1、2020 年高考数学模拟试卷（文科）年高考数学模拟试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题） 1已知集合 Ax|lnx1，Bx|1x2，则 AB（ ） A（0，e） B（1，2） C（1，e） D（0，2） 2已知复数 ，则|z|（ ） A1 B2 C D 3已知向量 ， ，向量 ， ，则向量 在 方向上的投影为（ ） A1 B1 C D 4 若过椭圆 内一点 P （2， 1） 的弦被该点平分， 则该弦所在的直线方程为 （ ） A8x+9y250 B3x4y50 C4x+3y150 D4x3y90 5 已知函数 f （x） x3+x+1+sinx， 若 f （a1） +f （2a2） 2， 则
2、实数 a 的取值范围是 （ ） A ， B ， C ， D ， 6已知命题 p：xR，x20，命题 q：，R，使 tan（+）tan+tan，则下列命题 为真命题的是（ ） Apq Bp（q） C（p）q Dp（q） 7荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到 另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图假设现在青 蛙在 A 叶上，则跳三次之后停在 A 叶上的概率是（ ） A B C D 8庄子说：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，这句话描述的是一个数列问题，现用程 序框图描述，如图所示，若输入某个正整数 n 后，输出的 S（ ， ），则
3、输入的 n 的 值为（ ） A7 B6 C5 D4 9函数 在，0）（0，的图象大致为（ ） A B C D 10如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB8，AD6，异面直线 BD 与 AC1所成角的 余弦值为 ，则该长方体外接球的表面积为（ ） A98 B196 C784 D 11 若 ， 当 x0， 1时， f （x） x， 若在区间 （1， 1内， ， 有两个零点，则实数 m 的取值范围是（ ） A ， B ， C ， D ， 12已知 a 为常数，函数 有两个极值点 x1，x2，且 x1x2，则有（ ） A ， B ， C ， D ， 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5
4、 分，共 20 分，把答案填在题中的横线上） 13已知实数 x，y 满足 ，则 z3x+y 的最小值是 14在区间2，4上随机地取一个数 x，若 x 满足|x|m 的概率为 ，则 m 15在ABC 中，内角 A、，B，C 的对边分别为 a，b，c，若（a+b）sinBcsinCasinA， ，ABC 的面积记为 S，则当 取最小值时，ab 16如图所示，正方形 ABCD 与正方形 DEFG 的边长分别为 a，b（ab），原点 O 为 AD 的中点，抛物线 y22px（p0）经过 C，F 两点，则 三、解答题（本大题 5 小题，共 60 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17ABC
5、的内角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c （）若 a，b，c 成等差数列，证明：sinA+sinC2sin（A+C）； （）若 a，b，c 成等比数列，求 cosB 的最小值 18 如图所示的多面体中， AD平面 PDC， 四边形 ABCD 为平行四边形， E 为 AD 的中点， F 为线段 PB 上的一点，CDP120，AD3，AP5， （）试确定点 F 的位置，使得直线 EF平面 PDC； （）若 PB3BF，求直线 AF 与平面 PBC 所成角的正弦值 192016 年春节期间全国流行在微信群里发、抢红包，现假设某人将 688 元发成手气红包 50 个，产生的手气红包频数分布表如
6、表： 全额分组 1，5） 5，9） 9，13） 13，17） 17，21） 21，25 频数 3 9 17 11 8 2 （I）求产生的手气红包的金额不小于 9 元的频率； （）估计手气红包金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （）在这 50 个红包组成的样本中，将频率视为概率 （i）若红包金额在区间21，25内为最佳运气手，求抢得红包的某人恰好是最佳运气手 的概率； （ii）随机抽取手气红包金额在1，5）21，25内的两名幸运者，设其手气金额分别 为 m，n，求事件“|mn|16”的概率 20已知椭圆 C： 的离心率为 ，与坐标轴分别交于 A，B 两点，且 经过点 Q（
7、，1） （）求椭圆 C 的标准方程； （）若 P（m，n）为椭圆 C 外一动点，过点 P 作椭圆 C 的两条互相垂直的切线 l1、l2， 求动点 P 的轨迹方程，并求ABP 面积的最大值 21已知函数 f（x）axlnxx2ax+1（aR）在定义域内有两个不同的极值点 （1）求实数 a 的取值范围； （2）设两个极值点分别为 x1，x2，x1x2，证明：f（x1）+f（x2）2x12+x22 请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 44： 坐标系与参数方程 22已知直线 l 的参数方程为 ，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 正半轴为 极轴，建立极坐标系，
8、曲线 C 的极坐标方程是 （1）写出直线 l 的极坐标方程与曲线 C 的直角坐标方程 （2）若点 P 是曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离的最小值，并求出此时点 P 的 坐标 选修 45：不等式选讲 23设函数 f（x）|x+2|x2| （1）解不等式 f（x）2； （2）当 xR，0y1 时，证明：|x+2|x2| 参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题有且只有一个正确选项） 1已知集合 Ax|lnx1，Bx|1x2，则 AB（ ） A（0，e） B（1，2） C（1，e） D（0，2） 【分析】可以求出集合 A，然后进行交集的运算即可
9、 解：Ax|0xe，Bx|1x2， AB（0，2） 故选：D 【点评】本题考查了描述法、区间的定义，对数函数的单调性和定义域，交集的运算， 考查了计算能力，属于基础题 2已知复数 ，则|z|（ ） A1 B2 C D 【分析】利用复数模的运算性质即可得出 解：复数 ，则|z| 1 故选：A 【点评】本题考查了复数模的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 3已知向量 ， ，向量 ， ，则向量 在 方向上的投影为（ ） A1 B1 C D 【分析】根据向量 在 方向上的投影 ，带入数值即可 解：向量 ， ，向量 ， ； （1）（3）+（2）4385； 向量 在 方向上的投影 故选：B 【
10、点评】本题主要考查向量的投影，熟记公式是解决本题的关键，属于简单题 4 若过椭圆 内一点 P （2， 1） 的弦被该点平分， 则该弦所在的直线方程为 （ ） A8x+9y250 B3x4y50 C4x+3y150 D4x3y90 【分析】设出 A、B 坐标，利用平方差法，求解直线的斜率，然后求解直线方程 解： 设弦的两端点为 A （x1， y1） ， B （x2， y2） ， P 为 AB 中点， A， B 在椭圆上， ， ， 两式相减得： ， x1+x24，y1+y22， 可得： ， 则 k ，且过点 P（2，1），有 y1 （x2）， 整理得 8x+9y250 故选：A 【点评】本题考查直
11、线与椭圆的位置关系，考查点差法的运用，考查学生的计算能力， 属于中档题 5 已知函数 f （x） x3+x+1+sinx， 若 f （a1） +f （2a2） 2， 则实数 a 的取值范围是 （ ） A ， B ， C ， D ， 【分析】令 g（x）f（x）1x3+x+sinx，xR利用函数的定义判断奇偶性，利用导 数判断函数的单调性即可转化求解实数 a 的取值范围 解：令 g（x）f（x）1x3+x+sinx，xR 则 g（x）g（x），g（x）在 R 上为奇函数 g（x）3x2+1+cosx0， 函数 g（x）在 R 上单调递增 f（a1）+f（2a2）2，化为：f（a1）1+f（2a2
12、）10， 即 g（a1）+g（2a2）0，化为：g（2a2）g（a1）g（1a）， 2a21a， 即 2a2+a10， 解得1a 实数 a 的取值范围是1， 故选：C 【点评】 本题考查了构造法、 利用导数研究函数的单调性奇偶性、 方程与不等式的解法、 等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题 6已知命题 p：xR，x20，命题 q：，R，使 tan（+）tan+tan，则下列命题 为真命题的是（ ） Apq Bp（q） C（p）q Dp（q） 【分析】分别判断命题 p，q 的真假，然后利用复合命题与简单命题真假之间的关系进行 判断 解：命题 p：xR，x20，为假命题，故p 为真命题
13、； 命题 q：，R，使 tan（+）tan+tan，当 成立， 所以命题 q 为真命题，q 为假命题， 则 pq 为假命题，p（q）为假命题，pq 为真命题，pq 为假命题， 故选：C 【点评】本题主要考查复合命题的真假判断，要求熟练掌握复合命题与简单命题真假之 间的关系 7荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到 另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图假设现在青 蛙在 A 叶上，则跳三次之后停在 A 叶上的概率是（ ） A B C D 【分析】根据条件先求出逆时针和顺时针跳的概率，然后根据跳 3 次回到 A，则应满足 3 次逆时针
14、或者 3 次顺时针，根据概率公式即可得到结论 解：设按照顺时针跳的概率为 p，则逆时针方向跳的概率为 2p，则 p+2p3p1， 解得 p ，即按照顺时针跳的概率为 ，则逆时针方向跳的概率为 ， 若青蛙在 A 叶上，则跳 3 次之后停在 A 叶上， 则满足 3 次逆时针或者 3 次顺时针， 若先按逆时针开始从 AB，则对应的概率为 ， 若先按顺时针开始从 AC，则对应的概率为 ， 则概率为 ， 故选：A 【点评】本题主要考查概率的计算，利用独立重复试验的概率公式是解决本题的关键 8庄子说：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，这句话描述的是一个数列问题，现用程 序框图描述，如图所示，若输入某个正整
15、数 n 后，输出的 S（ ， ），则输入的 n 的 值为（ ） A7 B6 C5 D4 【分析】模拟程序的运行，依次写出前几次循环得到的 S，k 的值，由题意，说明当算出 的值 S（ ， ）后进行判断时判断框中的条件满足，即可求出此时的 n 值 解：框图首先给累加变量 S 赋值 0，给循环变量 k 赋值 1， 输入 n 的值后，执行循环体，S ，k1+12； 判断 2n 不成立，执行循环体，S ，k2+13； 判断 3n 不成立，执行循环体，S ，k3+14； 判断 4n 不成立，执行循环体，S ，k4+15 判断 5n 不成立，执行循环体，S ，k4+16 判断 6n 不成立，执行循环体，S
16、 ，k4+17 由于输出的 S（ ， ），可得：当 S ，k6 时，应该满足条件 6n，即：5n 6， 可得输入的正整数 n 的值为 5 故选：C 【点评】本题考查了程序框图中的循环结构，是直到型循环，即先执行后判断，不满足 条件继续执行循环，直到条件满足跳出循环，算法结束，是基础题 9函数 在，0）（0，的图象大致为（ ） A B C D 【分析】由函数的奇偶性及特殊点，观察选项即可得解 解： ， 函数 f（x）为奇函数， 又 ， ， ， ， 选项 D 符合题意 故选：D 【点评】本题考查由函数解析式找函数图象，一般从奇偶性，特殊点，单调性等角度运 用排除法求解，属于基础题 10如图，在长方
17、体 ABCDA1B1C1D1中，AB8，AD6，异面直线 BD 与 AC1所成角的 余弦值为 ，则该长方体外接球的表面积为（ ） A98 B196 C784 D 【分析】由题意建立空间直角坐标系，由异面直线的余弦值求出长方体的高，由题意长 方体的对角线等于外接球的直径，进而求出外接球的半径，求出外接球的表面积 解：由题意建立如图所示的空间直角坐标系，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴 DD1为 z 轴，D 为 坐标原点， 由题意知 A（6，0，0），B（6，8，0），D（0，0，0）， 设 D（0，0，a），则 C1（0，8，a）， （6，8，0）， （6，8，a）， cos ， ， 由题意可
18、得： ，解得：a 296， 由题意长方体的对角线等于外接球的直径， 设外接球的半径为 R，则（2R）282+62+a2196， 所以该长方体的外接球的表面积 S4R2196， 故选：B 【点评】考查异面直线的夹角即外接球的表面积公式，属于中档题 11 若 ， 当 x0， 1时， f （x） x， 若在区间 （1， 1内， ， 有两个零点，则实数 m 的取值范围是（ ） A ， B ， C ， D ， 【分析】当 x（1，0）时，x+1（0，1），则 f（x）+1 ，所以 f（x） ，故 f（x） ， ， ，题目问题等价于函数 yf（x）与函数 y m（x ）在区间（1，1内有两个交点，在同一坐
19、标系内画出两个函数的图象，根 据图象，利用数形结合法即可求出 m 的取值范围 解：依题意， ，又当 x0，1时，f（x）x， 故当 x （1， 0） 时， x+1 （0， 1） ， 则 f （x） +1 ， 所以 f （x） ， 故 f（x） ， ， ， 由 ， 在区间 （1， 1内有两个零点， 得方程 f （x） m （x ） 在区间（1，1内有两个根， 等价于函数 yf（x）与函数 ym（x ）在区间（1，1内有两个交点， 而函数 ym（x ）恒过定点（ ，0），在同一坐标系内画出两个函数的图象，如图 所示：， 当 ym（x ）过点（1，1）时，斜率 m ， 当 ym（x ）过点（1，0）
20、时，斜率 m0， 由图象可知，当 0m 时，两个函数图象有两个交点，即 ， 有两个零点， 故选：B 【点评】本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，以及直线过定点问题，是中档 题 12已知 a 为常数，函数 有两个极值点 x1，x2，且 x1x2，则有（ ） A ， B ， C ， D ， 【分析】依题意， 的两根为 x1，x2，设 ，利用导数可知 0x11，x21， 则可得 极小值 ， ， 极大值 ， 解：f（x）xaex，则 f（x）0 的两根为 x1，x2，即 的两根为 x1，x2， 设 ，则 ，令 g（x）0，解得 x1， g（x）在（，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，函数
21、g（x）的图象如下， 由图可知，0x11，x21，且当 x（，x1）（x2，+）时， ，则 f（x） 0，f（x）单调递减，当 x（x1，x2）时， ，则 f（x）0，f（x）单调递增， f （x）极小值 ， 又 x1 （0， 1） ， 故 ， ， f （x）极大值 ， 又 x2 （1， +） ， 故 ， 故选：A 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查转化思想及数形结合思想，考查 计算能力，属于中档题 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中的横线上） 13已知实数 x，y 满足 ，则 z3x+y 的最小值是 8 【分析】作出不等式组表示的平面区
22、域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线 过 M 时，z 取得最小值 解：画出不等式组 表示的可行域如图阴影区域所示 M（3，1） 平移直线 3x+y0，易知当直线 z3x+y 经过点 M（3，1）时， 目标函数 z3x+y 取得最小值， 且 zmin3（3）+18 故答案为：8 【点评】 本题考查画不等式组表示的平面区域、 考查数形结合求函数的最值 是中档题 14在区间2，4上随机地取一个数 x，若 x 满足|x|m 的概率为 ，则 m 3 【分析】画出数轴，利用 x 满足|x|m 的概率为 ，直接求出 m 的值即可 解：如图区间长度是 6，区间2，4上随机地取一个数 x，若 x 满足|
23、x|m 的概率为 ， 所以 m3 故答案为：3 【点评】本题考查几何概型的求解，画出数轴是解题的关键 15在ABC 中，内角 A、，B，C 的对边分别为 a，b，c，若（a+b）sinBcsinCasinA， ，ABC 的面积记为 S，则当 取最小值时，ab 【分析】 由正弦定理化简已知等式可得 a2+b2c2ab， 利用余弦定理可求 cosC ， 结合范围 C（0，），可求 C ，进而由题意，利用三角形的面积公式，基本不等式 即可求解 解：（a+b）sinBcsinCasinA， （a+b）bc2a2，可得 a2+b2c2ab， cosC ， C（0，）， C ， ABC 的面积记为 S，
24、2 ，当且仅当 S ，即 S absinC ab 时等 号成立，解得此时 ab 故答案为： 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式在解三 角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 16如图所示，正方形 ABCD 与正方形 DEFG 的边长分别为 a，b（ab），原点 O 为 AD 的中点，抛物线 y22px（p0）经过 C，F 两点，则 【分析】可先由图中的点与抛物线的位置关系，写出 C，F 两点的坐标，再将坐标代入 抛物线方程中，消去参数 p 后，得到 a，b 的关系式，再寻求 的值 解：由题意可得 ， ， ， ， 将 C，F 两点的坐标分别代入
25、抛物线方程 y22px 中，得 a0，b0，p0，两式相比消去 p 得 ，化简整理得 a 2+2abb20， 此式可看作是关于 a 的一元二次方程，由求根公式得 ， 取 ， 从而 ， 故答案为： 【点评】本题关键是弄清两个正方形与抛物线的位置关系，这样才能顺利写出 C，F 的 坐标，接下来是消参，得到了一个关于 a，b 的齐次式，应注意根的取舍与细心的计算 三、解答题（本大题 5 小题，共 60 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17ABC 的内角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c （）若 a，b，c 成等差数列，证明：sinA+sinC2sin（A+C）； （）若 a，b
26、，c 成等比数列，求 cosB 的最小值 【分析】（）由 a，b，c 成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦定 理化简，再利用诱导公式变形即可得证； （）由 a，bc 成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用余弦定理表示出 cosB，将得出的关系式代入，并利用基本不等式变形即可确定出 cosB 的最小值 解：（）a，b，c 成等差数列， 2ba+c， 利用正弦定理化简得：2sinBsinA+sinC， sinBsin（A+C）sin（A+C）， sinA+sinC2sinB2sin（A+C）； （）a，b，c 成等比数列， b2ac， cosB ， 当且仅当 ac 时等号成
27、立， cosB 的最小值为 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，等差、等比数列的性质，以及基本不等式的运用， 熟练掌握定理是解本题的关键 18 如图所示的多面体中， AD平面 PDC， 四边形 ABCD 为平行四边形， E 为 AD 的中点， F 为线段 PB 上的一点，CDP120，AD3，AP5， （）试确定点 F 的位置，使得直线 EF平面 PDC； （）若 PB3BF，求直线 AF 与平面 PBC 所成角的正弦值 【分析】（）设 F 为 BP 中点，取 AP 中点 G，连结 EF、EG、FG，推导出 GFAB CD，EGDP，从而平面 GEF平面 PDC，进而当点 F 为 BP 中点时，
28、使得直线 EF 平面 PDC （）以 D 为原点，DC 为 x 轴，在平面 PDC 中过 D 作 CD 垂线为 y 轴，DA 为 z 轴， 建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 AF 与平面 PBC 所成角的正弦值 解：（）设 F 为 BP 中点，取 AP 中点 G，连结 EF、EG、FG， AD平面 PDC，四边形 ABCD 为平行四边形，E 为 AD 的中点， GFABCD，EGDP， EGFGG，DPCDD，平面 GEF平面 PDC， EF平面 GEF，当点 F 为 BP 中点时，使得直线 EF平面 PDC （）以 D 为原点，DC 为 x 轴，在平面 PDC 中过 D 作 CD 垂
29、线为 y 轴，DA 为 z 轴， 建立空间直角坐标系， 为 AD 的中点，F 为线段 PB 上的一点，CDP120，AD3，AP5， cos120 ，解得 CD6， A（0，0，3），B（6，0，3），P（2，2 ，0），C（6，0，0）， 设 F（a，b，c），由 PB3BF，得 ，即（a6，b，c3） （8，2 ， 3）， 解得 a ，b ，c2，F（ ， ，2）， （ ， ，1）， （0，0，3）， （8，2 ，0）， 设平面 PBC 的法向量 （x，y，z）， 则 ，取 x1，得 （1， ，0）， 设直线 AF 与平面 PBC 所成角为 ， 则直线 AF 与平面 PBC 所成角的正弦值
30、为： sin 【点评】本题考查满足面面平行的点的位置位置的确定，考查线面角的正弦值的求法， 考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 192016 年春节期间全国流行在微信群里发、抢红包，现假设某人将 688 元发成手气红包 50 个，产生的手气红包频数分布表如表： 全额分组 1，5） 5，9） 9，13） 13，17） 17，21） 21，25 频数 3 9 17 11 8 2 （I）求产生的手气红包的金额不小于 9 元的频率； （）估计手气红包金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （）在这 50 个红包组成的样本中，将频率视为概率 （
31、i）若红包金额在区间21，25内为最佳运气手，求抢得红包的某人恰好是最佳运气手 的概率； （ii）随机抽取手气红包金额在1，5）21，25内的两名幸运者，设其手气金额分别 为 m，n，求事件“|mn|16”的概率 【分析】 （）由题意利用互斥事件概率加法公式能求出产生的手气红包的金额不小于 9 元的频率 （）先求出手气红包在1，5）、5，9）、9，13）、13，17）、17，21）、21，25 内的频率，由此能求了出手气红包金额的平均数 （）（i）由题可知红包金额在区间21，25内有两人，由此能求出抢得红包的某人恰 好是最佳运气手的概率 （ii）由频率分布表可知，红包金额在1，5）内有 3 人
32、，在21，25内有 2 人，由此能求 出事件“|mn|16“的概率 P（|mn|16） 解：（）由题意得产生的手气红包的金额不小于 9 元的频率： p ， 产生的手气红包的金额不小于 9 元的频率为 （）手气红包在1，5）内的频率为 0.06， 手气红包在5，9）内的频率为 0.18， 手气红包在9，13）内的频率为 0.34， 手气红包在13，17）内的频率为 0.22， 手气红包在17，21）内的频率为 0.16， 手气红包在21，25内的频率为 0.04， 则手气红包金额的平均数为： 30.06+70.18+110.34+150.22+190.16+230.0412.44 （）（i）由题
33、可知红包金额在区间21，25内有两人， 抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率 p （ii）由频率分布表可知，红包金额在1，5）内有 3 人， 设红包金额分别为 a，b，c，在21，25内有 2 人， 设红包金额分别为 x，y， 若 m，n 均在1，5）内，有 3 种情况：（a，b），（a，c），（b，c）， 若 m，n 均在21，25内只有一种情况：（x，y）， 若 m，n 分别在1，5）和21，25）内，有 6 种情况， 即（a，x），（a，y），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y）， 基本事件总数 n10， 而事件“|mn|16“所包含的基本事件有 6 种， P（|mn|16）
34、【点评】本题考查频率的求法，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意 频数分布表的性质的合理运用 20已知椭圆 C： 的离心率为 ，与坐标轴分别交于 A，B 两点，且 经过点 Q（ ，1） （）求椭圆 C 的标准方程； （）若 P（m，n）为椭圆 C 外一动点，过点 P 作椭圆 C 的两条互相垂直的切线 l1、l2， 求动点 P 的轨迹方程，并求ABP 面积的最大值 【分析】（）由离心率及椭圆过的点的坐标，及 a，b，c 之间的关系可得 a，b 的值， 进而求出椭圆的方程； （）过 P 的两条切线分斜率存在和不存在两种情况讨论，当斜率不存在时，直接由椭 圆的方程可得切点 A，B 的坐标
35、，当切线的斜率存在且不为 0 时，设过 P 的切线方程， 与椭圆联立由判别式等于 0 可得参数的关系，进而可得 PA，PB 的斜率之积，由直线 PA，PB 互相垂直可得斜率之积等于1， 进而可得 m，n 之间的关系，即 P 的轨迹方程， 显然切线斜率不存在时的点 P 也在轨迹方程上； 因为 PA， PB 互相垂直， 所以三角形 PAB 的面积为 SABP |PA| |PB| ，当且仅当|PA|PB|时取等号，可 得球切线 PA 的斜率为 1， 求出直线 PA 的方程， 与椭圆联立求出 A 的坐标， 进而求出|PA| 的值，再求|AB|的值，即求出三角形 PAB 面积的最大值 解：（）由题意可得
36、 e ， 1，c2a2b2，解得 a24，b22， 所以椭圆的方程为： 1； （）设两个切点分别为 A，B，当两条切线中有一条斜率不存在时， 即 A，B 两点分别位于椭圆的长轴和短轴的端点，此时 P 的坐标为：（2， ）， 当两条切线的斜率存在且不为 0 时，设过 P 的切线的方程为：ynk（xm）， 联立直线 ynk（xm）和椭圆的方程 ，整理可得（1+2k2）x24k （kmn）x+2（kmn）240， 由题意可得16k2（kmn）24（1+2k2）2（kmn）240，整理可得（m24） k22kmn+n220，所以 k1 k2 ， 设直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k2，则 k1
37、k2 ， 而 PA，PB 互相垂直，所以 1， 即 m2+n26，（m2）， 又因为 P（2， ）在 m2+n26 上， 所以点 P 在圆 x2+y26 上 因为 l1l2， 所以 SABP |PA| |PB| ，当且仅当|PA|PB|时取等号， 即 P 在椭圆的短轴所在的直线上时即 P（0， ）， 由圆及椭圆的对称性设 P（0， ），则直线 PA 的斜率为 1，可得直线 PA 的方程为：y x ， 代入椭圆的方程可得 3x2+4 x+80， 解得 x ， y ， 即 A （ ， ） ， 所以|PA| ，所以 AB22|PA|2 ， 所以（SABP）max 【点评】本题考查求椭圆的方程，直线与
38、椭圆的综合，和求轨迹方程，属于中难题 21已知函数 f（x）axlnxx2ax+1（a一、选择题）在定义域内有两个不同的极值点 （1）求实数 a 的取值范围； （2）设两个极值点分别为 x1，x2，x1x2，证明：f（x1）+f（x2）2x12+x22 【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对 a 进行分类讨论，确定导 数正负即可求解函数单调性，结合单调性即可求解； （2）分析要证明不等式特点，进行合理的变形，然后构造函数，结合导数及函数性质可 证 解：（1）由题意可知，f（x）的定义域为（0，+），f（x）alnx2x， 令 g（x）alnx2x（x0）， 则函数 f（x）在
39、定义域内有两个不同的极值点等价于 g（x）在区间（0，+）内至少有 两个不同的零点， 由 可知， 当 a0 时，g（x）0 恒成立，即函数 g（x）在（0，+）上单调，不符合题意，舍去 当 a0 时，由 g（x）0 得， ，即函数 g（x）在区间 ， 上单调递增； 由 g（x）0 得， ，即函数 g（x）在区间 ， 上单调递减； 故要满足题意，必有 ， 解得：a2e； （2）证明：由（1）可知， ， 故要证： ， 只需证明： ， 即证： 不妨设 0x1x2，即证 ， 构造函数：h（t）lntt2+1（t1）其中 ， 由 ，所以函数 h（t）在区间（1，+）内单调递减，所以 h（t）h（1） 0
40、 得证， 或证：即证： ， 只需证明： ， 而由（1）可知 ， 故上式 成立， 即可得： 【点评】本题主要考查了导数与函数性质的综合应用，考查了考试逻辑推理的能力 请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 44： 坐标系与参数方程 22已知直线 l 的参数方程为 ，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 正半轴为 极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程是 （1）写出直线 l 的极坐标方程与曲线 C 的直角坐标方程 （2）若点 P 是曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离的最小值，并求出此时点 P 的 坐标 【分析】（1）可以先消参数，求出直线 l
41、的普通方程，再利用公式将曲线 C 的极坐标方 程化成平面直角坐标方程； （2）利用点到直线的距离公式，求出 P 到直线 l 的距离的最小值，再根据函数取最值的 情况求出 P 点的坐标，得到本题结论 解：（1） ， 为参数 ，消去参数可得 xy1 直线 l 的极坐标方程为 即 由 得 cos 2sin2cos2sin 得 yx2（x0） （2）设 P（x0，y0），则 点 P 到直线 l 的距离为 当 时 ，此时 ， 当 ， P 到直线 l 的距离最小，最小 【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为平面直角坐标方程、点到 直线的距离公式，本题难度不大，属于基础题 选修 45：不等式
42、选讲 23设函数 f（x）|x+2|x2| （1）解不等式 f（x）2； （2）当 xR，0y1 时，证明：|x+2|x2| 【分析】（）运用绝对值的定义，去掉绝对值，得到分段函数，再由各段求范围，最 后求并集即可； （II）由分段函数可得 f（x）的最大值，再由基本不等式求得 的最小值，即可得 证 解：（）由已知可得： ， ， ， ， 由 x2 时，42 成立；2x2 时，2x2，即有 x1，则为 1x2 故 f（x）2 的解集为x|x1 （II）由（）知， ； （ ）y+（1y）2 4， 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立，注意转化为函数的最值， 考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题
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