斜率不存在时， 即 A，B 两点分别位于椭圆的长轴和短轴的端点，此时 P 的坐标为： （2，2） ， 当两条切线的斜率存在且不为 0 时，设过 P 的切线的方程为：ynk（xm） ， 联立直线 ynk（xm）和椭圆的方程 = + 2 4 + 2 2 = 1 ，整理可得（1+2k2）x24k （kmn）x+2（kmn）240， 由题意可得16k2（kmn）24（1+2k2）2（k
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