1、2.4 二次函数的应用二次函数的应用 第第 2 课时课时 商品利润最大问题商品利润最大问题 1应用二次函数解决实际问题中的最 值问题；(重点) 2应用二次函数解决实际问题，要能 正确分析和把握实际问题的数量关系， 从而 得到函数关系，再求最值(难点) 一、情境导入 某商店经营 T 恤衫， 已知成批购进时单 价是 25 元根据市场调查，销售量与销售 单价满足如下关系：在一段时间内，单价是 135 元时，销售量是 500 件，而单价每降低 10 元， 就可以多售出 200 件 请你帮忙分析， 销售单价是多少时，可以获利最多？ 二、合作探究 探究点一：商品利润最大问题 【类型一】 利用二次函数求实际
2、问题 中的最大利润 某体育用品店购进一批单价为 40 元的球服，如果按单价 60 元销售，那么一 个月内可售出 240 套，根据销售经验，提高 销售单价会导致销售量的减少， 即销售单价 每提高 5 元，销售量相应减少 20 套设销 售单价为 x(x60)元时，销售量为 y 套 (1)求出 y 与 x 的函数关系式； (2)当销售单件为多少元时， 月销售额为 14000 元？ (3)当销售单价为多少元时， 才能在一个 月内获得最大利润？最大利润是多少？ 解析： (1)由销售单价为 x 元得到销售减 少量，用 240 减去销售减少量得到 y 与 x 的 函数关系式； (2)直接用销售单价乘以销售
3、量等于 14000，列方程求得销售单价； (3) 设一个月内获得的利润为 w 元， 根据题意得 w(x40)(4x480)，然后利用配方法求 最值 解：(1)销售单价为 x 元，则销售量减少 x60 5 20， 故销售量为 y240x60 5 20 4x480(x60)； (2) 根 据 题 意 可 得 x( 4x 480) 14000，解得 x170，x250(不合题意，舍 去)，故当销售价为 70 元时，月销售额为 14000 元； (3)设一个月内获得的利润为 w 元，根 据题意得 w(x40)(4x480)4x2 640x192004(x80)26400.当 x80 时，w 有最大值，
4、最大值为 6400. 所以，当销售单价为 80 元时，才能在 一个月内获得最大利润，最大利润是 6400 元 方法总结：先得到二次函数的顶点式 y a(xh)2k，当 a0，xh 时，y 有最大 值 k；当 a0，xh 时，y 有最小值 k. 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 堂达标训练” 第 7 题 某公司推出了一种高效环保型洗 涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到 盈利的过程右面的二次函数图象(部分)刻 画了该公司年初以来累积利润 w(万元)与销 售时间 t(月)之间的关系(即前 t 个月的利润 总和 w 和销售时间 t 之间的关系)根据图 象提供的信息，解答下列问题： (1)由图
5、象上已知的信息，求累积利润 w(万元)与销售时间 t(月)之间的函数关系 式； (2)求截止到几月末公司累积利润可达 到 30 万元； (3)求第 8 个月公司所获利润是多少万 元 解析： (1)本题是通过构建函数模型解答 销售利润的问题， 应根据图象以及题目中所 给的信息来列出 w 与 t 之间的函数关系式； (2)把 w30 代入累计利润 w1 2t 22t 的函 数关系式里，求得月份；(3)分别将 t7，t 8 代入函数解析 w1 2t 22t，再把总利润 相减就可得出 解：(1)由图象可知其顶点坐标为(2， 2)，故可设其函数关系式为 wa(t2)2 2.所求函数关系式的图象过(0，0
6、)，于是 得 a(02)220， 解得 a1 2.函数关系式 为 w1 2(t2) 22，即 w1 2t 22t. 所以， 累积利润 w 与销售时间 t 之间的 函数关系式为 w1 2t 22t； (2)把 w30 代入 w1 2t 22t，得1 2t 2 2t30.解得 t110，t26(不合题意，舍 去) 所以，截止到 10 月末公司累积利润可 达 30 万元； (3)把 t7 代入关系式，得 w1 27 2 2710.5， 把 t8 代入关系式， 得 w1 2 822816.1610.55.5(万元) 所以，第 8 个月公司所获利润是 5.5 万 元 方法总结： 此题主要考查了二次函数的
7、 性质在实际生活中的应用，首先要吃透题 意，确定变量，建立函数模型，尤其是对本 题图象中所给信息的理解是解决问题的关 键 【类型二】 综合运用一次函数和二次 函数求最大利润 宿松超市以每件20元的价格进购 一批商品，试销一阶段后发现，该商品每天 的销售量y(件)与售价x(元/件)之间的函数关 系如图(20x60) (1)求每天销售量 y(件)与售价 x(元/件) 之间的函数关系式； (2)若该商品每天的利润为 w(元)，试确 定 w(元)与售价 x(元/件)之间的函数关系式， 并求售价 x 为多少时，每天的利润 w 最大， 最大利润是多少？ 解析： (1)当 20x40 时， 设 yaxb，
8、当 40x60 时，设 ymxn，利用待定 系数法求一次函数解析式即可；(2)利用(1) 中所求进而得出 w(元)与售价 x(元/件)的函 数表达式，进而求出函数最值 解：(1)分两种情况：当 20x40 时， 设 yaxb， 根据题意， 得 20ab40， 40ab60，解 得 a1， b20，故 yx20；当 40x60 时， 设 ymxn，根据题意，得 40mn60， 60mn20， 解得 m2， n140， 故 y2x140. 故每天销售量y(件)与售价x(元/件)之间 的函数表达式是y x20（20x40）， 2x140（40x60）； (2)w 错误错误! ! 当 20x40 时，
9、wx2400，由于 10，因而抛物线开口向上，且 x0 时 w 随 x 的增大而增大，又 20x40，因此当 x40 时，w 有最大值，w最大值402400 1200； 当40x60时， w2x2180x 28002(x45)21250，由于20， 抛物线开口向下，又 40x60，所以当 x 45 时，w 有最大值，w最大值1250. 综上所述，当 x45 时，w最大值1250. 所以，售价为 45 元/件时，每天的利润 最大，最大利润是 1250 元 方法总结： 一次函数与二次函数的综合 应用问题主要解决的是图象与性质的问题 或生活中的实际应用问题 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 后
10、巩固提升” 第 2 题 【类型三】 利用表格信息求最大利润 某商店经过市场调查，整理出某 种商品在第 x(1x90)天的售价与销量的 相关信息如下表： 时间 x(天) 1x50 50x90 售价(元/件) x40 90 每天销量(件) 2002x 已知该商品的进价为每件 30 元，设销 售该商品每天的利润为 y 元 (1)求出 y 与 x 的函数关系式； (2)问销售该商品第几天时， 当天销售利 润最大，最大利润是多少？ 解析：(1)分 1x50 和 50x90 两 种情况进行讨论， 利用利润每件的利润 销售的件数，即可求得函数的解析式；(2) 利用(1)得到的两个解析式， 结合二次函数与 一
11、次函数的性质分别求得最值， 然后两种情 况下取最大的即可 解：(1)当 1x50 时，y(2002x)(x 40 30) 2x2 180x 2000 ； 当 50x90 时，y(2002x)(9030) 120x12000. 综上所述，y 2x2180x2000（1x50）， 120x12000（50x90）； (2)当 1x50 时，y2x2180x 2000， 二次函数开口向下， 对称轴为 x45， 当 x45 时，y最大245218045 20006050；当 50x90 时，y120x 12000， y 随 x 的增大而减小， 当 x50 时， y最大6000. 综上所述，销售该商品第
12、 45 天时，当 天销售利润最大，最大利润是 6050 元 方法总结：本题考查了二次函数的应 用，读懂表格信息、理解利润的计算方法， 即利润每件的利润销售的件数， 是解决 问题的关键 三、板书设计 商品利润最大问题 1利用二次函数求实际问题中的最大 利润 2综合运用一次函数和二次函数求最 大利润 3.利用表格信息求最大利润 本节课是在学习了二次函数的概念、图 象及性质后， 应用二次函数的最大值解决销 售问题的最大利润问题 本节课的设计力求 通过创设问题情境，有计划、有步骤地安排 好思维序列，使学生的思维活动在“探索 发现”的过程中充分展开， 力求使学生 经历运用逻辑思维和非逻辑思维再创造的 过程， 整个教学过程突出知识的形成与发展 的过程，让学生既获得了知识又发展了智 力，同时提升了能力.
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