2019-2020学年广东省六校联盟高三（下）第三次联考数学试卷（理科）含详细解答

1、设 aR，b0，则 3ab 是 alog3b 的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，既吹东风又下雨的概 率为则在吹东风的条件下下雨的概率为（ ） A B C D 5（5 分） 设等差数列an的前 n 项和为 Sn（nN*） ， 当首项 a1和公差 d 变化时， 若 a1+a8+a15 是定值，则下列各项中为定值的是（ ） AS15 BS16 CS17 DS18 6 （5 分）设ABC 的内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c 若 a3，则 B （ ） A B C或 D 7 （5 分

2、）已知椭圆 C：+1（ab0）的左、右焦点为 F1、F2，离心率为， 过 F2的直线 l 交 C 于 A、B 两点，若AF1B 的周长为 4，则 C 的方程为（ ） A+1 B+y21 第 2 页（共 26 页） C+1 D+1 8 （5 分）已知向量 （cos，sin） ， （1，） ，若 与 的夹角为，则| | （ ） A2 B C D1 9 （5 分）函数的图象的大致形状是（ ） A B C D 10 （5 分）已知双曲线的左，右焦点分别为 F1，F2，点 A 在双 曲线上，且 AF2x 轴，若AF1F2的内切圆半价为，则其离心率为（ ） A B2 C D 11 （5 分）设函数 f（x

3、）sin（x+） ，若 f（）f（）f（） ，则 的最 小正值是（ ） A1 B C2 D6 12 （5 分）在我国古代数学名著九章算术中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面 的三棱柱称之为堑堵，如图，在堑堵 ABCA1B1C1中，ABBC，AA1AB，堑堵的顶点 C1到直线 A1C 的距离为 m，C1到平面 A1BC 的距离为 n，则的取值范围是（ ） 第 3 页（共 26 页） A （1，） B （，） C （，） D （，） 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知函数（a 为常数）在 x处取得极值，则 a

4、值 为 14 （5 分） 若 x2020a0+a1（x1） +a2（x1） 2+a2020 （x1） 2020， 则 + 15 （5 分）若函数 f（x）（c0） ，其图象的对称中心为（，） ，现已知 f（x） ，数列an的通项公式为 anf（） （nN+） ，则此数列前 2019 项的和 为 16 （5 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，以顶点 A 为球心，为半径作一 个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必

5、考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（1）必考题：共）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）已知函数 f（x）2sin（x+） cosx （1）若 0x，求函数 f（x）的值域； （2） 设ABC 的三个内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 若 A 为锐角且 f （A） ， b2，c3，求 cos（AB）的值 18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，DAB90ADBC， 第 4 页（共 26 页） AD侧面 PAB，PAB 是等边三角形，DA

6、AB2，BC，E 是线段 AB 的中点 （）求证：PECD； （）求 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值 19 （12 分）已知 O 为坐标原点，过点 M（1，0）的直线 l 与抛物线 C：y22px（p0）交 于 A，B 两点，且 （1）求抛物线 C 的方程； （2）过点 M 作直线 ll 交抛物线 C 于两点，记OAB，OPQ 的面积分别为 S1，S2， 证明：为定值 20 （12 分）十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领 广大农村地区人民群众脱贫奔小康经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步， 农民收入也逐年增加 为了更好的制定 2019 年关于加快提

7、升农民年收入力争早日脱贫的 工作计划，该地扶贫办统计了 2018 年 50 位农民的年收入并制成如下频率分布直方图： （1）根据频率分布直方图估计 50 位农民的年平均收入 （单位：千元） （同一组数据用 该组数据区间的中点值表示） ； （2）由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入 X 服从正态分布 N（，2） ， 其中 近似为年平均收入 ，2近似为样本方差 s2，经计算得；s26.92，利用该正态 分布，求： （i）在 2019 年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的 84.14%的农民的年收 入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？ （）为了调研“精准扶

8、贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了 1000 位农民若每个农民的年收入相互独立，问：这 1000 位农民中的年收入不少于 12.14 千 元的人数最有可能是多少？ 第 5 页（共 26 页） 附：参考数据与公式，若 X N（，2） ，则 P（X+）0.6826； P（2X+2）0.9545； P（3X+3）0.9973； 21 （12 分）已知函数 f（x）（1+x）t1 的定义域为（1，+） ，其中实数 t 满足 t0 且 t1直线 l：yg（x）是 f（x）的图象在 x0 处的切线 （1）求 l 的方程：yg（x） ； （2）若 f（x）g（x）恒成立，试确定 t 的取值范

9、围； （3）若 a1，a2（0，1） ，求证： + + 注：当 为实数时，有求 导公式（x）x 1 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一如果多做，则按所做的第一 题计分题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 2cos （1）若曲线 C1方程中的参数是 ，且 C1与 C2有且只有一个公

10、共点，求 C1的普通方程； （2）已知点 A（0，1） ，若曲线 C1方程中的参数是 t，0，且 C1与 C2相交于 P， Q 两个不同点，求的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分（本小题满分 0 分）分） 23已知函数 f（x）|x1|x+a|（aN*） ，f（x）2 恒成立 第 6 页（共 26 页） （1）求 a 的值； （2）若正数 x，y 满足证明： 第 7 页（共 26 页） 2019-2020 学年广东省六校联盟高三（下）第三次联考数学试卷学年广东省六校联盟高三（下）第三次联考数学试卷 （理科）（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本

11、题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要项是符合题目要求的求的. 1 （5 分）满足i（i 为虚数单位）的复数 z（ ） A+i Bi C+i Di 【分析】根据复数的基本运算即可得到结论 【解答】解：i， z+izi， 即 zi， 故选：B 【点评】本题主要考查复数的计算，比较基础 2 （5 分）已知集合 Ay|y，Bx|ylg（x2x2），则R（AB）（ ） A0，） B （，0），+） C （0，） D （，0，+） 【分析】求函数的值域得集合 A，求定义域得集合

12、 B， 根据交集和补集的定义写出运算结果 【解答】解：集合 Ay|yy|y00，+） ； Bx|ylg（x2x2）x|x2x20x|0x（0，） ， AB（0，） ， R（AB）（，0，+） 故选：D 【点评】本题考查了求函数的定义域和值域的应用问题，也考查了集合的运算问题，是 第 8 页（共 26 页） 基础题 3 （5 分）设 aR，b0，则 3ab 是 alog3b 的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，指数函数和对数函数的图象和性质分别进行 判断即可 【解答】解：aR，b0，则 3ab，利用对数函数

13、ylog3x 的图象和性质左右两侧同时 取对数可得：alog3b；故 3ab 能推出 alog3b aR，b0，若 alog3b 时，利用指数函数 y3x的图象和性质左右两侧同时取指数幂可 得：3ab；故 alog3b 能推出 alog3b 根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可知 C 正确 故选：C 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，指数函数和对数函数的图象和性质， 根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键 4 （5 分）根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，既吹东风又下雨的概 率为则在吹东风的条件下下雨的概率为（ ） A B C D 【分析】利用条件概率的计

14、算公式即可得出 【解答】解：设事件 A 表示四月份吹东风，事件 B 表示吹东风又下雨， 根据条件概率计算公式可得在吹东风的条件下下雨的概率 P（B|A） 故选：B 【点评】本题考查条件概率，正确理解条件概率的意义及其计算公式是解题的关键 5（5 分） 设等差数列an的前 n 项和为 Sn（nN*） ， 当首项 a1和公差 d 变化时， 若 a1+a8+a15 是定值，则下列各项中为定值的是（ ） AS15 BS16 CS17 DS18 【分析】利用等差数列的通项公式得 a8是定值，由此求出15a8 为定值 第 9 页（共 26 页） 【解答】解：等差数列an的前 n 项和为 Sn（nN*） ，

15、 当首项 a1和公差 d 变化时，a1+a8+a15是定值， a1+a8+a153a8是定值，a8是定值， 15a8为定值 故选：A 【点评】本题考查等差数列中前 n 项和为定值的项数的求法，考查等差数列的性质等基 础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 6 （5 分）设ABC 的内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c 若 a3，则 B （ ） A B C或 D 【分析】由已知及正弦定理可求 sinB，利用大边对大角可求 B 为锐角，利 用特殊角的三角函数值即可得解 B 的值 【解答】解：a3， 由正弦定理可得：sinB， ab，B 为锐角， B 故选：A 【点评】本题主要

16、考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的 应用，属于基础题 7 （5 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的左、右焦点为 F1、F2，离心率为， 过 F2的直线 l 交 C 于 A、B 两点，若AF1B 的周长为 4，则 C 的方程为（ ） A+1 B+y21 C+1 D+1 第 10 页（共 26 页） 【分析】利用AF1B 的周长为 4，求出 a，根据离心率为，可得 c1，求出 b，即可得出椭圆的方程 【解答】解：AF1B 的周长为 4， AF1B 的周长|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|2a+2a4a， 4a4， a， 离心率为， ，c1， b， 椭圆 C 的

17、方程为+1 故选：A 【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属 于基础题 8 （5 分）已知向量 （cos，sin） ， （1，） ，若 与 的夹角为，则| | （ ） A2 B C D1 【分析】根据题意，由向量 、 的坐标可得| |、| |的值，进而可得 的值，又由| |2 22 +2，代入数据计算可得答案 【解答】解：根据题意，向量 （cos，sin） ，则| |1， （1，） ，则| |， 又由 与 的夹角为，则 1 则| |2 22 +21+32 1， 则| |1； 故选：D 【点评】本题考查向量数量积的计算，关键掌握向量数量积的计算公式 第 11

18、 页（共 26 页） 9 （5 分）函数的图象的大致形状是（ ） A B C D 【分析】利用特殊点的坐标排除选项 C，D，利用导数判断 x（0，）上的单调性， 推出结果即可 【解答】解：当 x时，f（）0，排除选项 C，D； 函数的导数可得：f（x）， x（0，） ，f（x）0，函数是增函数， x（，） ，f（x）0，函数是减函数， 所以 A 正确B 错误 故选：A 【点评】本题考查函数的图象的判断，特殊点坐标的应用，考查计算能力 10 （5 分）已知双曲线的左，右焦点分别为 F1，F2，点 A 在双 曲线上，且 AF2x 轴，若AF1F2的内切圆半价为，则其离心率为（ ） A B2 C D

19、 【分析】由题意可得 A 在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得|AF1|AF2|2a，设 Rt AF1F2内切圆半径为 r，运用等积法和勾股定理，可得 rca，结合条件和离心率公 式，计算即可得到所求值 【解答】解：由点 A 在双曲线上，且 AF2x 轴， 第 12 页（共 26 页） 可得 A 在双曲线的右支上， 由双曲线的定义可得|AF1|AF2|2a， 设 RtAF1F2内切圆半径为 r， 运用面积相等可得|AF2|F1F2| r（|AF1|+|AF2|+|F1F2|） ， 由勾股定理可得|AF2|2+|F1F2|2|AF1|2， 解得 r， ， 则离心率 e， 故选：A 【点评】本题考

20、查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和三角形的等积法， 考查化简整理的运算能力，属于中档题 11 （5 分）设函数 f（x）sin（x+） ，若 f（）f（）f（） ，则 的最 小正值是（ ） A1 B C2 D6 【分析】根据函数值的关系，求出函数的一个对称轴和一个对称中心，结合对称轴和对 称中心与周期之间的关系进行求解即可， 【解答】解：由 f（）f（）得函数关于 x对称， f（）f（） ，得 x，即函数关于（，0）对称， 若 最小，则周期 T 最大， 第 13 页（共 26 页） 即对称轴和对称中心（，0）是相邻的两个值， 即，即 T， 又 T， 得 ， 故选：B 【点评】本题主

21、要考查三角函数的图象和性质，求出函数的对称性以及结合对称性和周 期之间的关系是解决本题的关键 12 （5 分）在我国古代数学名著九章算术中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面 的三棱柱称之为堑堵，如图，在堑堵 ABCA1B1C1中，ABBC，AA1AB，堑堵的顶点 C1到直线 A1C 的距离为 m，C1到平面 A1BC 的距离为 n，则的取值范围是（ ） A （1，） B （，） C （，） D （，） 【分析】设 AB1，AA1a，用 a 表示出 m，n，得出关于 a 的函数，根据 a 的范围可 求出的范围 【解答】解：设 ABBC1，则 ACA1C1，设 AA1a，则 CC1a， A1C，

22、 C1到直线 A1C 的距离 m， B1C1BC，BC平面 A1BC，B1C1平面 A1BC， B1C1平面 A1BC， C1到平面 A1BC 的距离等于 B1到平面 A1BC 的距离， 第 14 页（共 26 页） ， BCAB，BCBB1，ABBB1B， BC平面 ABB1A1， BCA1B， 又， n，n AA1AB，a1， 0， 故选：D 【点评】本题考查了棱柱的结构特征，空间距离的计算，属于中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知函数（a 为常数）在 x处取得极值，则 a 值 为 1 【分析】先对

23、函数进行求导，根据函数 f（x）在 x处有极值应有 f（）0，进 而可解出 a 的值 【解答】解：f（x）2acos2xcos3x， 根据函数 f（x）在 x处有极值，故应有 f（）0， 即 2acoscos（3）a+10， 解得 a1 故答案为：1 【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件属基础题 第 15 页（共 26 页） 14 （5 分） 若 x2020a0+a1（x1） +a2（x1） 2+a2020 （x1） 2020， 则 + （）20201 【分析】分别令 x0 和代入即可求解 【解答】解：x2020a0+a1（x1）+a2（x1）2+a2020（x1）2020， 令 x1

24、 得：a01； 令 x得： （）2020a0+； +1； 故答案为：1 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通 过给二项式的 x 赋值，可以简便的求出答案，属于基础题 15 （5 分）若函数 f（x）（c0） ，其图象的对称中心为（，） ，现已知 f（x） ， 数列an的通项公式为 anf （） （nN+） ， 则此数列前 2019 项的和为 2018 【分析】f（x），其图象的对称中心为（，1） ，从而 f（x）+f（1x）2， 由 S2019f（）+f（）+f（）+f（1） ，利用倒序相加求和法能求出 结果 【解答】解：函数 f（x）（c0） ，其图象

25、的对称中心为（，） ， f（x），其图象的对称中心为（，1） ，即 f（x）+f（1x）2， 数列an的通项公式为 anf（） （nN+） ， 此数列前 2019 项的和为： S2019f（）+f（）+f（）+f（1） ， 第 16 页（共 26 页） S2019f（）+f（）+f（）+f（1） ， 两式相加，得： 2S2019f（） +f（）+f（） +f（）+0+022018， 故答案为：2018 【点评】本题考查数列的前 2020 项和的求法，考查函数的对称中心、倒序相加求和法等 基础知识，考查运算求解能力，是中档题 16 （5 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，以顶

26、点 A 为球心，为半径作一 个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于 【分析】球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点 A 所在的三 个面上；另一类在不过顶点 A 的三个面上，且均为圆弧，分别求其长度可得结果 【解答】解：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点 A 所在的三个面上，即面 AA1B1B、面 ABCD 和面 AA1D1D 上；另一类在不过顶点 A 的三个 面上，即面 BB1C1C、面 CC1D1D 和面 A1B1C1D1上在面 AA1B1B 上，交线为弧 EF 且在 过球心 A 的大圆上，因为，AA11，则同理，所以 ，故弧 E

27、F 的长为，而这样的弧共有三条在面 BB1C1C 上，交线为弧 FG 且在距球心为 1 的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心 为 B，半径为，所以弧 FG 的长为这样的弧也有三 条 于是，所得的曲线长为 故答案为： 【点评】本题为空间几何体交线问题，找到球面与正方体的表面相交所得到的曲线是解 第 17 页（共 26 页） 决问题的关键，属基础题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生

28、根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（1）必考题：共）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）已知函数 f（x）2sin（x+） cosx （1）若 0x，求函数 f（x）的值域； （2） 设ABC 的三个内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 若 A 为锐角且 f （A） ， b2，c3，求 cos（AB）的值 【分析】 （1）利用三角恒等变换化简 f（x） ，根据 x 的取值范围即可求出函数 f（x）的值 域； （2）由 f（A）的值求出角 A 的大小，再利用余弦定理和正弦定理，即可求出 cos（AB） 的值 【解答】解： （1）f（x）2sin（x+） cosx

29、 （sinx+cosx） cosx sinxcosx+cos2x sin2x+cos2x+ sin（2x+）+；（2 分） 由得， ，（4 分） ， 即函数 f（x）的值域为；（6 分） （2）由， 得， 又由， ，解得；（8 分） 第 18 页（共 26 页） 在ABC 中，由余弦定理 a2b2+c22bccosA7， 解得；（10 分） 由正弦定理，得，（12 分） ba，BA， cos（AB）cosAcosB+sinAsinB （15 分） 【点评】本题考查了三角恒等变换以及正弦、余弦定理的应用问题，是综合性题目 18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形

30、，DAB90ADBC， AD侧面 PAB，PAB 是等边三角形，DAAB2，BC，E 是线段 AB 的中点 （）求证：PECD； （）求 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值 【分析】 （I） 根据线面垂直的性质和正三角形性质， 得 ADEP 且 ABEP， 从而得到 PE 平面 ABCD再结合线面垂直的性质定理，可得 PECD； （II）以 E 为原点，EA、EP 分别为 y、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系可得 E、 C、D、P 各点的坐标，从而得到向量、的坐标，利用垂直向量数量积等于 0 的方法，可得平面 PDE 一个法向量 （1，2，0） ，最后根据直线与平面所成角的公 式，可得

31、PC 与平面 PDE 所成角的正弦值为 【解答】解： （）AD侧面 PAB，PE平面 PAB，ADEP 又PAB 是等边三角形，E 是线段 AB 的中点，ABEP ADABA，PE平面 ABCD CD平面 ABCD，PECD（5 分） 第 19 页（共 26 页） （）以 E 为原点，EA、EP 分别为 y、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 则 E（0，0，0） ，C（1，1，0） ，D（2，1，0） ，P（0，0，） （2，1，0） ，（0，0，） ，（1，1，） 设 （x，y，z）为平面 PDE 的一个法向量 由 ，令 x1，可得 （1，2，0） （9 分） 设 PC 与平面 PDE

32、所成的角为 ，得 所以 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值为 （12 分） 【点评】本题在四棱锥中，求证异面直线相垂直并且求直线与平面所成的角，着重考查 了空间直线与直线之间的位置关系判断和用空间向量求直线与平面的夹角等知识，属于 中档题 19 （12 分）已知 O 为坐标原点，过点 M（1，0）的直线 l 与抛物线 C：y22px（p0）交 于 A，B 两点，且 （1）求抛物线 C 的方程； （2）过点 M 作直线 ll 交抛物线 C 于两点，记OAB，OPQ 的面积分别为 S1，S2， 证明：为定值 【分析】 （1）设直线 l 的方程为 xmy+1，与抛物线 C 的方程联立消去 x 得关

33、于 y 的方 程，利用根与系数的关系表示，从而求得 p 的值； 第 20 页（共 26 页） （2）由题意求出弦长|AB|以及原点到直线 l 的距离，计算OAB 的面积 S1，同理求出 OPQ 的面积 S2，再求+的值 【解答】 （1）解：设直线 l 的方程为：xmy+1， 与抛物线 C：y22px（p0）联立，消去 x 得： y22pmy2p0； 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则 y1+y22pm，y1y22p； 由，得 x1x2+y1y2（my1+1） （my2+1）+y1y2 （1+m2）y1y2+（y1+y2）m+1 （1+m2） （2p）+2pm2+1 2p+13，

34、解得 p2， 抛物线 C 的方程为 y24x； （2）证明：由（1）知，点 M（1，0）是抛物线 C 的焦点， 所以|AB|x1+x2+pmy1+my2+2+p4m2+4， 又原点到直线 l 的距离为 d， 所以OAB 的面积为 S14（m2+1）2， 又直线 l过点 M，且 ll， 所以OPQ 的面积为 S222； 所以+， 即+为定值 【点评】本题考查了抛物线的定义与性质的应用问题，也考查了直线与抛物线方程的应 第 21 页（共 26 页） 用问题，是中档题 20 （12 分）十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领 广大农村地区人民群众脱贫奔小康经过不懈的奋力

35、拼搏，新农村建设取得巨大进步， 农民收入也逐年增加 为了更好的制定 2019 年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的 工作计划，该地扶贫办统计了 2018 年 50 位农民的年收入并制成如下频率分布直方图： （1）根据频率分布直方图估计 50 位农民的年平均收入 （单位：千元） （同一组数据用 该组数据区间的中点值表示） ； （2）由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入 X 服从正态分布 N（，2） ， 其中 近似为年平均收入 ，2近似为样本方差 s2，经计算得；s26.92，利用该正态 分布，求： （i）在 2019 年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的 84.14%的农民的

36、年收 入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？ （）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了 1000 位农民若每个农民的年收入相互独立，问：这 1000 位农民中的年收入不少于 12.14 千 元的人数最有可能是多少？ 附：参考数据与公式，若 X N（，2） ，则 P（X+）0.6826； P（2X+2）0.9545； P（3X+3）0.9973； 【分析】 （1）由每一个小矩形中点的横坐标乘以频率作和得答案； 第 22 页（共 26 页） （2）由题意，XN（17.40，6.92） ， （i）由已知数据求得 P（x） ，进一步求得 得答案；

37、（）求出 P（X12.14） ，得每个农民年收入不少于 12.14 千元的事件概率为 0.9773， 设 1000 个农民年收入不少于 12.14 千元的人数为 ，则 B（103，p） ，求出恰好有 k 个 农民的年收入不少于 12.14 千元的事件概率，由1，得 k 1001p，结合 1001p978.233，对 k 分类分析得答案 【解答】解：（1） 17.40； （2）由题意，XN（17.40，6.92） （i）P（x）， 17.402.6314.77 时，满足题意， 即最低年收入大约为 14.77 千元； （）由 P（X12.14）P（X2）0.5+， 得每个农民年收入不少于 12.1

38、4 千元的事件概率为 0.9773， 记 1000 个农民年收入不少于 12.14 千元的人数为 ，则 B（103，p） ，其中 p0.9773 于是恰好有 k 个农民的年收入不少于 12.14 千元的事件概率是 P（k）， 从而由1，得 k1001p， 而 1001p978.233， 当 0k978 时，P（k1）P（k） ， 当 979k1000 时，P（k1）P（k） 由此可知，在走访的 1000 位农民中，年收入不少于 12.14 千元的人数最有可能是 978 【点评】本题考查正态分布曲线的特点及其意义，考查二项分布及其概率的求法，正确 理解题意是关键，是中档题 21 （12 分）已知

39、函数 f（x）（1+x）t1 的定义域为（1，+） ，其中实数 t 满足 t0 且 t1直线 l：yg（x）是 f（x）的图象在 x0 处的切线 （1）求 l 的方程：yg（x） ； 第 23 页（共 26 页） （2）若 f（x）g（x）恒成立，试确定 t 的取值范围； （3）若 a1，a2（0，1） ，求证： + + 注：当 为实数时，有求 导公式（x）x 1 【分析】 （1）根据函数的解析式求出导函数的解析式，求出切点坐标及切线的斜率（切 点的导函数值） ，可得直线 l 的方程 （2）构造函数 h（x）f（x）g（x） ，若 f（x）g（x）恒成立，即 h（x）0 在（ 1，+）上恒成立

40、，即 h（x）在（1，+）上的最小值不小于 0，分类讨论后，可得 满足条件的 t 的取值范围； （3）分 a1a2和 a1a2两种情况证明结论，并构造函数，先证得 （x）是单调减函数，进而得到结论 【解答】解： （1）f（x）（1+x）t1 f（x）t（1+x）x 1， f（0）t， 又 f（0）0， l 的方程为：ytx；2 （2）令 h（x）f（x）g（x）（1+x）ttx1h（x）t（1+x）t 1tt（1+x）t 11 当 t0 时， （1+x）t 11 单调递减， 当 x0 时，h（x）0 当 x（1，0） ，h（x）0，h（x）单调递减； 当 x（0，+） ，h（x）0，h（x）单

41、调递增 x0 是 h（x）的唯一极小值点， h（x）h（0）0，f（x）g（x）恒成立；4 当 0t1 时， （1+x）t 11 单调递减， 当 x0 时，h（x）0 当 x（1，0） ，h（x）0，h（x）单调递增； 当 x（0，+） ，h（x）0，h（x）单调递减 x0 是 h（x）的唯一极大值点， h（x）h（0）0，不满足 f（x）g（x）恒成立；6 第 24 页（共 26 页） 当 t1 时， （1+x）t 11 单调递增， 当 x0 时，h（x）0 当 x（1，0） ，h（x）0，h（x）单调递减； 当 x（0，+） ，h（x）0，h（x）单调递增 x0 是 h（x）的唯一极小值点

42、， h（x）h（0）0，f（x）g（x）恒成立； 综上，t（，0）（1，+） ；8 证明： （3）当 a1a2，不等式显然成立；9 当 a1a2时，不妨设 a1a2 则 令，xa1，a2 下证 （x）是单调减函数： 易知 a1a2（1，0） ，1+a1a2（0，1） ， 由（2）知当 t1， （1+x）t1+tx，xa1，a2 （x）0， （x）在a1，a2上单调递减 （a1）（a2） ， 即 综上，成立14 第 25 页（共 26 页） 【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数 的单调性，导数在函数最值问题中的应用，是导数的综合应用，难度比较大 （二）选考

43、题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一如果多做，则按所做的第一 题计分题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 2cos （1）若曲线 C1方程中的参数是 ，且 C1与 C2有且只有一个公共点，求 C1的普通方程； （2）已知点 A（0，1） ，若曲线 C1方程中的参数是 t，0，且 C1与 C2

44、相交于 P， Q 两个不同点，求的最大值 【分析】 （1）利用公式直接把极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆与圆相切，可以得 到等式，求出|t| （2） 把曲线 C1参数方程代入曲线 C2直角坐标方程，得到一个一元二次方程， 设与点 P， Q，的参数分别是 t1，t2 一元二次方程根与系数关系，求出+的表达式，求出 最大值 【解答】解： （1）2cos，曲线 C2的直角坐标方程为（x1）2+y21， 是曲线 C1：的参数，C1的普通方程为 x2+（y1）2t2， C1与 C2有且只有一个公共点，|t|1 或|t|+1， C1的普通方程为 x2+（y1）2（）2或 x2+（y1）2（）2 （2）t 是曲线 C1：的参数，C1是过点 A（0，1）的一条直线， 设与点 P，Q 相对应的参数分别是 t1，t2， 把，代入（x1） 2+y2