1、1.5 三角函数的应用三角函数的应用 1通过生活中的实际问题体会锐角三 角函数在解决问题过程中的作用；(重点) 2能够建立数学模型，把实际问题转 化为数学问题(难点) 一、情境导入 为倡导“低碳生活”， 人们常选择自行 车作为代步工具， 图所示的是一辆自行车 的实物图 图是这辆自行车的部分几何示 意图，其中车架档 AC 与 CD 的长分别为 45cm 和 60cm，且它们互相垂直，座杆 CE 的长为 20cm.点 A、C、E 在同一条直线上， 且CAB75. 你能求出车架档 AD 的长吗？ 二、合作探究 探究点：三角函数的应用 【类型一】 利用方向角解决问题 某船以每小时36海里的速度向正 东
2、方向航行，在点 A 测得某岛 C 在北偏东 60方向上，航行半小时后到达点 B，测得 该岛在北偏东 30方向上， 已知该岛周围 16 海里内有暗礁 (1)试说明点 B 是否在暗礁区域外； (2)若继续向东航行有无触礁危险？请 说明理由 解析：(1)求点 B 是否在暗礁区域内， 其实就是求 CB 的距离是否大于 16， 如果大 于则不在暗礁区域内，反之则在可通过构 造直角三角形来求 CB 的长，作 CDAB 于 D 点，CD 是 RtACD 和 RtCBD 的公共 直角边，可先求出 CD 的长，再求出 CB 的 长；(2)本题实际上是问 C 到 AB 的距离即 CD 是否大于 16，如果大于则无
3、触礁危险， 反之则有，CD 的值在第(1)问已经求出，只 要进行比较即可 解：(1)作 CDAB 于 D 点，设 BCx， 在 RtBCD 中， CBD60， BD1 2x， CD 3 2 x.在 RtACD 中，CAD30， tanCADCD AD 3 3 ， 3 2 x 181 2x 3 3 .x 18.1816，点 B 是在暗礁区域外； (2)CD 3 2 x9 3，9 316，若 继续向东航行船有触礁的危险 方法总结： 解决本题的关键是将实际问 题转化为直角三角形的问题， 通过作辅助线 构造直角三角形， 再把条件和问题转化到这 个直角三角形中解决 变式训练： 见 学练优 本课时练习 “
4、课 堂达标训练” 第 4 题 【类型二】 利用仰角和俯角解决问题 某中学九年级学生在学习“直角 三角形的边角关系”时， 组织开展测量物体 高度的实践活动在活动中，某小组为了测 量校园内号楼 AB 的高度(如图)，站在 号楼的 C 处， 测得号楼顶部 A 处的仰角 30， 底部 B 处的俯角 45.已知两幢 楼的水平距离 BD 为 18 米， 求号楼 AB 的 高度(结果保留根号) 解析：根据在 RtBCE 中，tanBCE BE CE，求出 BE 的值，再根据在 RtACE 中，tanACEAE CE，求出 AE 的值，最后根 据 ABAEBE，即可求出答案 解：ABBD，CDBD，CEAB，
5、 四边形 CDBE 是矩形，CEBD18 米在 RtBEC 中，ECB45， EBCE18 米在 RtAEC 中，tan ACE AE CE ， AE CE tan ACE 18tan306 3(米)， ABAEEB18 6 3(米) 所以，号楼 AB 的高为(186 3)米 方法总结：解决本题的关键是结合仰 角、俯角构造直角三角形，然后再解直角三 角形 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 后巩固提升” 第 1 题 【类型三】 求河的宽度 根据网上消息，益阳市为了改善 市区交通状况， 计划在康富路的北端修建通 往资江北岸的新大桥如图，新大桥的两端 位于 A、B 两点，小张为了测量 A、B
6、之间 的河宽，在垂直于新大桥 AB 的直线型道路 l 上测得如下数据：BDA76.1，BCA 68.2，CD82 米求 AB 的长(精确到 0.1 米， 参考数据： sin76.10.97， cos76.1 0.24，tan76.14.0，sin68.20.93， cos68.20.37，tan68.22.5) 解析：设 ADxm，则 AC(x82)m. 在 RtABC 中，根据三角函数得到 AB 2.5(x82)m，在 RtABD 中，根据三角函 数得到 AB4x，依此得到关于 x 的方程， 进一步即可求解 解：设 ADxm，则 AC(x82)m.在 RtABC 中， tanBCAAB AC
7、， ABAC tan BCA2.5(x82)在 RtABD 中，tan BDAAB AD，ABAD tanBDA4x， 2.5(x82)4x，解得 x410 3 .AB4x 4410 3 546.7m. 所以，AB 的长约为 546.7m. 方法总结： 解题的关键在于构造出直角 三角形，通过测量角的度数和测量边的长 度，计算出所要求的物体的高度或宽度 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 堂达标训练” 第 5 题 【类型四】 仰角、俯角和坡度的综合 应用 如图，小丽假期在娱乐场游玩时， 想要利用所学的数学知识测量某个娱乐场 地所在山坡 AE 的长度她先在山脚下点 E 处测得山顶 A 的仰角是
8、 30，然后，她沿 着坡度是 i11(即 tanCED1)的斜坡 步行 15 分钟抵达 C 处，此时，测得 A 点的 俯角是 15.已知小丽的步行速度是 18 米/ 分，图中点 A、B、E、D、C 在同一平面内， 且点 D、E、B 在同一水平直线上求出娱 乐场地所在山坡 AE 的长度(参考数据： 2 1.41，结果精确到 0.1 米) 解析：作辅助线 EFAC 于点 F，根据 速度乘以时间得出 CE 的长度，通过坡度得 到ECF30，通过平角减去其他角从而 得到AEF45，即可求出 AE 的长度 解：作 EFAC 于点 F，根据题意，得 CE1815 270(米) tanCED1，CEDDCE
9、 45.ECF90451530 ， EF1 2CE135 米CEF60， AEB30， AEF1804560 3045，AE 2EF135 2 190.4(米) 所以，娱乐场地所在山坡 AE 的长度约 为 190.4 米 方法总结： 解决本题的关键是能借助仰 角、俯角和坡度构造直角三角形，并结合图 形利用三角函数解直角三角形 三、板书设计 三角函数的应用 1方向角的概念 2三角函数的实际应用 本节课尽可能站在学生的角度上思考问题， 设计好教学的每一个细节，上课前多揣 摩让学生更多地参与到课堂的教学过程 中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜 悦和失败的挫折，把课堂让给学生，让学生 做课堂这个小小舞台的主角 教师尽最大可 能在课堂上投入更多的情感因素， 丰富课堂 语言，使课堂更加鲜活，充满人性魅力，下 课后多反思， 做好反馈工作， 不断总结得失， 不断进步只有这样，才能真正提高课堂教 学效率.
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