1、2.5 二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程 第第 2 课时课时 利用二次函数求方程的近似根利用二次函数求方程的近似根 1会利用二次函数的图象求一元二次 方程的近似根；(重点) 2进一步体会二次函数与一元二次方 程的关系(难点) 一、情境导入 你能根据函数 yx22x5 的图象(如 图)，求出方程 x2 2x50 的近似根吗 (精确到 0.1)? 由图象知， 抛物线与x轴有两个公共点， 它们分别位于x轴上1和2、 4和3之间， 所以一元二次方程 x2 2x50 有两个 根， 它们分别介于 1 和 2、 4 和3 之间 这 两个根分别是 1.5 和3.5 吗？ 二、合作探究 探究点： 利
2、用二次函数求方程的近似根 【类型一】 利用二次函数估算一元二 次方程的近似根 利用二次函数的图象估计一元二 次方程 x22x10 的近似根(精确到 0.1) 解析：根据函数与方程的关系，可得函 数图象与x轴的交点的横坐标就是相应的方 程的解 解：方程 x22x10 根是函数 yx2 2x1 与 x 轴交点的横坐标 作出二次函数 yx22x1 的图象， 如 图所示，由图象可知方程有两个根，一个在 1 和 0 之间，另一个在 2 和 3 之间先求 1 和 0 之间的根，当 x0.4 时，y 0.04；当 x0.5 时，y0.25.因此，x 0.4(或x0.5)是方程的一个近似根 同理， x2.4(
3、或 x2.5)是方程的另一个近似根 方法总结： 解答此题的关键是求出对称 轴，然后由图象解答，锻炼了学生数形结合 的思想方法 【类型二】 列表求一元二次方程的近 似根 下面表格列出了函数 yax2bx c(a，b，c 是常数，且 a0)部分 x 与 y 的 对应值，那么方程 ax2bxc0 的一个根 x 的取值范围是( ) x 6.17 6.18 6.19 620 y 0.03 0.01 0.02 0.04 A.6x6.17 B6.17x6.18 C6.18x6.19 D6.19x6.20 解析：由表格中的数据得，在 6.17x 6.20 范围内，y 随 x 的增大而增大，当 x 6.18 时
4、，y0.01，当 x6.19 时，y 0.02，方程 ax2bxc0 的一个根 x 的取 值范围是 6.18x6.19，故选 C. 方法总结： 利用抛物线的增减来确定抛 物线与 x 轴交点的坐标的可能位置 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 后巩固提升”第 1 题 【类型三】 利用图象求一元二次方程 的近似根 已知二次函数 yax2bxc 的 图象如图所示，则一元二次方程 ax2bxc 0 的近似根为( ) A x12.1， x20.1 B x12.5， x20.5 Cx12.9，x20.9 Dx13， x21 解析：由图象可得二次函数 yax2bx c 图象的对称轴为 x1，而对称轴右侧
5、 图象与 x 轴交点到原点的距离约为 0.5， x20.5；又对称轴为 x1，则x1x2 2 1，x12(1)0.52.5.故 x1 2.5，x20.5.故选 B. 方法总结： 解答本题首先需要根据图象 估计出一个根， 再根据对称性计算出另一个 根，估计值的精确程度，直接关系到计算的 准确性，故估计尽量要准确 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 堂达标训练”第 6 题 【类型四】 利用二次函数和一次函数 的图象求方程的根 已知二次函数 y2x22 和函数 y 5x1. (1)你能用图象法求出方程 2x225x 1 的解吗？ (2)请通过解方程的方法验证(1)问的 解 解析： (1)根据函数
6、图象的交点坐标是相 应方程的解，可得答案；(2)根据因式分解， 可得方程的解 解：(1)如图在平面直角坐标系内画出 y 2x22 和函数 y5x1 的图象，如图所 示： 图象交点的横坐标是1 2，3，故 2x 22 5x1 的解是 x11 2，x23； (2)由(1)可知交点横坐标即为方程2x2 25x1 的解，化简得 2x25x30，因 式分解，得(2x1)(x3)0.解得 x11 2， x23，可知(1)中求得的解正确 方法总结： 利用图象法求一元二次方程 的近似根，图象交点的横坐标是方程的解 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 后巩固提升”第 4 题 【类型五】 二次函数与其他函数的
7、综 合 利用图象解一元二次方程 x2x 30 时， 我们采用的一种方法是： 在平面 直角坐标系中画出抛物线 yx2和直线 y x3，两图象交点的横坐标就是该方程的 解 (1)填空：利用图象解一元二次方程 x2 x30，也可以这样求解：在平面直角 坐标系中画出抛物线 y_和直线 y x，其交点的横坐标就是该方程的解； (2)已知函数 y6 x的图象(如图所示)， 利用图象求方程6 xx30 的近似根(结果 保留两个有效数字) 解析：(1)一元二次方程 x2x30 可 以转化为 x23x， 所以一元二次方程 x2 x30的解可以看成抛物线 yx23 与 直线 yx 交点的横坐标；(2)函数 y6
8、x 的图象与直线yx3的交点的横坐标就 是方程6 xx30 的近似根 解：(1)x23 (2)图象如图所示： 由图象可得， 方程6 xx30 的近似根 为 x11.4，x24.4. 方法总结： 利用二次函数图象求一元二 次方程的近似根的步骤是： (1)作出函数的图 象， 由图象确定方程的解的个数；(2)由图象 与yh的交点位置确定交点横坐标的范围； (3)观察图象求得方程的近似根 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 后巩固提升”第 8 题 三、板书设计 利用二次函数求方程的近似根 1利用二次函数估算一元二次方程的 近似根 2列表或利用图象求一元二次方程的 近似根 3利用二次函数和一次函数的图象求 方程的根 在教学过程中，教师作为引导者，为学生创 设问题情境、提供问题，给学生提供广阔的 思考空间、活动空间，为学生搭建自主学习 的平台；学生则在老师的指导下经历操作、 实践、思考、交流、合作的过程，其知识的 形成和能力的培养相伴而行，创造“海阔凭 鱼跃，天高任鸟飞”的课堂境界.
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