1、如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单 位：分） 已知甲组数据的平均数为 17，乙组数据的中位数为 17，则 x，y 的值分别为（ ） A2，6 B2，7 C3，6 D3，7 4 （5 分）设 Sn为等比数列an的前 n 项和，8a2+a50，则（ ） A11 B8 C5 D11 5 （5 分）已知“x2”是“x2a（aR） ”的充分不必要条件，则 a 的取值范围是（ ） A （，4） B （4，+） C （0，4 D （，4 6 （5 分）一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图可能为（ ） A B 第 2 页（共 24 页） C D 7 （5
2、分）设变量 x、y 满足约束条件，则目标函数 z2x+y 的最小值为（ ） A2 B3 C4 D9 8 （5 分）已知直线 x是函数 f（x）sin（2x+）的图象的一个对称轴，其中 （0， 2） ，且 f（）f（） ，则 f（x）的单调递增区间是（ ） Ak，k（kZ） Bk，k（kZ） Ck，k（kZ） Dk，k（kZ） 9 （5 分）A，B，C，D，E 是半径为 5 的球面上五点，A，B，C，D 四点组成边长为 4的 正方形，则四棱锥 EABCD 体积最大值为（ ） A B256 C D64 10 （5 分）设 a，blog43，clog165，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Abc
3、a Bbac Cabc Dacb 11 （5 分）若双曲线 C：1（a0，b0）的一条渐近线被圆（x2）2+y24 所截得的弦长为 2，则 C 的离心率为（ ） A2 B C D 12 （5 分）已知函数 f（x）exsin（x+） ，x，过点 P（， 0）作函数 f（x）图象的切线，切点坐标为（x1，y1） ， （x2，y2） ， （xn，yn） ，则xi （ ） A49 B50 C51 D101 二二.填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知向量 ， 满足| |1，2，则 第 3 页（共 24 页） 14 （5 分）
4、（）8的展开式中，x 的系数为 15 （5 分）如图所示，在ABC 中，ADDB，F 在线段 CD 上，设 ， ， ，则的最小值为 16 （5 分）设实数 0，若对任意的 x（0，+） ，不等式 ex0 恒成立，则 的 取值范围是 三三.解答题：共解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，每题为必考题，每 个试题考生都必须作答个试题考生都必须作答.第第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）在ABC 中，角 A、
5、B、C 所对的边分别为 a、b、c，角 A、B、C 的度数成等 差数列， （1）若 3sinC4sinA，求 c 的值； （2）求 a+c 的最大值 18 （12 分）某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还 须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目，若 一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否 则，称该学生选考方案待确定例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目， 则学生甲的选考方案确定， “物理、化学和生物”为其选考方案 某学校为了了解高一年级 420 名学生选考科目的意向， 随机选取 3
6、0 名学生进行了一次调 查，统计选考科目人数如下表： 性别 选考方案确定情况 物理 化学 生物 历史 地理 政治 男生 选考方案确定的有 8 人 8 8 4 2 1 1 选考方案待确定的有 6 人 4 3 0 1 0 0 女生 选考方案确定的有 10 人 8 9 6 3 3 1 选考方案待确定的有 6 人 5 4 1 0 0 1 （）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？ 第 4 页（共 24 页） （）假设男生、女生选择选考科目是相互独立的从选考方案确定的 8 位男生随机选 出 1 人，从选考方案确定的 10 位女生中随机选出 1 人，试求该男生和该女生的选考方案 中
7、都含有历史科目的概率； （ ） 从 选 考 方 案 确 定 的8名 男 生 随 机 选 出2名 ， 设 随 机 变 量 求 的分布列及数学期望 E 19 （12 分）如图在四面体 DABC 中，已知 ADBCAC5，ABDC6，sinDAB ，M 为线段 AB 上的动点（不包含端点） （1）证明：ABCD； （2）求二面角 DMCB 的余弦值的取值范围 20 （12 分）已知椭圆 C：9x2+y2m2（m0） ，直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M （1）证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值； （2） 若 l 过点 （
8、， m） ， 延长线段 OM 与 C 交于点 P， 四边形 OAPB 能否为平行四边形？ 若能，求此时 l 的斜率；若不能，说明理由 21 （12 分）设函数 f（x）xlnx+ax（aR） （1）若函数 f（x）有两个不同的极值点，求实数 a 的取值范围； （2）若 a2，kN，g（x）22xx2，且当 x2 时不等式 k（x2）+g（x）f（x） 恒成立，试求 k 的最大值 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一如果多做，则按所做的第一 题计分题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标
9、系与参数方程（10 分）分） 22 （10 分）平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，以原点为极 第 5 页（共 24 页） 点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 （1）写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程； （2）已知与直线 l 平行的直线 l过点 M（2，0） ，且与曲线 C 交于 A，B 两点，试求|MA| |MB| 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数 f（x）|x|+|x1| （1）解不等式 f（x）3； （2）若 f（x）+f（y）2，求 x+y 的取值范围 第 6 页（共 24 页） 20
10、18-2019 学年广西桂林十八中高三（上）第二次月考数学试卷学年广西桂林十八中高三（上）第二次月考数学试卷 （理科）（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1 （5 分）设集合 A1，2，B1，2，3，C2，3，4，则（AB）C（ ） A1，2，3 B1，2，4 C2，3，4 D1，2，3，4 【分析】属于集合简单运算问题此类问题只要审题清晰、做题时按部就班基本上就不 会出错 【解答】解：集合 A1，2，B1，2，3， ABA1，2， 又C2，3，4， （AB）C1，2，3，4 故选：D 【点评】考查的是集合交、并、补的简单基本运算 2 （5 分）复数 z（32
11、i）i 的共轭复数 等于（ ） A23i B2+3i C23i D2+3i 【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简 z，则其共轭可求 【解答】解：z（32i）i2+3i， 故选：C 【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题 3 （5 分）如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单 位：分） 已知甲组数据的平均数为 17，乙组数据的中位数为 17，则 x，y 的值分别为（ ） A2，6 B2，7 C3，6 D3，7 第 7 页（共 24 页） 【分析】根据茎叶图，由甲组数据的平均数求出 x 的值，乙组数据的中位数求出 y 的值 【解答
12、】解：根据茎叶图，知 甲组数据的平均数为17，x3； 乙组数据的中位数为 17，y7； x，y 的值分别为 3，7 故选：D 【点评】本题考查了茎叶图的应用问题，根据茎叶图提供的数据应会求平均数与中位数， 是基础题 4 （5 分）设 Sn为等比数列an的前 n 项和，8a2+a50，则（ ） A11 B8 C5 D11 【分析】 先由等比数列的通项公式求得公比 q， 再利用等比数列的前 n 项和公式求之即可 【解答】解：设公比为 q， 由 8a2+a50，得 8a2+a2q30， 解得 q2， 所以11 故选：A 【点评】本题主要考查等比数列的通项公式与前 n 项和公式 5 （5 分）已知“x
13、2”是“x2a（aR） ”的充分不必要条件，则 a 的取值范围是（ ） A （，4） B （4，+） C （0，4 D （，4 【分析】由 x2 得到 x24，根据充分不必要条件的概念得：a4 【解答】解：由题意知：由 x2 能得到 x2a；而由 x2a 得不出 x2； x2，x24； a4； a 的取值范围是（，4 故选：D 【点评】考查充分不必要条件的概念，不等式两边同时平方得到什么样的不等式，一元 二次不等式的解法 第 8 页（共 24 页） 6 （5 分）一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图可能为（ ） A B C D 【分析】利用三视图的正视图与俯视图，判断几何体的
14、形状，然后推出结果 【解答】解：由几何体的三视图可知，三棱锥的顶点在底面的射影在底面棱上，可知几 何体如图： 侧视图为：D 故选：D 【点评】本题考查三视图的与几何体的关系，考查空间想象能力 7 （5 分）设变量 x、y 满足约束条件，则目标函数 z2x+y 的最小值为（ ） A2 B3 C4 D9 【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再 求出可行域中各交点的坐标， 将各点坐标代入目标函数的解析式， 分析后易得目标函数 Z 第 9 页（共 24 页） 2x+y 的最小值 【解答】解：设变量 x、y 满足约束条件， 在坐标系中画出可行域ABC，A（2，0） ，B（1，
15、1） ，C（3，3） ， 则目标函数 z2x+y 的最小值为 3， 故选：B 【点评】在解决线性规划的问题时，我们常用“交点法” ，其步骤为：由约束条件画出 可行域求出可行域各个交点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最 优解 8 （5 分）已知直线 x是函数 f（x）sin（2x+）的图象的一个对称轴，其中 （0， 2） ，且 f（）f（） ，则 f（x）的单调递增区间是（ ） Ak，k（kZ） Bk，k（kZ） Ck，k（kZ） Dk，k（kZ） 【分析】根据函数的对称性先求出 的值，结合函数单调递增的性质进行判断即可 【解答】解：直线 x是函数 f（x）sin（2x+）的图象的一个对称
16、轴， 2+k+，即 k+， （0，2） ， 当 k0 时，此时 f（x）sin（2x+） ， f（）sin（+）sin，f（）sin（2+）sin，满足 条件 f（）f（） ， 当 k1 时，此时 f（x）sin（2x+） ， 第 10 页（共 24 页） f（）sin（+）sin（2+）sin，f（）sin（2+）sin ， 不满足条件 f（）f（） ， 则 成立，此时 f（x）sin（2x+） ， 由 2k2x+2k+，kZ， 得 kxk+，kZ， 即函数的单调递增区间为k，k（kZ） ， 故选：B 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用的函数的对称性求出 的值是解决 本题的关键
17、9 （5 分）A，B，C，D，E 是半径为 5 的球面上五点，A，B，C，D 四点组成边长为 4的 正方形，则四棱锥 EABCD 体积最大值为（ ） A B256 C D64 【分析】由题意要使四棱锥 EABCD 体积最大，则 E 到正方形 ABCD 的距离最大，则 E 为球心与正方形中心所在直线与球的交点中距离正方形较远的点即为所求 【解答】解：A，B，C，D，E 是半径为 5 的球面上五点，A，B，C，D 四点组成边长 为 4的正方形， 正方形 ABCD 对角线长为：8， 则球心到正方形中心的距离 d3， 则 E 到正方形 ABCD 的最大距离为 hd+58， 四棱锥 EABCD 体积最大
18、值 V 故选：A 【点评】 本题考查球的内接四棱锥的体积， 底面确定的情况下， 若球心到底面的距离为 d， 球半么为 r，则四棱锥的高的取值范围rd，r+d 10 （5 分）设 a，blog43，clog165，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Abca Bbac Cabc Dacb 第 11 页（共 24 页） 【分析】利用指数与对数的运算性质，把 b，c 分别与比较即可得出 【解答】解：a，blog43，clog165 log43， clog165log1616， 则 a，b，c 的大小关系是 bac 故选：B 【点评】本题考查了指数与对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题
19、 11 （5 分）若双曲线 C：1（a0，b0）的一条渐近线被圆（x2）2+y24 所截得的弦长为 2，则 C 的离心率为（ ） A2 B C D 【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心 率即可 【解答】解：双曲线 C：1（a0，b0）的一条渐近线不妨为：bx+ay0， 圆（x2）2+y24 的圆心（2，0） ，半径为：2， 双曲线 C：1（a0，b0）的一条渐近线被圆（x2）2+y24 所截得的弦 长为 2， 可得圆心到直线的距离为：， 解得：1，e1，即 e 故选：D 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的方程的应用，考查计算能力 12 （5 分
20、）已知函数 f（x）exsin（x+） ，x，过点 P（， 第 12 页（共 24 页） 0）作函数 f（x）图象的切线，切点坐标为（x1，y1） ， （x2，y2） ， （xn，yn） ，则xi （ ） A49 B50 C51 D101 【分析】根据题意，设切点的坐标为（m，emsin（m+） ） ；求出函数 f（x）的导数， 由导数的几何意义可得切线的方程，将点 P（，0）代入解析式，可得emsin （m+）2emcosm（m） ，变形可得 tanm2（m） ，结合函数 ytanx 和 函数 y2 （x）的对称性，分析可得切点也关于点 （，0） 对称，在区间， 中共有 100 对，据此分析
21、可得答案 【解答】解：根据题意，设切点的坐标为（m，emsin（m+） ） ； 函数 f（x）exsin（x+） ，其导数 f（x）2excosx，设切点的坐标为（m，emsin （m+） ） ； 则切线的方程为 yemsin（m+）2emcosm（xm） ， 将点 P（，0）代入解析式，可得emsin（m+）2emcosm（m） ， 解可得：tanm2（m） ， 又由函数 ytanx 和函数 y2（x）都关于（，0）对称， 则切点也关于点（，0）对称，在区间，中共有 100 对， 则xi50； 故选：B 【点评】本题考查利用导数分析切线方程，涉及函数的对称性，注意正确计算函数 f（x） 的导
22、数，属于综合题 二二.填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知向量 ， 满足| |1，2，则 5 【分析】直接利用向量的数量积的运算法则化简求解即可 第 13 页（共 24 页） 【解答】解：向量 ， 满足| |1，2， 则1+45 故答案为：5 【点评】本题考查平面向量的数量积运算，是基本知识的考查 14 （5 分） （）8的展开式中，x 的系数为 112 【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 1，求出 r 的值，即可求得 x 的 系数 【解答】解： （）8的展开式的通项公式为 Tr+1 （2）r，令
23、4 1，求得 r2， 可得 x 的系数为 （2）2112， 故答案为：112 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题 15 （5 分）如图所示，在ABC 中，ADDB，F 在线段 CD 上，设 ， ， ，则的最小值为 【分析】可由条件得出，进而便可得出 2x+y1，并且 x，y（0，1） ， 从而便可得出，然后化简，根据基本不等式即可求出原式的最 小值 【解答】解：根据条件，； ； C，F，D 三点共线，且 F 在线段 CD 上； 2x+y1，且 x，y（0，1） ； 第 14 页（共 24 页） ，当且仅当，即时取“” ； 的最小值为 故答案为： 【点评】考查
24、向量数乘的几何意义，三点 A，B，C 共线的充要条件：， 且 x+y1，以及利用基本不等式求最值的方法 16 （5 分）设实数 0，若对任意的 x（0，+） ，不等式 ex0 恒成立，则 的 取值范围是 ，+） 【分析】由题意可得（ex ）min0，设 f（x）ex，x0，求出导数和单 调区间、极小值点 m 和最小值点，可令最小值为 0，解方程可得 m，进而得到所求最 小值 【解答】解：实数 0，若对任意的 x（0，+） ，不等式 ex0 恒成立， 即为（ex ）min0， 设 f（x）ex，x0，f（x）ex， 令 f（x）0，可得 ex， 由指数函数和反比例函数在第一象限的图象， 可得 y
25、ex和 y有且只有一个交点， 设为（m，n） ，当 xm 时，f（x）0，f（x）递增； 当 0xm 时，f（x）0，f（x）递减 即有 f（x）在 xm 处取得极小值，且为最小值 即有 em，令 em0， 可得 me， 则当 时，不等式 ex0 恒成立 第 15 页（共 24 页） 则 的最小值为 另解：由于 yex与 y互为反函数， 故图象关于 yx 对称，考虑极限情况，yx 恰为这两个函数的公切线， 此时斜率 k1，再用导数求得切线斜率的表达式为 k， 即可得 的最小值为 故答案为：，+） 【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想，以及运用导数求得单 调区间、极值和最值，
26、考查方程思想，以及运算能力，属于中档题 三三.解答题：共解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，每题为必考题，每 个试题考生都必须作答个试题考生都必须作答.第第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，角 A、B、C 的度数成等 差数列， （1）若 3sinC4sinA，求 c 的值； （2）求 a+c 的最大值 【分析】（1） 由等差数列的性质及三角形内
27、角和定理可求， 由正弦定理可求 a， 进而利用余弦定理可得 c 的值 （2）由正弦定理，可得 asinA，csinC，利用三角函数恒等变换的应用 化简可得 a+c2sin（A+） ，由，可求范围，进 而利用正弦函数的性质可求最大值 【解答】解： （1）由角 A，B，C 的度数成等差数列，得 2BA+C 又A+B+C， 由正弦定理，可得：3c4a，即 a， 由余弦定理，可得：b2a2+c22accosB，即：13（）2+c22，解 得：c4 第 16 页（共 24 页） （2）由正弦定理，可得：， asinA，csinC， 由，得 所以当，即时， 【点评】本题主要考查了等差数列的性质，三角形内角
28、和定理，正弦定理，余弦定理， 三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计 算能力和转化思想，属于中档题 18 （12 分）某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还 须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目，若 一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否 则，称该学生选考方案待确定例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目， 则学生甲的选考方案确定， “物理、化学和生物”为其选考方案 某学校为了了解高一年级 420 名学生选考科目的意向， 随机选取 30 名学生进
29、行了一次调 查，统计选考科目人数如下表： 性别 选考方案确定情况 物理 化学 生物 历史 地理 政治 男生 选考方案确定的有 8 人 8 8 4 2 1 1 选考方案待确定的有 6 人 4 3 0 1 0 0 女生 选考方案确定的有 10 人 8 9 6 3 3 1 选考方案待确定的有 6 人 5 4 1 0 0 1 （）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？ （）假设男生、女生选择选考科目是相互独立的从选考方案确定的 8 位男生随机选 出 1 人，从选考方案确定的 10 位女生中随机选出 1 人，试求该男生和该女生的选考方案 中都含有历史科目的概率； 第 17 页（共
30、 24 页） （ ） 从 选 考 方 案 确 定 的8名 男 生 随 机 选 出2名 ， 设 随 机 变 量 求 的分布列及数学期望 E 【分析】 （）利用分层抽样原理求得对应的学生人数； （）根据相互独立事件的概率公式计算所求的概率值； （）由题意知随机变量 的可能取值，计算对应的概率，写出 的分布列，计算数学 期望值 【解答】解： （）设该学校选考方案确定的学生中选考生物的学生为 x， 则（人） ， 所以该学校选考方案确定的学生中选考生物的学生为 140 人； （）该男生和该女生的选考方案中都含有历史科目的概率为 P； （）由题意知 的所有可能取值为 1，2， ， P（2） ； 所以 的分
31、布列为： 1 2 P 的数学期望为 【点评】本题考查了相互独立事件的概率计算问题，也考查了离散型随机变量的分布列 与数学期望问题，是中档题 19 （12 分）如图在四面体 DABC 中，已知 ADBCAC5，ABDC6，sinDAB ，M 为线段 AB 上的动点（不包含端点） （1）证明：ABCD； 第 18 页（共 24 页） （2）求二面角 DMCB 的余弦值的取值范围 【分析】 （1）作取 AB 中点 O，连 DO，CO推导出 OCAB，ODAB，从而 AB平 面 DOC，由此能证明 ABCD （2）以 O 为原点，OB 为 x 轴，OC 为 y 轴，Oz 垂直平面 ABC，建立空间直角
32、坐标系 O xyz利用向量法能求出二面角 DMCB 的余弦值的取值范围 【解答】证明： （1）作取 AB 中点 O，连 DO，CO由 ACBC，O 为中点，故 OCAB 由 AD5，AO3，sinDAB，知 OD4，故 ODAB， AB平面 DOC，CD 在平面 DOC 内，ABCD 解： （2）由（1）知 AB平面 DOC，AB 在平面 ABC 内， 故平面 DOC平面 ABC 以 O 为原点，OB 为 x 轴，OC 为 y 轴，Oz 垂直平面 ABC， 建立空间直角坐标系 Oxyz 故 O（0，0，0） ，B（3，0，0） ，C（0，4，0） ，A（3，0，0） ， 设OM m ， （ 3
33、 m 3 ） ， 则M （ m， 0 ， 0 ） ， 在DOC 内，作 DEOC，连 EO，由 ODOC4，DC6， 解得 EO，DE，故 D（0，） 第 19 页（共 24 页） 设平面 DMC 的法向量为 （x，y，z） ，则（0，） ，（m，4， 0） ， 由，取 x4，得 （4，3m） 平面 MCB 的法向量为 （0，0，1） ， |cos|， 3m3，|cos|， 设 为二面角 DMCB 的平面角，则 二面角 DMCB 的余弦值的取值范围是 【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的取值范围的求法，考查空间 中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档
34、题 20 （12 分）已知椭圆 C：9x2+y2m2（m0） ，直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M （1）证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值； （2） 若 l 过点 （， m） ， 延长线段 OM 与 C 交于点 P， 四边形 OAPB 能否为平行四边形？ 若能，求此时 l 的斜率；若不能，说明理由 【分析】 （1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论 （2）四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分，即 xP2xM， 建立方程关系即可得到结论 【解答】解： （1）设
35、直线 l：ykx+b， （k0，b0） ，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，M（xM， 第 20 页（共 24 页） yM） ， 将 ykx+b 代入 9x2+y2m2（m0） ，得（k2+9）x2+2kbx+b2m20， 则判别式4k2b24（k2+9） （b2m2）0， 则 x1+x2，则 xM，yMkxM+b， 于是直线 OM 的斜率 kOM， 即 kOMk9， 直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值 （2）四边形 OAPB 能为平行四边形 直线 l 过点（，m） ， 由判别式4k2b24（k2+9） （b2m2）0， 即 k2m29b29m2， bmm， k2m29（mm）
36、29m2， 即 k2k26k， 即 6k0， 则 k0， l 不过原点且与 C 有两个交点的充要条件是 k0，k3， 由（1）知 OM 的方程为 yx， 设 P 的横坐标为 xP， 由得，即 xP， 将点（，m）的坐标代入 l 的方程得 b， 即 l 的方程为 ykx+， 将 yx，代入 ykx+， 第 21 页（共 24 页） 得 kx+x 解得 xM， 四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分，即 xP2xM， 于是2， 解得 k14或 k24+， ki0，ki3，i1，2， 当 l 的斜率为 4或 4+时，四边形 OAPB 能为平行四边形 【点评】本题主要
37、考查直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程组转化为一元二次方程， 利用根与系数之间的关系是解决本题的关键综合性较强，难度较大 21 （12 分）设函数 f（x）xlnx+ax（aR） （1）若函数 f（x）有两个不同的极值点，求实数 a 的取值范围； （2）若 a2，kN，g（x）22xx2，且当 x2 时不等式 k（x2）+g（x）f（x） 恒成立，试求 k 的最大值 【分析】 （1）求出函数的导数，得到 a，令 h（x），根据函数的单调性求 出 a 的范围即可； （2）代入 a 的值，问题转化为 k，令 F（x）（x2） ，求出函数的 导数，根据函数的单调性求出 k 的最大值即可 【解答】解：
38、 （1）由题意知，函数 f（x）的定义域为（0，+） ， f（x）lnxax， 令 f（x）0，可得 lnxax0， a，令 h（x）， 则由题可知直线 ya 与函数 h（x）的图象有两个不同的交点， h（x），令 h（x）0，得 xe， 可知 h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+）上单调递减， h（x）maxh（e）， 当 x 趋向于+时，h（x）趋向于零， 第 22 页（共 24 页） 故实数 a 的取值范围为（0，） （2）当 a2 时，f（x）xlnxx2+2x， k（x2）+g（x）f（x） ，即 k（x2）xlnx+x， 因为 x2，所以 k， 令 F（x）（x2） ， 则
39、F（x）， 令 m（x）x42lnx（x2） ， 则 m（x）10， 所以 m（x）在（2，+）上单调递增， m（8）42ln84lne20， m（10）62ln1062lne30， 故函数 m（x）在（8，10）上唯一的零点 x0， 即 x042lnx00， 故当 2xx0时，m（x）0，即 F（x）0， 当 x0x 时，F（x）0， 所以 F（x）minF（x0）， 所以 k，因为 x0（8，10） ，所以（4，5） ， 所以 k 的最大值为 4 【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题， 考查转化思想，分类讨论思想，是一道综合题 （二）选考题：共（二）选
40、考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一如果多做，则按所做的第一 题计分题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（10 分）分） 22 （10 分）平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，以原点为极 点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 （1）写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程； 第 23 页（共 24 页） （2）已知与直线 l 平行的直线 l过点 M（2，0） ，且与曲线 C 交于 A，B 两点，试求|MA| |MB| 【分析】 （1） 把
41、直线 l 的参数方程化为普通方程为 y（x1） +1 由， 可得 2（1cos2）2cos，利用互化公式即可得出 （2）直线 l 的倾斜角为，直线 l的倾斜角也为，又直线 l过点 M（2，0） ，可 得直线线 l的参数方程， 将其代入曲线 C 的直角坐标方程， 利用根与系数的关系即可得 出 【解答】解： （1）把直线 l 的参数方程化为普通方程为 y（x1）+1 由，可得 2（1cos2）2cos， 曲线 C 的直角坐标方程为 y22x （2）直线 l 的倾斜角为， 直线 l的倾斜角也为，又直线 l过点 M（2，0） ， 直线线 l的参数方程为（t为参数） ， 将其代入曲线 C 的直角坐标方程
42、可得 3（t）24t160， 设点 A，B 对应的参数分别为， 由一元二次方程的根与系数的关系知为， |MA|MB| 【点评】本题考查了直线的参数方程、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、极 坐标与普通方程互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数 f（x）|x|+|x1| （1）解不等式 f（x）3； （2）若 f（x）+f（y）2，求 x+y 的取值范围 【分析】 （1）通过讨论 x 的范围，得到关于 x 的不等式组，解出即可； （2）根据绝对值不等式的性质求出 x+y 的范围即可 第 24 页（共 24 页） 【解答】解： （1）f（x）3，|x|+|x1|3， 故或或， 解得：x2 或 x1， 故不等式的解集是x|x2 或 x1； （2）f（x）+f（y）|x|+|x1|+|y|+|y1| |x+y|+|x+y2|（x+y）（x+y2）|2， 当且仅当（x+y） （x+y2）0，即 0x+y2 时取等号， f（x）+f（y）2，|x+y|+|x+y2|2， |x+y|+|x+y2|2，0x+y2， x+y 的取值范围为0，2 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想， 转化思想，是一道中档题
浙公网安备33030202001339号