1、1.1 锐角三角函数锐角三角函数 第第 2 课时课时 正弦与余弦正弦与余弦 1理解正弦与余弦的概念；(重点) 2能用正弦、余弦的知识，根据三角 形中已知的边和角求出未知的边和角(难 点) 一、情境导入 如图，小明沿着某斜坡向上行走了 13m，他的相对位置升高了 5m. 如果他沿着该斜坡行走了 20m， 那么他 的相对位置升高了多少？行走了 am 呢？ 在上述情形中， 小明的位置沿水平方向 又分别移动了多少？ 根据相似三角形的性质可知， 当直角三 角形的一个锐角的大小确定时， 它的对边与 斜边的比值、邻边与斜边的比值也就确定 了 二、合作探究 探究点：正弦和余弦 【类型一】 直接利用定义求正弦和
2、余 弦值 在 RtABC 中，C90，AB 13，BC5，求 sinA，cosA. 解析：利用勾股定理求出 AC，然后根 据正弦和余弦的定义计算即可 解：由勾股定理得 AC AB2BC2 1325212， sinABC AB 5 13， cosA AC AB 12 13. 方法总结：在直角三角形中，锐角的正 弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切 为对边比邻边， 熟记三角函数的定义是解决 问题的关键 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 堂达标训练” 第 1 题 【类型二】 已知一个三角函数值求另 一个三角函数值 如图，在ABC 中，C90， 点 D 在 BC 上， ADBC5， cosAD
3、C3 5， 求 sinB 的值 解析： 先由 ADBC5， cosADC3 5 及勾股定理求出 AC 及 AB 的长，再由锐角 三角函数的定义解答 解：ADBC5，cosADC3 5， CD3.在 RtACD 中，AD5，CD3， ACAD2CD252324.在 Rt ACB 中，AC 4，BC5， AB AC2BC2 4252 41， sinBAC AB 4 41 4 41 41 . 方法总结：在不同的直角三角形中，要 根据三角函数的定义，分清它们的边角关 系，结合勾股定理是解答此类问题的关键 变式训练： 见 学练优 本课时练习 “课 后巩固提升”第 8 题 【类型三】 比较三角函数的大小
4、sin70，cos70，tan70的大小 关系是( ) Atan70cos70 sin70 Bcos70tan70 sin70 Csin70cos70 tan70 Dcos70sin70 tan70 解析：根据锐角三角函数的概念，知 sin701，cos701，tan701.又 cos70 sin20 ，锐角的正弦值随着角的增 大而增大，sin70sin20 cos70 .故选 D. 方法总结：当角度在 00.当角度在 45 A90间变化时，tanA1. 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 堂达标训练”第 10 题 【类型四】 与三角函数有关的探究性 问题 在 RtABC 中，C90，D
5、为BC边(除端点外)上的一点， 设ADC， B. (1)猜想 sin与 sin的大小关系； (2)试证明你的结论 解析：(1)因为在ABD 中，ADC 为 ABD 的外角，可知ADCB，可猜想 sinsin；(2)利用三角函数的定义可求 出 sin，sin的关系式即可得出结论 解：(1)猜想：sinsin； (2)C90，sinAC AD ，sin AC AB .ADAB， AC AD AC AB，即 sin sin. 方法总结： 利用三角函数的定义把两角 的正弦值表示成线段的比， 然后进行比较是 解题的关键 【类型五】 三角函数的综合应用 如图，在ABC 中，AD 是 BC 上 的高，tan
6、BcosDAC. (1)求证：ACBD； (2)若 sinC12 13，BC36，求 AD 的长 解析：(1)根据高的定义得到ADB ADC90， 再分别利用正切和余弦的定 义得到 tanBAD BD，cosDAC AD AC，再利用 tanBcosDAC 得到AD BD AD AC，所以 AC BD；(2)在 RtACD 中，根据正弦的定义得 sinCAD AC 12 13，可设 AD12k，AC13k， 再根据勾股定理计算出 CD5k，由于 BD AC13k，于是利用 BCBDCD 得到 13k5k36，解得 k2，所以 AD24. (1)证明： AD 是 BC 上的高， ADB ADC9
7、0.在 RtABD 中， tanBAD BD， 在 RtACD 中，cosDACAD AC.tanB cosDAC，AD BD AD AC，ACBD； (2)解：在 RtACD 中，sinCAD AC 12 13. 设 AD12k， AC13k， CD AC2AD2 5k.BDAC13k，BCBDCD 13k5k36，解得 k2，AD122 24. 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 后巩固提升”第 10 题 三、板书设计 正弦与余弦 1正弦的定义 2余弦的定义 3利用正、余弦解决问题 本节课的教学设计以直角三角形为主线， 力 求体现生活化课堂的理念，让学生在经历 “问题情境形成概念应用拓展 反思提高”的基本过程中， 体验知识间 的内在联系，让学生感受探究的乐趣，使学 生在学中思，在思中学在教学过程中，重 视过程，深化理解，通过学生的主动探究来 体现他们的主体地位， 教师是通过对学生参 与学习的启发、调整、激励来体现自己的引 导作用， 对学生的主体意识和合作交流的能 力起着积极作用.
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