1、2020 年中考数学一模试卷年中考数学一模试卷 一、选择题 1如图，数轴上的 A、B、C、D 四点中，与数表示的点最接近的是（ ） A点 A B点 B C点 C D点 D 2 根据制定中的通州区总体规划， 将通过控制人口总量上限的方式， 努力让副中心远离 “城 市病”预计到 2035 年，副中心的常住人口规模将控制在 130 万人以内，初步建成国际 一流的和谐宜居现代化城区130 万用科学记数法表示为（ ） A1.3106 B130104 C13105 D1.3105 3如图是由 5 个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ） A B C D 4如图所示，将含有 30角的三角板（A30
2、）的直角顶点放在相互平行的两条直线 其中一条上，若138，则2 的度数（ ） A28 B22 C32 D38 5某校九年级模拟考试中，2 班的五名学生的数学成绩如下：85，95，110，100，110下 列说法不正确的是（ ） A众数是 110 B中位数是 110 C平均数是 100 D中位数是 100 6抛物线 y（x1）2+3 关于 x 轴对称的抛物线的解析式是（ ） Ay（x1）2+3 By（x+1）2+3 Cy（x1）23 Dy（x1） 23 二、填空题：（本大题共 10 小题，每小题 2 分，合计 20 分） 7分解因式：x416 8（ ） 2 9实数，7，中，无理数有 10已知 2
3、+是关于 x 的方程 x24x+m0 的一个根，则 m 11如图，在ABC 中，AC10，BC6，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E， 则BCE 的周长是 12某商店今年 6 月初销售纯净水的数量如下表所示： 日期 1 2 3 4 数量（瓶） 120 125 130 135 观察此表， 利用所学函数知识预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为 瓶 13 如图， 在ABC 中， ACB90， 分别以点 A 和点 B 为圆心， 以相同的长 （大于AB） 为半径作弧，两弧相交于点 M 和点 N，作直线 MN 交 AB 于点 D，交 BC 于点 E若 AC 3，AB5，则 DE
4、 等于 14关于 x 的一元二次方程 kx2+3x10 有实数根，则 k 的取值范围是 15 如图， 在矩形 ABCD 中， M 为 BC 边上一点， 连接 AM， 过点 D 作 DEAM， 垂足为 E 若 DEDC1，AE2EM，则 BM 的长为 16已知整数 a1，a2，a3，a4，满足下列条件：a10，a2|a1+1|，a3|a2+2|，a4 |a3+3|，依此类推，则 a2019的值为 三、解答题：（本大题共 11 小题，合计 88 分） 17计算： 18先化简，再求值：（），其中 x 是整数且3x1 19如图，在矩形 ABCD 中，F 是 CD 的中点，连接 AF 交 BC 延长线于
5、点 E求证：BC EC 20 某学校为了丰富学生课余生活， 开展了 “第二课堂” 的活动， 推出了以下四种选修课程： A绘画；B唱歌；C演讲；D十字绣学校规定：每个学生都必须报名且只能选择 其中的一个课程学校随机抽查了部分学生，对他们选择的课程情况进行了统计，并绘 制了如下两幅不完整的统计图请结合统计图中的信息，解决下列问题： （1）这次学校抽查的学生人数是 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）如果该校共有 1000 名学生，请你估计该校报 D 的学生约有多少人？ 21已知：如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，ABAD，BCCD，BECD，垂足为点 E，点 F 在 BD 上，连结 AF
6、、EF （1）求证：ADED； （2）如果 AFCD，判断四边形 ADEF 是什么特殊四边形证明你的结论 22图 1 是一台实物投影仪，图 2 是它的示意图，折线 OABC 表示支架，支架的一 部分 OAB 是固定的，另一部分 BC 是可旋转的，线段 CD 表示投影探头，OM 表示 水平桌面，AOOM， 垂足为点 O，且 AO7cm， BAO160，BCOM， CD8cm 将图 2 中的 BC 绕点 B 向下旋转 45， 使得 BCD 落在 BCD的位置 （如图 3 所示） ， 此时 CDOM，ADOM，AD16cm，求点 B 到水平桌面 OM 的距离， （参考 数据：sin700.94，co
7、s700.34，cot700.36，结果精确到 1cm） 23 在甲口袋中有三个球分别标有数码 1， 2， 3； 在乙口袋中也有三个球分别标有数码 4， 5，6；已知口袋均不透明，六个球除标码不同外其他均相同，小明从甲口袋中任取一 个球，并记下数码，小林从乙口袋中任取一个球，并记下数码 （1）用树状图或列表法表示所有可能的结果； （2）求所抽取的两个球数码的乘积为负数的概率 24某工厂有甲种原料 130kg，乙种原料 144kg现用这两种原料生产出 A，B 两种产品共 30 件已知生产每件 A 产品需甲种原料 5kg，乙种原料 4kg，且每件 A 产品可获利 700 元；生产每件 B 产品需甲
8、种原料 3kg，乙种原料 6kg，且每件 B 产品可获利 900 元设生 产 A 产品 x 件（产品件数为整数件），根据以上信息解答下列问题： （1）生产 A，B 两种产品的方案有哪几种； （2）设生产这 30 件产品可获利 y 元，写出 y 关于 x 的函数解析式，写出（1）中利润最 大的方案，并求出最大利润 25如图，在 RtABC 中，以 BC 为直径的O 交 AC 于点 D，过点 D 作O 的切线交 AB 于点 M，交 CB 延长线于点 N，连接 OM，OC1 （1）求证：AMMD； （2）填空： 若 DN，则ABC 的面积为 ； 当四边形 COMD 为平行四边形时，C 的度数为 26
9、已知抛物线 yax2+bx+3 与 x 轴分别交于 A（3，0），B（1，0）两点，与 y 轴交于 点 C （1）求抛物线的表达式及顶点 D 的坐标； （2）点 F 是线段 AD 上一个动点 如图 1，设 k，当 k 为何值时，CFAD？ 如图 2，以 A，F，O 为顶点的三角形是否与ABC 相似？若相似，求出点 F 的坐标； 若不相似，请说明理由 27如图所示，已知正方形 ABCD 和正方形 AEFG，连接 DG，BE （1）发现：当正方形 AEFG 绕点 A 旋转，如图所示 线段 DG 与 BE 之间的数量关系是 ； 直线 DG 与直线 BE 之间的位置关系是 ； （2）探究：如图所示，若
10、四边形 ABCD 与四边形 AEFG 都为矩形，且 AD2AB，AG 2AE 时，上述结论是否成立，并说明理由 （3）应用：在（2）的情况下，连接 BG、DE，若 AE1，AB2，求 BG2+DE2的值（直 接写出结果） 参考答案 一、选择题：（本大题共 6 小题，每小题 2 分，合计 12 分） 1如图，数轴上的 A、B、C、D 四点中，与数表示的点最接近的是（ ） A点 A B点 B C点 C D点 D 【分析】先估算出1.732，所以1.732，根据点 A、B、C、D 表示的数分别 为3、2、1、2，即可解答 解：1.732， 1.732， 点 A、B、C、D 表示的数分别为3、2、1、
11、2， 与数表示的点最接近的是点 B 故选：B 【点评】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题 的关键 2 根据制定中的通州区总体规划， 将通过控制人口总量上限的方式， 努力让副中心远离 “城 市病”预计到 2035 年，副中心的常住人口规模将控制在 130 万人以内，初步建成国际 一流的和谐宜居现代化城区130 万用科学记数法表示为（ ） A1.3106 B130104 C13105 D1.3105 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的
12、位数相 同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 解：将 130 万用科学记数法表示为 1.3106 故选：A 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其 中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 3如图是由 5 个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ） A B C D 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案 解：它的俯视图是： 故选：C 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔 细观察和想象，再画它的三视图 4如图所示，将含有 30角的三角板
13、（A30）的直角顶点放在相互平行的两条直线 其中一条上，若138，则2 的度数（ ） A28 B22 C32 D38 【分析】延长 AB 交 CF 于 E，求出ABC，根据三角形外角性质求出AEC，根据平行 线性质得出2AEC，代入求出即可 解：如图，延长 AB 交 CF 于 E， ACB90，A30， ABC60， 138， AECABC122， GHEF， 2AEC22， 故选：B 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角性质，平行线性质的运用，主要 考查学生的推理能力解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等 5某校九年级模拟考试中，2 班的五名学生的数学成绩如下：85，95，110
14、，100，110下 列说法不正确的是（ ） A众数是 110 B中位数是 110 C平均数是 100 D中位数是 100 【分析】分别求出这组数据的中位数、众数、平均数，进行判断即可 解：85，95，110，100，110 这组数据的众数是 110，中位数是 100，平均数为 100， 因此选项 B 符合题意， 故选：B 【点评】考查众数、中位数、平均数的意义和计算方法，正确求出这组数据的众数、中 位数、平均数是正确判断的前提 6抛物线 y（x1）2+3 关于 x 轴对称的抛物线的解析式是（ ） Ay（x1）2+3 By（x+1）2+3 Cy（x1）23 Dy（x1） 23 【分析】抛物线 y
15、（x1）2+3 的顶点坐标为（1，3），关于 x 轴对称的抛物线顶点坐 标为（1，3），且开口向下，将二次项系数变为原抛物线二次项系数的相反数，用顶 点式写出新抛物线的解析式即可 解：y（x1）2+3 的顶点坐标为（1，3）， 关于 x 轴对称的抛物线顶点坐标为（1，3），且开口向下， 所求抛物线解析式为：y（x1）23 故选：D 【点评】本题考查了二次函数图象的轴对称与解析式的关系关键是明确顶点的对称及 抛物线开口方向的变化对解析式的影响 二、填空题：（本大题共 10 小题，每小题 2 分，合计 20 分） 7分解因式：x416 （x2+4）（x+2）（x2） 【分析】直接利用平方差公式分解
16、因式得出答案 解：x416（x2+4）（x24） （x2+4）（x+2）（x2） 故答案为：（x2+4）（x+2）（x2） 【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用公式是解题关键 8（ ） 2 12 【分析】直接利用负指数幂的性质以及立方根的性质分别化简得出答案 解：原式3912 故答案为：12 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 9实数，7，中，无理数有 【分析】无理数就是无限不循环小数理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概 念，有理数是整数与分数的统称即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环 小数是无理数由此即可判定选择项 解：是分数，属于有理数；7，是
17、整数，属于有理数； 无理数有： 故答案为： 【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，2 等； 开方开不尽的数；以及像 0.1010010001，等有这样规律的数 10已知 2+是关于 x 的方程 x24x+m0 的一个根，则 m 1 【分析】把 x2+代入方程得到关于 m 的方程，然后解关于 m 的方程即可 解：把 x2+代入方程得（2+）24（2+ ）+m0， 解得 m1 故答案为 1 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值 是一元二次方程的解 11如图，在ABC 中，AC10，BC6，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交
18、 AC 于点 E， 则BCE 的周长是 16 【分析】 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 AEBE， 从而得到 BCE 的周长AC+BC，然后代入数据计算即可求解 解：DE 是 AB 的垂直平分线， AEBE， AC10，BC6， BCE 的周长BC+BE+CEBC+AE+CEBC+AC10+616 故答案为：16 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，证明 出三角形的周长等于 AC 与 BC 的和是解题的关键 12某商店今年 6 月初销售纯净水的数量如下表所示： 日期 1 2 3 4 数量（瓶） 120 125 130 135 观察此表，
19、利用所学函数知识预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为 150 瓶 【分析】这是一个一次函数模型，设 ykx+b，利用待定系数法即可解决问题， 解：这是一个一次函数模型，设 ykx+b，则有， 解得， y5x+115， 当 x7 时，y150， 预测今年 6 月 7 日该商店销售纯净水的数量约为 150 瓶， 故答案为 150 【点评】本题考查一次函数的性质，解题的关键是学会构建一次函数解决问题，属于中 考常考题型 13 如图， 在ABC 中， ACB90， 分别以点 A 和点 B 为圆心， 以相同的长 （大于AB） 为半径作弧，两弧相交于点 M 和点 N，作直线 MN 交 AB 于点 D
20、，交 BC 于点 E若 AC 3，AB5，则 DE 等于 【分析】根据勾股定理求出 BC，根据线段垂直平分线性质求出 AEBE，根据勾股定理 求出 AE，再根据勾股定理求出 DE 即可 解：在 RtACB 中，由勾股定理得：BC4， 连接 AE， 从作法可知：DE 是 AB 的垂直平分线， 根据性质得出 AEBE， 在 RtACE 中，由勾股定理得：AC2+CE2AE2， 即 32+（4AE）2AE2， 解得：AE， 在 RtADE 中，ADAB，由勾股定理得：DE2+（）2（）2， 解得：DE 故答案为： 【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，勾股定理的应用，能灵活运用勾股定理得出 方程是解
21、此题的关键 14 关于 x 的一元二次方程 kx2+3x10 有实数根， 则 k 的取值范围是 k且 k0 【分析】利用判别式，根据不等式即可解决问题； 解：关于 x 的一元二次方程 kx2+3x10 有实数根， 0 且 k0， 9+4k0， k，且 k0， 故答案为 k且 k0 【点评】本题考查根的判别式，一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当0 时，方程有 两个相等的两个实数根；当0 时，方程无实数根上面的结论反过来也成立 15 如图， 在矩形 ABCD 中， M 为 BC 边上一点， 连接 AM， 过点 D 作 D
22、EAM， 垂足为 E 若 DEDC1，AE2EM，则 BM 的长为 【分析】由 AAS 证明ABMDEA，得出 AMAD，证出 BCAD3EM，连接 DM， 由 HL 证明 RtDEMRtDCM，得出 EMCM，因此 BC3CM，设 EMCMx，则 BM2x，AMBC3x，在 RtABM 中，由勾股定理得出方程，解方程即可 解：四边形 ABCD 是矩形， ABDC1，BC90，ADBC，ADBC， AMBDAE， DEDC， ABDE， DEAM， DEADEM90， 在ABM 和DEA 中， ABMDEA（AAS）， AMAD， AE2EM， BCAD3EM， 设 EMCMx，则 BM2x，
23、AMBC3x， 在 RtABM 中，由勾股定理得：12+（2x）2（3x）2， 解得：x， BM； 故答案为： 【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形 的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问题的关键 16已知整数 a1，a2，a3，a4，满足下列条件：a10，a2|a1+1|，a3|a2+2|，a4 |a3+3|，依此类推，则 a2019的值为 1009 【分析】根据条件求出前几个数的值，再分 n 是奇数时，结果等于（n1），n 是偶 数时，结果等于，然后把 n 的值代入进行计算即可得解 解：a10， a2|a1+1|0+1|1， a3|a2+2|1+2
24、|1， a4|a3+3|1+3|2， a5|a4+4|2+4|2， a6|a5+5|2+5|3， a7|a6+6|3+6|3， ， 所以，n 是奇数时，an（n1），n 是偶数时，an， a2019 （20191）1009 故答案为：1009 【点评】此题主要考查了数字变化规律，根据所求出的数，观察出 n 为奇数与偶数时的 结果的变化规律是解题的关键 三、解答题：（本大题共 11 小题，合计 88 分） 17计算： 【分析】直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案 解：原式 2 【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键 18先化简，再求值：（），其中 x 是整
25、数且3x1 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，根据3x1 求出 x 的值，代入 原式进行计算即可 解：原式 ， x 是整数且3x1，并且 x1，2 取 x0， 原式1 【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键 19如图，在矩形 ABCD 中，F 是 CD 的中点，连接 AF 交 BC 延长线于点 E求证：BC EC 【分析】先由矩形的性质得 ADBE，ADBC，再证明ADFECF（AAS），然后 利用全等三角形的性质及已知条件得出答案即可 【解答】证明：四边形 ABCD 是矩形， ADBE，ADBC， ADFECF，DAFCEF， F 是 CD
26、的中点， DFCF， 在ADF 和ECF 中， ADFECF（AAS） ADEC，而 ADBC BCEC 【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性 质及定理是解题的关键 20 某学校为了丰富学生课余生活， 开展了 “第二课堂” 的活动， 推出了以下四种选修课程： A绘画；B唱歌；C演讲；D十字绣学校规定：每个学生都必须报名且只能选择 其中的一个课程学校随机抽查了部分学生，对他们选择的课程情况进行了统计，并绘 制了如下两幅不完整的统计图请结合统计图中的信息，解决下列问题： （1）这次学校抽查的学生人数是 40 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）如果该校共
27、有 1000 名学生，请你估计该校报 D 的学生约有多少人？ 【分析】（1）利用 A 项目的频数除以它所占的百分比得到调查的总人数； （2）计算出 C 项目的人数后补全条形统计图即可； （3）用总人数乘以样本中该校报 D 的学生数占被调查学生数的比例即可得 解：（1）这次学校抽查的学生人数是 1230%40（人）， 故答案为：40 人； （2）C 项目的人数为 401214410（人） 条形统计图补充为： （3）估计全校报名军事竞技的学生有 1000100（人） 【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确 题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答
28、21已知：如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，ABAD，BCCD，BECD，垂足为点 E，点 F 在 BD 上，连结 AF、EF （1）求证：ADED； （2）如果 AFCD，判断四边形 ADEF 是什么特殊四边形证明你的结论 【分析】（1）先根据平行的性质得到ADBCDB，然后结合 BCCD，可得ADB BDC，利用 AAS 可证得ABDEBD，继而可得出结论； （2）证明 AFAD，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得出结论 【解答】证明：（1）BCCD， CDBCBD ADBC， ADBCBD ADBCDB， ABAD，BECD， BADBED90 又BDBD， ABDEBD（
29、AAS）， ADED； （2）解：四边形 ADEF 是菱形 证明：AFCD， AFDEDF AFDADF， AFAD 又ADED， AFDE 四边形 ADEF 是平行四边形， 又ADED， 四边形 ADEF 是菱形 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形和菱形的判定，得出 四边形 ADEF 为平行四边形是解题关键 22图 1 是一台实物投影仪，图 2 是它的示意图，折线 OABC 表示支架，支架的一 部分 OAB 是固定的，另一部分 BC 是可旋转的，线段 CD 表示投影探头，OM 表示 水平桌面，AOOM， 垂足为点 O，且 AO7cm， BAO160，BCOM， CD8
30、cm 将图 2 中的 BC 绕点 B 向下旋转 45， 使得 BCD 落在 BCD的位置 （如图 3 所示） ， 此时 CDOM，ADOM，AD16cm，求点 B 到水平桌面 OM 的距离， （参考 数据：sin700.94，cos700.34，cot700.36，结果精确到 1cm） 【分析】过 B 作 BGOM 于 G，过 C作 CHBG 于 H，延长 DA 交 BG 于 E，则 CHDE，HECD8，设 AEx，解直角三角形即可得到结论 解：过 B 作 BGOM 于 G， 过 C作 CHBG 于 H，延长 DA 交 BG 于 E， 则 CHDE，HECD8， 设 AEx， CHDE16+
31、x， BCH45， BHCH16+x， BE16+x+824+x， BAO160， BAE70， tan70， 解得：x13.5， BE37.5， BGBE+EGBE+AO37.5+744.545cm， 答：B 到水平桌面 OM 的距离为 45cm 【点评】 此题主要考查了解直角三角形的应用， 充分体现了数学与实际生活的密切联系， 解题的关键是构造直角三角形 23 在甲口袋中有三个球分别标有数码 1， 2， 3； 在乙口袋中也有三个球分别标有数码 4， 5，6；已知口袋均不透明，六个球除标码不同外其他均相同，小明从甲口袋中任取一 个球，并记下数码，小林从乙口袋中任取一个球，并记下数码 （1）用
32、树状图或列表法表示所有可能的结果； （2）求所抽取的两个球数码的乘积为负数的概率 【分析】（1）利用列表法可得所有等可能结果； （2）从所有等可能结果中找到符合条件的结果数，再利用概率公式可得答案 解：（1）列表如下： 1 2 3 4 （1，4） （2，4） （3，4） 5 （1，5） （2，5） （3，5） 6 （1，6） （2，6） （3，6） （2）由表可知，共有 9 种等可能结果，其中所抽取的两个球数码的乘积为负数的由 4 种 结果， 所抽取的两个球数码的乘积为负数的概率为 【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况 数之比 24某工厂有甲种原料 130
33、kg，乙种原料 144kg现用这两种原料生产出 A，B 两种产品共 30 件已知生产每件 A 产品需甲种原料 5kg，乙种原料 4kg，且每件 A 产品可获利 700 元；生产每件 B 产品需甲种原料 3kg，乙种原料 6kg，且每件 B 产品可获利 900 元设生 产 A 产品 x 件（产品件数为整数件），根据以上信息解答下列问题： （1）生产 A，B 两种产品的方案有哪几种； （2）设生产这 30 件产品可获利 y 元，写出 y 关于 x 的函数解析式，写出（1）中利润最 大的方案，并求出最大利润 【分析】（1）根据两种产品所需要的甲、乙两种原料列出不等式组，然后求解即可； （2）根据总利
34、润等于两种产品的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性求出最 大利润即可 解：（1）根据题意得：， 解得 18x20， x 是正整数， x18、19、20， 共有三种方案： 方案一：A 产品 18 件，B 产品 12 件， 方案二：A 产品 19 件，B 产品 11 件， 方案三：A 产品 20 件，B 产品 10 件； （2）根据题意得：y：700x+900（30x）200x+27000， 2000， y 随 x 的增大而减小， x18 时，y 有最大值， y最大20018+2700023400 元 答：利润最大的方案是方案一：A 产品 18 件，B 产品 12 件，最大利润为 2340
35、0 元 【点评】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，准确 找出题中的等量关系和不等量关系是解题的关键 25如图，在 RtABC 中，以 BC 为直径的O 交 AC 于点 D，过点 D 作O 的切线交 AB 于点 M，交 CB 延长线于点 N，连接 OM，OC1 （1）求证：AMMD； （2）填空： 若 DN，则ABC 的面积为 ； 当四边形 COMD 为平行四边形时，C 的度数为 45 【分析】（1）连接 OD，根据切线的性质得到ODMABC90，根据全等三角形 的判定定理得到RtBOMRtDOM （HL） ， 求得BMDM， DOMBOM， 根据圆周角定理得到BO
36、MC，于是得到结论； （2） 由于 tanDON， 求得DON60， 根据圆周角定理得到C30， 求得 ABBC，根据三角形的面积公式即可得到结论； 根据平行四边形的性质和圆周角定理即可得到结论 【解答】（1）证明：连接 OD， DN 为O 的切线， ODMABC90， 在 RtBOM 与 RtDOM 中， RtBOMRtDOM（HL）， BMDM，DOMBOM， C， BOMC， OMAC， BOOC， BMAM， AMDM； （2）解：ODOC1，DN， tanDON， DON60， C30， BC2OC2， ABBC， ABC 的面积为AB BC2； 当四边形 COMD 为平行四边形时，
37、C 的度数为 45， 理由：四边形 COMD 为平行四边形， DNBC， DONNDO90， CDON45， 故答案为：，45 【点评】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，特 殊角的三角函数值，三角形的面积的计算，平行四边形的性质，正确的识别图形是解题 的关键 26已知抛物线 yax2+bx+3 与 x 轴分别交于 A（3，0），B（1，0）两点，与 y 轴交于 点 C （1）求抛物线的表达式及顶点 D 的坐标； （2）点 F 是线段 AD 上一个动点 如图 1，设 k，当 k 为何值时，CFAD？ 如图 2，以 A，F，O 为顶点的三角形是否与ABC 相似？若相
38、似，求出点 F 的坐标； 若不相似，请说明理由 【分析】（1）将 A、B 两点的坐标代入二次函数解析式，用待定系数法即求出抛物线对 应的函数表达式，可求得顶点 D（1，4）； （2）由 A、C、D 三点的坐标求出 AC3，DC，AD2，可得ACD 为 直角三角形，若 CF，则点 F 为 AD 的中点，可求出 k 的值； 由条件可判断DACOCB，则OAFACB，若以 A，F，O 为顶点的三角形与 ABC 相似，可分两种情况考虑：当AOFABC 或AOFCAB45时，可分 别求出点 F 的坐标 解：（1）抛物线 yax2+bx+3 过点 A（3，0），B（1，0）， ，解得：， 抛物线解析式为
39、yx22x+3； yx22x+3（x+1）2+4 顶点 D 的坐标为（1，4）； （2）在 RtAOC 中，OA3，OC3， AC2OA2+OC218， D（1，4），C（0，3），A（3，0）， CD212+122 AD222+4220 AC2+CD2AD2 ACD 为直角三角形，且ACD90 ， F 为 AD 的中点， ， 在 RtACD 中，tanCAD， 在 RtOBC 中，tan， CADOCB， OAOC， OACOCA45， FAOACB， 若以 A，F，O 为顶点的三角形与ABC 相似，则可分两种情况考虑： 当AOFABC 时，AOFCBA， OFBC， 设直线 BC 的解析式
40、为 ykx+b， ，解得：， 直线 BC 的解析式为 y3x+3， 直线 OF 的解析式为 y3x， 设直线 AD 的解析式为 ymx+n， ，解得：， 直线 AD 的解析式为 y2x+6， ，解得：， F（） 当AOFCAB45时，AOFCAB， CAB45， OFAC， 直线 OF 的解析式为 yx， ，解得：， F（2，2） 综合以上可得 F 点的坐标为（）或（2，2） 【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、相似 三角形的判定与性质和直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标 与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题 27如图所示，已知
41、正方形 ABCD 和正方形 AEFG，连接 DG，BE （1）发现：当正方形 AEFG 绕点 A 旋转，如图所示 线段 DG 与 BE 之间的数量关系是 DGBE ； 直线 DG 与直线 BE 之间的位置关系是 DGBE ； （2）探究：如图所示，若四边形 ABCD 与四边形 AEFG 都为矩形，且 AD2AB，AG 2AE 时，上述结论是否成立，并说明理由 （3）应用：在（2）的情况下，连接 BG、DE，若 AE1，AB2，求 BG2+DE2的值（直 接写出结果） 【分析】（1）先判断出ABEDAG，进而得出 BEDG，ABEADG，再利用 等角的余角相等即可得出结论； （2）先利用两边对应
42、成比例夹角相等判断出ABEDAG，得出ABEADG，再 利用等角的余角相等即可得出结论； （3）如图中，作 ETAD 于 T，GHBA 交 BA 的延长线于 H设 ETx，ATy利 用勾股定理，以及相似三角形的性质即可解决问题 解：（1）如图中， 四边形 ABCD 和四边形 AEFG 是正方形， AEAG，ABAD，BADEAG90， BAEDAG， 在ABE 和DAG 中， ， ABEADG（SAS）， BEDG； 如图 2，延长 BE 交 AD 于 T，交 DG 于 H 由知，ABEDAG， ABEADG， ATB+ABE90， ATB+ADG90， ATBDTH， DTH+ADG90，
43、DHB90， BEDG， 故答案为：BEDG，BEDG； （2）数量关系不成立，DG2BE，位置关系成立 如图中，延长 BE 交 AD 于 T，交 DG 于 H 四边形 ABCD 与四边形 AEFG 都为矩形， BADEAG， BAEDAG， AD2AB，AG2AE， ， ABEADG， ABEADG， DG2BE， ATB+ABE90， ATB+ADG90， ATBDTH， DTH+ADG90， DHB90， BEDG； （3）如图中，作 ETAD 于 T，GHBA 交 BA 的延长线于 H设 ETx，ATy AHGATE， 2， GH2x，AH2y， 4x2+4y24， x2+y21， BG2+DE2（2x）2+（2y+2）2+x2+（4y）25x2+5y2+2025 【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的 判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，旋转的性质，判断 出ABEADG 或ABEADG 是解本题的关键
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