1、吉林省长春市普通高中吉林省长春市普通高中 2020 届高三（三模）数学（理）试题届高三（三模）数学（理）试题 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分）分） 1已知集合 AxZ|x24，Bx|4x2，则 AB（ ） ABx|2x2 BBx|4x2 C2，1，0，1，2 D2，1，0，1 2已知复数 z（a+i） （12i） （aR）的实部为 3，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的虚部为 （ ） A1 Bi C1 Di 3已知向量 （1，2） ， （3，3） ， （1，t） ，若向量 与向量共线，则实 数 t（ ） A5 B5 C1 D1 4
2、已知函数的图象为 C，为了得到关于原点对称的图象，只要把 C 上所有的点（ ） A向左平移个单位 B向左平移个单位 C向右平移个单位 D向右平移个单位 5函数 f（x）的图象大致为（ ） A B C D 6在的展开式中，一定含有（ ） A常数项 Bx 项 Cx 1 项 Dx3项 7已知直线 m，n 和平面 ，有如下四个命题： 若 m，m，则 ； 若 m，mn，n，则 ； 若 n，n，m，则 m； 若 m，mn，则 n 其中真命题的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 8风雨桥是侗族最具特色的建筑之一，风雨桥由桥、塔、亭组成，其塔俯视图通常是正方 形、正六边形和正八边形右下图是风雨桥中塔的俯视图
3、该塔共 5 层，若 B0B1B1B2 B2B3B3B40.5m，A0B08m这五层正六边形的周长总和为（ ） A35m B45m C210m D270m 9 已知圆E的圆心在y轴上， 且与圆C： x2+y22x0的公共弦所在直线的方程为， 则圆 E 的方程为（ ） A B C D 10某项针对我国义务教育 数学课程标准的研究中，列出各个学段每个主题所包含的 条目数（如表） ，如图是将统计表的条目数转化为百分比，按各学段绘制的等高条形图， 由图表分析得出以下四个结论，其中错误的是（ ） 学段 主题 第一学段（13 年级） 第二阶段（46 年级） 第三学段（79 年级）来源:学+科+网 Z+X+X
4、+K 合计 数与代数 21 28 49 98 图形几何 18 25 87 130 统计概率 3 8 11 22 综合实践 3 4 3 10 合计 45 65 150 260 A除了“综合与实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图 形与几何”在第三学段增加较多，约是第二学段的 3.5 倍 B 所有主题中， 三个学段的总和 “图形与几何” 条目数最多， 占 50%， 综合与实践最少， 约占 4% C第一、二学段“数与代数”条目数最多，第三学段“图形与几何”条目数最多 D “数与代数”条目数虽然随着学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少， “图形与 几何”条目数，百分比都随学
5、段的增长而增长 11已知数列an的各项均为正数，其前 n 项和 Sn满足 4Snan2+2an， （nN*） ，设 bn（ 1）nanan+1，Tn为数列bn的前 n 项和，则 T20（ ） A110 B220 C440 D880 12设椭圆的左右焦点为 F1，F2，焦距为 2c，过点 F1的直线与椭圆 C 交于点 P，Q，若|PF2| 2c，且，则椭圆 C 的离心率为（ ） A B C D 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 13一名信息员维护甲乙两公司的 5G 网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互 独立，它们需要维护的
6、概率分别为 0.4 和 0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率 为 14 等差数列an中， a11， 公差 d1， 2， 且 a3+a9+a1515， 则实数 的最大值为 15若 x1，x2是函数 f（x）x27x+4lnx 的两个极值点，则 x1x2 ；f（x1）+f（x2） 16 现有一批大小不同的球体原材料， 某工厂要加工出一个四棱锥零件， 要求零件底面 ABCD 为正方形，AB2，侧面PAD 为等边三角形，线段 BC 的中点为 E，若 PE1则所需 球体原材料的最小体积为 三、解答题（共三、解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分）分） 17笔、墨、纸、砚是中国独有的文书工具，
7、即“文房四宝” 笔、墨、纸、砚之名，起源 于南北朝时期，其中的“纸”指的是宣纸，宣纸“始于唐代，产于泾县” ，而唐代泾县隶 属于宣州府管辖，故因地而得名“宣纸” ，宣纸按质量等级，可分为正牌和副牌（优等品 和合格品） ，某公司年产宣纸 10000 刀（每刀 100 张） ，公司按照某种质量标准值 x 给宣 纸确定质量等级，如表所示： x （48， 52 （44，48（52， 56 （0， 44 （56， 100 质量等级 正牌 副牌 废品 公司在所生产的宣纸中随机抽取了一刀（100 张）进行检验，得到频率分布直方图如图所 示，已知每张正牌纸的利润是 10 元，副牌纸的利润是 5 元，废品亏损
8、10 元 （）估计该公司生产宣纸的年利润（单位：万元） ； （）该公司预备购买一种售价为 100 万元的机器改进生产工艺，这种机器的使用寿命 是一年，只能提高宣纸的质量，不影响产量，这种机器生产的宣纸的质量标准值 x 的频 率，如表所示： X （ 2， +2 （ 6， +6 频率 0.6826 0.9544 其中 为改进工艺前质量标准值 x 的平均值， 改进工艺后， 每张正牌和副牌宣纸的利润都 下降 2 元，请判断该公司是否应该购买这种机器，并说明理由 18在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a4ccosB （）求证：sinBcosC3sinCcosB； （）求 BC
9、 的最大值 19四棱锥 PABCD 中，ABCD 为直角梯形，BCAD，ADDC，BCCD1，AD2， PAPD，E 为 PC 中点，平面 PAD平面 ABCD，F 为 AD 上一点，PA平面 BEF （）求证：平面 BEF平面 PAD； （）若 PC 与底面 ABCD 所成的角为 60求二面角 EBFA 的余弦值 20已知点 A（0，1） ，点 B 在 y 轴负半轴上，以 AB 为边做菱形 ABCD，且菱形 ABCD 对 角线的交点在 x 轴上，设点 D 的轨迹为曲线 E （）求曲线 E 的方程； （）过点 M（m，0） ，其中 1m4，作曲线 E 的切线，设切点为 N，求AMN 面积 的取
10、值范围 21已知函数 （）讨论函数 F（x）f（x）g（x）在（0，+）上的单调性； （）是否存在正实数 m，使 yf（x）与 yg（x）的图象有唯一一条公切线，若存在， 求出 m 的值，若不存在，请说明理由 四、 （二）选考题：共四、 （二）选考题：共 10 分，请考生在分，请考生在 22-23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一 题计分题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方 程为 2（0，） ，直线 1 的参数方程为（t 为参数） （）
11、求曲线 C 的参数方程与直线 l 的普通方程； （）设点 P 为曲线 C 上的动点，点 M 和点 N 为直线 l 上的点，且满足PMN 为等边 三角形，求PMN 边长的取值范围 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）m|x2|，mR，g（x）|x+3| （）当 xR 时，有 f（x）g（x） ，求实数 m 的取值范围 （）若不等式 f（x）0 的解集为1，3，正数 a，b 满足 ab2ab3m1，求 a+b 的最小值 一、选择题一、选择题（共（共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分）分） 1已知集合 AxZ|x24，Bx|4x2，则 AB（
12、 ） ABx|2x2 BBx|4x2 C2，1，0，1，2 D2，1，0，1 先求出集合 A，再利用集合交集的运算即可算出结果 集合 AxZ|x242，1，0，1，2， AB2，1，0，1， 故选：D 本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题 2已知复数 z（a+i） （12i） （aR）的实部为 3，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的虚部为 （ ） A1 Bi C1 Di 利用复数的运算法则、实部与虚部的定义即可得出 因为复数 z（a+i） （12i）（a+2）+（12a）i； a+23a1； z 的虚部为：12a1 故选：A 本题考查了复数的运算法则、实部与虚
13、部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基 础题 3已知向量 （1，2） ， （3，3） ， （1，t） ，若向量 与向量共线，则实 数 t（ ） A5 B5 C1 D1 因为向量 与向量共线，即两向量平行，根据两向量平行的坐标表示求解即可 由题， （1，2） ， （3，3） ， （1，t） ， （4，t3） ， 向量 与向量共线，即， 则 1（t3）24， 解得 t5 故选：B 本题主要考查平面向量共线的坐标表示，属于基础题，必掌握 4已知函数的图象为 C，为了得到关于原点对称的图象，只要把 C 上所有的点（ ） A向左平移个单位 B向左平移个单位 C向右平移个单位 D向右平移个单位 由题意
14、利用函数 yAsin（x+）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，得出结 论 函数2cos（+） 的图象为 C，为了得到关于原点对称的 图象， 只要把 C 上所有的点向左平移个单位， 可得 y2cos （+）sin 的图象， 显然，ysin 的图象关于原点对称， 故选：A 本题主要考查函数 yAsin（x+）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于 基础题 5函数 f（x）的图象大致为（ ） A B C D 先判断函数 f（x）的奇偶性，可排除选项 CD，再由 f（1）0，可排除选项 A，进而得 出正确选项 函数的定义域为x|x0，即函数 f（x）为偶函数， 其图象关于 y 轴对称，可排
15、除 CD； 又，可排除 A； 故选：B 本题考查利用函数性质确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题 6在的展开式中，一定含有（ ） A常数项 Bx 项 Cx 1 项 Dx3项 由题意根据的通项公式，得出结论 在的展开式中，通项公式为 Tr+1x5 3r，r0，1，2，3，4，5， 故 53r 不会等于 0，不会等于 1，不会等于 3，故排除 A、B、D， 令 53r1，可得 r2， 故它的展开式中一定含有 x 1 项， 故选：C 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于 基础题 7已知直线 m，n 和平面 ，有如下四个命题： 若 m，m，则 ； 若 m，
16、mn，n，则 ； 若 n，n，m，则 m； 若 m，mn，则 n 其中真命题的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 直接利用线面垂直的判定和性质的应用， 线面平行的判定和性质的应用求出正确的结果 已知直线 m，n 和平面 ，有如下四个命题： 若 m，m，则在 内，作 nm，所以 n，由于 n，则 ，故正确； 若 m，mn，所以 n，由于 n，则 ；故正确 若 n，n，所以 ，由于 m，则 m；故正确 若 m，mn，则 n 也可能 n 内，故错误 故选：C 本题考查的知识要点：线面垂直的判定和性质的应用，线面平行的判定和性质的应用， 主要考查学生的运算能力和转换能力及空间思维能力，属于基础题型
17、8风雨桥是侗族最具特色的建筑之一，风雨桥由桥、塔、亭组成，其塔俯视图通常是正方 形、正六边形和正八边形右下图是风雨桥中塔的俯视图该塔共 5 层，若 B0B1B1B2 B2B3B3B40.5m，A0B08m这五层正六边形的周长总和为（ ） A35m B45m C210m D270m 利用正六边形与等边三角形的性质即可得出 B0B1B1B2B2B3B3B40.5m，A0B08m 利用等边三角形的性质可得：B1A17.5，B2A27，B3A36.5，B4A46 这五层正六边形的周长总和6（8+7.5+7+6.5+6）210m 故选：C 本题考查了正六边形与等边三角形的性质、等差数列的通项公式求和公式
18、，考查了推理 能力与计算能力，属于基础题 9 已知圆E的圆心在y轴上， 且与圆C： x2+y22x0的公共弦所在直线的方程为， 则圆 E 的方程为（ ） A B C D 设圆心 E 的坐标为（0，b） ，设半径为 r，则圆 E 的方程为：x2+（yb）2r2，两圆方 程相加得公共弦所在直线的方程为：0，又公共弦所在直线的方程为 ，从而求出 b，r 的值，得到圆 E 的方程 圆 E 的圆心在 y 轴上，设圆心 E 的坐标为（0，b） ，设半径为 r， 则圆 E 的方程为：x2+（yb）2r2，即 x2+y22by+b2r20， 又圆 C 的方程为：x2+y22x0， 两圆方程相加得公共弦所在直线
19、的方程为：0， 又公共弦所在直线的方程为， ，解得，来源:Zxxk.Com 圆 E 的方程为：， 故选：C 本题主要考查了圆的方程，以及两圆的公共弦所在直线的方程，是中档题 10某项针对我国义务教育数学课程标准的研究中，列出各个学段每个主题所包含的条 目数（如表） ，如图是将统计表的条目数转化为百分比，按各学段绘制的等高条形图，由 图表分析得出以下四个结论，其中错误的是（ ） 学段 主题 第一学段（13 年级） 第二阶段（46 年级） 第三学段（79 年级） 合计 数与代数 21 28 49 98 图形几何 18 25 87 130 统计概率 3 8 11 22 综合实践 3 4 3来源:学科
20、网 10 合计 45 65 150 260 A除了“综合与实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图 形与几何”在第三学段增加较多，约是第二学段的 3.5 倍 B 所有主题中， 三个学段的总和 “图形与几何” 条目数最多， 占 50%， 综合与实践最少， 约占 4% C第一、二学段“数与代数”条目数最多，第三学段“图形与几何”条目数最多 D “数与代数”条目数虽然随着学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少， “图形与 几何”条目数，百分比都随学段的增长而增长 根据表格和条形图分别判断选项，可判断 由图可知图形与几何第一、二学段百分比依次为 40%，38.5%，可知降低了，
21、则 D 错， 故选：D 本题考查对表格，条形图的数据提取能力，属于基础题 11已知数列an的各项均为正数，其前 n 项和 Sn满足 4Snan2+2an， （nN*） ，设 bn（ 1）nanan+1，Tn为数列bn的前 n 项和，则 T20（ ）来源:Z&xx&k.Com A110 B220 C440 D880 本题先根据公式an并结合题干进行计算可判别出数列an是以2为 首项，2 为公差的等差数列，即可计算出数列an的通项公式，进一步计算出数列bn的 通项公式，然后运用分组求和可计算出 T20的值 由题意，当 n1 时，4a14S1a12+2a1， 整理，得 a122a10， 解得 a10
22、，或 a12， an0，nN*， a12， 当 n2 时，由 4Snan2+2an，可得： 4Sn1an12+2an1， 两式相减，可得 4anan2+2anan122an1， 整理，得（an+an1） （anan12）0， an+an10， anan120，即 anan12， 数列an是以 2 为首项，2 为公差的等差数列， an2+2（n1）2n，nN*， bn（1）nanan+1（1）n4n（n+1） ， 则 T20b1+b2+b3+b4+b19+b20 412+423434+44541920+42021 （412+423）+（434+445）+（41920+42021） 42（31）+
23、44（53）+420（2119） 422+442+4202 16（1+2+10） 1655 880 故选：D 本题主要考查数列求通项公式，以及运用分组求和求前 n 项和问题考查了转化与化归 思想，分类讨论法，逻辑推理能力和数学运算能力本题属中档题 12设椭圆的左右焦点为 F1，F2，焦距为 2c，过点 F1的直线与椭圆 C 交于点 P，Q，若|PF2| 2c，且，则椭圆 C 的离心率为（ ） A B C D 由题意画出图形，由|PF2|2c，|PF1|QF1|，利用椭圆的定义可得：|PF1|2a2c， 进一步求出|QF1|，|QF2|，在等腰PF1F2中，求得得 cosPF1F2在QF1F2中
24、，由余 弦定理可得 cosQF1F2，利用 cosPF1F2+cosQF1F20，化简求得 5a7c，则答案 可求 不妨设椭圆的焦点在 x 轴上，如图所示， |PF2|2c，则|PF1|2a2c |PF1|QF1|， |QF1|（2a2c）（ac） ， 则|QF2|2a（ac） +， 在等腰PF1F2中，可得 cosPF1F2 在QF1F2中，由余弦定理可得 cosQF1F2， 由 cosPF1F2+cosQF1F20，得+0， 整理得：0，5a7c， e 故选：C 本题考查椭圆的简单性质， 考查三角形中余弦定理的应用， 考查了推理能力与计算能力， 属于中档题 二、填空题（共二、填空题（共 4
25、 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 13一名信息员维护甲乙两公司的 5G 网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互 独立，它们需要维护的概率分别为 0.4 和 0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为 0.88 利用相互独立事件概率计算公式和对立事件概率计算公式直接求解 一名信息员维护甲乙两公司的 5G 网络， 一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立， 它们需要维护的概率分别为 0.4 和 0.3， 至少有一个公司不需要维护的概率为： P10.40.30.88 故答案为：0.88 本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率计算公式和对立事件概率计算公式
26、等基础 知识，考查运算求解能力，是基础题 14等差数列an中，a11，公差 d1，2，且 a3+a9+a1515，则实数 的最大值为 由 a3+a9+a1515 得出 与 d 之间的关系式，然后求 的最大值 a3+a9+a1515（2+）a9（2+） （1+8d） ， ，又公差 d1，2， max 故填： 本题主要考查等差数列的性质和通项公式及衍生出的最值问题，属于基础题 15若 x1，x2是函数 f（x）x27x+4lnx 的两个极值点，则 x1x2 2 ；f（x1）+f（x2） 4ln2 先求出导函数 f（x） ，由题意可得 x1，x2是方程 2x27x+40 的两个根，利用韦达定理 可得
27、，x1x22，代入 f（x1）+f（x2）即可求出 f（x1）+f（x2）4ln2 函数 f（x）x27x+4lnx，x（0，+） ， f（x）2x7+， 令 f（x）0 得：2x27x+40， x1，x2是方程 2x27x+40 的两个根， ，x1x22， f（x1）+f（x2）+7 （x1+x2）+4ln（x1 x2）4ln2， 故答案为：2，4ln2 本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及韦达定理的应用，是中档题 16 现有一批大小不同的球体原材料， 某工厂要加工出一个四棱锥零件， 要求零件底面 ABCD 为正方形，AB2，侧面PAD 为等边三角形，线段 BC 的中点为 E，若 PE
28、1则所需 球体原材料的最小体积为 首先判断原材料体积最小的球体即为四棱锥 PABCD 的外接球， E 是直角PBC 的外 心，过 E 作面 PBC 的垂线与过正方形 ABCD 的中心 G 与面 ABCD 的垂线交于 O，则 O 为四棱锥 PABCD 外接球的球心再利用题中所给长度大小关系，可求球半径，求球 体积 所需原材料体积最小的球体即为四棱锥 PABCD 的外接球， 如图，设 F 为 AD 中点，G 为正方形 ABCD 中心，PAD 为边长为 2 的等边三角形， PF，又 PE1，EF2，PEF60 PEEBEC1，E 是PBC 的外心，过 E 作面 PBC 的垂线与过 G 与面 ABCD
29、 的 垂线交于 O，则 O 为四棱锥 PABCD 外接球的球心 OEGOEPFEP906030，又 GE2，在直角三角形 OGE 中求 出 OG， 又直角OAG 中， AG， OA， 即球半径 R， V球R3 故答案为： 本题考查四棱锥的外接球问题，通过找球心，考查空间中线线、线面、面面间的位置关 系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 三、解答题（共三、解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分）分） 17笔、墨、纸、砚是中国独有的文书工具，即“文房四宝” 笔、墨、纸、砚之名，起源 于南北朝时期，其中的“纸”指的是宣纸，宣纸“始于唐代，产于泾县” ，而唐代泾县隶 属于宣州府管辖，故因地
30、而得名“宣纸” ，宣纸按质量等级，可分为正牌和副牌（优等品 和合格品） ，某公司年产宣纸 10000 刀（每刀 100 张） ，公司按照某种质量标准值 x 给宣 纸确定质量等级，如表所示： x （48， 52 （44，48（52， 56 （0， 44 （56， 100 质量等级 正牌 副牌 废品 公司在所生产的宣纸中随机抽取了一刀（100 张）进行检验，得到频率分布直方图如图所 示，已知每张正牌纸的利润是 10 元，副牌纸的利润是 5 元，废品亏损 10 元 （）估计该公司生产宣纸的年利润（单位：万元） ； （）该公司预备购买一种售价为 100 万元的机器改进生产工艺，这种机器的使用寿命 是一
31、年，只能提高宣纸的质量，不影响产量，这种机器生产的宣纸的质量标准值 x 的频 率，如表所示： X （ 2， +2 （ 6， +6 频率 0.6826 0.9544 其中 为改进工艺前质量标准值 x 的平均值， 改进工艺后， 每张正牌和副牌宣纸的利润都 下降 2 元，请判断该公司是否应该购买这种机器，并说明理由 （）由频率分布直方图求出一刀（100 张）宣纸中有正牌宣纸 40 张，有副牌宣纸 40 张，有废品 20 张，由此能求出该公司一刀宣纸的利润为 400 元，由此能求出估计该公司 生产宣纸的年利润 （）由频率分布直方图得 4（420.025+460.05+500.1+540.05+580.
32、025） 50，求出这种机器生产的宣纸质量指标 x 的频率，则一刀（100 张）宣纸中正牌的张数 约为 1000.682668.26 张，副牌的张数约为 100（0.95440.6826）27.18 张，废品 的张数约为 100 （10.9544） 4.56 张， 估计一刀宣纸 （100 张） 的利润为 582.02 元 从 而改进工艺后生产宣纸的利润为 582.02100482.02 元，由此该公司应生产这种设备 （）由频率分布直方图得： 一刀（100 张）宣纸中有正牌宣纸 1000.1440 张， 有副牌宣纸 1000.054240 张，有废品 1000.0254220 张， 该公司一刀宣
33、纸的利润为： 4010+405+20（10）400 元， 估计该公司生产宣纸的年利润为：400 万元 （）由频率分布直方图得： 4（420.025+460.05+500.1+540.05+580.025）50， 这种机器生产的宣纸质量指标 x 的频率如下表所示： x （48，52 （44，56 频率 0.6826 0.9544 则一刀（100 张）宣纸中正牌的张数约为 1000.682668.26 张， 副牌的张数约为 100（0.95440.6826）27.18 张， 废品的张数约为 100（10.9544）4.56 张， 估计一刀宣纸（100 张）的利润为： 68.26（102）+27.1
34、8（52）+4.56（10）582.02 元 改进工艺后生产宣纸的利润为 582.02100482.02 元， 482.2400，该公司应生产这种设备 本题考查利润的求法及应用，考查平均数、频率分布直方图的性质等基础知识，考查数 据分析能力、运算求解能力，是基础题 18在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a4ccosB （）求证：sinBcosC3sinCcosB； （）求 BC 的最大值 （利用正弦定理将边化为角即可证明， （）由（）化简得出 tanB 和 tanC 的关系，再代入两角差的正切公式，利用基本不等 式求出最大值 证明： （）a4ccosB， sinA4
35、sinCcosB， sin（B+C）4sinCcosB， sinBcosC+sinCcosB4sinCcosB， sinBcosC3sinCcosB； 解：（）由（）可知 sinBcosC3sinCcosB， 则 tanB3tanC， tan（BC） ，当且仅当3tanC，即 tanC时取等号， BC， 即 BC 的最大值为 本题考查了三角函数的恒等变换和正弦定理的应用问题，属于中档题 19四棱锥 PABCD 中，ABCD 为直角梯形，BCAD，ADDC，BCCD1，AD2， PAPD，E 为 PC 中点，平面 PAD平面 ABCD，F 为 AD 上一点，PA平面 BEF （）求证：平面 BE
36、F平面 PAD； （）若 PC 与底面 ABCD 所成的角为 60求二面角 EBFA 的余弦值 （）连接 AC 交 BE 与 G，连接 EG，由已知结合线面平行的性质可得 PAEG，再由 E 为 PC 的中点，得 G 为 AC 的中点，则AFGBCG，得到 AFBCAD1，即 F 为 AD 的中点，可得四边形 DCBF 为平行四边形，再由 ADDC，得 BFAD，可得 BF 平面 PAD，进一步得到平面 BEF平面 PAD； （）连接 PF，证明 PF底面 ABCD，又 BFAD，以 F 为坐标原点，分别以 FA，FB， FP 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设 P（0，0，t）
37、 ，由 PC 与底面 ABCD 所成的角为 60求解 t，然后分别求出平面 ABF 与 EBF 的一个法向量，由两法向量所成 角的余弦值可得二面角 EBFA 的余弦值 （）证明：连接 AC 交 BE 与 G，连接 EG， PA平面 BEF，PA平面 PAC，平面 PAC平面 BEFEG，PAEG， 又 E 为 PC 的中点，G 为 AC 的中点，则AFGBCG， 得 AFBCAD1 F 为 AD 的中点， BCFD，且 BCFD，四边形 DCBF 为平行四边形， ADDC，BFAD， 又 BF平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD， BF平面 PAD，又 B
38、F平面 BEF， 平面 BEF平面 PAD； （）解：连接 PF，PAPD，F 为 AD 的中点，PFAD， 又 PF平面 PAD，平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD， PF底面 ABCD，又 BFAD， 以 F 为坐标原点，分别以 FA，FB，FP 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 设 P（0，0，t） ，C（1，1，0） ， 取平面 ABCD 的法向量，B（0，1，0） ， sin60|，即，解得 t 设平面 EBF 的法向量为， 由，令 z1，得 设二面角 EBFA 的平面角为 ，则|cos|， 又 为钝角，cos 即二面角 EBFA 的余弦值为 本
39、题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量 求解空间角，是中档题 20已知点 A（0，1） ，点 B 在 y 轴负半轴上，以 AB 为边做菱形 ABCD，且菱形 ABCD 对 角线的交点在 x 轴上，设点 D 的轨迹为曲线 E （）求曲线 E 的方程； （）过点 M（m，0） ，其中 1m4，作曲线 E 的切线，设切点为 N，求AMN 面积 的取值范围 （） 设 B （0， t） （t0） ， 因为菱形 ABCD 对角线的交点 Q 在 x 轴上， 根据射影定理， 得，求得 Q 点坐标，进而求得 D 点坐标，去掉参数，求得 D 的轨迹曲线 E； （）设点 N（）
40、，可列出该点处的切线方程，将 M 点代入，由 1m4，求得 a 的取值范围，易推得 NMAM，则 S用 a 表示出AMN 面积，根据 a 的取 值范围进而求得AMN 面积的取值范围 （）设 B（0，t） （t0） ，菱形 ABCD 的中心在 x 轴上，设为 Q 点 由题意可知， 则 Q （） ， 又 Q 为 BD 的中点， 因此点 D （） 即点 D 的轨迹为（t 为参数且 t0） ， 化为标准方程 x24y（x0） （）设点 N（） ，过点 N 的切线方程为：y， 点 M（m，0）在该切线方程上， 即 m，由 1m4，可得 2a8， ，即 NMAM， S， 可知当 2a8 时，S 为关于 a
41、 的增函数，因此 S 的取值范围是（1，34） 本题考查了曲线与方程，考查了利用导数求曲线上某点的切线方程，考查了两直线垂直 斜率乘积为1，属于中档题 21已知函数 （）讨论函数 F（x）f（x）g（x）在（0，+）上的单调性； （）是否存在正实数 m，使 yf（x）与 yg（x）的图象有唯一一条公切线，若存在， 求出 m 的值，若不存在，请说明理由 （）求得 F（x） ，并求导，然后分 m0 及 m0 讨论即可得出单调性情况； （）根据题意，由导数的几何意义可得，进而得到 b22balna+a 0，则此关于 b（b0）的方程有唯一解，令 g（b）b22balna+a（b1） 2alna+a1
42、，h（a）alna+a1，h（a）lna，则易知 h（a）h（1）0， 然后分 h（a）1 及 h（a）0 讨论即可得出结论 （）， 当 m0 时，F（x）0，则 F（x）在（0，+）上单调递减； 当 m0 时，由 F（x）0 得，由 F（x）0 得， 函数 F（x）在上单调递减，在上单调递增； （）函数 f（x）mlnx 在点（a，mlna）处的切线方程为，即 ， 函 数在 点处 的 切 线 方 程 为， 即 ， 又 yf（x）与 yg（x）的图象有唯一一条公切线， 故， 由得，代入消去 m，整理得 b22balna+a0，则此关于 b（b0）的方 程有唯一解， 令 g（b）b22balna
43、+a（b1） 2alna+a1，令 h（a）alna+a1，h（a） lna， 由 h（a）0 得 0a1，由 h（a）0 得 a1， 函数 h（a）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，则 h（a）h（1） 0， （i）当 h（a）0 时，方程有唯一解b1，由 h（a）alna+a10 得 a1，此 时； （ii）当 h（a）0 时，二次函数 g（b）（b1）2alna+a1 在 b（1，+）上显 然有一个零点， b（0，1）时，由方程，可得， 而 m0，则 lna10，则 g（0）alna+aa（lna1）0， 二次函数 g（b）（b1）2alna+a1 在 b（0，1）上也有一
44、个零点，不合题意； 综上，m1 本题考查函数与导数的综合运用， 考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性， 二次函数的零点等知识点，考查分类讨论思想，运算求解能力，属于较难题目 四、 （二）选考题：共四、 （二）选考题：共 10 分，请考生在分，请考生在 22-23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一 题计分题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方 程为 2（0，） ，直线 1 的参数方程为（t 为参数） （）求曲线 C 的参数方程与直线 l 的普通方程； （）设点 P 为曲线 C 上的动点，点 M 和点 N 为直线 l 上的点，且满足PMN 为等边 三角形，求PMN 边长的取值范围 （） 直接利用转换关系的应用， 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性 质的应用求出结果 （）曲线 C 的极坐标方程为 2（0，） ，转换为直角坐标方程为 （） ， 转换为参数方程为（ 为参数，0，） 直线 1 的参数方程为（t 为参数） 转换为直角坐标方程为 x+2y80 （）设 P（） ，0， 所以点 P 到直线 l 的距离
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