1、2020 年高考数学一模试卷（理科）年高考数学一模试卷（理科） 一、单项选择题（共 12 小题） 1已知集合 AxZ|0x3，Bx|（x+1）（x2）0，则 AB（ ） A0，1，2 B1，2 Cx|0x2 Dx|1x3 2若复数 zcos+isin，则当 时，复数 z 在复平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3如图是某学校研究性课题什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类问题的统计图 （每个受访者都只能在问卷的 5 个活动中选择一个），以下结论错误的是（ ） A回答该问卷的总人数不可能是 100 个 B回答该问卷的受访者中，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数
2、最多 C回答该问卷的受访者中，选择“学校团委会宣传”的人数最少 D回答该问卷的受访者中，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少 8 个 4已知 ， ，向量 ， 的夹角为 ，则 （ ） A B1 C2 D 5记 Sn为数列an的前 n 项和，且 Sn2an+1，则 S6的值为（ ） A B C D 6如图是某空间几何体的三视图，该几何体的表面积为（ ） A B2 C3 D4 7已知函数 f（x）sin2x2sin2x+1，给出下列四个结论： 函数 f（x）的最小正周期是 ； 函数 f（x）在区间 ， 上是减函数； 函数 f（x）的图象关于直线 对称； 函数 f（x）的图象可由函数 的图象向
3、左平移 个单位得到 其中所有正确结论的编号是（ ） A B C D 8“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除 问题：已知 x150，300且 x 是整数，则满足能被 3 除余 1 且被 5 除余 3 的所有 x 的取 值的和为（ ） A2020 B2305 C4610 D4675 9已知 0ab1，则下列不等式一定成立的是（ ） A B Calnablnb Daabb 10F 是双曲线 C： 1（a0，b0）的右焦点，过点 F 向 C 的一条渐近线引垂 线，垂足为 A，交另一条渐近线于点 B若 2 ，则 C 的离心率是（ ） A B2 C D 11表面积为
4、 60 的球面上有四点 S，A，B，C，且ABC 是等边三角形，球心 O 到平面 ABC 的距离为 ，若平面 SAB平面 ABC，则三棱锥 SABC 体积的最大值为（ ） A B18 C27 D 12已知 f（x） ， ， 若 f2（x）+（1a）f（x）a0 恰有两个实数根 x1，x2， 则 x1+x2的取值范围是（ ） A（1，+） B（1，2ln22 C（，22ln2 D（，2ln22 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把正确答案填在答题卡的相应位置.） 13在（2x ） 6的二项式中，常数项等于 （结果用数值表示） 14 已知定义在 R 上的奇函数 f （x
5、） ， 当 x0 时， f （x） 2cosxsinx， 则 f （x） 在点 ， 处 的切线方程为 15 若 10 件产品包含 2 件次品， 今在其中任取两件， 已知两件中有一件不是废品的条件下， 另一件是废品的概率为 16已知抛物线方程 y24x，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段 PF 与抛物线的 交点，定义： 已知点 ， ，则 d（P） ；设点 P（1，t） （t0），则 2d（P）|PF|的值为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17如图，已知在ABC 中，D 为 BC 上一点，AB2AC， （）若 BDAD，求 的
6、值； （）若 AD 为BAC 的角平分线，且 ，求ADC 的面积 18如图，矩形 ABCD 中，AB4，AD2，E 在 DC 边上，且 DE1，将ADE 沿 AE 折 到ADE 的位置，使得平面 ADE平面 ABCE （）求证：AEBD； （）求二面角 DABE 的余弦值 19检验中心为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，对 n（nN*）份血液样本，有 以下两种检验方式：逐份检验，需要检验 n 次；混合检验，即将其中 k（kN*且 k 2） 份血液样本分别取样混合在一起检验， 若检验结果为阴性， 这 k 份的血液全为阴性， 因而这 k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明
7、确这 k 份血液 究竟哪几份为阳性， 再对这 k 份再逐份检验， 此时这 k 份血液的检验次数总共为 k+1 次 假 设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份 样本是阳性结果的概率为 p（0p1） （）假设有 5 份血液样本，其中只有 2 份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好 经过 2 次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率； （）现取其中 k（kN*且 k2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的 总次数为 1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为点 2当 时，根 据 1和 2的期望值大小，讨论当 k 取何值时，采用逐份检验方式好？（参考数
8、据：ln2 0.69，ln31.10，ln51.61，e2.72，e27.39，e320.09） 20已知椭圆 ： 的离心率为 ，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点， 点 P 为椭圆上一点，F1PF2面积的最大值为 （）求椭圆 C 的方程； （）过点 A（4，0）作关于 x 轴对称的两条不同直线 l1，l2分别交椭圆于 M（x1，y1） 与 N（x2，y2），且 x1x2，证明直线 MN 过定点，并求AMN 的面积 S 的取值范围 21已知函数 f（x）（xa）ln（ax）（a0 且 a1）的零点是 x1，x2 （）设曲线 yf（x）在零点处的切线斜率分别为 k1，k2，判断 k1+k2的单调性
9、； （）设 x0是 f（x）的极值点，求证：x1+x22x0 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22已知椭圆 C1的普通方程为： ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系， 曲线 C2的极坐标方程为： 4， 正方形 ABCD 的顶点都在 C2上， 且 A、 B、 C、D 逆时针依次排列，点 A 的极坐标为 ， （）写出曲线 C1的参数方程，及点 B、C、D 的直角坐标； （）设 P 为椭圆 C1上的任意一点，求：|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的最大值 23已知函数 f
10、（x）|2xa|+2|x+1| （）当 a1 时，解关于 x 的不等式 f（x）6； （）已知 g（x）|x1|+2，若对任意 x1R，都存在 x2R，使得 f（x1）g（x2）成 立，求实数 a 的取值范围 参考答案 一、单项选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中只有 一项是符合题目要求的） 1已知集合 AxZ|0x3，Bx|（x+1）（x2）0，则 AB（ ） A0，1，2 B1，2 Cx|0x2 Dx|1x3 【分析】求出集合 A，B，由此能求出 AB 解：集合 AxZ|0x30，1，2，3， Bx|（x+1）（x2）0x|1x2， AB0，1
11、，2 故选：A 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 2若复数 zcos+isin，则当 时，复数 z 在复平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】由已知求得 z 的坐标，再由三角函数的象限符号得答案 解：复数 zcos+isin 在复平面内对应的点的坐标为（cos，sin）， ，cos0，sin0， 则复数 z 在复平面内对应的点在第二象限 故选：B 【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查三角函数的象限符号，是基础 题 3如图是某学校研究性课题什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类问题的统计图 （
12、每个受访者都只能在问卷的 5 个活动中选择一个），以下结论错误的是（ ） A回答该问卷的总人数不可能是 100 个 B回答该问卷的受访者中，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多 C回答该问卷的受访者中，选择“学校团委会宣传”的人数最少 D回答该问卷的受访者中，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少 8 个 【分析】先对图表数据分析处理，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解 解：对于选项 A，若回答该问卷的总人数不可能是 100 个，则选择的同学人数不 为整数，故 A 正确， 对于选项 B，由统计图可知，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多，故 B 正确， 对于选项 C，由统计图可知，
13、选择“学校团委会宣传”的人数最少，故 C 正确， 对于选项 D，由统计图可知，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少 8%，故 D 错误， 故选：D 【点评】本题考查了对图表数据的分析处理能力及简单的合情推理，属中档题 4已知 ， ，向量 ， 的夹角为 ，则 （ ） A B1 C2 D 【分析】直接把已知条件代入数量积计算即可 解：因为 ， ，向量 ， 的夹角为 ， 则 1 2+12cos 2； 故选：C 【点评】本题主要考查两个向量数量积的运算，属于基础题 5记 Sn为数列an的前 n 项和，且 Sn2an+1，则 S6的值为（ ） A B C D 【分析】本题根据题意可应用公式 an
14、 ， ， 进行计算即可判断出数列a n 是以 为首项， 为公比的等比数列，然后根据等比数列的求和公式计算出 S 6的值 解：由题意，当 n1 时，a1S12a1+1，解得 a1 ， 当 n2 时，anSnSn12an+1+2an11， 整理，得 an an 1， 数列an是以 为首项， 为公比的等比数列， S6 故选：A 【点评】 本题主要考查等比数列的判定， 以及等比数列求和公式的运用， 考查化归思想， 分类讨论思想，定义法，以及逻辑思维能力和数学运算能力，题属中档题 6如图是某空间几何体的三视图，该几何体的表面积为（ ） A B2 C3 D4 【分析】 由三视图还原原几何体， 可知该几何体
15、为圆锥， 圆锥的底面半径 r1， 高 h ， 再由圆锥的表面积公式求解 解：由三视图还原原几何体如图， 可知该几何体为圆锥，圆锥的底面半径 r1，高 h ， 则母线长 l2 则圆锥的表面积为 S12+123 故选：C 【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题 7已知函数 f（x）sin2x2sin2x+1，给出下列四个结论： 函数 f（x）的最小正周期是 ； 函数 f（x）在区间 ， 上是减函数； 函数 f（x）的图象关于直线 对称； 函数 f（x）的图象可由函数 的图象向左平移 个单位得到 其中所有正确结论的编号是（ ） A B C D 【分析】先利用余弦的
16、二倍角公式、辅助角公式将函数化简成 f（x） ， 再结合正弦函数的周期性、单调性、对称性和平移变换逐一判断每个选项即可 解：f（x）sin2x2sin2x+1sin2x+cos2x ， 最小正周期 ，即正确； 令 ， ， ，则 ， ， ，这是 函数 f（x）的减区间，即正确； 令 ， ，则 ， ，这是函数 f（x）的对称轴，当 k 1 时， ，即正确； 的图象向左平移 个单位得到 ， 即 错误 正确的有， 故选：C 【点评】本题考查三角恒等变换和三角函数图象与性质的综合，熟练运用正弦函数的图 象与性质是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题 8“中国剩余定理”又称“孙子定理”
17、，讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除 问题：已知 x150，300且 x 是整数，则满足能被 3 除余 1 且被 5 除余 3 的所有 x 的取 值的和为（ ） A2020 B2305 C4610 D4675 【分析】 满足能被 3 除余 1 且被 5 除余 3 正整数构成首项为 13， 公差 3515 的等差数 列，求其通项公式，由 x150，300且 x 是整数求得 n 值，再由等差数列的前 n 项和求 解 解：满足能被 3 除余 1 且被 5 除余 3 正整数构成首项为 13，公差 3515 的等差数列， 记数列an 则 an13+15（n1）15n2， x150，300， 15
18、015n2300， 解得 n 故 n 从 11 开始，到 20 结束， a11163，a20298， 该数列各项之和为 2305， 故选：B 【点评】本题考查等差数列的通项公式与前 n 项和，属于中档题 9已知 0ab1，则下列不等式一定成立的是（ ） A B Calnablnb Daabb 【分析】0ab1，可得 lnalnb0，进而判断出 A，B，C 的正误令 yxx（1x 0），lnyxlnx，可得 yxx（lnx+1），利用单调性即可判断出 D 的正误 解： 0ab1， lnalnb0， 可得： 0 ， ， 即 ； 1；alnablnb； 令 yxx（1x0），则 lnyxlnx，yx
19、x（lnx+1）， 可得：函数 yxx在（0， ）上单调递减，在（ ，+）上单调递增 x 时函数取得最大值a a 与 bb的大小关系不确定 综上可得：只有 A 正确 故选：A 【点评】本题考查了不等式的性质、函数的单调性、利用导数研究函数的单调性，考查 了推理能力与计算能力，属于基础题 10F 是双曲线 C： 1（a0，b0）的右焦点，过点 F 向 C 的一条渐近线引垂 线，垂足为 A，交另一条渐近线于点 B若 2 ，则 C 的离心率是（ ） A B2 C D 【分析】 设一渐近线OA的方程为y x， 设A （m， m） ， B （n， ） ， 由 2 ， 求得点A 的坐标， 再由 FAOA，
20、 斜率之积等于1， 求出 a23b2， 代入 e 进行运算 解：由题意得右焦点 F（c，0），设一渐近线 OA 的方程为 y x， 则另一渐近线 OB 的方程为 y x， 设 A（m， ），B（n， ）， 2 ， 2（cm， ）（nc， ）， 2（cm）nc， ， m c，n ， A（ ， ） 由 FAOA 可得，斜率之积等于1，即 1， a23b2，e 故选：C 【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求得点 A 的坐标 是解题的关键 11表面积为 60 的球面上有四点 S，A，B，C，且ABC 是等边三角形，球心 O 到平面 ABC 的距离为 ，若平面 SAB平面 A
21、BC，则三棱锥 SABC 体积的最大值为（ ） A B18 C27 D 【分析】由已知求得棱锥外接球的半径，进一步求得棱锥 SABC 的底面积为定值，欲 使棱锥 SABC 体积体积最大，应有 S 到平面 ABC 的距离取最大值，由此能求出棱锥 S ABC 体积的最大值 解：设球的半径为 r，由球的表面积为 60，得 4r260，即 r ， 设ABC 的中心为 D，则 OD ，AD2 ，则 AB6， 棱锥 SABC 的底面积 S ， 欲使其体积最大，应有 S 到平面 ABC 的距离取最大值， 又平面 SAB平面 ABC， S 在平面 ABC 上的射影落在直线 AB 上，而 SO ，点 D 到直线
22、 AB 的距离为 ， 则 S 到平面 ABC 的距离的最大值为 3 ， V 9 3 27 故选：C 【点评】本题考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、平面与平面位置关系，几 何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，是中档题 12已知 f（x） ， ， 若 f2（x）+（1a）f（x）a0 恰有两个实数根 x1，x2， 则 x1+x2的取值范围是（ ） A（1，+） B（1，2ln22 C（，22ln2 D（，2ln22 【分析】根据 f（x）的图象判断 a 的范围，用 a 表示出 x1，x2，得出 x1+x2关于 a 的函数， 从而可得出 x1+x2的取值范围
23、解：作出函数 f（x）的图象如图， 方程 f2（x）+（1a）f（x）a0 可化为f（x）+1f（x）a0， 即有 f（x）1，f（x）a， 由图可知 f（x）1 无解， 故条件等价于 f（x）a（a1）有两个实数根 x1，x2，不妨令 x1x2， 即有 x12 a，所以 x1 ，x2lna， 则 x1+x2 lna， 令 g（x） lnx（x1）， 则 g（x） ， 当 1x4 时，g（x）0，当 x4 时，g（x）0， 当 x4 时，g（x）取得最大值 g（4）ln422ln22 x1+x22ln22 故选：D 【点评】本题考查了函数零点与图象的关系，数形结合思想，属于中档题 二、填空题（
24、本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把正确答案填在答题卡的相应位置.） 13在（2x ） 6的二项式中，常数项等于 240 （结果用数值表示） 【分析】写出二项展开式的通项，由 x 的指数为 0 求得 r 值，则答案可求 解：由（2x ） 6，得 由 63r0，得 r2 常数项等于 故答案为：240 【点评】本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基 础题 14 已知定义在 R 上的奇函数 f （x） ， 当 x0 时， f （x） 2cosxsinx， 则 f （x） 在点 ， 处 的切线方程为 2x+y+10 【分析】根据奇函数的性质，求出切点坐标，
25、然后根据奇函数图象关于原点对称，则在 关于原点对称的两点处的切线互相平行，求出切线的斜率问题可解 解：因为 f（x）是奇函数，所以 ， f（x）2sinxcosx，（x0）， 2， 故切线方程 ，即：2x+y+10 故答案为：2x+y+10 【点评】本题考查导数的几何意义和函数的性质，同时考查利用导数求切线方程的基本 思路属于中档题 15 若 10 件产品包含 2 件次品， 今在其中任取两件， 已知两件中有一件不是废品的条件下， 另一件是废品的概率为 【分析】利用条件概率公式，可得答案 解：设事件 C“有一件不是废品”，事件 D“另一件是废品”， 则 P（C）1 ， P（CD） ， P（D|C
26、） ， 故答案为： 【点评】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，难度不大，计算出抽取方法总数 和满足条件的抽法个数，代公式即可，属于基础题 16已知抛物线方程 y24x，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段 PF 与抛物线的 交点，定义： 已知点 ， ，则 d（P） 4 ；设点 P（1，t） （t0），则 2d（P）|PF|的值为 2 【分析】（1）先根据 P、F 两点的坐标求出线段|PF|的长和直线 PF 的方程，再联立直线 PF 与抛物线的方程，解之可得点 Q 的坐标，然后结合抛物线的定义求得线段|FQ|的长， 进而得解； （2）设直线 PF 的方程为 xmy+1（m0），代
27、入点 P 的坐标，可得到 m 与 t 的关系， 然后联立直线 PF 与抛物线的方程， 求得 yQ， 同样地， 根据 P、 F 两点的坐标求出线段|PF| 的长，并将其转化为关于 m 的代数式，最后，2d（P）|PF| ，将得到的结 论均代入，化简整理后即可得解 解：（1）y24x，焦点 F 的坐标为（1，0）， 点 ， ，|PF| ，直线 PF 的方程为 ， 联立 ，解得 或 2， Q 为线段 PF 与抛物线的交点， ， 由抛物线的定义可知，|FQ|x ， （2）设直线 PF 的方程为 xmy+1（m0），则1mt+1，mt2， 联立 得 y 24my40，解得 ， P （1， t） ， F
28、（1， 0） ， |PF| ， 2d（P）|PF| 2 故答案为：4，2 【点评】本题表面属于新定义问题，实际考查的是直线与抛物线的位置关系，涉及曲直 联立、利用抛物线的定义求线段长，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17如图，已知在ABC 中，D 为 BC 上一点，AB2AC， （）若 BDAD，求 的值； （）若 AD 为BAC 的角平分线，且 ，求ADC 的面积 【分析】（）由已知利用同角三角函数基本关系式可求 sinB 的值，由正弦定理可得 ，结合 BDAD，可得ADC2B，进而利用二倍角
29、公式，正弦定理 即可求解 的值； （）设 ACt，则 AB2t，由余弦定理可得 ，解得 或 ，又 BD2DC，可求 ，又由（1）可求 ，进而分类讨 论利用三角形的面积公式即可计算得解 解：（） ，可得： ， ，AB2AC， ， BDAD，可得ADC2B， sinADCsin2B2sinBcosB， 在ADC 中，可得 （）设 ACt，则 AB2t，在ABC 中由余弦定理可得： ， 解得 或 ， 因为 BD2DC， 所以 ， 又由（1）知 ， 所以 ， 由（1）知当 时 ， 当 时 ， 综上ACD 的面积为 或 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，二倍角公式，余弦定理， 三角
30、形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和分类讨论思想，属于中 档题 18如图，矩形 ABCD 中，AB4，AD2，E 在 DC 边上，且 DE1，将ADE 沿 AE 折 到ADE 的位置，使得平面 ADE平面 ABCE （）求证：AEBD； （）求二面角 DABE 的余弦值 【分析】（）连接 BD 交 AE 于点 O，依题意得可得AOD90，则 AEBD，由已 知求得 ODAE，利用线面垂直的判定可得 AE平面 OBD从而得到 AEBD； （）由平面 ADE平面 ABCE，且由（）知，OD平面 ABCE，以 O 为原点，建立 空间直角坐标系 Oxyz求解三角形可得 OD，OA，OE
31、，得到 A，B，D的坐标， 分别求得平面 ABD与平面 ABE 的法向量 ， ， ，然后由两法向量所成角的余弦 值可得二面角 DABE 的余弦值 【解答】（）证明：连接 BD 交 AE 于点 O，依题意得 ，RtABDRt DAE， DAEABD，得AOD90，则 AEBD， 即 OBAE，ODAE，又 OBODO，OB，OD平面 OBD AE平面 OBD 又 BD1平面 OBD，AEBD； （）解：平面 ADE平面 ABCE， 由（）知，OD平面 ABCE， 以 O 为原点，建立空间直角坐标系 Oxyz 如图所示 在 RtADE 中，求得 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 则
32、， ， ， ， ， ， 设平面 ABD的法向量 ， ， ，则 ，即 ，解得 ， 令 y1，得 ， ， ， 显然平面 ABE 的一个法向量为 ， ， ， ， 二面角 DABE 的余弦值为 【点评】本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查了空间想象能力和思维能力，训 练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题 19检验中心为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，对 n（n一、选择题*）份血液 样本， 有以下两种检验方式： 逐份检验， 需要检验 n 次； 混合检验， 即将其中 k （kN* 且 k2）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这 k 份的血液全为 阴性，因而这 k 份血液样
33、本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这 k 份血液究竟哪几份为阳性，再对这 k 份再逐份检验，此时这 k 份血液的检验次数总共为 k+1 次假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立 的，且每份样本是阳性结果的概率为 p（0p1） （）假设有 5 份血液样本，其中只有 2 份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好 经过 2 次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率； （）现取其中 k（kN*且 k2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的 总次数为 1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为点 2当 时，根 据 1和 2的期望值大小，讨论当 k
34、取何值时，采用逐份检验方式好？（参考数据：ln2 0.69，ln31.10，ln51.61，e2.72，e27.39，e320.09） 【分析】（1）记恰好经过 2 次检验就能把阳性样本全部检验出来为 A 事件，求解概率 （2）E（1）k，2的取值为 1，k+1，求出概率与期望，通过 ，即 设 ，利用导数与函数的单调性，转化求解即可 解：（1）记恰好经过 2 次检验就能把阳性样本全部检验出来为 A 事件， 则 （2）E（1）k，2的取值为 1，k+1， 计算 ， ， 所以 ， 又 ， ，所以 ， 即 设 ， ，x0， 当 x（0，4）时，f（x）0，f（x）在（0，4）上单调递增； 当 x（4
35、，+）时，f（x）0，f（x）在（4，+）上单调递减 且 f（8）ln823ln220， ， 所以 k 的取值大于等于 9 时采用逐份检验方式好 【点评】本题考查期望的求法，函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力，是中 档题 20已知椭圆 ： 的离心率为 ，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点， 点 P 为椭圆上一点，F1PF2面积的最大值为 （）求椭圆 C 的方程； （）过点 A（4，0）作关于 x 轴对称的两条不同直线 l1，l2分别交椭圆于 M（x1，y1） 与 N（x2，y2），且 x1x2，证明直线 MN 过定点，并求AMN 的面积 S 的取值范围 【分析】（）根据题意，由椭圆的离心
36、率公式可得 ，结合椭圆的几何性质可得 bc ，解可得 a、b 的值，将 a、b 的值代入椭圆的方程即可得答案； （）设 MN 方程为 xny+m，与椭圆的方程联立可得（n2+4）y2+2nmy+m240，结 合根与系数的关系分析可得即 ，解可得 m 的值，分析可 得直线过定点，结合三角形面积公式分析可得答案 解：（）根据题意，椭圆 ： 的离心率为 ，则 ， 设 P（x，y），则 ， 解得 所以椭圆 C 的方程为 （）设 MN 方程为 xny+m，（n0），联立 ， 得（n2+4）y2+2nmy+m240， ， ， 因为关于 x 轴对称的两条不同直线 l1，l2的斜率之和为 0 即 ，即 ， 得
37、 2ny1y2+m（y1+y2）4（y1+y2）0， 即 解得：m1 直线 MN 方程为：xny+1，所以直线 MN 过定点 B（1，0） 又 令 ， ， ， 又 ， 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的几何性质，关键是求出椭圆的标 准方程 21已知函数 f（x）（xa）ln（ax）（a0 且 a1）的零点是 x1，x2 （）设曲线 yf（x）在零点处的切线斜率分别为 k1，k2，判断 k1+k2的单调性； （）设 x0是 f（x）的极值点，求证：x1+x22x0 【分析】（）令 f（x）0 可得 ，x2a，进而可得 k1，k2，进一步得到 ，构造 g（x）2lnxx2+1，利用导
38、数研究其单调性即可； （）法一：令 ，作差 后，构造 ，利用导数可知 h（x）h（1）0，再结合 f（x）在（0，+ ）的单调性，即可得证； 法二：可知 x0是 f（x）的极小值点，构造 F（x）f（x0+x）f（x0x），求导研究可 知 F（x）在（0，x0）单调递减，故 F（x）F（0）0，进而得到（x0+x）f（x0x）， 设 0x1x0x2，则 f（x2）f（x1）f（x0（x0x1）f（2x0x1），由此得到 f （x2）f（2x0x1），再结合 f（x）的单调性即可得证 解：（）由（xa）ln（ax）0，得 ，x2a 则 ，k2f（x2）f（a）2lna， 所以 ， 令 F（x）2
39、lnxx2+1，则 ， 所以当 0x1 时，F（x）0；当 x1 时，F（x）0， 故 F（x）在（0，1）单调递增，在（1，+）递减，即 k1+k2在（0，1）单调递增，在 （1，+）递减； （）证明：法一、 令 ， 则 ， 故 f（x）在（0，+）上单调递增 令 ， 则 所以当 0x1 时，h（x）0，h（x）单调递减； 当 x1 时 h（x），h（x）单调递增， 所以 h（x）h（1）0，当且仅当 x1 时等号成立 又因为 且 ， 所以 因此 即 因为 f（x）在（0，+）上单调递增， 所以 即 x1+x22x0 法二、 ， 在 x0， f （x） 0 恒成立， 由题知 x0为 f（x）
40、的极值点， 所以 且 f（x）在（0，x0）单调递减，在（x0，+）单调递增， 故 xx0为 f（x）的极小值点 令 F（x）f（x0+x）f（x0x）， 则 F （x） f （x0+x） +f （x0x） ， 故 ， 因为 0xx0，所以 F（x）0，所以 F（x）在（0，x0）单调递减， 所以 ， 所以 F（x）在（0，x0）单调递减，所以 F（x）F（0）0， 所以（x0+x）f（x0x）， 不妨设 0x1x0x2，f（x2）f（x1）f（x1x0+x0）f（x0（x0x1）f（x0+ （x0x1）f（2x0x1）， 所以 f（x2）f（2x0x1），又 f（x）在（0，x0）单调递减，
41、在（x0，+）单调递增， 所以 x22x0x1，即 x1+x22x0 【点评】本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考 查不等式的证明，考查推理能力及运算能力，属于较难题目 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22已知椭圆 C1的普通方程为： ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系， 曲线 C2的极坐标方程为： 4， 正方形 ABCD 的顶点都在 C2上， 且 A、 B、 C、D 逆时针依次排列，点 A 的极坐标为 ， （）写出曲线 C1的参数方程，及点
42、B、C、D 的直角坐标； （）设 P 为椭圆 C1上的任意一点，求：|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的最大值 【分析】 （1） 直接利用转换关系， 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2）利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果 解：（1）椭圆 C1的普通方程为： ，转换为参数方程为 （ 为参数） 曲线 C2的极坐标方程为：4， 点 A，B，C，D 的极坐标分别为 ， ， ， ， ， ， ， 点 A， B， C， D 的直角坐标分别为 ， ， ， ， ， ， ， ； （2）设 P（x0，y0）：则 （ 为参数）， ， 故当且仅当点 P 坐标为（0
43、，3）或（0，3）时|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的最大值为 100 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角 函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能 力及思维能力，属于基础题型 23已知函数 f（x）|2xa|+2|x+1| （）当 a1 时，解关于 x 的不等式 f（x）6； （）已知 g（x）|x1|+2，若对任意 x1R，都存在 x2R，使得 f（x1）g（x2）成 立，求实数 a 的取值范围 【分析】（）把 a1 代入函数解析式，对 x 分类去绝对值，转化为关于 x 的一元一次 不等式求解，取并集得答案； （）把问题转化为y|yf（x）y|yg（x），通过函数的最值，列出不等式求解即 可 解：（）当 a1 时，f（x）|2x
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