1、数学试卷 一、选择题 1. 设集合 ? ? 2 4,ln1Ax yxBx yx?，则AB?（） A.?2,2?B.?2,2?C.?1,2?D.?1,2? 2. 设M为不等式 10 10 xy xy ? ? ? ? ? ? 所表示的平面区域，则位于M内的点是（） A.?0,2B.?2,0?C.?0, 2?D.?2,0 3. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A. 7 6 B. 5 4 C. 4 3 D. 5 3 4.“3“a ?是“函数? ?1f xxxa xR? ?的最小值等于 2”的（） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件
2、5. 在我国古代数学著作详解九章算法中，记载着如图所示的一张数表，表 中除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数之和， 如： 6=3+3， 则这个表格中第 8 行第 6 个数是 （） A. ?uB. ?tC. ?tD. tt 6. 函数 1 41 x y ex ? ? （其中 ? 为自然对数的底数）的图象可能是（） 7. 抛掷一枚质地均匀的硬币，若出现正面朝上则停止抛掷，至多抛掷 i n次，设 抛掷次数为随机变量,1,2 i i?，若 12 =3,5nn ?，则（） A.? 1212 ,EEDD?B.? 1212 ,EEDD? C.? 1212 ,EEDD?D.? 1212 ,EEDD?
3、8. 已知函数? ? ? ? ? ? ? sin,0 , cos,0 xax f xa bR xbx ? ? ? ? ? ? 是偶函数，则, a b的值可能是 （） A., 33 ab ? ?B. 2 , 36 ab ? ? C., 36 ab ? ?D. 25 , 36 ab ? ? 9. 设 ?tht? 为非零不共线向量， 若 ? ? ? ? u ? ? h ? ? ? ? ? ? ? ， 则 （） A.? ? h ? ? ? ?B.? ? h ? h ? ? C.? ? ? ? ? ? hD.? ? ? ? h ? ? 10. 数列? ? n a满足? 1 13 44 n n anN a
4、 ? ? ?，若存在实数c，使不等式 221nn aca ? ? 对任意nN ? ?恒成立，当 1 1a ?时，c ?（） A. 1 6 B. 1 4 C. 1 3 D. 1 2 二、填空题 11. 设复数zai?且?1, 1 z bi a bR i i ? ? ? 为虚数单位，则ab ?_，z ?_. 12. 6 1 x x ? ? ? ? 的展开式的所有二次项系数和为_，常数项为_. 13. 设双曲线? 22 22 10,0 xy ab ab ?的左、 右焦点为 12 ,F F P为该双曲线上一点， 且 12 23PFPF?，若 12 60FPF? ? ，则该双曲线的离心率为_，渐近线方程
5、 为_. 14. 在? 中，若? 2 2sin3sin,sin2cossin 2 A ABCBC?， 则_,_. AC A AB ? 15. 已知 n S是等差数列? ? n a的前n 项和， 若 24 4,16SS?，则 5 a的最大值是_. 16. 安排 ?t?t?t?tt 共 6 名志愿者照顾甲、乙、丙三位老人，每两位志愿者照 顾一位老人， 考虑到志愿者与老人住址距离问题， 志愿者 ? 安排照顾老人甲， 志愿者 ? 不安排照顾老人乙，则安排方法共有_种. 17. 已知函数? ? 3 3,f xxaxb a bR?，当?0,2x?时，? ?f x的最大值 为?,M a b，则?,M a b
6、的最小值为_. 三、解答题 18. 已知函数? ? 2 13 sin3cos,0 222 x f xx ? ? （1）若1?，求? ?f x的单调递增区间； （2）若1 3 f ? ? ? ? ，求? ?f x的最小正周期 ? 的最大值. 19. 如图，在四棱锥 ? ? ? 中，? ?底面 ?，底面 ? 是直角梯形， ? ? ?,?,? ? ? ? ? ? ?， 是 ? 上的点 （1）求证：平面 ? ? ?； （2）若 E 是 PB 的中点，且二面角 ? ? ? ? 的余弦值为 6 3 ，求直线 ? 与平 面 ? 所成角的正弦值 20.（本题满分 15 分）已知数列?的各项均为正数，?u? u
7、 ? t? u ? t?是等 差数列，其前 ? 项和为?t? ?t? tu. （1）求数列?的通项公式; （2）设? u ? ?uu ? ? u ? ?，? ?u ?u ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，若对任意 的正整数 ?，都有 ? ?恒成立，求实数 ? 的取值范围. 21.（本题满分 15 分）如图，已知 ?ut?)为抛物线 ?：? ? ? t h 上一点， 过点 ?t ? ?)的直线与抛物线 C 交于 ?t? 两点（?t? 两点异于 ?） ，记直线 ?t? 的斜率分别为?ut?. （1）求?u?的值. （2）记? ?t ? ? 的面积分别为?ut?，当?u? ?ut?时， 求
8、?u ?的取值范围 22.（本题满分 15 分）已知函数 ? ? ? ? ? ? ? ? t? ? h)，其中 ? t h. （1）若 ? ? u，求证：?) t h. （2）若不等式 ? ? ? ? ? ? u ? u ? ? 对 ? ? h 恒成立，试求 ? 的取值范 围. 高三数学第 1 页（共 4 页） 2019 学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测 数学试题参考答案及评分标准 一、 选择题： 本大题共 10 小题， 每小题 4 分， 共 40 分 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C A A A D A C D B
9、非选择题部分（共 110 分） 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分 116，10 1264，20 137；y6x 14 2 3 ；1 159 1618 177 三、解答题： （本大题共 5 小题，共 74 分） 18 （） 当1?时， 2 13 ( )sin3cos 222 x f xx? 13 sincos 22 xx?sin() 3 x ? ? 令22, 232 kxkk ? ?Z 解得22, 66 kxkk ? ?Z 所以 f (x)的单调递增区间是2,2, 66 kkk ? ?Z7 分 （）由 2 13 ( )sin3cos 222 x
10、 f xx ? ? 13 sincos 22 xx?sin() 3 x? ? ? 因为( )1 3 f ? ?，所以sin()1 33 ? ? 则2 332 n ? ?，n?Z 解得 1 6 2 n? 又因为函数 f (x)的最小正周期 2 T ? ? ?，且 0， 所以当 1 2时，T 的最大值为 4 7 分 高三数学第 2 页（共 4 页） y P A B C D E x z 19（） 因为 PC平面 ABCD， AC?平面 ABCD， 所以 ACPC， 因为 AB2，ADCD1， 所以 ACBC2， 所以 AC2BC2AB2，所以 ACBC， 又 BCPCC， 所以 AC平面 PBC，
11、因为 AC?平面 EAC， 所以平面 EAC平面 PBC 7 分 （）以 C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 C(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，1，0)，设 P(0，0，a)（a0） ， 则 E(1 2， 1 2， 2） ， (1，1，0)， (0，0，a)， (1 2， 1 2， 2） ， 取 m(1，1，0)，则 m m 0， 所以 m 为平面 PAC 的法向量， 设 n(x，y，z)为平面 EAC 的法向量， 则 n n 0， 即 + = 0， + = 0，取 xa，ya，z2，则 n(a，a，2)， 依题意，|cos| 2 222+4 6 3 ， 解得 a2，所以
12、 n(2，2，2)， 设直线 PA 与平面 EAC 所成角为 ，则 sin|cos| 2 3 ， 即直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值为 2 3 8 分 20 （本题满分 15 分） 解 （）设bn的公差为 d，由 b2S681，得(2d)(1215d)81， 即 2 514190dd? 解得 d1 或 d19 5 因为数列an为各项均为正数，b1 1 12，所以 d0， 所以 d1 所以 bnn1，所以 an 1 (+1)2 7 分 高三数学第 3 页（共 4 页） （） 因为 cn(1 1 22)(1 1 32)(1 1 (+1)2) 13 22 24 32 (+2) (+1)2
13、+2 2(+1)， 因为 = 1 (+1)2 2(+1) +2 = 2 (+1)(+2) = 2( 1 +1 1 +2)， 所以 Tn2(1 2 1 3)( 1 3 1 4)( 1 +1 1 +2) +2 所以不等式 4aTncn，化为 4a +2 +2 2(+1)， 即 8a(+2) 2 (+1)1 3 1 2+恒成立， 而 g(n)13 1 2+单调递减， 所以 8a1，即 a1 8 8 分 21 （本题满分 15 分） （）将 M(1，2)代入抛物线 C：y22px 方程，得 p2， 所以抛物线方程为 y24x， 设直线 AB 方程为：xm(y2)2， 代入抛物线方程，得 y24my8m
14、80， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y24m，y1y2(8m8)， k1k2 12 11 22 21 12 1 2 4 1 22 2 2 4 1 16 (1+2)(2+2) 16 12+2(1+2)+4)4， 所以 k1k24 8 分 （）由（1）知 k1 4 1+21，2，所以 y122，4， k2 4 2+2，即 4 1+2 4 2+24， 所以 1 2 | | |1+2| |2+2| ( 1 +1) 2 4 1，4 （或 1 2 4 1 21，4） 7 分 22 （本题满分 15 分） （）由 a1，得 f (x)ex1ln(x1)，x0， 所以有 f (x)ex1
15、1 +1， 所以 f (x)在 ), 0 ? 上单调递增，且 f (0)1 e10，f (1) 1 20， 高三数学第 4 页（共 4 页） 所以存在 x0(0，1)，使 f (x0)0， 所以，当 x(0，x0)时，f (x)0，当 x(x0，)时，f (x)0， 所以 f (x)minf (x0)e01ln(x01)， （*） 且e01 1 0+10，即e 01 1 0+1， 两边取对数，得 ln(x01)1x0， 代入（*） ，有 f (x)minf (x0) 1 0+1x01 0 2 0+10 8 分 （）由题意得 ex aln(xa)2 + + 11ln2 对 x0 成立， （i）必
16、要性，将 x1 代入上述不等式， 得 e1aln(1a) + 31ln2， 即 ln(1a) + 3e1 a1ln20， 令 g(a)ln(1a) + 3e1 a1ln2， 易知 g(a)在(0，)上单调递增，且 g(1)0， 所以 0a1 （ii）下证当 0a1 时，exaln(xa)2 + + 11ln2 对 x0 成立 即证 ln(xa)2 + + 1ex a 1ln2， 因为 0a1， 所以 ln(xa)2 + + 1ex aln(x1)2 + 2ex1， 设 h(x)ln(x1)2 + 2ex 1， 则 h(x) 1 +1 1 2+2e x1， 显然 h(x)在0，)上单调递减，且 h(1)0， 所以 h(x)在0，1)上单调递增，在1，)上单调递减， 故 h(x)h(1)1ln2，不等式得证 由（i）和（ii）可知 0a1 7 分
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