1、2020 年中考数学模拟试卷年中考数学模拟试卷 一、选择题 1点 M（1，2）关于原点对称的点的坐标是（ ） A（1，2） B（1，2） C（1，2） D（2，1） 2下列事件属于随机事件的是（ ） A明天的早晨，太阳从东方升起 B13 人中至少有两人同生肖 C抛出一枚骰子，点数为 0 D打开电视机，正在播放广告 3下列运算正确的是（ ） Aa8a4a2 B（a3）2a6 Ca2 a3a6 Da4+a42a8 4在下列立体图形中，三视图中没有圆的是（ ） A B C D 5某校举行“激情五月，唱响青春”为主题的演讲比赛，决赛阶段只剩下甲、乙、丙、丁 四名同学，则甲、乙同学获得前两名的概率是（
2、） A B C D 6“绿水青山就是金山银山”某工程队承接了 60 万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨 季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了 25%，结果提前 30 天完成了这一 任务设原计划每天绿化的面积为 x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ） A B C D 7如图，一只蚂蚁要从圆柱体下底面的 A 点，沿圆柱表面爬到与 A 相对的上底面的 B 点， 圆柱底面直径为 4，母线为 6，则蚂蚁爬行的最短路线长为（ ） A B C4 D6 8 如图， A、 B、 C 是小正方形的顶点， 且每个小正方形的边长为 1， 则 sinBAC 的值为 （ ） A B C D 9抛物线 y
3、ax2+bx+c 的对称轴为直线 x1，图象过（1，0）点，部分图象如图所示， 下列判断：abc0；b24ac0；5a2b+c0；若点（0.5，y1），（2， y2）均在抛物线上，则 y1y2，其中正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 10如图，在平面直角坐标系中，点 A（6，0），点 B（0，8），点 C 在线段 AB 上，点 D 在 y 轴上，将ABO 沿直线 CD 翻折，使点 B 与点 A 重合若点 E 在线段 CD 延长线 上，且 CE5，点 M 在 y 轴上，点 N 在坐标平面内，如果以点 C、E、M、N 为顶点的四 边形是菱形，那么点 N 有（ ） A2 个 B3 个 C4
4、个 D5 个 二、填空题（本题有 6 小题，每题 4 分，满分 24 分，将答案填在答题纸上） 11因式分解：4x29 12数据 2，9，8，4 中最大值与最小值的差是 13如图，D、E 分别是ABC 的边 BC、AB 上的点，AD、CE 相交于点 F，AEEB，BD BC，则 CF：EF 14如图，一次函数 yx2 与 y2x+m 的图象相交于点 P（n，4），则关于 x 的不等 式组的解集为 15 如图， 边长为 2 的正方形 ABCD 的顶点 A 在 y 轴上， 顶点 D 在反比例函数 y （x0） 的图象上，已知点 B 的坐标是（，），则 k 的值为 16如图，直线与 x 轴交于点 A
5、，与 y 轴交于点 B，抛物线 经过 A、B 两点，与 x 轴的另一个交点为 C，点 P 是第一象限抛物线上的点，连结 OP 交直线 AB 于点 Q，设点 P 的横坐为 m，PQ 与 OQ 的比值为 y （1）c ； （2）当 y 取最大值时， 三、解答题：本题有 8 小题，共 66 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17计算： 18如图，在 99 网格中，每个小方格的边长看作单位 1，每个小方格的顶点叫作格点， ABC 的顶点都在格点上 （1）请在网格中画出ABC 的一个位似图形A1B1C，使两个图形以点 C 为位似中心， 且所画图形与ABC 的相似比为 2：1； （2）将A1B
6、1C 绕着点 C 顺时针旋转 90得A2B2C，画出图形，并在如图所示的坐标 系中分别写出A2B2C 三个顶点的坐标 19如图，在不是菱形的平行四边形 ABCD 中，E、F 在对角线 BD 上，在以下三个条件中 再选一个，AE、CF 分别是ABD、BCD 的中线，AE、CF 分别是ABD、BCD 的角平分线，AECF使得四边形 AECF 是平行四边形，并说明理由 20 某中学对本校 2018 届 500 名学生的中考体育测试情况进行调查， 根据男生 1000 米及女 生 800 米测试成绩整理，绘制成不完整的统计图（图，图），请根据统计图提供的 信息，解答下列问题： （1）该校毕业生中男生有
7、人；扇形统计图中 a ；500 名学生中中考体 育测试成绩的中位数是 ； （2）补全条形统计图； （3）从 500 名学生中随机抽取一名学生，这名学生该项成绩在 8 分及 8 分以下的概率是 多少？ 21如图，ABC 内接于O，AB 为直径，点 D 在O 上，过点 D 作O 的切线与 AC 的 延长线交于点 E，点 D 是弧 BC 的中点，连结 AD 交 BC 于点 F （1）求证：DEBC； （2）若 AC2，CF1，求 AB 的长 22 某商场将进价为 2000 元的冰箱以 2400 元售出， 平均每天能售出 8 台， 为了配合国家 “家 电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施调查
8、表明：这种冰箱的售价每降 低 50 元，平均每天就能多售出 4 台 （1）若这种冰箱的售价降低 50 元，每天的利润是 元； （2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利 4800 元，同时又要使百姓得到更多的实惠， 每台冰箱应降价多少元？ （3）每台冰箱降价多少元时利润最高，并求出最高利润 23如图，在四边形 ABCD 中，ABBC5，ADDC8，对角线 BD3+4，点 B 在 y 轴上，BD 与 x 轴平行，点 C 在 x 轴上 （1）求ADC 的度数 （2）点 P 在对角线 BD 上，点 Q 在四边形 ABCD 内且在点 P 的右边，连接 AP、PQ、 QC，已知 APAQ，APQ60，设 B
9、Pm 求 CQ 的长（用含 m 的代数式表示）； 若某一反比例函数图象同时经过点 A、Q，求 m 的值 24如图，在平面直角坐标系中，已知点 A 的坐标为（2，4），直线 x2 与 x 轴相交于点 B，连结 OA，抛物线 C：yx2沿射线 OA 方向平移得到抛物线 C，抛物线 C与直线 x2 交于点 P，设抛物线 C的顶点 M 的横坐标为 m （1）求抛物线 C的解析式（用含 m 的式子表示）； （2）连结 OP，当 tan（OABAOP）时，求点 P 的坐标； （3）点 Q 为 y 轴上的动点，以 P 为直角顶点的MQP 与OAB 相似，求 m 的值 参考答案 一、选择题：本大题共 10 个
10、小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1点 M（1，2）关于原点对称的点的坐标是（ ） A（1，2） B（1，2） C（1，2） D（2，1） 【分析】 根据 “平面直角坐标系中任意一点 P （x， y） ， 关于原点的对称点是 （x， y） ， 即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答 解：根据关于原点对称的点的坐标的特点， 则点（1，2）关于原点过对称的点的坐标是（1，2） 故选：A 【点评】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，比较简单 2下列事件属于随机事件的是（ ） A明天的早晨，太阳从东方升起 B13 人中至少有两人
11、同生肖 C抛出一枚骰子，点数为 0 D打开电视机，正在播放广告 【分析】直接利用随机事件以及必然事件、不可能事件的定义分析得出答案 解：A、明天的早晨，太阳从东方升起，是必然事件，不合题意； B、13 人中至少有两人同生肖，是必然事件，不合题意； C、抛出一枚骰子，点数为 0，是不可能事件，不合题意； D、打开电视机，正在播放广告，是随机事件，符合题意 故选：D 【点评】此题主要考查了随机事件，正确掌握相关定义是解题关键 3下列运算正确的是（ ） Aa8a4a2 B（a3）2a6 Ca2 a3a6 Da4+a42a8 【分析】分别根据同底数幂的除法、幂的乘方、同底数幂的乘法法则以及合并同类项等
12、 运算，然后选择正确选项 解：A、a8a4a4，原式计算错误，故本选项错误； B、（a3）2a6，原式计算正确，故本选项正确； C、a2 a3a5，原式计算错误，故本选项错误； D、a4+a42a4，原式计算错误，故本选项错误 故选：B 【点评】本题考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法等知识，掌握运算法则是 解答本题的关键 4在下列立体图形中，三视图中没有圆的是（ ） A B C D 【分析】根据三视图的概念求解 解：A、主视图、左视图是矩形，俯视图是圆，故 A 不符合题意； B、主视图、左视图都是三角形，俯视图是圆，故 B 不符合题意； C、主视图、左视图、俯视图都是正方形，故 C 符
13、合题意； D、主视图、左视图、俯视图都是圆，故 D 不符合题意 故选：C 【点评】本题考查了简单几何体的三视图，从正面看得到的视图是主视图，从左边看得 到的视图是左视图，从上面看得到的视图是俯视图 5某校举行“激情五月，唱响青春”为主题的演讲比赛，决赛阶段只剩下甲、乙、丙、丁 四名同学，则甲、乙同学获得前两名的概率是（ ） A B C D 【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率 公式即可求出该事件的概率 解：画树状图得： 一共有 12 种等可能的结果，甲、乙同学获得前两名的有 2 种情况， 甲、乙同学获得前两名的概率是； 故选：D 【点评】本题考查的是用列
14、表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复 不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件用到的知识点为：概率所求 情况数与总情况数之比 6“绿水青山就是金山银山”某工程队承接了 60 万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨 季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了 25%，结果提前 30 天完成了这一 任务设原计划每天绿化的面积为 x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ） A B C D 【分析】设原计划每天绿化的面积为 x 万平方米，根据工作时间工作总量工作效率 结合提前 30 天完成任务，即可得出关于 x 的分式方程 解：设原计划每天绿化的面积为 x 万平方米，则实际工
15、作每天绿化的面积为（1+25%）x 万平方米， 依题意得： 故选：A 【点评】考查了由实际问题抽象出分式方程找到关键描述语，找到合适的等量关系是 解决问题的关键 7如图，一只蚂蚁要从圆柱体下底面的 A 点，沿圆柱表面爬到与 A 相对的上底面的 B 点， 圆柱底面直径为 4，母线为 6，则蚂蚁爬行的最短路线长为（ ） A B C4 D6 【分析】要求最短路线，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，再利用勾 股定理来求 解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点 A，B 的最短距离为线段 AB 的长， BC6，AC 为底面半圆弧长，AC2， 所以 AB 故选：A 【点评】此题主要考查了平面展开
16、图的最短路径问题，本题的关键是要明确，要求两点 间的最短线段，就要把这两点放到一个平面内，即把圆柱的侧面展开再计算 8 如图， A、 B、 C 是小正方形的顶点， 且每个小正方形的边长为 1， 则 sinBAC 的值为 （ ） A B C D 【分析】过 B 作 BHAC 于 H，根据三角形的面积公式得到 BH，根据三角函数的定义 即可得到结论 解：过 B 作 BHAC 于 H， SABCBC AD AC BH， BH， sinBAC， 故选：B 【点评】本题考查了解直角三角形，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线构造直角 三角形是解题的关键 9抛物线 yax2+bx+c 的对称轴为直线 x1
17、，图象过（1，0）点，部分图象如图所示， 下列判断：abc0；b24ac0；5a2b+c0；若点（0.5，y1），（2， y2）均在抛物线上，则 y1y2，其中正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案 解：抛物线对称轴 x1，经过（1，0）， 1，a+b+c0， b2a，c3a， a0， b0，c0， abc0，故错误，不符合题意； 抛物线与 x 轴有交点， b24ac0，故正确，符合题意； 5a2b+c5a4a3a2a0，故正确，符合题意； 点（0.5，y1），（2，y2）均在抛物线上， 0.52，则 y1y2；故错误，不符合题意； 故选
18、：B 【点评】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是 灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 10如图，在平面直角坐标系中，点 A（6，0），点 B（0，8），点 C 在线段 AB 上，点 D 在 y 轴上，将ABO 沿直线 CD 翻折，使点 B 与点 A 重合若点 E 在线段 CD 延长线 上，且 CE5，点 M 在 y 轴上，点 N 在坐标平面内，如果以点 C、E、M、N 为顶点的四 边形是菱形，那么点 N 有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【分析】分别以 EC 为边，EC 为对角线讨论可知满足条件的菱形 解：如图中，分别以 EC 为边，E
19、C 为对角线讨论可知满足条件的菱形有 5 个 故选：D 【点评】考查了菱形的判定，坐标与图形变化对称，注意解题过程中“数形结合”数 学思想的应用 二、填空题（本题有 6 小题，每题 4 分，满分 24 分，将答案填在答题纸上） 11因式分解：4x29 （2x+3）（2x3） 【分析】利用平方差进行分解即可 解：原式（2x+3）（2x3）， 故答案为：（2x+3）（2x3） 【点评】此题主要考查了因式分解，关键是掌握平方差公式：a2b2（a+b） （ab） 12数据 2，9，8，4 中最大值与最小值的差是 7 【分析】先从数据中找出最大的数和最小的数，然后用最大的数减去最小的数即可 解：在数据
20、2，9，8，4 中，最大的数是 9，最小的数是 2， 所以最大值与最小值的差是：927 故答案为：7 【点评】本题考查有理数大小比较，属于基础题型 13如图，D、E 分别是ABC 的边 BC、AB 上的点，AD、CE 相交于点 F，AEEB，BD BC，则 CF：EF 12 【分析】作 EHBC，根据AEHABD，得到，证明CFDEFH， 根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可 解：作 EHBC 交 AD 于 H， 则AEHABD， ， BDBC， CD2BD， ， EHBC， CFDEFH， 12，即 CF：EF12， 故答案为：12 【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握作辅助
21、线构造相似三角形的一般 方法是解题的关键 14如图，一次函数 yx2 与 y2x+m 的图象相交于点 P（n，4），则关于 x 的不等 式组的解集为 2x2 【分析】先将点 P（n，4）代入 yx2，求出 n 的值，再找出直线 y2x+m 落在 y x2 的下方且都在 x 轴下方的部分对应的自变量的取值范围即可 解：一次函数 yx2 的图象过点 P（n，4）， 4n2，解得 n2， P（2，4）， 又yx2 与 x 轴的交点是（2，0）， 关于 x 的不等式组的解集为：2x2 故答案为：2x2 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确确 定出 n 的值，是解答
22、本题的关键 15 如图， 边长为 2 的正方形 ABCD 的顶点 A 在 y 轴上， 顶点 D 在反比例函数 y （x0） 的图象上，已知点 B 的坐标是（，），则 k 的值为 8 【分析】过点 B 作 BEy 轴于 E，过点 D 作 DFy 轴于 F，根据正方形的性质可得 AB AD， BAD90， 再根据同角的余角相等求出BAEADF， 然后利用 “角角边” 证明ABE 和DAF 全等，根据全等三角形对应边相等可得 AFBE，DFAE，再求出 OF， 然后写出点D的坐标， 再把点D的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出k的值 解：如图，过点 B 作 BEy 轴于 E，过点 D 作 DFy
23、轴于 F， 在正方形 ABCD 中，ABAD，BAD90， BAE+DAF90， DAF+ADF90， BAEADF， 在ABE 和DAF 中， ， ABEDAF（AAS）， AFBE，DFAE， 正方形的边长为 2，B（，）， BE，AE， OFOE+AE+AF+5， 点 D 的坐标为（，5）， 顶点 D 在反比例函数 y（x0）的图象上， kxy58 故答案为：8 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的 坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键 16如图，直线与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，抛物线 经过 A、B 两点，与 x 轴的另一个交
24、点为 C，点 P 是第一象限抛物线上的点，连结 OP 交直线 AB 于点 Q，设点 P 的横坐为 m，PQ 与 OQ 的比值为 y （1）c 3 ； （2）当 y 取最大值时， 【分析】（1）对于，令 x0，则 y3，则点 B（0，3），即可求解； （2）y，求出点 P（2，3），得到直线 PBOA；再利用面积公式即可求解 解：（1）对于， 令 x0，则 y3，令 y0，则 x4， 故点 A、B 的坐标分别为：（4，0）、（0，3）； 点 B（0，3）， c3， 故答案为 3； （2）c3，则抛物线的表达式为 yx2+x+3， 过点 P 作 PHy 轴交 AB 于点 H， 设点 P（m，m2+
25、m+3），则点 H（m，m+3）， PHy 轴，则 y， 整理得：ym2+m， 0，故 y 有最大值，此时 m2， 故点 P（2，3）； 而点 B（0，3），即点 P、B 的纵坐标相同，故直线 PBOA， 设直线 OP 的表达式为：ykx，将点 P 坐标代入上式并解得：k， 则直线 OP 的表达式为：yx， 联立并解得：x，y2， 即点 Q（，2）， 故 yQ2，则BPQ 的高为 321， ， 故答案为 【点评】本题考查的是抛物线与 x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，涉及 到平行线分线段成比例、三角形面积计算，有一定的综合性，难度适中 三、解答题：本题有 8 小题，共 66 分.解
26、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17计算： 【分析】 首先根据负整数指数幂： ap（a0， p 为正整数） ， 特殊角的三角函数值、 二次根式的性质和绝对值的性质进行计算，然后再算加减即可 解：原式+42（3）， +22+3， 3 【点评】此题主要考查了实数运算，关键是熟练掌握负整数指数幂、特殊角的三角函数 值、二次根式、绝对值等考点的运算 18如图，在 99 网格中，每个小方格的边长看作单位 1，每个小方格的顶点叫作格点， ABC 的顶点都在格点上 （1）请在网格中画出ABC 的一个位似图形A1B1C，使两个图形以点 C 为位似中心， 且所画图形与ABC 的相似比为 2：1； （2）
27、将A1B1C 绕着点 C 顺时针旋转 90得A2B2C，画出图形，并在如图所示的坐标 系中分别写出A2B2C 三个顶点的坐标 【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案 解：（1）如图所示； （2）如图所示：A2B2C 的三个顶点的坐标分别为：A2（7，1），B2（7，5），C（3， 3） 【点评】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置解题关键 19如图，在不是菱形的平行四边形 ABCD 中，E、F 在对角线 BD 上，在以下三个条件中 再选一个，AE、CF 分别是ABD、BCD 的中线，AE、CF 分别
28、是ABD、BCD 的角平分线，AECF使得四边形 AECF 是平行四边形，并说明理由 【分析】由“ASA”可证ABECDF，可得 AECF，AEBCFD，可证 AE CF，可证四边形 AECF 是平行四边形 解：当 AE、CF 分别是ABD、BCD 的角平分线，使得四边形 AECF 是平行四边形， 理由如下： 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD，BADBCD， ABDCDB， AE、CF 分别是ABD、BCD 的角平分线， BAEDAEBCEDCE， ABECDF，ABCD，BAEDCF， ABECDF（ASA） AECF，AEBCFD， AEFCFE， AECF，且 AEC
29、F， 四边形 AECF 是平行四边形 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明ABE CDF 是本题的关键 20 某中学对本校 2018 届 500 名学生的中考体育测试情况进行调查， 根据男生 1000 米及女 生 800 米测试成绩整理，绘制成不完整的统计图（图，图），请根据统计图提供的 信息，解答下列问题： （1）该校毕业生中男生有 300 人；扇形统计图中 a 12 ；500 名学生中中考体育 测试成绩的中位数是 10 分 ； （2）补全条形统计图； （3）从 500 名学生中随机抽取一名学生，这名学生该项成绩在 8 分及 8 分以下的概率是 多少？ 【分
30、析】（1）男生人数为 20+40+60+180300；8 分对应百分数用 8 分的总人数500； （2）8 分以下总人数50010%50，其中女生5020，10 分总人数50062% 310，其中女生人数310180130，进而补全直方图； （3）可利用样本的百分数去估计总体的概率，即可求出答案 【解答】解 （1）如图，男生人数为 20+40+60+180300，8 分对应百分数为（40+20） 50012%，500 名学生中中考体育测试成绩的中位数是 10 分 故答案为：300，12，10； （2）补图如图所示： （3） 500 名学生中随机抽取一名学生， 这名学生该项成绩在 8 分及 8
31、分以下的概率是 【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用以及概率的知识读懂统计图，从统计图 中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据 21如图，ABC 内接于O，AB 为直径，点 D 在O 上，过点 D 作O 的切线与 AC 的 延长线交于点 E，点 D 是弧 BC 的中点，连结 AD 交 BC 于点 F （1）求证：DEBC； （2）若 AC2，CF1，求 AB 的长 【分析】（1）如图，连接 OD证明 DEOD，BCOD 即可解决问题 （2）连接 BD证明ACFADBBDF，可得2，设 DFm，则 BD2m，AD4m，构建方程求出 m 即可解决问题 【解答】（
32、1）证明：如图，连接 OD DE 是O 的切线， DEOD， ， ODBC， DEBC （2）解：连接 BD ， CADDABDBF， AB 是直径， ACFADB90， ACFADBBDF， 2， 设 DFm，则 BD2m，AD4m， AF， DFADAF， m4m， m， BD，AD， AB 【点评】本题考查切线的性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关 键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 22 某商场将进价为 2000 元的冰箱以 2400 元售出， 平均每天能售出 8 台， 为了配合国家 “家 电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施调查表明：这种冰箱的售价每降
33、 低 50 元，平均每天就能多售出 4 台 （1）若这种冰箱的售价降低 50 元，每天的利润是 4200 元； （2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利 4800 元，同时又要使百姓得到更多的实惠， 每台冰箱应降价多少元？ （3）每台冰箱降价多少元时利润最高，并求出最高利润 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）每一台冰箱的利润每天售出的台数每天盈利，设出每台冰箱应降价 x 元，列方 程解答即可； （3）设每台冰箱降价为 x 元，商场每天销售这种冰箱的利润为 y 元，根据题意易求 y 与 x 之间的函数表达式利用二次函数的性质可求出 y 的最大值 解：（1）根据题意，得（8+4）（2400
34、502000）4200 元， 故答案为：4200； （2）设出每台冰箱应降价 x 元，由题意得： （24002000x）（8+4）4800， x2+24x+32004800 整理，得 x2300x+200000， 解这个方程，得 x1100，x2200， 要使百姓得到实惠，取 x200 元， 每台冰箱应降价 200 元； （3）设每台冰箱降价为 x 元，商场每天销售这种冰箱的利润为 y 元， 根据题意，得 y（24002000x）（8+4）， 即 yx2+24x+3200（x150）2+5000， 当 x150 时， y最大值5000（元） 所以，每台冰箱的售价降价 150 元，售价 2250
35、 元时，商场的利润最大，最大利润是 5000 元 【点评】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值，列出关系式并整理成顶点式形 式是解题的关键 23如图，在四边形 ABCD 中，ABBC5，ADDC8，对角线 BD3+4，点 B 在 y 轴上，BD 与 x 轴平行，点 C 在 x 轴上 （1）求ADC 的度数 （2）点 P 在对角线 BD 上，点 Q 在四边形 ABCD 内且在点 P 的右边，连接 AP、PQ、 QC，已知 APAQ，APQ60，设 BPm 求 CQ 的长（用含 m 的代数式表示）； 若某一反比例函数图象同时经过点 A、Q，求 m 的值 【分析】（1）证明ABDCBD（SSS）
36、，得到 BD 是 AC 的中垂线，AH2AB2BH2 AD2DH2，即 82x252（3+4 x）2，即可求解； （2）证明ACPADQ（SAS）、ACQDCQ（SSS）、AKQQHP（AAS） 得到 QKPH，即可求解； 证明QCR60，则 QMCQsinQCMCQ，CMCQ，故点 Q（3+CQ， CQ），即可求解 解：（1）连接 AC 交 BD 于点 H， ABBC，ADDC，BDBD， ABDCBD（SSS）， ABDCBD， BH 是等腰三角形 ABC 的高，即 BHAC， 即 BD 是 AC 的中垂线， 设 HDx，则 BH4+3x， AH2AB2BH2AD2DH2， 即 82x25
37、2（3+4 x）2， 解得：x， cosADB，故ADB30 BD 是 AC 的中垂线，则ADB30CDB， 故ADC2ADB60； （2）连接 AQ、QD、PC， APQ60，APAQ， APQ 为等边三角形，故PAQ60PAC+HAQ， 同理ACD 是边长为 8 的等边三角形，CAD60HAQ+QAD， PACQAD， 而 APAQ，ADAC， ACPADQ（SAS）， BD 是 AC 的中垂线，故 PAPC，则ACP 为等腰三角形， AQD 也为等腰三角形， 即 AQQD，而 ACCD（ACD 为等边三角形），CQCQ， ACQDCQ（SSS）， 故ACQDCQ，在CAD 中，延长 CQ
38、 交 AD 于点 K， ACCD，则 CKAD， AKQ90 AKQ90AHP，QAKPAH，PAAQ， AKQQHP（AAS）， QKPH， 过点 D 作 DRx 轴交于点 R， BDx 轴，故BDCDCR30， DRCD84CHOB，而 BC5，故 OC3BH， 故点 C（3，0）， PHBHBP3mQK， 在等边三角形 ACD 中，AD 边上的高 CKCDsinCDA8sin604， 则 CQCKQK43+m； 过点 Q 分别作 x、y 轴的垂线，垂足为 M、N， AK 是等边三角形 CDA 的高，则KCD30，而DCR30， 故QCR60， QMCQsinQCMCQsin60CQ，CM
39、CQ， 故点 Q（3+CQ，CQ）， 点 C（3，0），CH4，故点 A（3，8）， 反比例函数图象同时经过点 A、Q， 则 38（3+CQ）CQ，而 CQ4 3+m， 即m2+24m+39960， 解得：m4（不合题意值已舍去） 【点评】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形全等、解 直角三角形等，综合性很强，难度大 24如图，在平面直角坐标系中，已知点 A 的坐标为（2，4），直线 x2 与 x 轴相交于点 B，连结 OA，抛物线 C：yx2沿射线 OA 方向平移得到抛物线 C，抛物线 C与直线 x2 交于点 P，设抛物线 C的顶点 M 的横坐标为 m （1）求抛物线
40、 C的解析式（用含 m 的式子表示）； （2）连结 OP，当 tan（OABAOP）时，求点 P 的坐标； （3）点 Q 为 y 轴上的动点，以 P 为直角顶点的MQP 与OAB 相似，求 m 的值 【分析】（1）设点 M（m，2m），根据平移法则即可求解； （2）用两种方法表示出三角形的面积，即 SOAHSOBHSOBA OH h，SAOPS OABSOBP OPh，利用两个三角形高相同，进而求解； （3）MQP 与OAB 相似，则；PGQMNP，则， 即可求解 解：（1）设直线 OA 的解析式为 ykx，将点 A（2，4）代入 ykx 中，得 2k4，k 2， 直线 OA 的解析式为 y2
41、x， 点 M 在射线 OA 上，且点 M 的横坐标为 m， 点 M（m，2m）， 抛物线 C是抛物线 C：yx2平移所得， 抛物线 C的解析式为 y（xm）2+2m； （2）如图 1，连接 OP，过点 O 作直线 OH 交 BA 的延长线于点 H，使HOAAOP， OHAOABHOAOABAOP， 则 tanOHA，则 sinOHA， 在 RtOBH 中，OH， HOAAOP， 点 A 到 OH 的距离等于点 A 到 OP 的距离，设这个距离为 h， 设点 P 的坐标为（2，t），则 OP， 则 SOAHSOBHSOBA 242t OH hh， 解得：h， 同理 SAOPSOABSOBP 24
42、2tOPh， 整理得：24t2202t+3990， 解得：t或（舍去）， 故点 P 的坐标为：（2，）； （3）如图 2，MQP 与OAB 相似， ，即； 由（1）知：抛物线 C的解析式为 y（xm）2+2m，点 M（m，2m）， 当 x2 时，y（xm）2+2mm22m+4， 故点 P（2，m22m+4）， 过点 Q 作 QGAB 交 BA 的延长线于点 G，作 MNAB 于点 N， 则 GQOB2，PN（m22m+4）2mm24m+4； MPN+PMN90，MPN+QPG90， QPGPMN，而PGQMNP90， PGQMNP， ，即， 解得：m0 或 1 或 3 或 4（舍去 0）， 故 m1 或 3 或 4 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形相似、图形 的平移、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏
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