1、2020 年高考数学一模试卷（理科）年高考数学一模试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题） 1设集合 Ax|2x3，B1，0，1，2，3，则集合 AB 为（ ） A2，1，0，1，2 B1，0，1，2 C1，0，1，2，3 D2，1，0，1，2，3 2若复数 z 满足（1+i）z2，则 z 的虚部为（ ） A1 Bi Ci D1 3下列函数中是偶函数，且在（0，+）是增函数的是（ ） Ayln|x| Bycosx Cyx2 Dyx3 4设 Sn为等差数列an的前 n 项和，若 a4+a512，则 S8的值为（ ） A14 B28 C36 D48 5PM2.5 是衡量空气质量的重要指标，我国采
2、用世卫组织的最宽值限定值，即 PM2.5 日均 值在 35g/m3以下空气质量为一级，在 3575g/m3空气质量为二级，超过 75g/m3为超 标如图是某地 12 月 1 日至 10 日的 PM2.5（单位：g/m3）的日均值，则下列说法正确 的是（ ） A10 天中 PM2.5 日均值最低的是 1 月 3 日 B从 1 日到 6 日 PM2.5 日均值逐渐升高 C这 10 天中恰有 5 天空气质量不超标 D这 10 天中 PM2.5 日均值的中位数是 43 6已知抛物线 y24x 上点 B（在第一象限）到焦点 F 距离为 5，则点 B 坐标为（ ） A（1，1） B（2，3） C（4，4）
3、 D ， 7设 ， 是非零向量，则“ ”是“| 2 | 2 |的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D即不充分也不必要条件 8如图是函数 f（x）2sin（x+）（0，| ）的部分图象，则 ， 的值分别为 （ ） A1， B ， C ， D ， 9设数列an的前 n 项和为 Sn若 a11，an+12Sn+1，nN*，则 S5值为（ ） A363 B121 C80 D40 10已知 a0，b0， ，则 a+b 的最小值为（ ） A B C2 D4 11已知 a，b 是两条直线， 是三个平面，则下列命题正确的是（ ） A若 a，b，ab，则 B若 ，a，则 a C若 ，a，则
4、 a D若 ，a，则 a 12易经是中国传统文化中的精髓，如图是易经后天八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、 离、 艮、 兑八卦） ， 每一卦由三根线组成 （表示一根阳线，表示一根阴线） ， 从八卦中任取两卦，记事件 A“两卦的六根线中恰有两根阳线”，B“有一卦恰有一 根阳线”，则 P（A|B）（ ） A B C D 二.填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答卷纸的相应位置上） 13已知 x，y 满足约束条件 ， ， 则 zx+y 的最大值为 14双曲线 ， 的一条渐近线的方程为 yx，则该双曲线的离心率 e 15定义在（1，+）上的函数 f（x）满足下列两个条件：
5、（1）对任意的 x（1，+）恒 有 f（2x）2f（x）成立； （2）当 x（1，2时，f（x）2x则 f（6）的值是 16如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 O 为线段 BD 的中点设点 P 在线段 CC1上， 二面角 A1BDP 的平面角为 ，用图中字母表示角 为 ，sin 的最小值 是 三.解答题：（本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17设函数 f（x）2sinxcosx2cos2（x ） （）求 f（x）的单调递增区间； （）在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 f（ ）0，a1，c 1，求 b 18某中学
6、调查防疫期间学生居家每天锻炼时间情况，从高一、高二年级学生中分别随机抽 取 100 人，由调查结果得到如图的频率分布直方图： （）写出频率分布直方图（高一）中 a 的值；记高一、高二学生 100 人锻炼时间的样 本的方差分别为 s12，s22，试比较 s12，s22的大小（只要求写出结论）； （）估计在高一、高二学生中各随机抽取 1 人，恰有一人的锻炼时间大于 20 分钟的概 率； （）由频率分布直方图可以认为，高二学生锻炼时间 Z 服从正态分布 N（，2）， 其中 近似为样本平均数 ， 近似为样本方差，且每名学生锻炼时间相互独立，设 X 表示从高二学生中随机抽取 10 人，其锻炼时间位于（1
7、4.55，38.45）的人数，求 X 的数 学期望 注：同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得 s2 11.95； 若 ZN（，2），则 P（z+）0.6826，P（2z+2） 0.9544 19如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 BB1C1C 为菱形，A 在侧面 BB1C1C 上的投影恰为 B1C 的中点 O，E 为 AB 的中点 （）证明：OE平面 ACC1A1； （）若 ， ，在线段 C1A1上是否存在点 F（F 不与（C1，A1 重合）使得直线 EF 与平面 ACC1A1成角的正弦值为 若存在，求出 的值；若不存 在，说明理由 20已知过点 ， 的曲线 C 的方程为 （）求曲线
8、 C 的标准方程： （）已知点 F（1，0），A 为直线 x4 上任意一点，过 F 作 AF 的垂线交曲线 C 于点 B，D （i）证明：OA 平分线段 BD（其中 O 为坐标原点）； （ii）求 最大值 21已知函数 f（x）2sinxx2+2xa （）当 a0 时，求 f（x）零点处的切线方程； （）若 f（x）有两个零点 x1，x2（x1x2），求证： a 四、请考生在 22，23 二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，已知点 A（1，0），B（1，0），
9、动点 M（x，y）满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为4记 M 的轨迹为曲线 C以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为 极轴建立极坐标系，直线 1 的极坐标方程为 2cos sin+110 （）求 C 和 l 的直角坐标方程； （）求 C 上的点到 1 距离的最小值 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）m|x2|，mR，g（x）|x+3| （）当 xR 时，有 f（x）g（x），求实数 m 的取值范围 （）若不等式 f（x）0 的解集为1，3，正数 a，b 满足 ab2ab3m1，求 a+b 的最小值 参考答案 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分每
10、小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1设集合 Ax|2x3，B1，0，1，2，3，则集合 AB 为（ ） A2，1，0，1，2 B1，0，1，2 C1，0，1，2，3 D2，1，0，1，2，3 【分析】利用交集定义直接求解 解：集合 Ax|2x3，B1，0，1，2，3， 集合 AB1，0，1，2 故选：B 2若复数 z 满足（1+i）z2，则 z 的虚部为（ ） A1 Bi Ci D1 【分析】利用共轭复数的定义、复数的运算法则即可得出 解：复数 z 满足（1+i）z2，（1i）（1+i）z2（1i），2z2（1i）， z1i， 则 z 的虚部为1 故选：A 3下列函数中是偶函
11、数，且在（0，+）是增函数的是（ ） Ayln|x| Bycosx Cyx2 Dyx3 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案 解：根据题意，依次分析选项： 对于 A，yln|x|，其定义域为x|x0，关于原点对称，有 f（x）ln|x|f（x），是 偶函数，且在（0，+）上，f（x）lnx，为增函数，符合题意， 对于 B，ycosx，是余弦函数，在（0，+）上不是单调函数，不符合题意； 对于 C，yx2，为二次函数，在（0，+）上是单调减函数，不符合题意； 对于 D，yx3，为奇函数，不符合题意； 故选：A 4设 Sn为等差数列an的前 n 项和，若 a4+a5
12、12，则 S8的值为（ ） A14 B28 C36 D48 【分析】由等差数列的性质得 S8 ，由此能求出结果 解：Sn为等差数列an的前 n 项和，a4+a512， S8 41248 故选：D 5PM2.5 是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即 PM2.5 日均 值在 35g/m3以下空气质量为一级，在 3575g/m3空气质量为二级，超过 75g/m3为超 标如图是某地 12 月 1 日至 10 日的 PM2.5（单位：g/m3）的日均值，则下列说法正确 的是（ ） A10 天中 PM2.5 日均值最低的是 1 月 3 日 B从 1 日到 6 日 PM2.5 日均值
13、逐渐升高 C这 10 天中恰有 5 天空气质量不超标 D这 10 天中 PM2.5 日均值的中位数是 43 【分析】由折线图逐一分析数据，找出特例可判断，找出结果 解：由折线图可知 A 错，因为 10 天中 PM2.5 日均值最低的是 12 月 1 日；B 错，因为 2 日到 3 日是下降的； C 错，因为 10 天中有 8 天空气质量不超标；由数据分析可得日均值的中位数是 43， 故选：D 6已知抛物线 y24x 上点 B（在第一象限）到焦点 F 距离为 5，则点 B 坐标为（ ） A（1，1） B（2，3） C（4，4） D ， 【分析】由抛物线的方程可得准线方程，再由抛物线的性质可得到焦
14、点的距离等于到准 线的距离，可得 B 的横坐标，代入抛物线的方程可得纵坐标 解：设 B（x，y），由抛物线的方程可得准线方程为：x1， 由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离 x+15，所以 x4， 代入抛物线的方程可得 y4，由 B 在第一象限，所以 y4，即 B 的坐标（4，4）， 故选：C 7设 ， 是非零向量，则“ ”是“| 2 | 2 |的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D即不充分也不必要条件 【分析】根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可 解：若“| 2 | 2 |， 则平方得| |2+4| |2+4 | |2+4| |24 ，
15、 即 4 4 ， 得 0，即 ， 则“ ”是“| 2 | 2 |的充要条件， 故选：C 8如图是函数 f（x）2sin（x+）（0，| ）的部分图象，则 ， 的值分别为 （ ） A1， B ， C ， D ， 【分析】结合函数的图象，由周期求出 ，由特殊点的坐标求出 的值 解：由函数图象可知 T2（ ）， 2， x 时，函数取得最大值 2， 可得：2sin（2 ）2，可得：2 2k ，即 2k ，kZ， | ， 故选：D 9设数列an的前 n 项和为 Sn若 a11，an+12Sn+1，nN*，则 S5值为（ ） A363 B121 C80 D40 【分析】通过数列的递推关系式求出数列的前 5
16、 项，然后求解数列的和即可 解：数列an的前 n 项和为 Sn若 a11，an+12sn+1，nN*， 可得 a23，a39，a427，a581， 则 S51+3+9+27+81121 故选：B 10已知 a0，b0， ，则 a+b 的最小值为（ ） A B C2 D4 【分析】根据 ，可以得到 a+b（a+b）（ ），展开后再运用基本不等 式可求得最小值 解： ， a+b（a+b）（ ）1+1 2+2 4， 当且仅当 时等号成立， a+b 的最小值为 4 故选：D 11已知 a，b 是两条直线， 是三个平面，则下列命题正确的是（ ） A若 a，b，ab，则 B若 ，a，则 a C若 ，a，则
17、 a D若 ，a，则 a 【分析】A由于 ，或相交，即可判断出正误； B由已知可得 a 或 a，即可判断出正误； C正确，利用线面面面垂直的判定与性质定理即可判断出正误； D由已知可得 a 或 a，即可判断出正误 解：A若 a，b，ab，则 ，不正确，可能相交； B若 ，a，则 a 或 a，因此不正确； C若 ，a，则 a，正确； 证明：设 b，c，取 P，过点 P 分别作 mb，nc， 则 m，n，ma，na，又 mnP，a D若 ，a，则 a 或 a 故选：C 12易经是中国传统文化中的精髓，如图是易经后天八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、 离、 艮、 兑八卦） ， 每一卦由三根线组成 （表示
18、一根阳线，表示一根阴线） ， 从八卦中任取两卦，记事件 A“两卦的六根线中恰有两根阳线”，B“有一卦恰有一 根阳线”，则 P（A|B）（ ） A B C D 【分析】先分析卦数的分类，再分别求解各自对应的种数，相比即可求解结论 解：观察八卦图可知，含 3 根阴线的共有 1 卦，含 3 根阳线的共有 1 卦， 还有 2 根阴线 1 根阳线的共有 3 卦，含有 1 根阴线 2 根阳线的共有 3 卦， 从八卦中任取两卦，有一卦恰有一根阳线的取法有： 18； 再此条件下：两卦的六根线恰有两根阳线的取法有： 3 种； 故 P（A|B） ； 故选：B 二.填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共
19、20 分，把答案填在答卷纸的相应位置上） 13已知 x，y 满足约束条件 ， ， 则 zx+y 的最大值为 4 【分析】由约束条件作出可行域，结合图形得到使目标函数 zx+y 的最优解，代入坐标 求得 zx+y 的最小值 解：由 x，y 满足约束条件 ， ， 作出可行域如图， 联立 ，解得 A（2，2） 由图可知，使目标函数 zx+y 取得最大值最大值的最优解为点 A 的坐标， zx+y 的最大值为：4 故答案为：4 14双曲线 ， 的一条渐近线的方程为 yx，则该双曲线的离心率 e 【分析】利用双曲线的渐近线方程，得到 ab 关系式，然后求解离心率 解：双曲线 ， 的一条渐近线的方程为 yx
20、， 可得 ab，则 c ，e 故答案为： 15定义在（1，+）上的函数 f（x）满足下列两个条件：（1）对任意的 x（1，+）恒 有 f（2x）2f（x）成立；（2）当 x（1，2时，f（x）2x则 f（6）的值是 2 【分析】直接根据定义把 f（6）转化到用 f（ ）来表示即可求解 解：定义在（1，+）上的函数 f（x）满足下列两个条件： （1）对任意的 x（1，+）恒有 f（2x）2f（x）成立； （2）当 x（1，2时，f（x）2x f（6）2f（3）4f（ ）4（2 ）2 故答案为：2 16如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 O 为线段 BD 的中点设点 P 在线段 CC1
21、上， 二面角 A1BDP 的平面角为 ， 用图中字母表示角 为 A1OP ， sin 的最小值是 【分析】判断平面 A1BD 与平面 ACC1A1垂直，即可得到二面角的平面角，然后判断 P 的 位置，求解最小值即可 解：连接 AC 交 BD 与 O，连接 A1C1，由题意可知：BDAC，BDAA1，所以 BD平 面 ACC1A1，所以 BDOPS，所以点 P 在线段 CC1上二面角 A1BDP 的平面角为 ， 用图中字母表示角 为：A1OP， 设正方体的列出为 2，则 A1O ，OC ，A1C2 ， 由题意可知 P 在 C 处时，cosA1 OP ， 此时 sinA1OP ，是最小值 故答案为
22、：A1OP； 三.解答题：（本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17设函数 f（x）2sinxcosx2cos2（x ） （）求 f（x）的单调递增区间； （）在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 f（ ）0，a1，c 1，求 b 【分析】（）由题意利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式为 f（x）2sin2x 1，利用正弦函数的单调性即可求解其单调递增区间 （）由 f（ ）2sinB10，可得 sinB ，结合 B 为锐角，可得 B ，进而根据余 弦定理即可求解 b 的值 解：（）由题意可得： sin2x1+cos（2x ）
23、 2sin2x1， 由 2k 2x2k ，kZ，解得 k xk ，kZ， 可得 f（x）的单调递增区间是k ，k ，kZ （）由 f（ ）2sinB10，可得 sinB ， 由题意可得 B 为锐角，可得 B ， 又 a1，c1， 又余弦定理可得 b 1 18某中学调查防疫期间学生居家每天锻炼时间情况，从高一、高二年级学生中分别随机抽 取 100 人，由调查结果得到如图的频率分布直方图： （）写出频率分布直方图（高一）中 a 的值；记高一、高二学生 100 人锻炼时间的样 本的方差分别为 s12，s22，试比较 s12，s22的大小（只要求写出结论）； （）估计在高一、高二学生中各随机抽取 1
24、人，恰有一人的锻炼时间大于 20 分钟的概 率； （）由频率分布直方图可以认为，高二学生锻炼时间 Z 服从正态分布 N（，2）， 其中 近似为样本平均数 ， 近似为样本方差，且每名学生锻炼时间相互独立，设 X 表示从高二学生中随机抽取 10 人，其锻炼时间位于（14.55，38.45）的人数，求 X 的数 学期望 注：同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得 s2 11.95； 若 ZN（，2），则 P（z+）0.6826，P（2z+2） 0.9544 【分析】（）写出频率分布直方图中的 a，写出 s12，s22的大小即可 （） 设事件 A： 在高一学生中随机抽取 1 人， 其锻炼时间指标不大
25、于 20 分钟， 事件 B： 在高二学生中随机抽取 1 人，其锻炼时间指标不大于 20 分钟，事件 C：在高一、高二学 生中随机抽取 1 人， 恰有一个学生锻炼时间指标大于20 分钟， 且另一个不大于 20 分钟 求 出 P（A），P（B），通过 P（C）P（ ）P（B）+P（A）P（ ）求解即可 （） 26.5，由条件可得：ZN（26.5，142.75），推出 XB（10，0.6825），求解 期望即可 解：（）由题意可知 a0.015s12s22 （）设事件 A：在高一学生中随机抽取 1 人，其锻炼时间指标不大于 20 分钟， 事件 B：在高二学生中随机抽取 1 人，其锻炼时间指标不大于
26、20 分钟， 事件 C：在高一、高二学生中随机抽取 1 人，恰有一个学生锻炼时间指标大于 20 分钟， 且另一个不大于 20 分钟 则：P（A）0.2+0.10.30，P（B）0.1+0.20.30，P（C）P（ ）P（B）+P（A） P（ ）0.42 （） 26.5，由条件可得：ZN（26.5，142.75）， 从而 P（26.511.9Z26.5+11.95）0.6826， 从高二中随机抽取 10 人，其锻炼时间值位于（14.55，38.45）的概率是 0.6826 根据题意得：XB（10，0.6825）， EX100.68266.826 19如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 BB
27、1C1C 为菱形，A 在侧面 BB1C1C 上的投影恰为 B1C 的中点 O，E 为 AB 的中点 （）证明：OE平面 ACC1A1； （）若 ， ，在线段 C1A1上是否存在点 F（F 不与（C1，A1 重合）使得直线 EF 与平面 ACC1A1成角的正弦值为 若存在，求出 的值；若不存 在，说明理由 【分析】（I）连接 BC1，AC1，利用三角形中位线定理可得：OEAC1，利用线面平行的 判定定理即可证明结论 （II） 由 AO侧面 BB1C1C， 侧面 BB1C1C 为菱形， 可以建立空间直角坐标系 设 BC2， 由CBB160，cosACC1cosACO cosOCC1，可得 cosA
28、CO ，AO1 设 （01），可得 F（ ，）， （ ， ）设平面 ACC1A1的法向量为 （x，y，z），可得 0利用 ，解 得 即可得出 【解答】 （I）证明：连接 BC1，AC1，O 为 B1C 的中点，E 为 AB 的中点，OEAC1， OE平面 ACC1A1，AC1平面 ACC1A1 OE平面 ACC1A1 （II）解：AO侧面 BB1C1C，侧面 BB1C1C 为菱形， AOOB，AOOB1，OBOB1 以点 O 为坐标原点，OB，OB1，OA 为 x，y，z 轴，可以建立如图所示的空间直角坐标 系 Oxyz设 BC2， CBB160，cosACC1cosACO cosOCC1 c
29、osACO ，AO1 B（ ，0，0），C（0，1，0），C1（ ，0，0），A（0，0，1），A1（ ，1， 1），E（ ，0， ）， 设 （01），F（ ，）， （ ， ） 设平面 ACC1A1的法向量为 （x，y，z）， （0，1，1）， （ ，1，0） 0y+z0， x+y0取 （1， ， ） ，解得 20已知过点 ， 的曲线 C 的方程为 （）求曲线 C 的标准方程： （）已知点 F（1，0），A 为直线 x4 上任意一点，过 F 作 AF 的垂线交曲线 C 于点 B，D （i）证明：OA 平分线段 BD（其中 O 为坐标原点）； （ii）求 最大值 【分析】（）将 P 的坐标代入可
30、得 a 的值，由题意的定义可得曲线 C 的轨迹为椭圆， 且可知焦点坐标即长半轴长，进而求出曲线 C 的标准方程； （）（i）设 B，D 的坐标，由题意可得直线 BD 的斜率存在且不为 0，设直线 BD 的方 程，由题意可得直线 AF 的方程，将直线 BD 的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之 积，进而求出 BD 的中点 M 坐标，求出直线 OM 的斜率，及直线 OA 的斜率，可得两个 斜率相等可证得 OA 平分线段 BD； （ii）求出|AF|，|BD|，进而求出 的表达式，换元由均值不等式可得其最大值 【解答】解（）将 P 的坐标代入方程可得：a2，所以由椭圆的定义可知，曲线 C 的 轨迹为
31、以（1，0），（1，0）为焦点，以长半轴为 2 的椭圆， 所以曲线 C 的标准方程为： 1； （）（i）设 B（x1，y1），D（x2，y2），BD 的中点坐标 M（x0，y0）， 由题意可得直线 BD 的斜率存在且不为 0，所以设直线 BD 的方程为：xmy+1， 则直线 AF 的方程为：ym（x1），A 在直线 x4 上，所以 yA3m，即 A（4， 3m）， 将直线 BD 与椭圆联立 ，整理可得（4+3m 2）y2+6my90， 所以 y1+y2 ，y1y2 ， 所以 x1+x2m（y1+y2）+2 ， 所以中点 M（ ， ）， 因为 kOA k OM， 所以 OA 平分线段 BD； （
32、ii）|AF|3 ，|BD| ， 所以 ，令 t 1， 所以 1，当且仅当 t1 时取等号， 所以 最大值为 1 21已知函数 f（x）2sinxx2+2xa （）当 a0 时，求 f（x）零点处的切线方程； （）若 f（x）有两个零点 x1，x2（x1x2），求证： a 【分析】 （）将 a0 带入，求导得 f（x）2cosx2x+2，f（x）2sinx20， 进而可知存在 x0，使得 f（x0）0，且 f（x）在 x（，x0）上单调递增，在 x（x0， +）上单调递减，进一步可得 x0，x2 是 f（x）的两个零点，再求得 f（0）2+2，f（2）22，由此 求得所求切线方程； （）先构造
33、函数 F（x）（2+2）x2sinx+x22x，F（x）22cosx+2x，F（x） 2sinx+20，可知（2+2）x2sinxx2+2x，设 y（2+2）x 与 ya 的交点横坐标 为 x3，可得 ；设 G（x）（22）（x2）2sinx+x22x，G （x） 242cosx+2x， G （x） 2sinx+20， 可知 （22） （x2） 2sinxx2+2x， 设 y（22）（x2）与 ya 的交点横坐标为 x4，可得 ，由此 即可得证 解： （）当 a0 时，f（x）2sinxx2+2x，定义域为一、选择题，则 f（x）2cosx 2x+2，f（x）2sinx20， yf（x）在 R
34、 上为减函数， f（0）2+20，f（）20， 由零点存在性定理可知，f（x）在 x（0，）上必存在 x0，使得 f（x0）0， 且当 x（，x0）时，f（x）0，即 f（x）在 x（，x0）上单调递增， 当 x（x0，+）时，f（x）0，即 f（x）在 x（x0，+）上单调递减， f（x）maxf（x0）， 故 f（x）至多有两个零点， 又f（0）0，f（2）0， 故 x0，x2 是 f（x）的两个零点， 由 f（0）2+2，f（2）22，易得两切线方程为 y（2+2）x 或 y（2 2）x4+42； （）证明：由（）易知，x1x0x2， 设 F（x）（2+2）x2sinx+x22x，F（x
35、）22cosx+2x，F（x）2sinx+20， yF（x）在 R 上为增函数， F（0）0， 当 x（，0）时，F（x）0，即 F（x）在（，0）上为减函数， 当 x（0，+）时，F（x）0，即 F（x）在（0，+）上为增函数， F（x）F（0）0，即（2+2）x2sinxx2+2x， 设 y（2+2）x 与 ya 的交点横坐标为 x3，则 ， y（2+2）x 为增函数， ； 同理设 G（x）（22） （x2）2sinx+x22x，则 G（x）242cosx+2x， G（x）2sinx+20， yG（x）在 R 上为增函数， 又 G（2）0， 当 x（，2）时，G（x）0，即 G（x）在（，
36、2）上单调递减， 当 x（2，+）时，G（x）0，即 G（x）在（2，+）上单调递增， G（x）g（2）0，即（22）（x2）2sinxx2+2x， 设y （22）（x2） 与ya的交点横坐标为x4， 则 ， 又 y（22）（x2）为减函数，则 ， 故 ， a，得证 四、请考生在 22，23 二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，已知点 A（1，0），B（1，0），动点 M（x，y）满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为4记 M 的轨迹为曲线 C以坐标原点 O
37、为极点，x 轴的正半轴为 极轴建立极坐标系，直线 1 的极坐标方程为 2cos sin+110 （）求 C 和 l 的直角坐标方程； （）求 C 上的点到 1 距离的最小值 【分析】（）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转 换 （）利用点到直线的距离公式和三角函数关系式的恒等变换及余弦型函数性质的应用 求出结果 解：（）已知点 A（1，0），B（1，0），动点 M（x，y）满足直线 AM 与 BM 的斜 率之积为4 整理得 ，化简得： （x1） 直线 1 的极坐标方程为 2cos sin+110 转换为直角坐标方程为 （）把方程 （x1）转换为 （ 为参数，且） 所以
38、点 C（cos，2sin）到直线 的距离 d ， 当 ，所以 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）m|x2|，mR，g（x）|x+3| （）当 xR 时，有 f（x）g（x），求实数 m 的取值范围 （）若不等式 f（x）0 的解集为1，3，正数 a，b 满足 ab2ab3m1，求 a+b 的最小值 【分析】（1）利用绝对值三角不等式性质 （2）利用绝对值不等式解法求出 m，带入得到 a，b 等式，转化为只含有 a 的式子后利 用基本不等式可以求解 解：（1）由题意得：f（x）g（x）在 xR 上恒成立， m|x+3|+|x2|恒成立， 即 m（|x+3|+|x2|）min 又|x+3|+|x2|（x+3）（x2）|5 m5，即 m（，5 （2）令 f（x）0，m| 若 m0，则解集为，不合题意； 若 m0，则有mx2m，即 x2m，2+m 又解集为 x1，3，m1 ab2ab2b ，解得 a1 a+ba 3 a+b2 37 当且仅当 a1 ，即 a3 时，等号成立，此时 b4 a3，b4 时 a+b 的最小值为 7
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