1、若复 z 的实部与虚部分别为1，2，则 z2（ ） A34i B3+4i C3+4i D34i 2 （5 分）设集合 Ax|x24，By|y2x，xR，则 AB（ ） A （2，2） B （0，2） C （2，+） D （，2）（2，+） 3 （5 分）若函数 f（x）lg（x+a）的图象经过抛物线 y28x 的焦点，则 a（ ） A1 B0 C1 D2 4 （5 分）已知两个单位向量 ， 的夹角为 60，则下列向量是单位向量的是（ ） A B C D 5 （5 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 B2C，则 b（ ） AccosC BccosA C2ccosC D2
2、ccosA 6 （5 分）设 x，y 满足约束条件，则 zx+y 的取值范围为（ ） A0， B4， C0，4 D4，+） 7 （5 分）设 a 是一个各位数字都不是 0 且没有重复数字的两位数将组成 a 的 2 个数字按 从小到大排成的两位数记为 I（a） ，按从大到小排成的两位数记为 D（a） （例如 a75， 则 I（a）57，D（a）75） 执行如图所示的程序框图，若输人的 a51，则输出的 b （ ） 第 2 页（共 23 页） A30 B35 C40 D45 8 （5 分）已知 f（），则曲线 yf（x）在点（0，f （0） ） 处的切线方程为（ ） Ayx Byx Cy2x Dy
3、2x 9 （5 分）sinxcos（x+）（ ） Asin（2x+） Bsin（2x）+ Csin（2x）+ Dsin（2x+） 10 （5 分） 镜花缘是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座阁楼 到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀 2 个小灯，另一种是大 灯下缀 4 个小灯，大灯共 360 个，小灯共 1200 个若在这座楼阁的灯球中，随机选取两 个大灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀 4 个小灯的概率为（ ） A B C D 11 （5 分）在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，E 为侧棱 DD1上一点，AB1，AA12，且 异面直线 DB 与 C1
4、E 所成角的余弦值为，则 DE（ ） A B CC1 D 12 （5 分）设 F 是双曲线 C：1（a0，b0）的右焦点 O 为坐标原点过 F 作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 H 若FOH 的内切圆与 x 轴切于点 B，且2，则 C 的离心率为（ ） 第 3 页（共 23 页） A B C DD 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 13 （5 分） （x）6的展开式中 x5y 的系数为 14 （5 分）已知函数 f（x）sinx，若 f（a+x）f（ax） ，0a，则 a 15 （5 分）如图，一几何体由一个圆锥与半球组合而成，
5、且圆锥的体积与半球的体积相等， 则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为 16 （5 分）已知函数 f（x）log2（x）是 R 上的奇函数，函数 g（x）m|2x a|，若 f（x）g（x）对 x恒成立，则 m 的取值范围为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）设 Sn为数列an的前 n
6、项和，已知 a37，anan1+d（n2） ，其中 d 是不为 0 的常数，且 a1，a2，a6成等比数列 （1）求an的通项公式； （2）若 Sm55m，求 m 18 （12 分）如图是某超市一周百事可乐与可口可乐的销量（单位：罐）的雷达图 第 4 页（共 23 页） （1）分别计算一周百事可乐与可口可乐的销量的平均数，从计算结果看，哪种可乐的销 量更好； （2）从周一开始的连续三周该超市推出买一罐可乐（仅限百事可乐或可口可乐）获得一 次抽奖机会的活动，中奖率为 0.1，中奖可获得 1 元的红包，以雷达图中一周的销量代替 每周的销量 活动期间，一位顾客买了 3 罐百事可乐，求他恰好获得 2
7、元红包的概率； 在这连续三周的活动中，求该超市需要投入红包总金额的数学期望 19 （12 分）在直角坐标系 xOy 中，已知 P（x1，2y） ，Q（x+1，2y） ，且3，记 动点 M（x，y）的轨迹为 （1）求 的方程； （2）若过点 N（1，0）的直线 l 与 交于 A，B 两点，且2，求直线 l 的斜率 20 （12 分）如图，在四面体 ABCD 中，ADAB，平面 ABD平面 ABC，ABBC， 且 AD+BC4 （1）证明：BC平面 ABD； （2）设 E 为棱 AC 的中点，当四面体 ABCD 的体积取得最大值时，求二面角 CBDE 的余弦值 第 5 页（共 23 页） 21 （
8、12 分）已知函数 f（x）（a+2）lnx+axx2 （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 f（x）在（0，a）上存在最大值 p（a） ，证明：4ln2p（a）+a4 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做则按所做的第题中任选一题作答如果多做则按所做的第 一题计分一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（10 分）分） 22 （10 分）在极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 4cos，曲线 C 与曲线 D 关于极点 对称 （1）以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系，求曲线 D 的直角坐
9、标方 程； （2）设 P 为曲线 D 上一动点，记 P 到直线 sin3 与直线 cos2 的距离分别为 d1，d2求 d1+d2的最小值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数 f（x）|x1|+|x+1|，且不等式 f（x）k 的解集为x|3xa （1）求 k，a； （2）若 m+nk，证明：f（m）+f（n）12 第 6 页（共 23 页） 2018-2019 学年广西百校大联学年广西百校大联考高三 （上）考高三 （上） 10 月月考数学试卷 （理月月考数学试卷 （理 科）科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.选择题：本题共选择题：本题共 12
10、 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 （5 分）若复 z 的实部与虚部分别为1，2，则 z2（ ） A34i B3+4i C3+4i D34i 【分析】求出 z，根据复数的运算性质求出 z2即可 【解答】解：z1+2i， z2144i34i， 故选：A 【点评】本题考查了复数的运算，考查转化思想，是一道常规题 2 （5 分）设集合 Ax|x24，By|y2x，xR，则 AB（ ） A （2，2） B （0，2） C （2，+） D （，2）（2，+） 【分析】可求出集合
11、 A，B，然后进行交集的运算即可 【解答】解：Ax|2x2，By|y0； AB（0，2） 故选：B 【点评】考查描述法、区间的定义，指数函数的值域，以及交集的运算 3 （5 分）若函数 f（x）lg（x+a）的图象经过抛物线 y28x 的焦点，则 a（ ） A1 B0 C1 D2 【分析】求得抛物线的焦点坐标，代入函数 f（x）lg（x+a）即可 【解答】解：抛物线的焦点为（2，0） ，则 f（2）lg（2+a）0，解得 a1 故选：C 【点评】本题考查了抛物线的性质，属于基础题 4 （5 分）已知两个单位向量 ， 的夹角为 60，则下列向量是单位向量的是（ ） 第 7 页（共 23 页） A
12、 B C D 【分析】根据条件可求出，且，然后可求出每个选项向量的平方， 看哪个平方值为 1 即为所求 【解答】解：是单位向量，且夹角为 60； ； ， ，； 是单位向量 故选：D 【点评】考查单位向量的概念，向量数量积的运算及计算公式 5 （5 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 B2C，则 b（ ） AccosC BccosA C2ccosC D2ccosA 【分析】先用二倍角的正弦公式，再用正弦定理可得 【解答】解：B2C，sinBsin2C2sinCcosC，b2c cosC 故选：C 【点评】本题考查了正弦定理，属基础题 6 （5 分）设 x，y 满足约束条
13、件，则 zx+y 的取值范围为（ ） A0， B4， C0，4 D4，+） 【分析】先根据约束条件画出可行域，设 zx+y，再利用 z 的几何意义求最值，从而得 到 z 取值范围 【解答】解：先根据约束条件画出可行域，zx+y， 则 yx+z， 当直线 yx+z 经过点 O，z 最小，最小值为：0 由可得 A（，3） yx+z 经过点 A（，3）时，z 最大， 第 8 页（共 23 页） z+3， 故则 zx+y 的取值范围为0， 故选：A 【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结 合的思想，属中档题目标函数有唯一最优解是最常见的问题，这类问题一般要分三步：
14、 画出可行域、求出关键点、定出最优解 7 （5 分）设 a 是一个各位数字都不是 0 且没有重复数字的两位数将组成 a 的 2 个数字按 从小到大排成的两位数记为 I（a） ，按从大到小排成的两位数记为 D（a） （例如 a75， 则 I（a）57，D（a）75） 执行如图所示的程序框图，若输人的 a51，则输出的 b （ ） A30 B35 C40 D45 【分析】模拟运行程序，直到满足条件，确定输出的 b 值，可得答案 【解答】解：模拟程序的运行，可得 第 9 页（共 23 页） a51，b511536 a36，b633627 a27，b722745 45 为 5 的倍数，满足条件，退出循
15、环，输出 b 的值为 45 故选：D 【点评】本题通过新定义题型考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程 序是解答此类问题的常用方法，属于基础题 8 （5 分）已知 f（），则曲线 yf（x）在点（0，f （0） ） 处的切线方程为（ ） Ayx Byx Cy2x Dy2x 【分析】由已知求得函数解析式，求出函数在 x0 处的导数，可得曲线 yf（x）在点 （0，f（0） ）处的切线方程 【解答】解：令 t，得 x，则 f（t）， 故 f（x），则 f（t）， f（0）2，又 f（0）0， 曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程为 y2x 故选：C 【点评】本题考查函数解
16、析式的求法及导数的几何意义，考查换元法的应用，是基础题 9 （5 分）sinxcos（x+）（ ） Asin（2x+） Bsin（2x）+ Csin（2x）+ Dsin（2x+） 【分析】利用两角和差的余弦公式，以及三角函数的倍角公式，结合辅助角公式进行化 简即可 【解答】解：sinxcos（x+）sinxcos（x）sinx（cosx+sinx） sinxcosx+sin2x 第 10 页（共 23 页） sin2x+（1cos2x）（sin2xcos2x）+ sin（2x）+， 故选：B 【点评】本题主要考查三角函数的 化简与恒等变换，利用两角和差的余弦公式，倍角公 式以及辅助角公式是解决
17、本题的关键 10 （5 分） 镜花缘是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座阁楼 到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀 2 个小灯，另一种是大 灯下缀 4 个小灯，大灯共 360 个，小灯共 1200 个若在这座楼阁的灯球中，随机选取两 个大灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀 4 个小灯的概率为（ ） A B C D 【分析】设大灯下缀 2 个小灯的大灯有 x 个，则大灯下缀 4 个小灯有 360x 个，列出方 程 2x+4（360x）1200，求出大灯下缀 2 个小灯的大灯有 120 个，则大灯下缀 4 个小 灯有 240 个在这座楼阁的灯球中，随机选取两个
18、灯球，基本事件总数 n64620， 至少有一个灯球是大灯下缀4 个小灯包含的基本事件个数m57480， 由此能求出至少有一个灯球是大灯下缀 4 个小灯的概率 【解答】解：一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种， 一种是大灯下缀 2 个小灯， 另一种是大灯下缀 4 个小灯， 大灯共 360 个， 小灯共 1200 个 大灯下缀 2 个小灯的大灯有 x 个，则大灯下缀 4 个小灯有 360x 个， 则 2x+4（360x）1200， 解得 x120，即大灯下缀 2 个小灯的大灯有 120 个，则大灯下缀 4 个小灯有 240 个 在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球， 基本事件总数 n6
19、4620， 至少有一个灯球是大灯下缀4 个小灯包含的基本事件个数m57480， 则至少有一个灯球是大灯下缀 4 个小灯的概率为 p 故选：A 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概率、排列组合的性质等基础知识，考查运算 求解能力，是基础题 第 11 页（共 23 页） 11 （5 分）在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，E 为侧棱 DD1上一点，AB1，AA12，且 异面直线 DB 与 C1E 所成角的余弦值为，则 DE（ ） A B CC1 D 【分析】以 D 为原点，建立空间直角坐标系 Dxyz，利用向量法能求出结果 【解答】解：以 D 为原点，建立空间直角坐标系 Dxyz， 则 D（
20、0，0，0） ，B（1，1，0） ，C1（0，1，2） ，（1，1，0） ， 设 DEt， （0t2） ， 则（0，1，t2） ， |cos|， 0t2， 故选：A 【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法及应用，考查空间中线线、线面、面 面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 12 （5 分）设 F 是双曲线 C：1（a0，b0）的右焦点 O 为坐标原点过 F 作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 H 若FOH 的内切圆与 x 轴切于点 B，且2，则 C 的离心率为（ ） 第 12 页（共 23 页） A B C DD 【分析】通过过 F 作 C 的一条渐近
21、线的垂线，垂足为 H求出 FH，求出内切圆的半径， 转化列出 ac 关系，然后求解 C 的离心率 【解答】解：过 F（c，0）作 C 的一条渐近线 bxay0 的垂线，垂足为 H 可得|FH|b， |OH|a，则直角三角形 FOH 的内切圆的半径 r， 设三角形的内切圆与 FH 切于 M，则|MH|r， 2，可得|FM|BF|c， |BF|+|MH|c+|FH|b， 即 3b3a+c，则 9b29c29a2c2+6ac+9a2， 由 e， 4e23e90， e1，e 故选：C 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查向量共线定理和化 简整理的运算能力，属于中档题 二、填空题
22、（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 13 （5 分） （x）6的展开式中 x5y 的系数为 2 【分析】利用通项公式即可得出 【解答】解： （x）6的展开式中通项公式：Tr+1， 第 13 页（共 23 页） 令 r1，可得 x5y 的系数2 故答案为：2 【点评】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 14 （5 分）已知函数 f（x）sinx，若 f（a+x）f（ax） ，0a，则 a 【分析】根据条件得到函数关于 xa 对称，结合正弦函数的对称性进行求解即可 【解答】解：f（a+x）f（ax） ， 函数关于
23、 xa 对称， f（x）sinx，0a， a， 故答案为： 【点评】本题主要考查三角函数对称性的应用，结合函数对称的定义求出对称轴是解决 本题的关键 15 （5 分）如图，一几何体由一个圆锥与半球组合而成，且圆锥的体积与半球的体积相等， 则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为 2 【分析】设该圆锥的半径与高分别为 r 和 h，利用体积相等列方程求得 h 与 r 的关系，从 而求得结果 【解答】解：设该圆锥的半径与高分别为 r 和 h，则r3r2h， 即 h2r， 所以该圆锥的母线与底面所成角的正切值为2 故答案为：2 第 14 页（共 23 页） 【点评】本题考查了简单几何体的体积与线面角的应用
24、问题，也考查了运算求解能力， 是基础题 16 （5 分）已知函数 f（x）log2（x）是 R 上的奇函数，函数 g（x）m|2x a|，若 f（x）g（x）对 x恒成立，则 m 的取值范围为 ） 【分析】根据 f（x）是 R 上的奇函数求出 a 的值，写出 f（x）的解析式，判断 f（x）的 单调性， 作出 f（x）与 g（x）的图象，根据题意结合图象列出关于 m 的不等式，从而求得 m 的取 值范围 【解答】解：由函数 f（x）log2（x）是 R 上的奇函数， 得 f（0）log20，解得 a1； f（x）log2（x）log2， f（x）在（0，+）上单调递减， f（x）在 R 上是单
25、调减函数； 又函数 g（x）m|2xa|m|2x1|， 作出 f（x）与 g（x）的图象，如图所示； 若 f（x）g（x）对 x恒成立， 则由图象知， 即， 解得 m， m 的取值范围是，+） 故答案为：，+） 第 15 页（共 23 页） 【点评】本题考查了函数的奇偶性以及不等式恒成立问题，也考查了转化与化归以及数 形结合的数学思想，是难题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答
26、 （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）设 Sn为数列an的前 n 项和，已知 a37，anan1+d（n2） ，其中 d 是不为 0 的常数，且 a1，a2，a6成等比数列 （1）求an的通项公式； （2）若 Sm55m，求 m 【分析】 （1）根据题意，分析可得数列an为公差为 d 的等差数列，进而可得 a172d， a27d，a67+3d，由等比数列的性质可得（72d） （7+3d）（7d）2，解可得 d 的值，结合等差数列的通项公式分析可得答案； （2）根据题意， 由（1） 的结论结合等差数列的前 n 项和公式可得 Sm 55m，
27、解可得 m 的值，即可得答案 【解答】解： （1）根据题意，数列an满足 anan1+d（n2） ，其中 d 是不为 0 的常数， 则数列an为公差为 d 的等差数列， 又由 a37，则 a172d，a27d，a67+3d， 若 a1，a2，a6成等比数列，则有（72d） （7+3d）（7d）2， 解可得 d3 或 0（舍） ， 则 ana3+（n3）d3n2； （2）根据题意，有（1）可得 an3n2， 则 Sm55m， 变形可得：3m1110， 第 16 页（共 23 页） 解可得 m37； 故 m 的值为 37 【点评】本题考查等差数列的通项公式以及前 n 项和的计算，关键是求出 d 的
28、值，属于 基础题 18 （12 分）如图是某超市一周百事可乐与可口可乐的销量（单位：罐）的雷达图 （1）分别计算一周百事可乐与可口可乐的销量的平均数，从计算结果看，哪种可乐的销 量更好； （2）从周一开始的连续三周该超市推出买一罐可乐（仅限百事可乐或可口可乐）获得一 次抽奖机会的活动，中奖率为 0.1，中奖可获得 1 元的红包，以雷达图中一周的销量代替 每周的销量 活动期间，一位顾客买了 3 罐百事可乐，求他恰好获得 2 元红包的概率； 在这连续三周的活动中，求该超市需要投入红包总金额的数学期望 【分析】 （1）比较两种可乐的销量平均数即可得出哪种可乐销量更好； （2）用独立重复试验的方法求概
29、率即可； 连续三周顾客中奖总次数服从二项分布，其中 n5700，p0.1，再利用二项分布的期 望公式即可求得数学期望 【解答】 解：（1） 百事可乐销量的平均数为， 可口可乐销量的平均数为， ，百事可乐的销量更好 （2）这个人恰好获得 2 元红包说明他有两次中奖一次未中奖， 第 17 页（共 23 页） 故所求的概率为 连续三周该超市灌装可乐的销量为（960+940）35700 罐， 设连续三周顾客中奖总次数为 X，则 XB（5700，0.1） ， E（X）57000.1570， 故连续三周的活动该超市需要投入红包总金额的数学期望为 5701570 元 【点评】本题考查了统计与概率的知识，包含
30、平均数的计算、二项分布及其数学期望等， 重在理解试题描述的背景意义，考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力 19 （12 分）在直角坐标系 xOy 中，已知 P（x1，2y） ，Q（x+1，2y） ，且3，记 动点 M（x，y）的轨迹为 （1）求 的方程； （2）若过点 N（1，0）的直线 l 与 交于 A，B 两点，且2，求直线 l 的斜率 【分析】 （1）直接代入数量积公式整理即可求得结论； （2）设出直线方程，分斜率等于 0 和不等于 0 分别讨论，与曲线联立；结合2， 即可求出结论 【解答】解： （1）3， （x1） （x+1）+4y23 x2+4y24， 即 的方程：+y21； （
31、2）设过点 N（1，0）的直线 l 的斜率为 k； 即直线为 yk（x1） ； 当 k0 时，3或不合题意； 当 k0 时，由（1+4k2）y2+2ky3k20； 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） y1+y2，y1y2； 2，（1x2，y2） ，（x11，y1） 第 18 页（共 23 页） y22y1； y1+y2y1，y1y22； y10； k2； k 【点评】本题考查了轨迹方程，考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置 关系，是中档题，这一类型题目的关键在于整理过程 20 （12 分）如图，在四面体 ABCD 中，ADAB，平面 ABD平面 ABC，ABBC， 且 AD+
32、BC4 （1）证明：BC平面 ABD； （2）设 E 为棱 AC 的中点，当四面体 ABCD 的体积取得最大值时，求二面角 CBDE 的余弦值 【分析】 （1）推导出 AD平面 ABC，从而 ADBC，再求出 ADBC，ABBC，由此 能证明 BC平面 ABD （2）设 ADx， （0x4） ，则 ABBC4x，四面体 ABCD 的体积：Vf（x） （x38x2+16x） ，0x4，利用导数性质求出当 ADx时，四 面体 ABCD 的体积取得最大值，以 B 为坐标原点，建立空间直角坐标系 Bxyz，利用向 量法能求出当四面体 ABCD 的体积取得最大值时二面角 CBDE 的余弦值 【解答】证明
33、： （1）ADAB，平面 ABD平面 ABC，平面 ABD平面 ABCAB， AD平面 ABD， 第 19 页（共 23 页） AD平面 ABC， BC平面 ABC，ADBC， ABBCAC，AB2+BC2AC2，ADBC， ABBCAC，AB2+BC2AC2，ABBC， ADABA，BC平面 ABD 解： （2）设 ADx， （0x4） ，则 ABBC4x， 四面体 ABCD 的体积： Vf（x）（x38x2+16x） ，0x4， f（x）， 当 0x时，f（x）0，Vf（x）单调递增， 当x4 时，f（x）0，Vf（x）单调递减， 当 ADx时，四面体 ABCD 的体积取得最大值， 以 B
34、 为坐标原点，建立空间直角坐标系 Bxyz， 则 B（0，0，0） ，A（0，0） ，C（） ，D（0，） ，E（，0） ， （，0，0） ，（0，） ， 设平面 BCD 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 z2，得 （1，1，2） ， cos 由图知二面角 CBDE 为锐角， 二面角 CBDE 的余弦值为 第 20 页（共 23 页） 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转 化思想、数形结合思想，是中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）（a+2）lnx+axx2 （1）
35、讨论 f（x）的单调性； （2）若 f（x）在（0，a）上存在最大值 p（a） ，证明：4ln2p（a）+a4 【分析】 （1）分类讨论，利用导数求函数的单调区间即可，注意函数的定义域为（0，+ ） ； （2）从（1）中结论可知，当 0a2 时，f（x）在（0，a）上单调递减，不存在最大值； 当 a2 时，再构造函数，结合导数，利用分析法证明即可 【解答】解： （1）定义域为（0，+） ， ， 当 a2 时，f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递减， 当 a2 时，由 f（x）0，得 0x，f（x）在上单调递增， 由 f（x）0，得 x，f（x）在上单调递减， 综上，当 a2 时，f（x）的
36、单调递减区间是（0，+） ； 当 a2 时，f（x）的单调递减区间是，单调递增区间是 （2）易知 a0， 当 0a2 时，a，由（1）知，f（x）在（0，a）上单调递减，此时，f（x）在 第 21 页（共 23 页） （0，a）上不存在最大值 当 a2 时，f（x）在上单调递增，在上单调递减， 则， 故， 设，则， x2，g（x）0，g（x）在（2，+）上单调递增， g（x）g（2）4ln2，即 p（a）4ln2 ，且 a2， 要证，只需证，即证， 设， 则，则 h（x）在（2，+）上单调递减， 从而 h（x）h（2）ln210，即，则， 由可知，4ln2 【点评】本题考查了利用导数求含参函数
37、的单调性问题，最值，以及证明不等式，其中 证明不等式属于难点，需要多次构造函数，考查了学生转化与回归的能力 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做则按所做的第题中任选一题作答如果多做则按所做的第 一题计分一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（10 分）分） 22 （10 分）在极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 4cos，曲线 C 与曲线 D 关于极点 对称 （1）以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系，求曲线 D 的直角坐标方 程； （2）设 P 为曲线 D 上一动点，记 P 到直线 s
38、in3 与直线 cos2 的距离分别为 d1，d2求 d1+d2的最小值 【分析】 （1）曲线 C 的极坐标方程转化为 24cos，由此能求出曲线 D 的直角坐标方 程 （2）设 P（2+2cos，2sin） ，0，2） ，直线 sin3 与直线 cos2 的直角 第 22 页（共 23 页） 坐标方程分别为 y3， x2， 推导出 d1+d22sin+3+42cos7+2sin （） ， 由此能求出 d1+d2的最小值 【解答】解： （1）曲线 C 的极坐标方程为 4cos，24cos， 曲线 C 的直角坐标方程 x2+y24x，即（x2）2+y24 曲线 D 的直角坐标方程为（x+2）2+
39、y24 （2）由（1）设 P（2+2cos，2sin） ，0，2） ， 直线 sin3 与直线 cos2 的直角坐标方程分别为 y3，x2， d12sin+3，d22（2+2cos）42cos， d1+d22sin+3+42cos7+2sin（） ， d1+d2的最小值为 72 【点评】本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查点到两直线的距离和的最小值的求 法，考查直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数 f（x）|x1|+|x+1|，且不等式 f（x）k 的解集为x|3xa （1）求 k，a；
40、（2）若 m+nk，证明：f（m）+f（n）12 【分析】 （1）通过讨论 x 的范围，结合不等式的解集求出 k 的值以及 a 的值即可； （2）根据绝对值不等式的性质得到关于 m 的不等式，解出即可 【解答】解： （1）当 x1 时，由 f（x）2x1k，解得：x， 不等式 f（x）k 的解集是x|3xa， 故3，解得：k5， 当 x1 时，由 f（x）2x+15，解得：x2， 故 a2， 经检验 k5，a2 满足题意； （2）证明：|m1|+|m+2|m1+m+2|2m+1|， 故 f（m）|2m+1|， 同理 f（n）|2n+1|， m+nk5， 第 23 页（共 23 页） 故 f（m）+f（n）|2m+1|+|2n+1|2m+1+2n+1|2（m+n）+2|12 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式问题以及分类讨论思想， 转化思想，是一道常规题
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