1、集合 Mx|x，kZ，Nx|x+，kZ，则（ ） AMN BMN CNM DMN 2 （5 分）原命题为“若 z1，z2互为共轭复数，则|z1|z2|” ，关于其逆命题，否命题，逆否 命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ） A真，假，真 B假，假，真 C真，真，假 D假，假，假 3 （5 分）已知平面向量 ， 是非零向量，| |2， （ +2 ） ，则向量 在向量 方向上 的投影为（ ） A1 B1 C2 D2 4 （5 分）平面 平面 的一个充分条件是（ ） A存在一条直线 a，a，a B存在一条直线 a，a，a C存在两条平行直线 a，b，a，b，a，b D存在两条异面直线 a，b，a，
2、b，a，b 5 （5 分）函数 f（x）log2x3sin（x）零点的个数是（ ） A2 B3 C4 D5 6 （5 分）已知函数 f（x）asin2xbcos2x（a，b 为常数，a0，xR）在处取得最 大值，则函数是（ ） A奇函数且它的图象关于点对称 B偶函数且它的图象关于点对称 C奇函数且它的图象关于 x 对称 D偶函数且它的图象关于 x 对称 7 （5 分）已知函数 f（x）的图象连续且在（2，+）上单调，又函数 yf（x+2）的图象 关于 y 轴对称，若数列an是公差不为 0 的等差数列，且 f（a4）f（a2016） ，则an的 第 2 页（共 27 页） 前 2019 项之和为
3、（ ） A0 B2019 C4038 D4040 8 （5 分）函数 f（x）2|sinx|+cos2x 在上的单调减区间为（ ） A和 B和 C和 D 9 （5 分）函数的值域是（ ） A B C0，1 D 10 （5 分）已知圆 x2+y21，点 A（1，0） ，ABC 内接于圆，且BAC60，当 B、C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是（ ） Ax2+y2 Bx2+y2 Cx2+y2（x） Dx2+y2（x） 11 （5 分）已知双曲线 C：的右焦点为 F，过点 F 向双曲线的一条渐近线引垂 线，垂足为 M，交另一条渐近线于 N，若，则双曲线的离心率（ ） A B C D2 12 （
4、5 分）若正四面体 SABC 的面 ABC 内有一动点 P 到平面 SAB，平面 SBC，平面 SCA 的 距离依次成等差数列，则点 P 在平面 ABC 内的轨迹是（ ） A一条线段 B一个点 C一段圆弧 D抛物线的一段 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.请将答案填在答题卡的相应位置上请将答案填在答题卡的相应位置上. 13 （5 分）在区间0，2上分别任取两个数 m，n，若向量，则满 足的概率是 14 （5 分）已知两个等差数列an和bn的前 n 项和分别为 An和 Bn，且，则 第 3 页（共 27 页） 15 （5 分）已
5、知随机变量 XB（2，p） ，YN（2，2） ，若 P（X1）0.64，P（0Y 2）p，则 P（Y4） 16 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，2b22a2+c2，当 tan（B A）取最大值时，角 A 的值为 三、解答题：满分三、解答题：满分 60 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答，第每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （12
6、分）已知数列an：满足：a12，an+an14n2（n2） （1）求数列an的通项公式； （2）若数列bn满足：b1+3b2+7b3+（2n1）bnan求数列bn的通项公式 18 （12 分）某花店根据过往某品种鲜花的销售记录，绘制出日销售量的频率分布直方图， 如图所示，将日销售量落入各组区间的频率视为概率，且假设每天的销售量相互独立 （）求在未来的 4 天中，有 2 天的日销售量低于 100 枝且另外 2 天不低于 150 枝的概 率； （）用 表示在未来的 4 天日销售量不低于 100 枝的天数，求随机变量 的分布列和 数学期望 19 （12 分）如图， AB 是圆 O 的直径，点 C 是
7、圆 O 上异于 A，B 的点，直线 PC平面 ABC， E，F 分别是 PA，PC 的中点 （）记平面 BEF 与平面 ABC 的交线为 l，试判断直线 l 与平面 PAC 的位置关系，并加 以证明； （）设 PC2AB，求二面角 ElC 大小的取值范围 第 4 页（共 27 页） 20 （12 分）已知椭圆 C：的离心率为，过左焦点 F 的直线与椭 圆交于 A，B 两点，且线段 AB 的中点为 （）求椭圆 C 的方程； （）设 M 为 C 上一个动点，过点 M 与椭圆 C 只有一个公共点的直线为 l1，过点 F 与 MF 垂直的直线为 l2，求证：l1与 l2的交点在定直线上，并求出该定直线
8、的方程 21 （12 分）已知函数 f（x）x+alnx，aR （）求函数 f（x）的单调区间； （）当 x1，2时，都有 f（x）0 成立，求 a 的取值范围； （）试问过点 P（1，3）可作多少条直线与曲线 yf（x）相切？并说明理由 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生从给出的第请考生从给出的第 22、23 两题中任选一题作两题中任选一题作答，并用答，并用 2B 铅笔在铅笔在 答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，如果多答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，如果多 做，则按所做的第一题计分做，则按所做的第
9、一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）已知直线 l 的参数方程为（t 为参数，0） ，以坐标原点为 极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C 的极坐标方程为 4cos， 射线 ， ，分别与曲线 C 交于 A，B，C 三点（不包括极点 O） ，其中 （）求证：； （）当时，若 B，C 两点在直线 l 上，求 m 与 的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x+a2|+|x2a| （）若 f（1）3，求实数 a 的取值范围； 第 5 页（共 27 页） （）若关于 x 的不等式 f（x）2 恒成立，求实数 a
10、 的取值范围 第 6 页（共 27 页） 2019-2020 学年广东省华南师大附中、实验中学、广雅中学、深学年广东省华南师大附中、实验中学、广雅中学、深 圳中学高三（上）期末数学试卷（理科）圳中学高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （5 分）集合 Mx|x，kZ，Nx|x+，kZ，则（ ） AMN BMN CNM DMN 【分析】根据 x，可分别取
11、 k2n 和 k2n3，nZ，从而可判断出 M， N 的关系 【解答】解：， k2n 时，；k2n3 时， MN 故选：B 【点评】本题考查了描述法的定义，知道整数分为奇数和偶数，真子集的定义，考查了 推理能力，属于基础题 2 （5 分）原命题为“若 z1，z2互为共轭复数，则|z1|z2|” ，关于其逆命题，否命题，逆否 命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ） A真，假，真 B假，假，真 C真，真，假 D假，假，假 【分析】根据共轭复数的定义判断命题的真假，根据逆命题的定义写出逆命题并判断真 假，再利用四种命题的真假关系判断否命题与逆否命题的真假 【解答】解：根据共轭复数的定义，原命题“若
12、 z1，z2互为共轭复数，则|z1|z2|”是真 命题； 其逆命题是： “若|z1|z2|，则 z1，z2互为共轭复数” ，例|1|1|，而 1 与1 不是互为 共轭复数， 原命题的逆命题是假命题； 根据原命题与其逆否命题同真同假，否命题与逆命题互为逆否命题，同真同假， 命题的否命题是假命题，逆否命题是真命题 第 7 页（共 27 页） 故选：B 【点评】本题考查了四种命题的定义及真假关系，考查了共轭复数的定义，熟练掌握四 种命题的真假关系是解题的关键 3 （5 分）已知平面向量 ， 是非零向量，| |2， （ +2 ） ，则向量 在向量 方向上 的投影为（ ） A1 B1 C2 D2 【分析
13、】先根据向量垂直，得到2，再根据投影的定义即可求出 【解答】解：平面向量是非零向量， （）0， 即+20， 即2， 向量 在向量 方向上的投影为1， 故选：A 【点评】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用解 答关键在于要求熟练应用公式 4 （5 分）平面 平面 的一个充分条件是（ ） A存在一条直线 a，a，a B存在一条直线 a，a，a C存在两条平行直线 a，b，a，b，a，b D存在两条异面直线 a，b，a，b，a，b 【分析】依据面面平行的定义与定理依次判断排除错误的，筛选出正确的 【解答】证明：对于 A，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行故 A
14、不对； 对于 B，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故 B 不对； 对于 C，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故 C 不对； 对于 D，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面 平行，故 D 正确 【点评】考查面面平行的判定定理，依据条件由定理直接判断 第 8 页（共 27 页） 5 （5 分）函数 f（x）log2x3sin（x）零点的个数是（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】函数的零点即的根，设 h （x）3sin（x） ，g（x）log2x，在同一坐标系内作出 g（x）和 h（x）的图象，通 过讨论 h（x、g（x）
15、的单调性与最值，得它们有且仅有 3 个交点，由此可得原函数零点 的个数 【解答】解：函数的零点即 方程的根，由此可得 设 h（x）3sin（x） ，g（x）log2x， 在同一坐标系内作出 g（x）和 h（x）的图象 函数 g（x）log2x 是对数函数，因为 21，所以图象为经过点（1，0）的增函数的曲 线 而 h（x）3sin（x）的周期为 T4，在原点的右侧它的第一个最大值点为 x 1，对应图中 A（1，3） ，第二个最大值点为 x5，对应图中 B（5，3） log253， 曲线 g（x）log2x 经过点 B 的下方，在 B 的左右各有一个交点 当 x8 时，log2x3，两个函数图象
16、有 3 个交点； 而当 x8 时，h（x）3sin（x）3g（x）log2x，两图象不可能有交点 h（x）3sin（x）与 g（x）log2x 的图象有且仅有 3 个不同的交点，得函数 的零点有 3 个 故选：B 第 9 页（共 27 页） 【点评】本题给出含有三角函数和对数的函数，求函数的零点的个数，着重考查了基本 初等函数的单调性、最值和函数零点的求法等知识，属于中档题 6 （5 分）已知函数 f（x）asin2xbcos2x（a，b 为常数，a0，xR）在处取得最 大值，则函数是（ ） A奇函数且它的图象关于点对称 B偶函数且它的图象关于点对称 C奇函数且它的图象关于 x 对称 D偶函数
17、且它的图象关于 x 对称 【分析】首先，根据已知得到 f（x）sin（2x） ，然后根据最值正弦函数图 象的性质得到 2k（kZ） ，再化简函数 f（x+） ，从而求解问题 【解答】解：f（x）asin2xbcos2xsin（2x） ，在 x处取得最大值， 2+2k（kZ） ，则 2k（kZ） ， f（x）sin（2x+） ， f（x+）sin（2x+）sin2x， 该函数是奇函数且它的图象关于点（，0）对称 故选：A 【点评】本题重点考查了辅助角公式、三角函数的最值、函数的基本性质等知识，属于 中档题 7 （5 分）已知函数 f（x）的图象连续且在（2，+）上单调，又函数 yf（x+2）的图
18、象 关于 y 轴对称，若数列an是公差不为 0 的等差数列，且 f（a4）f（a2016） ，则an的 第 10 页（共 27 页） 前 2019 项之和为（ ） A0 B2019 C4038 D4040 【分析】由函数 yf（x+2）的图象关于 y 轴对称，平移可得 yf（x）的图象关于 x2 对称，由题意可得 a4+a20164，利用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求的 和 【解答】解：函数 yf（x+2）的图象关于 y 轴对称，且函数 f（x）的图象连续且在（2， +）上单调， yf（x）的图象关于 x2 对称， 由数列an是公差不为 0 的等差数列，且 f（a4）f（a2016
19、） ， a4+a20164，又an是等差数列， a4+a2016a1+a20194， an的前 2019 项之和为 故选：C 【点评】本题考查了函数的平移变换、等差数列的性质以及等差数列的前 n 项和，需熟 记公式与性质，属中档题 8 （5 分）函数 f（x）2|sinx|+cos2x 在上的单调减区间为（ ） A和 B和 C和 D 【分析】先看出来其为偶函数，再求出大于 0 的单调区间进而求出结论 【解答】解：因为函数 f（x）2|sinx|+cos2x 在上满足 f（x）f（x） ； 所以 f（x）为偶函数； 当 0x时，则有 f（x）2sinx+cos2x2sin2x+2sinx+12（
20、sinx 2+ ； x，时，由复合函数的单调性可知， 正弦递增，二次函数递减， 整个函数递减； 所以：0x时，递减区间为：，； 又因为其为偶函数； 所以单调减区间为：，0和， 故选：B 第 11 页（共 27 页） 【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质以及复合函数的单调性，属于基础题目 9 （5 分）函数的值域是（ ） A B C0，1 D 【分析】根据变量的范围设 xsin，把所求转化半圆弧上的点与点 A（2，1）连线的斜 率，结合图象即可求解 【解答】解：由题意可得，1x1， 令 xsin，则等价于 y， 设 P（sin，|cos|） ；则点 P 在圆 x2+y21 的上半部分， 则的
21、几何意义是半圆弧上的点与点 A（2，1）连线的斜率， 由图象知，直线 AB 的斜率最小，此时 k0， 直线 AC 的斜率最大，此时 k1 故 0k1故函数的值域为0，1 故选：C 【点评】本题主要考查三角换元再解题中的应用以及数形结合思想的应用，属于中档题 目 10 （5 分）已知圆 x2+y21，点 A（1，0） ，ABC 内接于圆，且BAC60，当 B、C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是（ ） Ax2+y2 Bx2+y2 Cx2+y2（x） Dx2+y2（x） 第 12 页（共 27 页） 【分析】 将圆周角为定值转化为圆心角为定值， 结合圆心距构成的直角三角形得 OD， 从而得 B
22、C 中点的轨迹方程 【解答】解：设 BC 中点是 D， 圆心角等于圆周角的一半， BOD60， 在直角三角形 BOD 中，有 ODOB， 故中点 D 的轨迹方程是：x2+y2， 如图，由角 BAC 的极限位置可得，x， 故选：D 【点评】本题主要考查求轨迹方程，解决与平面几何有关的轨迹问题时，要充分考虑到 图形的几何性质，这样会使问题的解决简便些 11 （5 分）已知双曲线 C：的右焦点为 F，过点 F 向双曲线的一条渐近线引垂 线，垂足为 M，交另一条渐近线于 N，若，则双曲线的离心率（ ） A B C D2 【分析】由题意可知 F 为 MN 的三等分点，用 a，b，c 表示出OMN 的边长
23、，利用勾股 定理得出 a，b 的关系从而得出离心率 【解答】解：双曲线的渐近线方程为 y，设 M 在直线 y上，M（x0，） ， F（c，0） ， 第 13 页（共 27 页） 则 MFb，OMa， ，FN2b， SOFN2SOMF， 即cONsinNOF2acsinMOF MOFNOF， ON2a， 在 RtOMN 中，由勾股定理得 a2+9b24a2， b2， e 故选：A 【点评】本题考查了双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力， 属于中档题 12 （5 分）若正四面体 SABC 的面 ABC 内有一动点 P 到平面 SAB，平面 SBC，平面 SCA 的 距离依次成
24、等差数列，则点 P 在平面 ABC 内的轨迹是（ ） A一条线段 B一个点 C一段圆弧 D抛物线的一段 【分析】根据正四面体的体积为定值，可知 P 到三棱锥 SABC 的侧面 SAB、侧面 SBC、 侧面 SAC 的距离和为定值，又 P 到三棱锥 SABC 的侧面 SAB、侧面 SBC、侧面 SAC 的 距离依次成等差数列，故 P 到侧面 SBC 的距离为定值，从而得解 第 14 页（共 27 页） 【解答】解：设点 P 到三个面的距离分别是 d1，d2，d3 因为正三棱锥的体积为定值，所以 d1+d2+d3为定值， 因为 d1，d2，d3成等差数列， 所以 d1+d32d2 d2为定值， 所
25、以点 P 的轨迹是平行 BC 的线段 故选：A 【点评】本题以等差数列为载体，考查正三棱锥中的轨迹问题，关键是分析得出 P 到侧 面 SBC 的距离为定值 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.请将答案填在答题卡的相应位置上请将答案填在答题卡的相应位置上. 13 （5 分）在区间0，2上分别任取两个数 m，n，若向量，则满 足的概率是 【分析】根据平面向量的坐标运算求出满足| |1 时 m、n 所满足的条件，结合 m， n0，2，数形结合求得概率值 【解答】解：由 （m，n） ， （1，1） ，得 （m1，n1） ； 由| |1，
26、得1， 即（m1）2+（n1）21； 又 m，n 满足， 作出图形如图所示； 又圆（m1）2+（n1）21 的面积为 ，正方形 OABC 的面积为 4， 所以所求的概率值是 P 故答案为： 第 15 页（共 27 页） 【点评】本题考查了几何概型的概率计算问题，也考查了平面向量的模长公式计算问题， 是基础题 14 （5 分）已知两个等差数列an和bn的前 n 项和分别为 An和 Bn，且，则 【分析】由等差数列的性质可得：，即可得出 【解答】 解： 由等差数列的性质可得： 故答案为： 【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能 力，属于中档题 15 （5 分）
27、已知随机变量 XB（2，p） ，YN（2，2） ，若 P（X1）0.64，P（0Y 2）p，则 P（Y4） 0.1 【分析】推导出 P（X1）P（X1）+P（X2）0.64，从而 p 0.4，进而 P（0Y2）p0.4，由此能求出 P（Y4） 【解答】解：随机变量 XB（2，p） ，YN（2，2） ，P（X1）0.64， P（X1）P（X1）+P（X2） 0.64， 解得 p0.4，或 p1.6（舍） ， 第 16 页（共 27 页） P（0Y2）p0.4， P（Y4）（10.42）0.1 故答案为：0.1 【点评】本题考查概率的求法，考查二项分布、正态分布等基础知识，考查推理论证能 力、运算
28、求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题 16 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，2b22a2+c2，当 tan（B A）取最大值时，角 A 的值为 【分析】2b22a2+c2，由正弦定理可得：2sin2B2sin2Asin2C，利用和差化积公式、和 差公式、诱导公式、同角三角函数基本关系式可得 tanB3tanAA 为锐角代入 tan（B A） ，化简整理，利用基本不等式的性质即可得出 【解答】解：2b22a2+c2， 由正弦定理可得：2sin2B2sin2Asin2C， 2（sinB+sinA） （sinBsinA）sin2C， 和差化积：2
29、2sincos2cossinsin2C， 2sin（B+A）sin（BA）sin2Csin2（B+A） ，sin（B+A）0 2sin（BA）sin（B+A） ， 化为：tanB3tanAA 为锐角 tan （BA） ， 当且仅当 tanA，即 A时取等号 故答案为： 【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算 能力，属于中档题 三、解答题：满分三、解答题：满分 60 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答，第每个试题考生都必须作答，第 22、23 题
30、为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）已知数列an：满足：a12，an+an14n2（n2） （1）求数列an的通项公式； 第 17 页（共 27 页） （2）若数列bn满足：b1+3b2+7b3+（2n1）bnan求数列bn的通项公式 【分析】 （1）通过计算可得数列的前几项，即可得到an为以 2 为首项，2 为公差的等差 数列，由等差数列的通项公式即可得到所求； （2）考虑 n1，可得首项为 2，再由 n1，将 n 换为 n1，相减即可得到所求通项公 式 【解答】解： （1）数列an满足 a12，an+an
31、14n2（n2） ， a2+a16，a3+a210，a4+a314，a5+a418，a6+a522， a24，a36，a48，a510，a612， an为以 2 为首项，2 为公差的等差数列， an2n； （2）由 b1+3b2+7b3+（2n1）bnan， 可得 n1 时，b1a12， 当 n1 时，b1+3b2+7b3+（2n 11）b n1an1， 两式相减可得， （2n1）bnanan1， 由（1）可得， （2n1）bn2， 即有 bn，对 n1 同样成立， 则数列bn的通项公式为 bn，nN* 【点评】本题考查数列的通项的求法，考查转化思想，考查学生的计算能力，属于中档 题 18 （
32、12 分）某花店根据过往某品种鲜花的销售记录，绘制出日销售量的频率分布直方图， 如图所示，将日销售量落入各组区间的频率视为概率，且假设每天的销售量相互独立 （）求在未来的 4 天中，有 2 天的日销售量低于 100 枝且另外 2 天不低于 150 枝的概 率； （）用 表示在未来的 4 天日销售量不低于 100 枝的天数，求随机变量 的分布列和 数学期望 第 18 页（共 27 页） 【分析】 （）设日销量为 x，有 2 天日销售量低于 100 枝，另外 2 天不低于 150 枝为事 件 A求出 P（x100）0.4，P（x150）0.25，由此能求出在未来的连续 4 天中， 有 2 天的日销
33、售量低于 100 枝且另外 2 天不低于 150 枝的概率 （）日销售量不低于 100 枝的概率 P0.6，则 B（4，0.6） ，由此能求出随机变量 的分布列和数学期望 【解答】解： （）设日销量为 x，有 2 天日销售量低于 100 枝，另外 2 天不低于 150 枝 为事件 A 则 P（x100）0.00250+0.006500.4， P（x150）0.005500.25， 在未来的连续 4 天中， 有 2 天的日销售量低于 100 枝且另外 2 天不低于 150 枝的概率： （）日销售量不低于 100 枝的概率 P0.6，则 B（4，0.6） ， 于是， 则分布列为 0 1 2 3 4
34、 P 【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查 推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归转化思想，是中档题 19 （12 分）如图， AB 是圆 O 的直径，点 C 是圆 O 上异于 A，B 的点，直线 PC平面 ABC， E，F 分别是 PA，PC 的中点 第 19 页（共 27 页） （）记平面 BEF 与平面 ABC 的交线为 l，试判断直线 l 与平面 PAC 的位置关系，并加 以证明； （）设 PC2AB，求二面角 ElC 大小的取值范围 【分析】 （）利用线面平行的性质可直接得出结论； （）法一，作图找出二面角 ElC 的平面角，表示
35、其正切值，利用正切函数的性质 得解；法二，建立空间直角坐标系，利用向量求出二面角 ElC 的余弦值，由余弦函 数的性质得解 【解答】解： （）l平面 PAC 证明如下： EFAC，AC平面 ABC，EF平面 ABC， EF平面 ABC 又 EF平面 BEF，平面 BEF 与平面 ABC 的交线为 l， EFl 而 l平面 PAC，EF平面 PAC， l平面 PAC （）解法一：设直线 l 与圆 O 的另一个交点为 D，连结 DE，FB 由（）知，BDAC，而 ACBC， BDBC PC平面 ABC， PCBD 而 PCBCC， BD平面 PBC， 又FB平面 PBC， BDBF， 第 20 页
36、（共 27 页） FBC 是二面角 ElC 的平面角， 注意到， 0cosABC1， tanFBC1， ， ， 即二面角 ElC 的取值范围是 解法二：由题意，ACBC，以 CA 为 x 轴，CB 为 y 轴，CP 为 z 轴建立空间直角坐标系， 设 AB2，BCt（0t2） ，则 B（0，t，0） ，F（0，0，2） ， ， 设平面 DBF 的法向量为， 则由得，取 y2 得 易知平面 BCD 的法向量， 设 二 面 角E l C的 大 小 为 ， 易 知为 锐 角 ， ， ， 第 21 页（共 27 页） 即二面角 ElC 的取值范围是 【点评】本题考查线面平行的判定及性质，考查空间角的综
37、合问题，考查逻辑推理能力 及数形结合思想，属于中档题 20 （12 分）已知椭圆 C：的离心率为，过左焦点 F 的直线与椭 圆交于 A，B 两点，且线段 AB 的中点为 （）求椭圆 C 的方程； （）设 M 为 C 上一个动点，过点 M 与椭圆 C 只有一个公共点的直线为 l1，过点 F 与 MF 垂直的直线为 l2，求证：l1与 l2的交点在定直线上，并求出该定直线的方程 【分析】 （）由题可知 F（c，0） ，直线 AB 的斜率存在设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 由于点 A， B 都在椭圆上， 代入椭圆方程相减即可得出 又因为直线 AB 过焦点 F， 线段 AB 的中点为，利
38、用根与系数的关系即可得出 （） ：设 M（x0，y0） ，由对称性，设 y00，由，得椭圆上半部分的方程为 ，根据 l1过点 M 且与椭圆只有一个公共 点，可得斜率，再根据相互垂直的直线斜率之间的关系、直线的交点即可得出 【解答】解： （）由题可知 F（c，0） ，直线 AB 的斜率存在 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，由于点 A，B 都在椭圆上， 第 22 页（共 27 页） 所以， ，化简得 又因为离心率为，所以 又因为直线 AB 过焦点 F，线段 AB 的中点为， 所以， 代入式，得，解得 c1 再结合 a2b2c2，解得 a22，b21， 故所求椭圆的方程为 （）证明：设
39、M（x0，y0） ，由对称性，设 y00，由，得椭圆上半部分的方 程为， 又 l1过点 M 且与椭圆只有一个公共点，所以， 所以 l1：， 因为 l2过点 F 且与 MF 垂直，所以 l2：， 联立，消去 y，得， 又，所以，从而可得 x2， 所以 l1与 l2的交点在定直线 x2 上 第 23 页（共 27 页） 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、 “点差法” 、利用导数已经切线的斜率、 相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）x+alnx，aR （）求函数 f（x）的单调区间； （）当 x1，2时，都有 f（x）0 成
40、立，求 a 的取值范围； （）试问过点 P（1，3）可作多少条直线与曲线 yf（x）相切？并说明理由 【分析】 （）求出函数 f（x）的定义域，函数的导函数，通过（1）当 a0 时， （2）当 a0 时，当 0xa 时，当 xa 时，导函数的符号，判断函数的单调性 （） （1）当a1 时， （2）当 1a2 时， （3）当a2 时，分别求解函数的最值 （）设切点为（x0，x0+alnx0） ，则切线斜率，求出切线方程，切线过点 P（1， 3） ，推出关系式，构造函数（x0） ，求出导函数， （1）当 a0 时，判断 g（x）单调性，说明方程 g（x）0 无解，切线的条数为 0 （2）当 a0
41、时，类比求解，推出当 a0 时，过点 P（1，3）存在两条切线 （3）当 a0 时，f（x）x，说明不存在过点 P（1，3）的切线 【解答】解： （）函数 f（x）的定义域为x|x0 （1）当 a0 时，f（x）0 恒成立，函数 f（x）在（0，+）上单调递增； （2）当 a0 时，令 f（x）0，得 xa 当 0xa 时，f（x）0，函数 f（x）为减函数； 当 xa 时，f（x）0，函数 f（x）为增函数 综上所述，当 a0 时，函数 f（x）的单调递增区间为（0，+） 当 a0 时，函数 f（x）的单调递减区间为（0，a） ，单调递增区间为（a，+） （4 分） （）由（）可知， （1）
42、当a1 时，即 a1 时，函数 f（x）在区间1，2上为增函数， 所以在区间1，2上，f（x）minf（1）1，显然函数 f（x）在区间1，2上恒大于零； （2）当 1a2 时，即2a1 时，函数 f（x）在1，a）上为减函数，在（ a，2 上为增函数，所以 f（x）minf（a）a+aln（a） 依题意有 f（x）mina+aln（a）0，解得 ae，所以2a1 第 24 页（共 27 页） （3）当a2 时，即 a2 时，f（x）在区间1，2上为减函数， 所以 f（x）minf（2）2+aln2 依题意有 f（x）min2+aln20，解得，所以 综上所述，当时，函数 f（x）在区间1，2
43、上恒大于零（8 分） （）设切点为（x0，x0+alnx0） ，则切线斜率， 切线方程为 因为切线过点 P（1，3） ，则 即 令（x0） ，则 （1）当 a0 时，在区间（0，1）上，g（x）0，g（x）单调递增； 在区间（1，+）上，g（x）0，g（x）单调递减， 所以函数 g（x）的最大值为 g（1）20 故方程 g（x）0 无解，即不存在 x0满足式 因此当 a0 时，切线的条数为 0 （2）当 a0 时，在区间（0，1）上，g（x）0，g（x）单调递减， 在区间（1，+）上，g（x）0，g（x）单调递增， 所以函数 g（x）的最小值为 g（1）20 取，则 故 g（x）在（1，+）上
44、存在唯一零点 取，则 设，u（t）et2t，则 u（t）et2 当 t1 时，u（t）et2e20 恒成立 所以 u（t）在（1，+）单调递增，u（t）u（1）e20 恒成立所以 g（x2）0 第 25 页（共 27 页） 故 g（x）在（0，1）上存在唯一零点 因此当 a0 时，过点 P（1，3）存在两条切线 （3）当 a0 时，f（x）x，显然不存在过点 P（1，3）的切线 综上所述，当 a0 时，过点 P（1，3）存在两条切线； 当 a0 时，不存在过点 P（1，3）的切线（13 分） 【点评】本题考查函数的导数的综合应用，切线方程的求法，函数的单调性以及函数的 最值，考查分析问题解决问题的能力，转化思想以及分类讨论思想的应用，是难度比较 大的题目 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生从给出的第请考生从给出的第 22、23 两题中任选一题作答，并用两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在铅笔在 答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，如果多答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，如果多 做，则按所做的第一题计分做，则按所做
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