1、绝密启用前 20202020 年年新课标全国卷新课标全国卷高考数学高考数学( (理科理科) )精优预测卷（一）精优预测卷（一） 学校：_姓名：_班级：_考号：_ 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在 答题卡上 一、选择题 1.已知集合 2 |40, | 11BxAxxxx ，则AB( ) A 1,1 B1,4 C0,1 D0,4 2.命题“对任意Rx,都有 2 0x ”,的否定为（ ） A.对任意Rx,都有 2 0x B.不存在Rx,使得 2 0x C.存在 0 Rx ,使得 2 0 0x D.存在 0 Rx ,使得 2 0 0x 3.已知复数 3i
2、12i z ，则 z 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.执行如图的程序框图，输出的 c的值为( ) A.5 B.4 C.-5 D.-4 5.已知底面边长为 2 的正四棱锥SABCD的各顶点均在球 O的表面上，若球 O 的表面积为 25 2 ， 则该正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为( ) A.1 B.2 C.2或 1 2 D. 2 6.图1是某宾馆地毯上的图案,它是一个轴对称图形.可从中抽象出一个正八边形,且在该正八边形中 有一个边长和该正八边形的边长相等的正方形,如图2所示.若向图2的正八边形中任意地投掷一个点, 则该点落在正方形内的
3、概率是( ) A. 32 7 B. 21 2 C. 21 3 D. 42 14 7.已知函数 cos2f xx ，将函数 sin2g xx 的图象向右平移 0m m 个单位长度后得到的函数 图象与 f x的图象重合，则 m的最小值为( ) A. 4 B. 2 C. 3 4 D. 8.记 n S为等比数列 n a的前 n项和，若 2 3 8 9 a a ， 5 16 3 a ，则（ ） A 2 3 n n a B 1 3n n a C 31 2 n n S D 21 3 n n S 9.已知函数 yf x 是定义域为 R的偶函数，当0x 时， 2 21,01 26,1 x x f x xxx 若
4、关于 x 的方程 2 0()f xaf xba b R,有且仅有 8 个不同的实数根，则实数 a的取值范围为( ) A.(4 )9 , B.( 94), C.4,9 D.94, 10.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积 是 28 3 ,则它的表面积是( ) A.17 B.18 C.20 D.28 11.已知点0,2R，曲线 2 4 :0C ypxp，直线ym (0m 且2m )与曲线 C 交于,M N两点， 若RMN周长 的最小值为 2，则 p 的值为( ) A.8 B.6 C.4 D.2 12.已知函数 32 1 1 3 ( 1)f xxa
5、xaxa在 1212 ,x xxx 处的导数相等，则不等式 12 f xxm 恒成立时 m的取值范围为( ) A., 1 B.,0 C.,1 D. 4 , 3 二、填空题 13.设向量,1 ,1,2amb ,且 22 2 abab,则m_. 14.有三张卡片，分别写有 1 和 2，1 和 3，2 和 3甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡 片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数 字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是_. 15.已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点分
6、别为 12 ,F F过 1 F的直线与C的两条渐 近线分别交于,A B两点若 1 FAAB， 12 0FB F B，则C的离心率为_ 16.若x y , 满足约束条件 210 50 1 xy xy y ，则 22 44zxxy 的取值范围是 . 三、解答题 17.在ABC中，内角A B C , ,所对的边分别为a b c, ,，若 222 222 2 acbc abcac (1)求 B. (2)若1b ，求 ABC面积的最大值. 18.如图,在四棱锥PABCD中, /ABCD,且90BAPCDP. (1)证明:平面PAB 平面PAD; (2)若PAPDABDC,90APD,求二面角A PB C
7、的余弦值. 19.焦点在 x 轴上的椭圆 22 22 :1 xy C ab 经过点 2, 2 ，椭圆 C 的离心率为 2 2 1 F ， 2 F 是椭圆的左、 右焦点，P为椭圆上任意点 （1）求椭圆的标准方程； （2）若点 M为 2 OF的中点（O为坐标原点），过 M且平行于 OP的直线 l 交椭圆 C 于 A，B两点，是否存在实数，使得 2 |OPMAMB；若存在，请求出的值，若不 存在，请说明理由 20.某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放单车的 乙市进行单车使用情况调查调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶 段在随机问卷阶段，, A B两个调
8、查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶 段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对 15至 45 岁的人群，按比例随机抽取了 300份，进 行了数据统计，具体情况如下表： （1）先用分层抽样的方法从上述 300 人中按“年龄是否达到 35 岁”抽出一个容量为 60 人的样本， 再用分层抽样的方法将“年龄达到 35 岁”的被抽个体数分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单 车”中去 求这 60 人中“年龄达到 35 岁且偶尔使用单车”的人数； 为听取对发展共享单车的建议，调查组专门组织所抽取的“年龄达到 35 岁且偶尔使用单车”的 人员召开座谈会会后共有 3 份礼品赠送给其中 3 人
9、，每人 1 份（其余人员仅赠送骑行优惠 券）已知参加座谈会的人员中有且只有 4 人来自 A 组，求 A 组这 4 人中得到礼品的人数 X 的分 布列和数学期望； （2）从统计数据可直观得出“是否经常使用共享单车与年龄（记作 m 岁）有关”的结论在用独 立性检验的方法说明该结论成立时，为使犯错误的概率尽可能小，年龄 m应取 25 还是 35？请通过 比较 2 K 的观测值的大小加以说明 参考公式： 2 2 n adbc K abcdacbd （ ） （ ）（ ）（ ）（ ） ，其中nabcd 21.已知函数 e ( ) x f x x ,( )2(ln )g xxx. (1)当0x 时,证明(
10、)( )f xg x; (2)已知点( ,e ) x P x,点( sin ,cos )Qxx,设函数( )h xOP OQ(O 为坐标原点）,当 , 2 2 x 时,试判断 ( )h x的零点个数. 22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A的极 坐标为2, 4 ，直线l的极坐标方程为cos 4 a ，且l过点A，曲线 1 C的参数方程为 2cos 3sin x y （为参数）. (1).求曲线 1 C上的点到直线l的距离的最大值； (2).过点1,1B 与直线l平行的直线 1 l与曲线 1 C交于,M N两点，求BMBN的值 23.设函数 11f x
11、axxx R （1）当1a 时，求不等式 2f x 的解集； （2）对任意实数2,3x，都有 23f xx成立，求实数 a的取值范围 参考答案 1.答案：B 解析：集合 2 | 1 |40014 ,BxAxxxxxx ， 141,4BxxA . 故选：B. 2.答案：D 解析：全称命题的否定是特称命题“对任意Rx,都有 2 0x ”的否定为“存在 0 Rx ,都有 2 0 0x ”, 故选 D. 3.答案：A 解析：由题意知， 3i 12i17 i 12i 12i55 z ，则在复平面内对应的点为 1 7 , 5 5 ，位于第一象限， 故选 A. 4.答案：D 解析：第一次执行，4542cab
12、k,；第二次执行，1413cabk,； 第三次执行，5154cabk,；第四次执行，4545cabk,； 第五次执行，1416cabk,；第六次执行，5157cabk,； 第七次执行，454,8cabk,；故该循环具有周期性，且周期为 6，则输出的 c的值为4. 故选 D. 5.答案：C 解析：设球 O 的半径为 R，则 2 25 4 2 R ，得 5 2 4 R . 连接AC BD,，记ACBDH，连接SH，则SH 平面ABCD， 点 O 在直线SH上，设SHh，则 5 2 4 OHh. 连接OC，在RtOHC中，易知2HC ， 由勾股定理可知 22 5 25 2 2 44 h ，解得 2
13、2h 或 2 2 h ， 所以该正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为 2或 1 2 . 6.答案：B 解析：如图所示，设ABa，连接CF,根据题意可知90 ,45CEFCFE , 2 a EF ，则 2 2 CFa.正八边形的面积为 2222 12 422 2 222 a aaaaa . 故所求的概率是 2 22 121 222 222 2 a aa . 7.答案：C 解析： sin2cos 2 2 g xxx ， g x的图象向右平移 m个单位长度后， 所得图象的函数解析式为 cos 2 2 yxm cos 22 2 xm . cos2f xxQ的图象与 cos 22 2 yxm 的图象重合
14、， 22 2 mkkZ， ， , 4 mkk Z， 又0m ，当1k 时，m取得最小值，且 min 3 4 m ，故选 C 8.答案：D 解析：设公比为 q，有 23 1 4 1 8 , 9 16 , 3 a q a q 解得 1 1 , 3 2, a q 则 1 (12 ) 21 3 123 n n n S 9.答案：B 解析：作出函数 f x的大致图像，如图. 由图可知， f x在( ) 1 , 和(0 ) 1 ,上单调递增，在( 10) , 和(1 ), 上单调递减. 当1x 时，函数 f x有极大值 113ff， 当0x 时，函数 f x有极小值 02f. 要使关于 x 的方程 2 0
15、f xaf xb 有且仅有 8个不同的实数根， 设 tf x，则关于 t的方程 2 0tatb有两个不同的实数根1 2 t t ,， 满足 1 )3(2t ,， 2 )3(2t ,， 12 )49(att ,，9,()4a .故选 B. 10.答案：A 解析：由三视图知，该几何体的直观图如图所示： 是一个球被切掉左上角的 1 8 ,即该几何体是 7 8 个球，设球的半径为 R，则 3 7428 R 833 V ，解得 R2，所以它的表面积是 7 8 的球面面积和三个扇形面积之和,即 22 73 42217 84 ，故选 A 11.答案：B 解析：易知曲线 C 是由两抛物线 2 ypx和 2 y
16、px构成，如图，设MN与 y 轴的交点为 D，抛 物线 2 ypx的焦点为 F, 连接,FM FR.即，则,0 4 p F ,RMN的周长 222 44 pp cMRMDMRMFRF ,当且仅当 M,R,F 三点共线时取等号，故 2 242 42 pp ,所以6p . 12.答案：C 解析：由题得 2 2f xxaxa.由函数 f x在 1 x， 122 ()xxx 处的导数相等，得 12 2xxa. 12 f xxmQ 恒成立，( 2) 1mfa a 恒成立. 令 2g afa 321 2221 3 aaaaa 32 4 21) 1 3 (aaa ， 则 2 4441g aaaa a. 当
17、)0(a , 时， 0g a ；当 ) 1(0a,时， 0g a. g a在()0,上单调递减，在(0 ) 1 ,上单调递增， min 01g ag， min1mg a.故选 C. 13.答案：-2 解析：由 22 2 abab,得a b ,所以1 1 20m ,解得2m. 14.答案：1 和 3 解析：丙说他的卡片上的数字之和不是 5，所以丙的卡片上的数字要么是 1和 2，要么是 1 和 3.又 乙说他与丙的卡片上相同数字不是 1，所以卡片 2和 3必定在乙手里.因为甲与乙的卡片上相同的数 字不是 2，所以甲的卡片上的数字只能是 1和 3. 15.答案：2 解析：如图， 由 1 ,FAAB得
18、 1 .F AAB又 12, OFOF 得OA是三角形 12 FF B的中位线，即 22 / /,2.BFOA BFOA 由 12 0FB F B， 得 121 ,FBF B OAF A则 12, OBOFOF 有 2211 22,OBFBFOOBFOFB 1 AOBAOF又OA与OB都是渐近线，得 21, BOFAOF则 2 60BOF又渐近线OB的斜率为tan603 b a ， 所以该双曲线的离心率为 22 1 ( )1 ( 3)2 cb e aa 16.答案： 1,9 解析：画出不等式组 210 50 1 xy xy y ，所表示的平面区域，如图中阴影部分. 由 210 50 xy xy
19、 ，得 3(2 )A ,.由 210 1 xy y ，得 1(1 )B ,.由 50 1 xy y ，得 1(4 )C,. 将 22 44zxxy 化成 2 2 2zxy. 设点 0(2 )D, ，过点 D 作DEBC于点 E，则当以点 0(2 )D, 为圆心的圆 经过点 A 时，z 取得最大值， 2 2 min 2239z， 经过点 1(2 )E,时，z 取得最小值， 2 2 min 2211z.所以 z 的取值范围为19 , 17.答案：(1)由余弦定理可得， 222 222 2cos 2cos2 acbacBc abCabcac ， 则 cossin cos2sinsin BB CAC
20、， 即 2sincoscossinsincosABBCBC， 所以2sincossinsinABBCA， 因为sin0A，则 2 cos 2 B ，所以 4 B . (2)由余弦定理可知， 222 2cosbacacB， 即 22 12acac，所以 22 1222acacacac， 当且仅当a c 时取等号，则 122 222 ac . 121 sin 24 ABC SacB ，所以ABC面积的最大值为 21 4 . 解析： 18.答案：(1) 90BAPCDP,ABAP,CDPD, /ABCD,ABPD, PDAPP,且AP,PD 平面PAD,AB 平面PAD, PB 平面PAB, 平面P
21、AB平面PAD. (2)取AD中点为O,PAPDCD,PAD为等腰三角形,POAD, POAO,AOAB. 取BC中点H,连接OH,则/OHAx,OAOH, AB 平面PAD,OH 平面PAD,OHOP,OA,OH,OP两两互相垂直. 以O为坐标原点,以OA为x轴, OH为y轴, OP为z轴建立空间直角坐标系, 如图: 0,0,0O,设ABa, 2 ,0,0 2 Aa , 2 , ,0 2 Ba a , 2 , ,0 2 Ca a , 2 0,0, 2 Pa 22 ,0, 22 APa , 22 , , 22 PBa aa , 2 , ,0BCa a , 设平面PAB的法向量为 1111 (
22、,)nx y z,平面PBC的法向量为 2222 (,)nx y z, 则 11 111 22 0, 22 22 0, 22 axaz axayaz 222 2 22 0, 2 2 20, axayaz ax 11 1 , 0, xz y 2 22 0, 2, x yz 1 (1,0,1)n , 2 (0,1, 2)n , 12 12 23 cos 32 3 A BP C n n n n . 显然二面角A BP C为钝角,所以它的余弦值为 3 3 . 解析： 19.答案：（1）由已知可得 22 222 42 1 2 2 ab c e a abc ，解得 2 2a ， 2bc ， 所以椭圆 C
23、的标准方程为22 1 84 xy （2）若直线的斜率不存在时，| | 2OP ， 14 | | 2 MAMB ， 所以 77 |4 28 MA MB ； 当斜率存在时，设直线 l 的方程为 (1)yk x ， 11 ,A x y ， 22 ,B xy 联立直线 l 与椭圆方程 22 (1) 1 84 yk x xy ，消去 y，得 2222 214280kxk xk ， 所以 2 12 2 2 12 2 4 21 28 21 k xx k k x x k 因为 / /OPl，设直线OP的方程为ykx ， 联立直线OP与椭圆方程 22 1 84 ykx xy ，消去 y，得 22 218kx ，
24、解得 2 2 8 21 x k 2222 2 8 |1 21 OPxyk k ， 2 22 111 |111MAxykx ， 同理 2 2 |11MBkx ， 2 12 | |111MAMBkxx ， 因为 121212 2 7 111 21 xxx xxx k ， 2 2 7 | |1 21 MAMBk k ，故 2 7 | 8 OPMAMB ，存在 7 8 满足条件， 综上可得，存在 7 8 满足条件 解析： 20.答案：（1）从 300人中抽取 60人，其中“年龄达到 35 岁的”的有 60 10020 300 人，再将这 20 人用分层抽样法按“是否经常使用单车”进行名额划分，其中“年
25、龄达到 35 岁且偶尔使用单车”的 人数为 45 209 100 A 组这 4 人中得到礼品的人数 X 的可能取值为0,1,2,3，相应概率为： 312 545 33 99 510 0,1 4221 CC C P XP X CC 213 454 33 99 51 2,3 1421 C CC P XP X CC 故其分布列为 X 0 1 2 3 P 5 42 10 21 5 14 1 21 510514 0123 422114213 E X （2）按“年龄是否达到 35 岁”对数据进行整理，得到如下列联表： 经常使用单车 偶尔使用单车 合计 未达到 25 岁 67 33 100 达到 25岁 1
26、13 87 200 合计 180 120 300 可求得 2 K的观测值 2 2 2 30067 87 113 33300 210049 200 100 180 120200 100 180 12016 k 21 kk 欲使犯错误的概率尽可能小，需取25m 解析： 21.答案：(1)令 e ( )( )( )2(ln ) x xf xg xxx x , 则 2 (1)(e2 ) ( ) x xx x x , 令( )e2 (0) x G xx x, 则( )e2(0) x G xx, 易得( )G x在(0,ln2)上单调递减,在(ln2,)上单调递增, ( )(ln2)22ln20G xG,
27、e20 x x在(0,)上恒成立, 可得( )x在(0,1)上单调递减,在(1,)上单调递增, ( )(1)e20x, 当0x 时,( )( )f xg x. (2)点( ,e ) x P x,点( sin ,cos )Qxx, ( )sine cos x h xOP OQxxx , ( )sincose cose sin(e)cos(e1) sin xxxx h xxxxxxxxx. 当 ,0 2 x 时,可知exx,e0 x x, (e)cos0 x xx. 又(e1)sin0 x x, ( )(e)cos(e1)sin0 xx h xxxx, ( )h x在 ,0 2 上单调递增. 又(
28、0)10h , ()0 22 h , ( )h x在 ,0 2 上有一个零点. 当 (0, 4 x时,cossinxx,exx, e cossin x xxx,( )0h x 在 (0, 4 上恒成立, ( )h x在 (0, 4 上无零点. 当 (, 4 2 x时,0cossinxx, ( )e (cossin )( cossin )0 x h xxxxxx, ( )h x在 (, 4 2 上单调递减. 又 ( )0 22 h , 4 2 ( )(e)0 424 h, ( )h x在 (, 4 2 上有一个零点. 综上,( )h x的零点个数为 2. 解析： 22.答案：(1).由直线l过点
29、A可得 2cos 44 a ，故2a 则易得直线 l的直角坐标方程为20xy. 曲线 1 C上的点到直线l的距离 2cos3sin27sin2 22 d ，其中 2 7 sin 7 ， 21 cos 7 故 max 72142 2 22 d (2).由(1)知直线l的倾斜角为 3 4 ，则直线 1 l的参数方程为 3 1cos 4 3 1+ sin 4 xt yt （t为参数）又易知曲线 1 C的普通方程为 22 1 43 xy ， 把直线 1 l的参数方程代入曲线 1 C的普通方程可得 2 7 7 250 2 tt， 1 2 10 7 t t ，依据参数t的几何意义可知 1 2 10 7 B
30、MBNt t 解析： 23.答案：（1）当1a 时， 112f xxx ， 当1x 时，112xx ，即1x ，可得1x ； 当11x 时，1 12xx ，即有x； 当1x 时，12xx ，即1x ，可得1x 综上可得原不等式的解集为 , 11, ； （2）对任意实数 2,3x ，都有 23f xx成立， 即 2,3x ，1123axxx 恒成立， 2,3x，12axx恒成立， 即有12axx 或12axx ， 即为 3 1a x 或 1 1a x 恒成立， 由 3 1 x 在2,3递增，可得最大值为 0，可得0a ； 1 1 x 在2,3递减，可得最小值为 12 1 33 ， 可知0a 或 2 3 a
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