1、已知集合 AxZ|x22x30，Bx|x10，则集合 AB（ ） A2，3 B1，1 C1，2，3 D 2 （5 分）已知n+i（m，nR） ，其中 i 为虚数单位，则 m+n（ ） A1 B1 C3 D3 3 （5 分）已知向量满足，且 与 的夹角为 60，则 （ ） A1 B3 C D 4 （5 分）已知数列an为等差数列，Sn为其前 n 项和，a6+a3a53，则 S7（ ） A42 B21 C7 D3 5 （5 分）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分 布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图 （90后指1990年及以后出生， 80后指1980 19
2、89 年之间出生， 80 前指 1979 年及以前出生） ， 则下列结论中不一定正确的是 （ ） A互联网行业从业人员中 90 后占一半以上 B互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多 C互联网行业中从事设计岗位的人数 90 后比 80 前多 D互联网行业中从事市场岗位的 90 后人数不足总人数的 10% 6 （5 分）函数 f（x）（其中 e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ） 第 2 页（共 25 页） A B C D 7 （5 分）已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）2x，那么 f（log23） 的值为（ ） A B3 C3 D 8 （5 分
3、）如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有 7 颗算珠，用梁隔开，梁 上面两颗叫上珠，下面 5 颗叫下珠若从某一档的 7 颗算珠中任取 3 颗，至少含有一颗 上珠的概率为（ ） A B C D 9 （5 分）已知函数，将 f（x）的图象上所有点向右平移 （0） 个单位长度，得到的图象关于直线对称，则 的最小值为（ ） A B C D 10 （5 分）设 是给定的平面，A，B 是不在 内的任意两点有下列四个命题： 在 内存在直线与直线 AB 异面； 在 内存在直线与直线 AB 相交； 存在过直线 AB 的平面与 垂直； 存在过直线 AB 的平面与 平行 其中，一定正确的是（ ） A B
4、C D 11 （5 分）已知圆 O 的半径是，点 P 是圆 O 内部一点（不包括边界） ，点 A 是圆 O 圆 第 3 页（共 25 页） 周上一点，且，则的最小值为（ ） A B12 C D13 12 （5 分）已知球 O 是正四面体 ABCD 的外接球，BC2，点 E 在线段 BD 上，且 BD 3BE，过点 E 作球 O 的截面，则所得截面圆面积的最小值是（ ） A B C D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.请把答案填在答题卡的相应位置上请把答案填在答题卡的相应位置上 13 （5 分） “角谷定理”的内容为对于每一个
5、正整数，如果它是奇数，则对它乘 3 再加 1； 如果它是偶数，则对它除以 2；如此循环，最终都能够得到 1如图为研究角谷定理的一 个程序框图若输入 n 的值为 6，则输出 i 的值为 14 （5 分）已知 cos（2+），则 sin（2） 15 （5 分） 若 （3+ax） （1+x） 4 展开式中 x 的系数为 13， 则展开式中各项系数和为 （用 数字作答） 16 （5 分）已知函数 f（x）（其中 e 为自然对数的底数） ，则不等 式 f（x）+f（x1）0 的解集为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应
6、写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 17 至至 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：本大题共（一）必考题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 12 分，共分，共 60 分分. 17 （12 分）已知数列an中，a11 且 2an+16an+2n1（nN*） 第 4 页（共 25 页） （1）求证：数列为等比数列； （2）求数列an的前 n 项和 Sn 18 （12 分）如图，在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 2acosCc
7、2b （1）求角 A 的大小； （2）若，AC 边上的中线 BD 的长为，求ABC 的面积 19 （12 分）如图，在四棱锥 SABCD 中，已知四边形 ABCD 是边长为的正方形，点 S 在底面 ABCD 上的射影为底面 ABCD 的中心点 O，点 P 在棱 SD 上，且SAC 的面积为 1 （1）若点 P 是 SD 的中点，求证：平面 SCD平面 PAC； （2）在棱 SD 上是否存在一点 P 使得二面角 PACD 的余弦值为？若存在，求出 点 P 的位置；若不存在，说明理由 20 （12 分） 东莞的轻轨给市民出行带来了很大的方便， 越来越多的市民选择乘坐轻轨出行， 很多市民都会开汽车到
8、离家最近的轻轨站，将车停放在轻轨站停车场，然后进站乘轻轨 出行，这给轻轨站停车场带来很大的压力某轻轨站停车场为了解决这个问题，决定对 机动车停车施行收费制度，收费标准如下：4 小时内（含 4 小时）每辆每次收费 5 元；超 过 4 小时不超过 6 小时，每增加一小时收费增加 3 元；超过 6 小时不超过 8 小时，每增 加一小时收费增加 4 元，超过 8 小时至 24 小时内（含 24 小时）收费 30 元；超过 24 小 时，按前述标准重新计费上述标准不足一小时的按一小时计费为了调查该停车场一 天的收费情况， 现统计1000辆车的停留时间 （假设每辆车一天内在该停车场仅停车一次） ， 第 5
9、 页（共 25 页） 得到下面的频数分布表： T（小时） （0，4 （4，5 （5，6 （6，7 （7，8 （8，24 频数 （车次） 100 100 200 200 350 50 以车辆在停车场停留时间位于各区间的频率代替车辆在停车场停留时间位于各区间的概 率 （1）现在用分层抽样的方法从上面 1000 辆车中抽取了 100 辆车进行进一步深入调研， 记录并统计了停车时长与司机性别的 22 列联表： 男 女 合计 不超过 6 小时 30 6 小时以上 20 合计 100 完成上述列联表，并判断能否有 90%的把握认为“停车是否超过 6 小时”与性别有关？ （2） （i）X 表示某辆车一天之内
10、（含一天）在该停车场停车一次所交费用，求 X 的概率 分布列及期望 E（X） ； （ii）现随机抽取该停车场内停放的 3 辆车， 表示 3 辆车中停车费用大于 E（X）的车辆 数，求 P（2）的概率 参考公式：，其中 na+b+c+d P（K2k0） 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 k0 0.780 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 21 （12 分）已知函数 f（x）e2x+mx，x（0，+） （其中 e 为自然对数的底数） （1）求 f（x）的单调性； （2）若 m2，g（x），对于任意 a（0，1） ，是否存在与 a 有关的正常数
11、x0，使得成立？如果存在，求出一个符合条件 x0；否则说明理由 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分，请考生在第分，请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分，作答时请写清题号第一题计分，作答时请写清题号.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的普通方程为 x2+y24x6y+50在以坐标原点 为 极 点 ， x轴 正 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中 ， 直 线l的 极 坐 标 方 程 为 第 6 页（共 25 页） （1）写出圆 C 的参
12、数方程和直线 l 的直角坐标方程； （2）设点 P 在 C 上，点 Q 在 l 上，求|PQ|的最小值及此时点 P 的直角坐标 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+1|x2| （1）解不等式 f（x）1； （2） 记函数 f（x） 的最大值为 s，若s（a，b，c0） ，证明： 3 第 7 页（共 25 页） 2019-2020 学年广东省东莞市高三（上）期末数学试卷（理科）学年广东省东莞市高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分
13、.在每小题给出的四个选在每小题给出的四个选项中，只有项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑 1 （5 分）已知集合 AxZ|x22x30，Bx|x10，则集合 AB（ ） A2，3 B1，1 C1，2，3 D 【分析】可以求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可 【解答】解：AxZ|1x31，0，1，2，3，Bx|x1， AB2，3 故选：A 【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考 查了计算能力，属于基础题 2 （5 分）已知n+i（m，nR） ，其中 i 为虚数单位，
14、则 m+n（ ） A1 B1 C3 D3 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求得 m，n 的值， 则答案可求 【解答】解：由n+i，得 m2ii（n+i）1+ni， m1，n2 则 m+n3 故选：D 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题 3 （5 分）已知向量满足，且 与 的夹角为 60，则 （ ） A1 B3 C D 【分析】由题意利用两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题 【解答】解：向量满足，4+4+7 又 与 的夹角为 60，4+41| |cos60+7， 第 8 页（共 25 页） 则1，或| |3（舍去）
15、， 故选：A 【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题 4 （5 分）已知数列an为等差数列，Sn为其前 n 项和，a6+a3a53，则 S7（ ） A42 B21 C7 D3 【分析】利用等差数列通项公式求出 a1+3d3，再由 S77（a1+3d） ，能 求出结果 【解答】解：数列an为等差数列，Sn为其前 n 项和，a6+a3a53， a1+5d+a1+2da14da1+3d3， S77（a1+3d）21 故选：B 【点评】本题考查等差数列的前 7 项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查 运算求解能力，是基础题 5 （5 分）某调查机构对全国互联网
16、行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分 布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图 （90后指1990年及以后出生， 80后指1980 1989 年之间出生， 80 前指 1979 年及以前出生） ， 则下列结论中不一定正确的是 （ ） A互联网行业从业人员中 90 后占一半以上 B互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多 C互联网行业中从事设计岗位的人数 90 后比 80 前多 D互联网行业中从事市场岗位的 90 后人数不足总人数的 10% 【分析】 利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和 90 后从事互联网行业者岗位分布 图直接求解 【解答】解：由整个互联网行业从
17、业者年龄分布饼状图和 90 后从事互联网行业者岗位分 第 9 页（共 25 页） 布图，知： 在 A 中，互联网行业从业人员中 90 后占 56%，故 A 正确； 在 B 中，互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后不一定比 80 后多，故 B 错误； 在 C 中，互联网行业中从事设计岗位的人数 90 后比 80 前多，故 C 正确； 在 D 中，互联网行业中从事市场岗位的 90 后人数不足总人数的 10%，故 D 正确 故选：B 【点评】本题考查例题真假的判断，考查整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和 90 后 从事互联网行业者岗位分布图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 6 （5
18、 分）函数 f（x）（其中 e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ） A B C D 【分析】由函数为偶函数，排除 AC；由 x+时，f（x）0，排除 B，由此得到答案 【解答】解：，故函数 f （x）为偶函数，其图象关于 y 轴对称，故排除 A，C； 当 x+时，x3（ex1）ex+1，f（x）0，故排除 B 故选：D 【点评】本题考查函数图象的确定，考查读图识图能力，属于基础题 7 （5 分）已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）2x，那么 f（log23） 的值为（ ） A B3 C3 D 【分析】根据函数奇偶性的性质，利用对称性转换为已知条件上进行求解即可
19、【解答】解：f（x）是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f（x）2x， 第 10 页（共 25 页） f（log23）f（log23）f（log2）， 故选：D 【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关 键 8 （5 分）如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有 7 颗算珠，用梁隔开，梁 上面两颗叫上珠，下面 5 颗叫下珠若从某一档的 7 颗算珠中任取 3 颗，至少含有一颗 上珠的概率为（ ） A B C D 【分析】从某一档的 7 颗算珠中任取 3 颗，基本事件总数 n35，至少含有一颗上 珠包含的基本事件个数 m25，由此能求出至少含有一颗
20、上珠的概率 【解答】解：我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有 7 颗算珠，用梁隔开， 梁上面两颗叫上珠，下面 5 颗叫下珠 从某一档的 7 颗算珠中任取 3 颗，基本事件总数 n35， 至少含有一颗上珠包含的基本事件个数 m25， 至少含有一颗上珠的概率为 P 故选：A 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题 9 （5 分）已知函数，将 f（x）的图象上所有点向右平移 （0） 个单位长度，得到的图象关于直线对称，则 的最小值为（ ） 第 11 页（共 25 页） A B C D 【分析】根据三角函数图象平移法则写出平移后的函数解析式，再
21、根据函数图象关于直 线对称求出 的最小值 【解答】解：函数， 将 f（x）的图象上所有点向右平移 （0）个单位长度， 得 yf（x）2sin2（x）+2sin（2x2+） ； 又函数 y 的图象关于直线对称， 即 22+k+，kZ； 解得 k，kZ； 又 0，所以 的最小值为 故选：C 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了图象平移问题，是基 础题 10 （5 分）设 是给定的平面，A，B 是不在 内的任意两点有下列四个命题： 在 内存在直线与直线 AB 异面； 在 内存在直线与直线 AB 相交； 存在过直线 AB 的平面与 垂直； 存在过直线 AB 的平面与 平行 其中，
22、一定正确的是（ ） A B C D 【分析】根据空间中的直线与平面、以及平面与平面的位置关系，判断题目中的命题真 假性即可 【解答】解：对于，无论直线 AB 与 平行，还是直线 AB 与 相交， 都在 内存在直线与直线 AB 异面，所以正确； 对于，当直线 AB 与 平行时， 平面 内不存在直线与直线 AB 相交，所以错误； 对于，无论直线 AB 与 平行，还是直线 AB 与 相交， 都存在过直线 AB 的平面与 垂直，所以正确； 对于，若直线 AB 与 相交， 第 12 页（共 25 页） 则不存在过直线 AB 的平面与 平行，所以错误； 综上知，正确的命题序号是 故选：B 【点评】本题考查
23、了空间中的直线与平面以及平面与平面的位置关系应用问题，是基础 题 11 （5 分）已知圆 O 的半径是，点 P 是圆 O 内部一点（不包括边界） ，点 A 是圆 O 圆 周上一点，且，则的最小值为（ ） A B12 C D13 【分析】可画出图形，根据即可得出，并得出 0cosO 1，从而得出的最小值 【解答】解：如图， OA， ， ，0cosO1， ， 当 cosO1 时取等号， 的最小值为 故选：C 【点评】本题考查了向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题 12 （5 分）已知球 O 是正四面体 ABCD 的外接球，BC2，点 E 在线段 BD 上，且 BD 3BE，过点
24、E 作球 O 的截面，则所得截面圆面积的最小值是（ ） A B C D 【分析】由正四面体的棱长求出底面外接圆的半径即棱锥的高，再由外接球的半径与高 第 13 页（共 25 页） 和底面外接圆的半径之间的关系求出外接球的半径，在BEO，由余弦定理求出 EO的 值，当过 E 的截面与 OE 垂直时，截面的面积最小，求出 OE，再求求出截面的半径，进 而求出截面的面积 【解答】解：作 AO面 BCD，垂足为 O连接 BO并延长交 CD 于 F， 由题意得 F 时 CD 的中点，且 O为三角形 BCD 的外接圆的圆心，设三角形 BCD 的外接 圆半径为 r，则 rBO， 高 hAO， 设外接球的球心
25、为 O，设外接球的半径为 R，则由题意知 O 在 AO上，连接 OB，ROB， 在三角形 BOO中：R2r2+（hR）2， 所以 2Rhr2+h2，将 r，h 值代入可得：R， 所以 OOAOR， 因为点 E 在线段 BD 上，且 BD3BE，BD2，所以 BE，在三角形 BEO中，由余 弦定理：OE ， 正三角形 OEO中，OE2OE2+OO2（）2+（）2 当过 E 的截面与 OE 垂直时， 截面的面积最小， 设截面的半径为 r则 r2R2OE2 （） 2 ， 所以截面的面积 Sr2， 故选：A 【点评】考查正四面体的外接球的半径与棱长的关系，及截面面积最小时的情况属于 中档题 第 14
26、页（共 25 页） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.请把答案填在答题卡的相应位置上请把答案填在答题卡的相应位置上 13 （5 分） “角谷定理”的内容为对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘 3 再加 1； 如果它是偶数，则对它除以 2；如此循环，最终都能够得到 1如图为研究角谷定理的一 个程序框图若输入 n 的值为 6，则输出 i 的值为 8 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算 n 的值并输出相 应变量 i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：i0，n
27、6； n 为偶数，n3，i1； n 为奇数，n10，i2； n 为偶数，n5，i3； n 为奇数，n16，i4； n 为偶数，n8，i5； n 为偶数，n4，i6； n 为偶数，n2，i7； n 为偶数，n1，i8； 跳出循环，输出结果 8， 故答案为：8 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 14 （5 分）已知 cos（2+），则 sin（2） 第 15 页（共 25 页） 【分析】直接根据诱导公式把所求问题转化为 sin（2）cos（2） cos（2）cos（2+）cos（2）即可求解 【解答】解：因为 sin（2）cos（
28、2）cos（2）cos （2+）cos（2） 故答案为： 【点评】本题主要考查诱导公式在解题中的应用，属于基础题目 15 （5 分） 若 （3+ax） （1+x） 4 展开式中 x 的系数为 13， 则展开式中各项系数和为 64 （用 数字作答） 【分析】依题意，可得 3+a12+a13，求得 a1，再赋值 x1，即可求得展开 式中各项系数和 【解答】解：（3+ax） （1+x）4展开式中 x 的系数为：3+a12+a13， a1， 令 x1，得： （3+x） （1+x）4展开式中各项系数和为： （3+11） （1+1）464， 故答案为：64 【点评】本题考查二项式定理，依题意，求得 a1
29、是关键，考查赋值法的灵活应用，属 于中档题 16 （5 分）已知函数 f（x）（其中 e 为自然对数的底数） ，则不等 式 f（x）+f（x1）0 的解集为 【分析】根据 f（x）+f（x1）0，分 x1，1x2 和 x2 三种情况解不等式即可 【解答】解：因为 f（x）， 当 x1 时，x10，由 f（x）+f（x1）0， 得 ex 1e1x+ex2e2x0， ，又 x1，； 当 1x2 时，0x11，由 f（x）+f（x1）0， 第 16 页（共 25 页） 得|x2|1+ex 2e2x0，|x2|1ex2+e2x， 当 1x2 时，|x2|0，1） ，1ex 2+e2x1，1+e+ ）
30、， 当 1x2 时，f（x）+f（x1）0 成立，1x2， 当 x2 时，由 f（x）+f（x1）0， 得|x2|1+|x3|10，|x2|+|x3|2， ，又 x2， 综上，不等式的解集为 故答案为： 【点评】本题考查了指数不等式和绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想和计算能 力，属中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 17 至至 21 题为必考题，每个试题题为必考题，每个试题考生都必须作答，第考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考
31、题，考生根据要求作答. （一）必考题：本大题共（一）必考题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 12 分，共分，共 60 分分. 17 （12 分）已知数列an中，a11 且 2an+16an+2n1（nN*） （1）求证：数列为等比数列； （2）求数列an的前 n 项和 Sn 【分析】 （1）把已知的递推关系式整理即可证明结论； （2）先利用（1）的结论求出通项公式，再直接利用分组求和即可求解 【解答】 （1）证明： ； ； 为等比数列，首项为，公比为 3 （2）解：由（1）得：； ； 第 17 页（共 25 页） 【点评】本题主要考查由数列的递推关系式求数列的通项以及分组求和的应用，是
32、对数 列知识的综合考查，属于中档题目 18 （12 分）如图，在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 2acosCc 2b （1）求角 A 的大小； （2）若，AC 边上的中线 BD 的长为，求ABC 的面积 【分析】 （1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinC2sinCcosA， 结合 sinC0，可求 cosA 的值，结合范围 A（0，） ，可求 A 的值 （2）由（1）利用三角形的内角和定理可求 C 的值，设 ADx，可求 AB2x，利用余弦 定理可求 x 的值，根据三角形的面积公式即可得解 【解答】解： （1）由 2acosCc2b，及正弦定
33、理，得 2sinAcosCsinC2sinB， 即 2sinAcosCsinC2sin（A+C） ， 整理得sinC2sinCcosA， 因为 sinC0， 所以， 又因为 A（0，） ， 则， （2）由（1）知， 又因为， 第 18 页（共 25 页） 所以， 所以 ACAB， 设 ADx，则 AB2x， 在ABD 中应用余弦定理，得：BD2AB2+AD22ABADcosA， 即 7x27，解得 x1， 故ABC 的面积 【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的内角和定理，余 弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基 础题 19 （1
34、2 分）如图，在四棱锥 SABCD 中，已知四边形 ABCD 是边长为的正方形，点 S 在底面 ABCD 上的射影为底面 ABCD 的中心点 O，点 P 在棱 SD 上，且SAC 的面积为 1 （1）若点 P 是 SD 的中点，求证：平面 SCD平面 PAC； （2）在棱 SD 上是否存在一点 P 使得二面角 PACD 的余弦值为？若存在，求出 点 P 的位置；若不存在，说明理由 【分析】 （1）根据题意证明 CPSD，APSD，得出 SD平面 PAC，即可证明平面 SCD 平面 PAC； （2）连接 OB，易知 OB，OC，OS 两两互相垂直，建立空间直角坐标系 Oxyz， 设存在点 P 使
35、得二面角 PACD 的余弦值为，则 01； 利用法向量表示二面角的余弦值，求出 的值，从而求出点 P 的位置 【解答】解： （1）点 S 在底面 ABCD 上的射影为点 O，SO平面 ABCD， 四边形 ABCD 是边长为的正方形，AC2； 第 19 页（共 25 页） 三角形 SAC 的面积为 1，即 SO1， SC，CD，点 P 是 SD 的中点， CPSD，同理可得 APSD； 又因为 APCPP，AP，CP平面 PAC； SD平面 PAC， SD平面 SCD，平面 SCD平面 PAC （2）如图，连接 OB，易得 OB，OC，OS 两两互相垂直， 分别以 OB，OC，OS 为 x 轴，
36、y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz， 则 A（0，1，0） ，C（0，1，0） ，S（0，0，1） ，D（1，0，0） ； 假设存在点 P 使得二面角 PACD 的余弦值为， 不妨设，又点 P 在棱 SD 上，01， 又（1，0，1） ， （，0，） ，P（，0，1） ， 设平面 PAC 的法向量为 （x，y，z） ，则， （，1，1） ，（0，2，0） ， ， 令 z，可得 x1，平面 PAC 的一个法向量为 （1，0，） ， 又平面 ACD 的一个法向量为（0，0，1） ，二面角 PACD 的余弦值为； |cos， |， 即 32+210， 解得 或 1（不合题意，舍去） ； 所以
37、存在点 P 符合题意，点 P 为棱 SD 靠近端点 S 的三等分点 第 20 页（共 25 页） 【点评】本题考查了空间中的垂直关系应用问题，也考查了利用空间向量求出二面角余 弦的计算问题，是中档题 20 （12 分） 东莞的轻轨给市民出行带来了很大的方便， 越来越多的市民选择乘坐轻轨出行， 很多市民都会开汽车到离家最近的轻轨站，将车停放在轻轨站停车场，然后进站乘轻轨 出行，这给轻轨站停车场带来很大的压力某轻轨站停车场为了解决这个问题，决定对 机动车停车施行收费制度，收费标准如下：4 小时内（含 4 小时）每辆每次收费 5 元；超 过 4 小时不超过 6 小时，每增加一小时收费增加 3 元；超
38、过 6 小时不超过 8 小时，每增 加一小时收费增加 4 元，超过 8 小时至 24 小时内（含 24 小时）收费 30 元；超过 24 小 时，按前述标准重新计费上述标准不足一小时的按一小时计费为了调查该停车场一 天的收费情况， 现统计1000辆车的停留时间 （假设每辆车一天内在该停车场仅停车一次） ， 得到下面的频数分布表： T（小时） （0，4 （4，5 （5，6 （6，7 （7，8 （8，24 频数 （车次） 100 100 200 200 350 50 以车辆在停车场停留时间位于各区间的频率代替车辆在停车场停留时间位于各区间的概 率 （1）现在用分层抽样的方法从上面 1000 辆车中
39、抽取了 100 辆车进行进一步深入调研， 记录并统计了停车时长与司机性别的 22 列联表： 男 女 合计 不超过 6 小时 30 6 小时以上 20 合计 100 完成上述列联表，并判断能否有 90%的把握认为“停车是否超过 6 小时”与性别有关？ 第 21 页（共 25 页） （2） （i）X 表示某辆车一天之内（含一天）在该停车场停车一次所交费用，求 X 的概率 分布列及期望 E（X） ； （ii）现随机抽取该停车场内停放的 3 辆车， 表示 3 辆车中停车费用大于 E（X）的车辆 数，求 P（2）的概率 参考公式：，其中 na+b+c+d P（K2k0） 0.40 0.25 0.15 0
40、.10 0.05 0.025 k0 0.780 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 【分析】 （1）作出22列联表，求出 ，从而没有超过 90%的把握认 为“停车是否超过 6 小时”与性别有关 （2） （i）由题意知：X 的可取值为 5，8，11，15，19，30，分别求出相应的概率，由此 有求出 X 的分布列和数学期望 （ii）由题意得，从而 B（3，） ，由此能求出 P（ 2）的概率 【解答】解： （1）22 列联表如下： 男 女 合计 不超过 6 小时 10 30 40 6 小时以上 20 40 60 合计 30 70 100 根据上表数据代入公式可得， 所以没有
41、超过 90%的把握认为“停车是否超过 6 小时”与性别有关 （2） （i）由题意知：X 的可取值为 5，8，11，15，19，30， ， ， 所以 X 的分布列为： X 5 8 11 15 19 30 第 22 页（共 25 页） P（X） （ii）由题意得， B（3，） ， 【点评】本题考查独立检验的应用，考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的 求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）e2x+mx，x（0，+） （其中 e 为自然对数的底数） （1）求 f（x）的单调性； （2）若 m2，g（x），对于任意 a（0，1） ，是否存在
42、与 a 有关的正常数 x0，使得成立？如果存在，求出一个符合条件 x0；否则说明理由 【分析】 （1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可判断， （2）需求一个 x0，满足结论成立，只要求出的最小值，满足 t（x） min0，结合函数的性质及导数即可证明 【解答】解： （1）f（x）2e2x+m， 当 m0 时，f（x）0 恒成立，所以 f（x）在（0，+）上的单调递增； 当2m0 时，x（0，+） ，f（x）0，所以 f（x）在（0，+）上的单调递 增； 当 m2 时，由 f（x）0 得， 时，f（x）0，f（x）单调递减， 时，f（x）0，f（x）单调递增； 综上所述：当 m2 时
43、，f（x）在（0，+）上的单调递增； 当 m2 时，f（x）在上单调递减，f（x）在上 单调递增； （2） 第 23 页（共 25 页） （*） ， 需求一个 x0，使（*）成立，只要求出的最小值，满足 t（x）min0， t（x）在（0，lna）上单调递减，在（lna，+）上单调递 增， ， 只需证明在 a（0，1）内成立即可， 令， （a）在 a（0，1）单调递增， ， 所以 t（x）min0，故存在与 a 有关的正常数 x0lna（0a1）使（*）成立 【点评】本题考查了导数的综合应用，考查了一定的推理与运算的能力，属于中档题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分，请考生在第分，请
44、考生在第 22，23 题中任选一题作题中任选一题作答，如果多做，则按所做的答，如果多做，则按所做的 第一题计分，作答时请写清题号第一题计分，作答时请写清题号.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的普通方程为 x2+y24x6y+50在以坐标原点 为 极 点 ， x轴 正 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中 ， 直 线l的 极 坐 标 方 程 为 （1）写出圆 C 的参数方程和直线 l 的直角坐标方程； （2）设点 P 在 C 上，点 Q 在 l 上，求|PQ|的最小值及此时点 P 的直角坐标 【分析】 （1）直接利用
45、转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进 行转换 （2）利用点到直线的距离公式的应用和方程组的解法的应用求出结果 【解答】解： （1）圆 C 的方程可化为（x2）2+（y3）28，圆心为 C（2，3） ，半径 为， 第 24 页（共 25 页） 圆 C 的参数方程为（ 为参数） 直线 l 的极坐标方程可化为 sin+cos3， ， 直线 l 的直角坐标方程为 x+y+30 （2） ：曲线 C 是以 C（2，3）为圆心，半径为的圆， 圆心 C（2，3）到直线 l：x+y+30 的距离， 所以， 此时直线 PQ 经过圆心 C（2，3） ，且与直线 l：x+y+30 垂直，kPQkl1， 所以 kPQ1，PQ 所在直线方程为 y3x2，即 yx+1 联立直线和圆的方程， 解得或 当|PQ|取得最小值时，点 P 的坐标为（0，1） 所以，此时点
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