1、 数学试题数学试题 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分每小题给出的四个选项中，只有分每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1设集合 Ax|2x3，B1，0，1，2，3，则集合 AB 为（ ） A2，1，0，1，2 B1，0，1，2 C1，0，1，2，3 D2，1，0，1，2，3 2若复数 z 满足（1+i）z2，则 z 的虚部为（ ） A1 Bi Ci D1 3下列函数中是偶函数，且在（0，+）是增函数的是（ ） Ayln|x| Bycosx Cyx2 Dyx3 4设 Sn为等差数列
2、an的前 n 项和，若 a4+a512，则 S8的值为（ ） A14 B28 C36 D48 5PM2.5 是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即 PM2.5 日均 值在 35g/m3以下空气质量为一级，在 3575g/m3空气质量为二级，超过 75g/m3为超 标如图是某地 12 月 1 日至 10 日的 PM2.5（单位：g/m3）的日均值，则下列说法正确 的是（ ） 来源:学科网 A10 天中 PM2.5 日均值最低的是 1 月 3 日 B从 1 日到 6 日 PM2.5 日均值逐渐升高 C这 10 天中恰有 5 天空气质量不超标 D这 10 天中 PM2.5 日均
3、值的中位数是 43 6已知抛物线 y24x 上点 B（在第一象限）到焦点 F 距离为 5，则点 B 坐标为（ ） A （1，1） B （2，3） C （4，4） D(4，3) 7设 ， 是非零向量，则“ ”是“| +2 | 2 |的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D即不充分也不必要条件 8如图是函数 f（x）2sin（x+） （0，| 2）的部分图象，则 ， 的值分别为 （ ） A1， 3 B1， 6 C2， 6 D2， 6 9设数列an的前 n 项和为 Sn若 a11，an+12Sn+1，nN*，则 S5值为（ ） A363 B121 C80 D40 10已知 a0，
4、b0，1 + 1 = 1，则 a+b 的最小值为（ ） A1 4 B1 2 C2 D4 11已知 a，b 是两条直线， 是三个平面，则下列命题正确的是（ ） A若 a，b，ab，则 B若 ，a，则 a C若 ，a，则 a D若 ，a，则 a 12 易经是中国传统文化中的精髓，如图是易经后天八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、 离、 艮、 兑八卦） ， 每一卦由三根线组成 （表示一根阳线，表示一根阴线） ， 从八卦中任取两卦，记事件 A“两卦的六根线中恰有两根阳线” ，B“有一卦恰有一 根阳线” ，则 P（A|B）（ ） A1 5 B1 6 C1 7 D 3 14 二二.填空题： （本大题共填空题：
5、（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把答案填在答卷纸的相应位置上）分，把答案填在答卷纸的相应位置上） 13已知 x，y 满足约束条件 0， 0， 2 则 zx+y 的最大值为 14双曲线 2 2 2 2 = 1(0，0)的一条渐近线的方程为 yx，则该双曲线的离心率 e 15定义在（1，+）上的函数 f（x）满足下列两个条件： （1）对任意的 x（1，+）恒 有 f（2x）2f（x）成立； （2）当 x（1，2时，f（x）2x则 f（6）的值是 16 如图， 在正方体 ABCDA1B1C1D1中， 点 O 为线段 BD 的中点 设点 P 在线段 CC1上， 二
6、面角 A1BDP 的平面角为 ，用图中字母表示角 为 ，sin 的最小值 是 三三.解答题： （本大题共解答题： （本大题共 5 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17设函数 f（x）2sinxcosx2cos2（x+ 4） （）求 f（x）的单调递增区间； （）在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 f（ 2）0，a1，c 1，求 b 18某中学调查防疫期间学生居家每天锻炼时间情况，从高一、高二年级学生中分别随机抽 取 100 人，由调查结果得到如图的频率分布直方图： （）写出频率分布直方
7、图（高一）中 a 的值；记高一、高二学生 100 人锻炼时间的样 本的方差分别为 s12，s22，试比较 s12，s22的大小（只要求写出结论） ； （）估计在高一、高二学生中各随机抽取 1 人，恰有一人的锻炼时间大于 20 分钟的概 率； （）由频率分布直方图可以认为，高二学生锻炼时间 Z 服从正态分布 N（，2） ，其 中 近似为样本平均数，2近似为样本方差，且每名学生锻炼时间相互独立，设 X 表 示从高二学生中随机抽取 10 人，其锻炼时间位于（14.55，38.45）的人数，求 X 的数学 期望 注：同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得 s2= 142.75 11.95； 若 ZN
8、 （， 2） ， 则 P （z+） 0.6826， P （2z+2） 0.9544 19如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 BB1C1C 为菱形，A 在侧面 BB1C1C 上的投影恰为 B1C 的中点 O，E 为 AB 的中点 （）证明：OE平面 ACC1A1； （）若1= 60，1= 2 4 ，在线段 C1A1上是否存在点 F（F 不与（C1， A1重合）使得直线 EF 与平面 ACC1A1成角的正弦值为 3 7 若存在，求出 1 11的值；若 不存在，说明理由 20已知过点(1， 3 2)的曲线 C 的方程为( 1) 2+ 2+ ( + 1)2+ 2 = 2 （）求曲线 C 的标准方
9、程： （） 已知点 F （1， 0） ， A 为直线 x4 上任意一点， 过 F 作 AF 的垂线交曲线 C 于点 B， D （i）证明：OA 平分线段 BD（其中 O 为坐标原点） ； （ii）求| |最大值 21已知函数 f（x）2sinxx2+2xa （）当 a0 时，求 f（x）零点处的切线方程； （）若 f（x）有两个零点 x1，x2（x1x2） ，求证：1 2 (2 1 2) a 四、请考生在四、请考生在 22，23 二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂
10、黑铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，已知点 A（1，0） ，B（1，0） ，动点 M（x，y）满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为4记 M 的轨迹为曲线 C以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为 极轴建立极坐标系，直线 1 的极坐标方程为 2cos+3sin+110 （）求 C 和 l 的直角坐标方程； （）求 C 上的点到 1 距离的最小值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）m|x2|，mR，g（x）|x+3| （）当 xR 时，有 f（x）g（x） ，求实数 m 的取
11、值范围 （）若不等式 f（x）0 的解集为1，3，正数 a，b 满足 ab2ab3m1，求 a+b 的最小值 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分每小题给出的四个选项中，只有分每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1设集合 Ax|2x3，B1，0，1，2，3，则集合 AB 为（ ） A2，1，0，1，2 B1，0，1，2 C1，0，1，2，3 D2，1，0，1，2，3 利用交集定义直接求解 集合 Ax|2x3，B1，0，1，2，3， 集合 AB1，0，1，2 故选：B 本题考查交集的求
12、法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 2若复数 z 满足（1+i）z2，则 z 的虚部为（ ） A1 Bi Ci D1 利用共轭复数的定义、复数的运算法则即可得出 复数 z 满足（1+i）z2，（1i） （1+i）z2（1i） ，2z2（1i） ， z1i，来源:学。科。网 Z。X。X。K 则 z 的虚部为1 故选：A 本题考查了共轭复数的定义、复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础 题 3下列函数中是偶函数，且在（0，+）是增函数的是（ ） Ayln|x| Bycosx Cyx2 Dyx3 根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案 根据题意，
13、依次分析选项： 对于 A，yln|x|，其定义域为x|x0，关于原点对称，有 f（x）ln|x|f（x） ，是偶 函数，且在（0，+）上，f（x）lnx，为增函数，符合题意， 对于 B，ycosx，是余弦函数，在（0，+）上不是单调函数，不符合题意；来源:Z。xx。k.Com 对于 C，yx2，为二次函数，在（0，+）上是单调减函数，不符合题意； 对于 D，yx3，为奇函数，不符合题意；来源:Zxxk.Com 故选：A 本题考查函数的奇偶性与单调性的判断， 注意常见函数的奇偶性与单调性， 属于基础题 4设 Sn为等差数列an的前 n 项和，若 a4+a512，则 S8的值为（ ） A14 B2
14、8 C36 D48 由等差数列的性质得 S8= 8 2 (1+ 8) = 8 2(4 + 5)，由此能求出结果 Sn为等差数列an的前 n 项和，a4+a512， S8= 8 2 (1+ 8) = 8 2(4 + 5) =41248 故选：D 本题考查直角三角形三边长的比的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求 解能力，是基础题 5PM2.5 是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即 PM2.5 日均 值在 35g/m3以下空气质量为一级，在 3575g/m3空气质量为二级，超过 75g/m3为 超标如图是某地 12 月 1 日至 10 日的 PM2.5（单位：g/
15、m3）的日均值，则下列说法正 确的是（ ） A10 天中 PM2.5 日均值最低的是 1 月 3 日 B从 1 日到 6 日 PM2.5 日均值逐渐升高 C这 10 天中恰有 5 天空气质量不超标 D这 10 天中 PM2.5 日均值的中位数是 43 由折线图逐一分析数据，找出特例可判断，找出结果 由折线图可知 A 错，因为 10 天中 PM2.5 日均值最低的是 12 月 1 日；B 错，因为 2 日到 3 日是下降的； C 错，因为 10 天中有 8 天空气质量不超标；由数据分析可得日均值的中位数是 43， 故选：D 本题考查折线图，中位数，属于基础题 6已知抛物线 y24x 上点 B（在
16、第一象限）到焦点 F 距离为 5，则点 B 坐标为（ ） A （1，1） B （2，3） C （4，4） D(4，3) 由抛物线的方程可得准线方程， 再由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离， 可得 B 的横坐标，代入抛物线的方程可得纵坐标 设 B（x，y） ，由抛物线的方程可得准线方程为：x1， 由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离 x+15，所以 x4， 代入抛物线的方程可得 y4，由 B 在第一象限，所以 y4，即 B 的坐标（4，4） ， 故选：C 本题考查抛物线的性质，属于基础题 7设 ， 是非零向量，则“ ”是“| +2 | 2 |的（ ） A充分不必要条件 B必要
17、不充分条件 C充要条件 D即不充分也不必要条件 根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可 若“| +2 | 2 |， 则平方得| |2+4| |2+4 =| |2+4| |24 ， 即 4 = 4 ， 得 =0，即 ， 则“ ”是“| +2 | 2 |的充要条件， 故选：C 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量数量积的应用利用平方法是解决本 题的关键 8如图是函数 f（x）2sin（x+） （0，| 2）的部分图象，则 ， 的值分别为 （ ） A1， 3 B1， 6 C2， 6 D2， 6 结合函数的图象，由周期求出 ，由特殊点的坐标求出 的值 由函数图象可知
18、T2（ 2 3 6）， 2， x= 6时，函数取得最大值 2， 可得：2sin（2 6 +）2，可得：2 6 +2k+ 2，即 2k+ 6，kZ， | 2， = 6 故选：D 本题主要考查由函数 yAsin（x+）的部分图象求解析式，由周期求出 ，由特殊点 的坐标求出 的值，属于基础题 9设数列an的前 n 项和为 Sn若 a11，an+12Sn+1，nN*，则 S5值为（ ） A363 B121 C80 D40 通过数列的递推关系式求出数列的前 5 项，然后求解数列的和即可 数列an的前 n 项和为 Sn若 a11，an+12sn+1，nN*， 可得 a23，a39，a427，a581， 则
19、 S51+3+9+27+81121 故选：B 本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题 10已知 a0，b0，1 + 1 = 1，则 a+b 的最小值为（ ） A1 4 B1 2 C2 D4 根据1 + 1 = 1，可以得到 a+b（a+b）（1 + 1 ） ，展开后再运用基本不等式可求得 最小值 1 + 1 = 1， a+b（a+b）（1 + 1 ）1+1+ + 2+21 =4， 当且仅当 = 时等号成立， a+b 的最小值为 4 故选：D 本题主要考查基本不等式的应用在基本不等式中要注意 1 的灵活运用，属于基础题 11已知 a，b 是两条直线， 是三个平面，则下
20、列命题正确的是（ ） A若 a，b，ab，则 B若 ，a，则 a C若 ，a，则 a D若 ，a，则 a A由于 ，或相交，即可判断出正误； B由已知可得 a 或 a，即可判断出正误； C正确，利用线面面面垂直的判定与性质定理即可判断出正误； D由已知可得 a 或 a，即可判断出正误 A若 a，b，ab，则 ，不正确，可能相交； B若 ，a，则 a 或 a，因此不正确； C若 ，a，则 a，正确； 证明：设 b，c，取 P，过点 P 分别作 mb，nc， 则 m，n，ma，na，又 mnP，a来源:学科网 ZXXK D若 ，a，则 a 或 a 故选：C 本题考查了直线面面面垂直与平行的判定与性
21、质定理，考查了推理能力与计算能力，属 于基础题 12 易经是中国传统文化中的精髓，如图是易经后天八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、 离、 艮、 兑八卦） ， 每一卦由三根线组成 （表示一根阳线，表示一根阴线） ， 从八卦中任取两卦，记事件 A“两卦的六根线中恰有两根阳线” ，B“有一卦恰有一 根阳线” ，则 P（A|B）（ ） A1 5 B1 6 C1 7 D 3 14 先分析卦数的分类，再分别求解各自对应的种数，相比即可求解结论 观察八卦图可知，含 3 根阴线的共有 1 卦，含 3 根阳线的共有 1 卦， 还有 2 根阴线 1 根阳线的共有 3 卦，含有 1 根阴线 2 根阳线的共有 3 卦，
22、从八卦中任取两卦，有一卦恰有一根阳线的取法有：3 1 5 1 + 3 2=18； 再此条件下：两卦的六根线恰有两根阳线的取法有：3 2=3 种； 故 P（A|B）= 3 18 = 1 6； 故选：B 本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基 础题 二二.填空题： （本大题共填空题： （本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把答案填在答卷纸的相应位置上）分，把答案填在答卷纸的相应位置上） 13已知 x，y 满足约束条件 0， 0， 2 则 zx+y 的最大值为 4 由约束条件作出可行域，结合图形得到使目标函数 zx+y 的最优解，
23、代入坐标求得 z x+y 的最小值 由 x，y 满足约束条件 0， 0， 2 作出可行域如图， 联立 = 2 = ，解得 A（2，2） 由图可知，使目标函数 zx+y 取得最大值最大值的最优解为点 A 的坐标， zx+y 的最大值为：4 故答案为：4 本题考查了简单的线性规划，体现了数形结合的解题思想方法，解答的关键是正确作出 可行域，是中档题 14双曲线 2 2 2 2 = 1(0，0)的一条渐近线的方程为 yx，则该双曲线的离心率 e 2 利用双曲线的渐近线方程，得到 ab 关系式，然后求解离心率 双曲线 2 2 2 2 = 1(0，0)的一条渐近线的方程为 yx， 可得 ab，则 c=
24、2，e= 2 故答案为：2 本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，考查计算能力 15定义在（1，+）上的函数 f（x）满足下列两个条件： （1）对任意的 x（1，+）恒 有 f（2x）2f（x）成立； （2）当 x（1，2时，f（x）2x则 f（6）的值是 2 直接根据定义把 f（6）转化到用 f（3 2）来表示即可求解 定义在（1，+）上的函数 f（x）满足下列两个条件： （1）对任意的 x（1，+）恒有 f（2x）2f（x）成立； （2）当 x（1，2时，f（x）2x f（6）2f（3）4f（3 2）4（2 3 2）2 故答案为：2 本题主要考查抽象函数的求值，属于基础题 16 如
25、图， 在正方体 ABCDA1B1C1D1中， 点 O 为线段 BD 的中点 设点 P 在线段 CC1上， 二面角 A1BDP 的平面角为 ，用图中字母表示角 为 A1OP ，sin 的最小值 是 6 3 判断平面 A1BD 与平面 ACC1A1垂直，即可得到二面角的平面角，然后判断 P 的位置，求 解最小值即可 连接AC交BD与O， 连接A1C1， 由题意可知： BDAC， BDAA1， 所以BD平面ACC1A1， 所以 BDOPS，所以点 P 在线段 CC1上二面角 A1BDP 的平面角为 ，用图中字母 表示角 为：A1OP， 设正方体的列出为 2，则 A1O= 6，OC= 2，A1C23，
26、 由题意可知 P 在 C 处时，cosA1OP= 6+212 226 = 3 3 ， 此时 sinA1OP= 6 3 ，是最小值 故答案为：A1OP； 6 3 本题考查二面角的平面角的求法，二面角的正弦函数值的最值的判断，是中档题 三三.解答题： （本大题共解答题： （本大题共 5 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17设函数 f（x）2sinxcosx2cos2（x+ 4） （）求 f（x）的单调递增区间； （）在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 f（ 2）0，a1，c 1，求 b （
27、）由题意利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式为 f（x）2sin2x1，利用 正弦函数的单调性即可求解其单调递增区间 （）由 f（ 2）2sinB10，可得 sinB= 1 2，结合 B 为锐角，可得 B= 3，进而根据余 弦定理即可求解 b 的值 （）由题意可得：() = 2 22( + 4) =sin2x1+cos（2x+ 2）2sin2x 1， 由 2k 2 2x2k+ 2，kZ，解得 k 4 xk+ 4，kZ， 可得 f（x）的单调递增区间是k 4，k+ 4，kZ （）由 f（ 2）2sinB10，可得 sinB= 1 2， 由题意可得 B 为锐角，可得 B= 3， 又 a1，c1
28、， 又余弦定理可得 b= 2+ 2 2 =1 + 1 2 1 1 1 2 =1 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的单调性，余弦定理在解三角形中 的综合应用，考查了转化思想，属于基础题 18某中学调查防疫期间学生居家每天锻炼时间情况，从高一、高二年级学生中分别随机抽 取 100 人，由调查结果得到如图的频率分布直方图： （）写出频率分布直方图（高一）中 a 的值；记高一、高二学生 100 人锻炼时间的样 本的方差分别为 s12，s22，试比较 s12，s22的大小（只要求写出结论） ； （）估计在高一、高二学生中各随机抽取 1 人，恰有一人的锻炼时间大于 20 分钟的概 率； （）
29、由频率分布直方图可以认为，高二学生锻炼时间 Z 服从正态分布 N（，2） ，其 中 近似为样本平均数，2近似为样本方差，且每名学生锻炼时间相互独立，设 X 表 示从高二学生中随机抽取 10 人，其锻炼时间位于（14.55，38.45）的人数，求 X 的数学 期望 注：同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得 s2= 142.75 11.95； 若 ZN （， 2） ， 则 P （z+） 0.6826， P （2z+2） 0.9544 （）写出频率分布直方图中的 a，写出 s12，s22的大小即可 （） 设事件 A： 在高一学生中随机抽取 1 人， 其锻炼时间指标不大于 20 分钟， 事件 B：
30、 在高二学生中随机抽取 1 人，其锻炼时间指标不大于 20 分钟，事件 C：在高一、高二学 生中随机抽取 1 人， 恰有一个学生锻炼时间指标大于20 分钟， 且另一个不大于 20 分钟 求 出 P（A） ，P（B） ，通过 P（C）P（）P（B）+P（A）P（）求解即可 （） =26.5，由条件可得：ZN（26.5，142.75） ，推出 XB（10，0.6825） ，求解期 望即可 （）由题意可知 a0.015s12s22 （）设事件 A：在高一学生中随机抽取 1 人，其锻炼时间指标不大于 20 分钟， 事件 B：在高二学生中随机抽取 1 人，其锻炼时间指标不大于 20 分钟， 事件 C：在
31、高一、高二学生中随机抽取 1 人，恰有一个学生锻炼时间指标大于 20 分钟， 且另一个不大于 20 分钟 则：P（A）0.2+0.10.30，P（B）0.1+0.20.30，P（C）P（）P（B）+P（A） P（）0.42 （） =26.5，由条件可得：ZN（26.5，142.75） ， 从而 P（26.511.9Z26.5+11.95）0.6826， 从高二中随机抽取 10 人，其锻炼时间值位于（14.55，38.45）的概率是 0.6826 根据题意得：XB（10，0.6825） ， EX100.68266.826 本题考查了频率分布直方图与二项分布的应用问题，期望的求法是基础题 19如图
32、，三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 BB1C1C 为菱形，A 在侧面 BB1C1C 上的投影恰为 B1C 的中点 O，E 为 AB 的中点 （）证明：OE平面 ACC1A1； （）若1= 60，1= 2 4 ，在线段 C1A1上是否存在点 F（F 不与（C1， A1重合）使得直线 EF 与平面 ACC1A1成角的正弦值为 3 7 若存在，求出 1 11的值；若 不存在，说明理由 （I）连接 BC1，AC1，利用三角形中位线定理可得：OEAC1，利用线面平行的判定定 理即可证明结论 （II） 由 AO侧面 BB1C1C， 侧面 BB1C1C 为菱形， 可以建立空间直角坐标系 设 BC2， 由C
33、BB160，cosACC1cosACOcosOCC1，可得 cosACO= 2 2 ，AO1 设1 =11 （01） ， 可得 F （3， ， ） ， = （ 33 2 ， ， 1 2） 设平面 ACC1A1 的法向量为 =（x，y，z） ，可得 = 1 =0利用 3 7 = | | | | |，解得 即可 得出 （I）证明：连接 BC1，AC1，O 为 B1C 的中点，E 为 AB 的中点，OEAC1， OE平面 ACC1A1，AC1平面 ACC1A1 OE平面 ACC1A1 （II）解：AO侧面 BB1C1C，侧面 BB1C1C 为菱形， AOOB，AOOB1，OBOB1 以点 O 为坐标
34、原点，OB，OB1，OA 为 x，y，z 轴，可以建立如图所示的空间直角坐标 系 Oxyz设 BC2， CBB160，cosACC1cosACOcosOCC1 cosACO= 2 2 ，AO1 B（3，0，0） ，C（0，1，0） ，C1（3，0，0） ，A（0，0，1） ，A1（3，1，1） ， E（ 3 2 ，0，1 2） ， 设1 =11 （01） ，F（3，） ， =（ 33 2 ， 1 2） 设平面 ACC1A1的法向量为 =（x，y，z） ， =（0，1，1） ，1 =（3，1，0） = 1 =0y+z0，3x+y0取 =（1，3，3） 3 7 = | | | | | = 3 7
35、27 4 +2+(1 2) 2 ，解得 = 1 2 1 11 = 1 2 本题考查了三角形中位线定理、线面平行的判定定理、向量夹角公式、法向量的应用， 考查了推理能力与计算能力，属于中档题 20已知过点(1， 3 2)的曲线 C 的方程为( 1) 2+ 2+ ( + 1)2+ 2 = 2 （）求曲线 C 的标准方程： （） 已知点 F （1， 0） ， A 为直线 x4 上任意一点， 过 F 作 AF 的垂线交曲线 C 于点 B， D （i）证明：OA 平分线段 BD（其中 O 为坐标原点） ； （ii）求| |最大值 （）将 P 的坐标代入可得 a 的值，由题意的定义可得曲线 C 的轨迹为椭
36、圆，且可知焦 点坐标即长半轴长，进而求出曲线 C 的标准方程； （） （i）设 B，D 的坐标，由题意可得直线 BD 的斜率存在且不为 0，设直线 BD 的方 程，由题意可得直线 AF 的方程，将直线 BD 的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之 积，进而求出 BD 的中点 M 坐标，求出直线 OM 的斜率，及直线 OA 的斜率，可得两个 斜率相等可证得 OA 平分线段 BD； （ii）求出|AF|，|BD|，进而求出| |的表达式，换元由均值不等式可得其最大值 解（）将 P 的坐标代入方程可得：a2，所以由椭圆的定义可知，曲线 C 的轨迹为以 （1，0） ， （1，0）为焦点，以长半轴为 2
37、的椭圆， 所以曲线 C 的标准方程为： 2 4 + 2 3 =1； （） （i）设 B（x1，y1） ，D（x2，y2） ，BD 的中点坐标 M（x0，y0） ， 由题意可得直线 BD 的斜率存在且不为 0，所以设直线 BD 的方程为：xmy+1， 则直线 AF 的方程为：ym（x1） ，A 在直线 x4 上，所以 yA3m，即 A（4， 3m） ， 将直线 BD 与椭圆联立 = + 1 2 4 + 2 3 = 1，整理可得（4+3m 2）y2+6my90， 所以 y1+y2= 6 4+32，y1y2= 9 4+32， 所以 x1+x2m（y1+y2）+2= 8 4+32， 所以中点 M（ 4
38、 4+32， 3 4+32） ， 因为 kOA= 3 4 =kOM， 所以 OA 平分线段 BD； （ii）|AF|31 + 2，|BD|= 1 + 2(1+ 2)2 412= 12(1+2) 4+32 ， 所以| | = 41+2 4+32 ，令 t= 1 + 21， 所以| | = 4 32+1 = 4 3+1 1，当且仅当 t1 时取等号， 所以| |最大值为 1 本题考查求轨迹方程及直线与椭圆的综合，及弦长公式和均值不等式的应用，属于中档 题 21已知函数 f（x）2sinxx2+2xa （）当 a0 时，求 f（x）零点处的切线方程； （）若 f（x）有两个零点 x1，x2（x1x2
39、） ，求证：1 2 (2 1 2) a 【分析 】 （）将 a0 带入，求导得 f（x）2cosx2x+2，f（x）2sinx20， 进而可知存在 x0，使得 f（x0）0，且 f（x）在 x（，x0）上单调递增，在 x（x0， +）上单调递减，进一步可得 x0，x2 是 f（x）的两个零点，再求得 f（0）2+2，f（2）22，由此 求得所求切线方程； （）先构造函数 F（x）（2+2）x2sinx+x22x，F（x）22cosx+2x，F（x） 2sinx+20，可知（2+2）x2sinxx2+2x，设 y（2+2）x 与 ya 的交点横坐标 为 x3， 可得3= (2+2) 1；设 G（
40、x） （22） （x2）2sinx+x22x， G（x） 242cosx+2x，G（x）2sinx+20，可知（22） （x2）2sinxx2+2x， 设 y（22） （x2）与 ya 的交点横坐标为 x4，可得4= 22 + 2 2，由此 即可得证 （）当 a0 时，f（x）2sinxx2+2x，定义域为 R，则 f（x）2cosx2x+2， f（x）2sinx20， yf（x）在 R 上为减函数， f（0）2+20，f（）20， 由零点存在性定理可知，f（x）在 x（0，）上必存在 x0，使得 f（x0）0， 且当 x（，x0）时，f（x）0，即 f（x）在 x（，x0）上单调递增， 当
41、x（x0，+）时，f（x）0，即 f（x）在 x（x0，+）上单调递减， f（x）maxf（x0） ， 故 f（x）至多有两个零点， 又f（0）0，f（2）0， 故 x0，x2 是 f（x）的两个零点， 由 f（0）2+2，f（2）22，易得两切线方程为 y（2+2）x 或 y（2 2）x4+42； （）证明：由（）易知，x1x0x2， 设 F（x）（2+2）x2sinx+x22x，F（x）22cosx+2x，F（x）2sinx+20， yF（x）在 R 上为增函数， F（0）0， 当 x（，0）时，F（x）0，即 F（x）在（，0）上为减函数， 当 x（0，+）时，F（x）0，即 F（x）在（0，+）上为增函数， F（x）F（0）0，即（2+2）x2sinxx2+2x， 设 y（2+2）x 与 ya 的交点横坐标为 x3，则(2 + 2)1 21 12+ 21= = (2 + 2)3， y（2+2）x 为增函数， 3= (2+2) 1； 同理设 G（x）（22） （x2）2sinx+x22x，则 G（x）242cosx+2x， G（x）2sinx+20， yG（x）在 R 上为增函数， 又 G（2）0， 当 x（，2）时，G（x
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