1、 本试卷共 2 页，此页是第1页 金陵中学金陵中学 2020 届高三数学检测卷（届高三数学检测卷（22） 命题：陈康康 校审：朱骏 一、填空题： 本大题共 14 小题， 每小题 5 分，共 70 分请把答案填写在答题卡相应位置 上 1已知集合 A1，2，Ba，a23，若 AB2，则实数 a 的值为_ 2复数 z11 i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于第 _象限. 3根据如图所示的伪代码，当输入 a 的值为 4 时，输出的 S 值为 _ 4从某小学随机抽取 100 名同学，将他们的身高（单位：厘米） 数据绘制成频率分布直方图（如图）.若要从身高在120，130)， 130，140)，14
2、0，150三组内的学生中，用分层抽样的方法选 取 18 人参加一项活动，则从身高在140，150内的学生中选取的人 数应为_ 5从集合1，2，3中随机取一个元素，记为 a，从集合 2，3，4中随机取一个元素，记为 b，则 ab 的概率 为_ 6在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 C：x 2 a2 y2 b21 (a0，b0)的离心率为 10，则双曲线 C 的渐近线方 程为_ 7， 为两个不同的平面，m，n 为两条不同的直线，下列 命题中正确的是_ （填上所有正确命题的序号） 若 ，m，则 m； 若 m，n，则 mn； 若 ，n，mn，则 m； 若 n，n，m，则 m 8已知 cos(x 6
3、) 1 3，x(0，)，则 sin( 32x) _ 9将函数 f(x)Asin(x)(A0，0， 2 2)图象上每一点的横坐标变为原来的 2 倍 （纵坐标不变） ， 然后把所得图象上的所有点沿 x 轴向右平移 3个单位， 得到函数 y2sinx 的图象，则 f()_ 10已知向量 a，b，c 满足 abc0，且 a，b 的夹角为 135，b，c 的夹角为 120，若 |c|2， 则|a|_ 11若数列an满足 a1a21，a32，且数列an an1是等比数列，则数列an的前 19 项 和的值为_ 12已知正数 a，b 满足1 a 9 b ab5，则 ab 的最小值为 _ 13点 B 在线段 A
4、C 上，AB1 2BC1，点 P 是 A，B，C 所在直线外一点，且满足CPB 90 ，tanAPB4 3，则 PA PB_ 14已知函数 f(x)lnx4 xx，2，曲线 yf(x)上总存在两点 M(x1，y1)，N(x2，y2)，使 曲线 yf(x)在 M，N 两点处的切线相互平行，则 x1y1的取值范围是_ Read a S0 I1 While I3 SSa aa 2 II1 End While Print S 本试卷共 2 页，此页是第2页 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内 作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤 15 （本小题满分 14 分
5、） 如图，在四棱锥 PABCD 中，ABCD，ACBD，AC 与 BD 交 于点 O，且平面 PAC底面 ABCD，E 为棱 PA 上一点 (1) 求证：BDOE； (2) 若 AB2CD，AE2EP，求证：EO平面 PBC. 16 （本小题满分 14 分） 在锐角ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，b4，c6，且 asinB2 3. (1) 求角 A 的大小； (2) 若 D 为 BC 的中点，求线段 AD 的长 17 （本小题满分 14 分） 如图，是一个扇形花园，已知该扇形的半径长为 400 米，AOB 2， 且半径 OC 平分AOB现拟在 OC 上选取一点 P，修建
6、三条路 PO， PA，PB 供游人行走观赏，设PAO (1)将三条路 PO，PA，PB 的总长表示为的函数 l()，并写出此函数的定义域； (2)试确定的值，使得 l()最小 18 （本小题满分 16 分） 已知椭圆 E 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上， 且经过 A(2，0)、B(2，0)、C(1，3 2) 三点. (1)求椭圆 E 的方程： (2)若点 D 为椭圆 E 上不同于 A、B 的任意一点， F(1，0)，H(1，0)，当 DFH 内切圆的面积最大时 求内切圆圆心的坐标； (3)若直线 l:yk(x1)(k0)与椭圆 E 交于 M、 N 两点，证明直线 AM 与直线 BN 的交点
7、在定直线上并求该直线的方程 19 （本小题满分 16 分） 已知函数 f(x)1 3x 3x2ax (1) 讨论 f(x)的单调性； (2) 设 f(x)有两个极值点 x1，x2，若过两点(x1，f(x1)，(x2，f(x2)的直线 l 与 x 轴的交点 在曲线 yf(x)上，求 a 的值 20 （本小题满分 16 分） 已知数列an与bn满足 an1anq(bn1bn)，nN*. (1) 若 bn2n3，a11，q2，求数列an的通项公式； (2) 若 a11，b12，且数列bn为公比不为 1 的等比数列，求 q 的值，使数列an也 是等比数列； (3) 若 a1q，bnqn(nN*)，且
8、q(1，0)， 数列an有最大值 M 与最小值 m， 求M m的 取值范围 A B O M N Q F y x A O B C P 本试卷共 2 页，此页是第1页 金陵中学金陵中学 2020 届高三数学检测卷（届高三数学检测卷（22） 命题：陈康康 校审：朱骏 一、填空题： 本大题共 14 小题， 每小题 5 分，共 70 分请把答案填写在答题卡相应位置 上 1已知集合 A1，2，Ba，a23，若 AB2，则实数 a 的值为_ 2 2复数 z11 i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于第 _象限. 四 3根据如图所示的伪代码，当输入 a 的值为 4 时，输出的 S 值为 _ 28 4从某小
9、学随机抽取 100 名同学，将他们的身高（单位：厘米） 数据绘制成频率分布直方图（如图）.若要从身高在120，130)， 130，140)，140，150三组内的学生中，用分层抽样的方法选 取 18 人参加一项活动，则从身高在140，150内的学生中选取的人 数应为_ 3 5从集合1，2，3中随机取一个元素，记为 a，从集合 2，3，4中随机取一个元素，记为 b，则 ab 的概率 为_ 8 9 6在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 C：x 2 a2 y2 b21 (a0，b0)的离心率为 10，则双曲线 C 的渐近线方 程为_y3x 7， 为两个不同的平面，m，n 为两条不同的直线，下列
10、命题中正确的是_ （填上所有正确命题的序号） 若 ，m，则 m； 若 m，n，则 mn； 若 ，n，mn，则 m； 若 n，n，m，则 m 8已知 cos(x 6) 1 3，x(0，)，则 sin( 32x) _ 答案：4 9 2 解析：易知 sin(x 6) 2 3 2，则 sin( 32x)sin(2x 3)2sin(x 6)cos(x 6) 4 9 2 9将函数 f(x)Asin(x)(A0，0， 2 2)图象上每一点的横坐标变为原来的 2 倍 （纵坐标不变） ， 然后把所得图象上的所有点沿 x 轴向右平移 3个单位， 得到函数 y2sinx 的图象，则 f()_0 10已知向量 a，b
11、，c 满足 abc0，且 a，b 的夹角为 135，b，c 的夹角为 120，若 |c|2， 则|a|_ 6 11若数列an满足 a1a21，a32，且数列an an1是等比数列，则数列an的前 19 项 和的值为_ 答案：1534 解析：由题意知an 1 an1 a3 a12，则 S19 1210 12 12 9 12 1534 Read a S0 I1 While I3 SSa aa 2 II1 End While Print S 本试卷共 2 页，此页是第2页 12已知正数 a，b 满足1 a 9 b ab5，则 ab 的最小值为 _36 13点 B 在线段 AC 上，AB1 2BC1，
12、点 P 是 A，B，C 所在直线外一点，且满足CPB 90 ，tanAPB4 3，则 PA PB_ 答案： 6 17 解析： 建系 以 P 为原点，PC，PB 为 x，y 轴正半轴建系，设 C(2x，0)，B(0，2y)，则 A(x，3y) 作 ADx 轴于 D，则 D(x，0) BC24x24y24 x2y21 tanAPB4 3 tanAPB x 3y 4 3 y 21 17， 故PA PB6y2 6 17 14已知函数 f(x)lnx4 xx，2，曲线 yf(x)上总存在两点 M(x1，y1)，N(x2，y2)，使 曲线 yf(x)在 M，N 两点处的切线相互平行，则 x1x2的取值范围
13、是_ 答案：(8，) 解析：即 f(x) x 4 x21m 在(0，)上有两解 x1，x2，即(m1)x 2x40， 则 m10 216(m1)0，得 0m1 2 16， 又 x1x2 m1 16 ，而 2，故 x1x28 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内 作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤 15 （本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥 PABCD 中，ABCD，ACBD，AC 与 BD 交 于点 O，且平面 PAC底面 ABCD，E 为棱 PA 上一点 (1) 求证：BDOE； (2) 若 AB2CD，AE2EP，求证：EO平面 PBC. 证
14、明：(1)因为平面 PAC底面 ABCD，平面 PAC底面 ABCDAC，BDAC， BD平面 ABCD， 所以 BD平面 PAC. 4 分 因为 OE平面 PAC，所以 BDOE. 6 分 (2) 因为 ABCD，AB2CD，AC 与 BD 交于 O， 所以 COOACDAB12. 9 分 因为 AE2EP，所以 COOAPEEA， 所以 EOPC. 12 分 因为 PC平面 PBC，EO平面 PBC， 所以 EO平面 PBC. 14 分 16 （本小题满分 14 分） 在锐角ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，b4，c6，且 asinB2 3. 本试卷共 2 页，此页是
15、第3页 (1) 求角 A 的大小； (2) 若 D 为 BC 的中点，求线段 AD 的长 解：(1) 由正弦定理，得 asinBbsinA， 因为 b4，asinB2 3，所以 sinA 3 2 . 4 分 又 0A 2，所以 A 3. 6 分 (2) 若 b4，c6， 由余弦定理得 a2b2c22bccosA16362 24 1 228， 所以 a2 7. 8 分 因为 asinB2 3，所以 sinB 21 7 ，从而 cosB2 7 7 . 10 分 因为 D 为 BC 的中点，所以 BDDC 7. 在ABD 中，由余弦定理得 AD2AB2BD22AB BD cosB， 即 AD2367
16、2 6 7 2 7 7 19， 所以 AD 19. 14 分 17 （本小题满分 14 分） 如图，是一个扇形花园，已知该扇形的半径长为 400 米，AOB 2， 且半径 OC 平分AOB现拟在 OC 上选取一点 P，修建三条路 PO， PA，PB 供游人行走观赏，设PAO (1)将三条路 PO，PA，PB 的总长表示为的函数 l()，并写出此函数的定义域； (2)试确定的值，使得 l()最小 解：(1)在APO 中，由正弦定理，得 AP sinAOP OP sinPAO AO sinAPO， 即 AP sin 4 OP sin 400 sin( 4) ，从而 AP 200 2 sin( 4)
17、 ，OP 400sin sin( 4) 4 分 所以 l()OPPAPBOP2PA 400sin sin( 4) 2 200 2 sin( 4) ， 故所求函数为 l()400( 2sin) sin( 4) ，(0，3 8 ) 6 分 (2)记 f() 2sin sin( 4) 2 2sin sincos，(0， 3 8 )， 因为 f() 2cos(sincos)(2 2sin)(cossin) (sincos)2 2 2sin( 4) 2 (sincos)2 ，10 分 由 f()0，得 sin( 4) 1 2，又 (0， 3 8 )，所以 12 12 分 列表如下: (0， 12) 12
18、 ( 12， 3 8 ) A O B C P 本试卷共 2 页，此页是第4页 f( ) 0 f() 递减 极小 递增 所以，当 12时，l()取得最小值 答:当 12时，l()最小 14 分 18 （本小题满分 16 分） 已知椭圆 E 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上， 且经过 A(2，0)、B(2，0)、C(1，3 2) 三点. (1)求椭圆 E 的方程： (2)若点 D 为椭圆 E 上不同于 A、B 的任意一点， F(1，0)，H(1，0)，当 DFH 内切圆的面积最大时 求内切圆圆心的坐标； (3)若直线 l:yk(x1)(k0)与椭圆 E 交于 M、 N 两点，证明直线 AM 与直线
19、 BN 的交点 在定直线上并求该直线的方程 解： （1）设椭圆方程为 mx2ny21(m0，n0) 将 A(2，0)、B(2，0)、C(1，3 2)代入椭圆 E 的方程，得 4m1， m9 4n1 解得 m1 4，n 1 3.椭圆 E 的方程 x2 4 y2 31 4 分 （2）|FH|2，设DFH 边上的高为 SDFH1 2 2 hh 当点 D 在椭圆的短轴顶点时，h 最大为 3， 所以 SDFH的最大值为 3设DFH 的内切圆的半径为 R， 因为 DFH 的周长为定值 6所以1 2R 6SDFH，所以 R 的最大值为 3 3 所以内切圆圆 心的坐标为(0， 3 3 ) 8 分 （3）将直线
20、 l:yk(x1)代入椭圆 E 的方程x 2 4 y2 31 并整理得 (34k2)x28k2x4(k23)0设直线 l 与椭圆 E 的交点 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由根系数的关系，得 x1x2 8k2 34k2，x1x2 4(k23) 34k2 10 分 直线 AM 的方程为：y y1 x12(x2)，它与直线 x4 的交点坐标为 p(4， 6y1 x12)，同理可求得直线 BN 与直线 x4 的交点坐标为 Q(4， 2y2 x22) 12 分 方法一：下面证明 P、Q 两点重合，即证明 P、Q 两点的纵坐标相等： y1k(x11)，y2k(x21)， 6y1 x12 2y2
21、x22 6k(x11)(x22)2k(x21)(x12) (x12)(x22) A B O M N Q F y x 本试卷共 2 页，此页是第5页 2k2x1x25(x1x2)8 (x12)(x22) 2k8(k 23) 34k2 40k2 34k28 (x12)(x22) 0 因此结论成立综上可知直线 AM 与直线 BN 的交点住直线 x4 上 16 分 方法二:由直线 AM 与直线 BN 的方程消去 y，得 x2(2x1x23x1x2) x13x24 12 分 22x1x23(x1x2)4x2 (x1x2)2x24 28(k 23) 34k2 24k2 34k24x2 8k2 34k242
22、x2 4(4k 26 34k2x2) 4k 26 34k2x2 4 直线 AM 与直线 BN 的交点在直线 x4 上 故这样的直线存在 16 分 19 （本小题满分 16 分） 已知函数 f(x)1 3x 3x2ax (1) 讨论 f(x)的单调性； (2) 设 f(x)有两个极值点 x1，x2，若过两点(x1，f(x1)，(x2，f(x2)的直线 l 与 x 轴的交点 在曲线 yf(x)上，求 a 的值 解：(1) 依题意可得 f(x)x22xa， 当44a0，即 a1 时，x22xa0 恒成立，故 f (x)0， 所以函数 f(x)在 R 上单调递增； 当44a0，即 a1 时，f (x)
23、x22xa0 有两个相异实根， 记为 x11 1a，x21 1a，x1x2， 故单调增区间为(，1 1a)，(1 1a，)， 单调减区间为(1 1a，1 1a) 综上：当 a1 时，f(x)在 R 上单调递增； 当 a1 时，f(x) 调增区间为(，1 1a)，(1 1a，)， 单调减区间为(1 1a，1 1a) 6 分 (2) 由题设知，x1，x2为方程 f (x)0 的两个根，故有 a1， 且 x122x1a，x222x2a， 所以 f(x1)1 3x1 3x12ax11 3x1(2x1a)x1 2ax1 本试卷共 2 页，此页是第6页 1 3x1 22 3ax1 1 3(2x1a) 2
24、3ax1 2 3(a1)x1 a 3， 10 分 同理 f(x2)2 3(a1)x2 a 3， 因此直线 l 的方程为 y2 3(a1)x a 3， 12 分 设 l 与 x 轴的交点为(x0，0)， ，得 x0 a 2(a1)， 而 f(x0)1 3( a 2(a1) 3( a 2(a1) 2a a 2(a1) a2 24(a1)3(12a 217a6)， 14 分 由题设知，点(x0，0)在曲线 yf(x)的上，故 f(x0)0，解得 a0 或 a2 3或 a 3 4， 综上： a 的值为 0，2 3， 3 4 16 分 20 （本小题满分 16 分） 已知数列an与bn满足 an1anq
25、(bn1bn)，nN*. (1) 若 bn2n3，a11，q2，求数列an的通项公式； (2) 若 a11，b12，且数列bn为公比不为 1 的等比数列，求 q 的值，使数列an也 是等比数列； (3) 若 a1q，bnqn(nN*)，且 q(1，0)， 数列an有最大值 M 与最小值 m， 求M m的 取值范围 解：(1) 由 bn2n3 且 q2 得 an1an4，所以数列an为等差数列 2 分 又 a11，所以 an4n3. 4 分 (2) 由条件可知 anan1q(bnbn1)， 所以 an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1 q(bnbn1)q(bn1bn2)q(b2b1)
26、a1 qbnqb1a1qbn2q1. 6 分 不妨设bn的公比为 (1)，则 an2qn 12q1， 由an是等比数列知 a22a1a3，可求出 q1 2， 7 分 经检验，an2qn 1，此时a n是等比数列，所以 q1 2满足条件 8 分 (3) 由条件可知 anan1q(bnbn1)， 所以 an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1 q(bnbn1)q(bn1bn2)q(b2b1)a1 qbnqb1a1， 即 anqn 1q2q，a 2nq 2n 1q2q.(10 分) 因为 q(1，0)，所以 a2n2a2nq 2n 3q 2n 1q 2n 1(q21)0， 则a2n单调递增； 11 分 a2n1a2n1q 2n 2q 2n q 2n (q21)0，则a2n1单调递减 12 分 又 a2na1q 2n 1q20， 所以数列an的最大项为 a1qM， 13 分 a2n1a2q 2n 2q3q3(q 2n 11)0， 所以数列an的最小项为 a2q3q2qm， 14 分 则M m q q3q2q 1 q2q1. 本试卷共 2 页，此页是第7页 因为 q(1，0)，所以 q2q1(1，3)， 所以M m 1 3，1 . 16 分
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