2020年上海市崇明区中考数学一模试卷（含详细解答）

1、抛物线 y3（x+1）2+2 的顶点坐标是（ ） A （1，2） B （1，2） C （1，2） D （1，2） 4 （4 分）已知 为非零向量， 3 ， 2 ，那么下列结论中错误的是（ ） A B| | | C 与 方向相同 D 与 方向相反 5 （4 分）如图，在 55 正方形网格中，一条圆弧经过 A，B，C 三点，那么这条圆弧所在 圆的圆心是（ ） A点 P B点 Q C点 R D点 M 6 （4 分）如图，在ABC 中，点 D、E 分别在 AB 和 AC 边上且 DEBC，点 M 为 BC 边 上一点（不与点 B、C 重合） ，联结 AM 交 DE 于点 N，下列比例式一定成立的是（

2、） 第 2 页（共 26 页） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 12 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 48 分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位 置上】置上】 7 （4 分）已知，那么 8 （4 分）已知线段 AB8cm，点 C 在线段 AB 上，且 AC2BCAB，那么线段 AC 的长 cm 9 （4 分）如果两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为 50和 60，那么另 一个三角形的最大角为 度 10 （4 分）小杰沿坡比为 1：2.4 的山坡向上走了 130 米那么他沿着垂直方向升高了 米 11 （4 分）在

3、某一时刻，测得一根高为 1.8m 的竹竿的影长为 3m，同时同地测得一栋楼的 影长为 90m，则这栋楼的高度为 m 12 （4 分）如果将抛物线 yx2+2x1 先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，那么所 得的新抛物线的顶点坐标为 13 （4 分）已知：二次函数 yax2+bx+c 图象上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如表 格所示，那么它的图象与 x 轴的另一个交点坐标是 x 1 0 1 2 y 0 3 4 3 14 （4 分）正五边形的中心角的度数是 15 （4 分）两圆的半径之比为 3：1，当它们外切时，圆心距为 4，那么当它们内切时，圆 心距为 16 （4 分）如

4、果梯形两底分别为 4 和 6，高为 2，那么两腰延长线的交点到这个梯形的较大 底边的距离是 17 （4 分）如图，在ABC 中，ACAB，点 D 在 BC 上，且 BDBA，ABC 的平分线 BE 交 AD 于点 E， 点 F 是 AC 的中点， 连结 EF 若四边形 DCFE 和BDE 的面积都为 3， 则ABC 的面积为 第 3 页（共 26 页） 18 （4 分）如图，在 RtABC 中，C90，AB10，AC8，D 是 AC 的中点，点 E 在边 AB 上，将ADE 沿 DE 翻折，使得点 A 落在点 A处，当 AEAB 时，则 AA 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 题，

5、满分题，满分 78 分）分） 19 （10 分）计算：tan260+sin245 20 （10 分）如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，BC2AD，对角线 AC、BD 相交于点 O， 设 AD ，AB （1）试用 、 的式子表示向量； （2）在图中作出向量在 、 方向上的分向量，并写出结论 21 （10 分）如图，AC 是O 的直径，弦 BDAO 于点 E，联结 BC，过点 O 作 OFBC 于点 F，BD8，AE2 （1）求O 的半径； （2）求 OF 的长度 第 4 页（共 26 页） 22 （10 分）如图 1 为放置在水平桌面 l 上的台灯，底座的高 AB 为 5cm，长度均为 20

6、cm 的 连杆 BC、CD 与 AB 始终在同一平面上 （1）转动连杆 BC，CD，使BCD 成平角，ABC150，如图 2，求连杆端点 D 离 桌面 l 的高度 DE （2）将（1）中的连杆 CD 再绕点 C 逆时针旋转，经试验后发现，如图 3，当BCD 150时台灯光线最佳求此时连杆端点 D 离桌面 l 的高度比原来降低了多少厘米？ 23 （12 分）如图，ABC 中，ADBC，E 是 AD 边上一点，连接 BE，过点 D 作 DFBE， 垂足为 F，且 AEDFEFCD，联结 AF、CF，CF 与边 AD 交于点 O 求证： （1）EAFDCF； （2）AFBDACDF 24 （12 分

7、）如图，抛物线与 x 轴相交于点 A（3，0） 、点 B（1，0） ，与 y 轴交于点 C （0， 3） ，点 D 是抛物线上一动点，联结 OD 交线段 AC 于点 E 第 5 页（共 26 页） （1）求这条抛物线的解析式，并写出顶点坐标； （2）求ACB 的正切值； （3）当AOE 与ABC 相似时，求点 D 的坐标 25 （14 分）如图，在ABC 中，ABAC10，BC16，点 D 为 BC 边上的一个动点（点 D 不与点 B、点 C 重合） 以 D 为顶点作ADEB，射线 DE 交 AC 边于点 E，过点 A 作 AFAD 交射线 DE 于点 F （1）求证：ABCEBDCD； （2

8、）当 DF 平分ADC 时，求 AE 的长； （3）当AEF 是等腰三角形时，求 BD 的长 第 6 页（共 26 页） 2020 年上海市崇明区中考数学一模试卷年上海市崇明区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 24 分） 【下列各题的四个选项中，有且只有分） 【下列各题的四个选项中，有且只有 一个选项是正确的，选择正确一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1 （4 分）下列各组图形一定相似的是（ ） A两个菱形 B两个矩形 C

9、两个直角梯形 D两个正方形 【分析】形状相同的图形称为相似图形结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即 可 【解答】解：A任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，本选项 不合题意； B任意两个矩形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，本选项不合题意； C任意两个直角梯形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不合题意； D任意两个正方形的对应角对应相等、边的比相等，一定相似，本选项符合题意； 故选：D 【点评】本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小 不一定相同 2 （4 分）在 RtABC 中，C90，如果 AC8，BC6，那么B 的余切值为

10、（ ） A B C D 【分析】根据余切函数的定义解答即可 【解答】解：如图，在 RtABC 中，C90，AC8，BC6， cotB， 故选：A 【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 第 7 页（共 26 页） 3 （4 分）抛物线 y3（x+1）2+2 的顶点坐标是（ ） A （1，2） B （1，2） C （1，2） D （1，2） 【分析】由函数解析式直接可得顶点坐标 【解答】解：y3（x+1）2+2， 顶点为（1，2） ， 故选：C 【点评】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数由解析式求顶点坐标的方法是解 题的关键 4 （4 分）已知 为非零

11、向量， 3 ， 2 ，那么下列结论中错误的是（ ） A B| | | C 与 方向相同 D 与 方向相反 【分析】根据平面向量的性质一一判断即可 【解答】解： 3 ， 2 ， ， ，| | |， 与 发方向相反， A，B，D 正确， 故选：C 【点评】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 5 （4 分）如图，在 55 正方形网格中，一条圆弧经过 A，B，C 三点，那么这条圆弧所在 圆的圆心是（ ） A点 P B点 Q C点 R D点 M 【分析】作 AB 和 BC 的垂直平分线，它们相交于 Q 点，根据弦的垂直平分线经过圆心， 第 8 页（共 26 页） 即可确定这

12、条圆弧所在圆的圆心为 Q 点 【解答】解：连结 BC， 作 AB 和 BC 的垂直平分线，它们相交于 Q 点 故选：B 【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧； 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦 的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对一条弧的直径，垂直平 分弦，并且平分弦所对的另一条弧 6 （4 分）如图，在ABC 中，点 D、E 分别在 AB 和 AC 边上且 DEBC，点 M 为 BC 边 上一点（不与点 B、C 重合） ，联结 AM 交 DE 于点 N，下列比例式一定成立的是（ ） A B

13、C D 【分析】根据相似三角形的判定和性质分析即可 【解答】解：DEBC， ADNABM，ANEAMC， ， ， 即， 故选：B 第 9 页（共 26 页） 【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，牢记定理是解决此题的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 12 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 48 分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位 置上】置上】 7 （4 分）已知，那么 【分析】直接利用已知得出 xy，进而得出答案 【解答】解：， xy， 故答案为： 【点评】此题主要考查了比例的性质，正确运用已知变形是解题关键 8（4 分） 已知

14、线段 AB8cm， 点 C 在线段 AB 上， 且 AC2BCAB， 那么线段 AC 的长 4 4 cm 【分析】根据黄金分割的定义得到点 C 是线段 AB 的黄金分割点，根据黄金比值计算得 到答案 【解答】解：AC2BCAB， 点 C 是线段 AB 的黄金分割点，ACBC， ACAB8（44）cm， 故答案为：44 【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比值为是解题的关键 9 （4 分）如果两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为 50和 60，那么另 一个三角形的最大角为 70 度 【分析】根据相似三角形的性质以及三角形的内角和定理即可解决问题 【解答】解：三角形的两个内

15、角分别为 50和 60， 这个三角形的第三个内角为 180506070， 根据相似三角形的性质可知，另一个三角形的最大角为 70 第 10 页（共 26 页） 故答案为 70 【点评】本题考查三角形内角和定理，相似三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌 握基本知识，属于中考常考题型 10 （4 分）小杰沿坡比为 1：2.4 的山坡向上走了 130 米那么他沿着垂直方向升高了 50 米 【分析】设他沿着垂直方向升高了 x 米，根据坡度的概念用 x 表示出他行走的水平宽度， 根据勾股定理计算即可 【解答】解：设他沿着垂直方向升高了 x 米， 坡比为 1：2.4， 他行走的水平宽度为 2.4x 米，

16、 由勾股定理得，x2+（2.4x）21302， 解得，x50，即他沿着垂直方向升高了 50 米， 故答案为：50 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高 度 h 和水平宽度 l 的比是解题的关键 11 （4 分）在某一时刻，测得一根高为 1.8m 的竹竿的影长为 3m，同时同地测得一栋楼的 影长为 90m，则这栋楼的高度为 54 m 【分析】根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论 【解答】解：设这栋楼的高度为 hm， 在某一时刻，测得一根高为 1.8m 的竹竿的影长为 3m，同时测得一栋楼的影长为 90m， ，解得 h54（m） 故答案为：54 【点评】本

17、题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题 的关键 12 （4 分）如果将抛物线 yx2+2x1 先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，那么所 得的新抛物线的顶点坐标为 （1，1） 【分析】先把 yx2+2x1 配方得到 y（x+1）22，则抛物线 yx2+2x1 的顶点坐标 为（1，2） ，然后把点（1，2）先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位即可 得到新抛物线的顶点坐标 第 11 页（共 26 页） 【解答】解：yx2+2x1（x+1）22， 抛物线 yx2+2x1 的顶点坐标为（1，2） ， 把点（1，2）先向右平移 2 个单位，再向上平移 3

18、 个单位得到点的坐标为（1，1） ， 即新抛物线的顶点坐标为（1，1） 故答案为： （1，1） 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用平移规律：左加右减，上加下减是 解题关键 13 （4 分）已知：二次函数 yax2+bx+c 图象上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如表 格所示，那么它的图象与 x 轴的另一个交点坐标是 （3，0） x 1 0 1 2 y 0 3 4 3 【分析】根据（0，3） 、 （2，3）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可 【解答】解：抛物线 yax2+bx+c 经过（0，3） 、 （2，3）两点， 对称轴 x1； 点（1，0）关于对称轴对称点为（3，0

19、） ， 因此它的图象与 x 轴的另一个交点坐标是（3，0） 故答案为： （3，0） 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点，关键是熟练掌握二次函数的对称性 14 （4 分）正五边形的中心角的度数是 72 【分析】根据正多边形的圆心角定义可知：正 n 边形的圆中心角为，则代入求解 即可 【解答】解：正五边形的中心角为：72 故答案为：72 【点评】此题考查了正多边形的中心角的知识题目比较简单，注意熟记定义 15 （4 分）两圆的半径之比为 3：1，当它们外切时，圆心距为 4，那么当它们内切时，圆 心距为 2 【分析】只需根据两圆的半径比以及两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和，列方程求 得两圆的

20、半径；再根据两圆内切时，圆心距等于两圆半径之差求解 第 12 页（共 26 页） 【解答】解：设大圆的半径为 R，小圆的半径为 r，则有 r：R1：3； 又 R+r4， 解，得 R3，r1， 当它们内切时，圆心距312 故答案为：2 【点评】此题考查了两圆的位置关系与数量之间的联系解题的关键是正确的求出两个 半径 16 （4 分）如果梯形两底分别为 4 和 6，高为 2，那么两腰延长线的交点到这个梯形的较大 底边的距离是 6 【分析】根据 DEBC，即可求得ADEABC，得出，求出 AF 4，即可得出答案 【解答】解：在梯形 BCED 中，作 AGBC 于 G，交 DE 于 F，如图所示：DE

21、BC， ADEABC， ， 解得：AF4， AGAF+GF4+26 故答案为：6 【点评】本题考查了相似三角形的判定，相似三角形对应边比值相等的性质，本题中根 据 DE、BC 的比值求 AF 的值是解题的关键 17 （4 分）如图，在ABC 中，ACAB，点 D 在 BC 上，且 BDBA，ABC 的平分线 BE 交 AD 于点 E， 点 F 是 AC 的中点， 连结 EF 若四边形 DCFE 和BDE 的面积都为 3， 则ABC 的面积为 10 第 13 页（共 26 页） 【分析】依据 BDAB，BE 是ABC 的平分线，即可得到 AEDE，进而得出BDE 的 面积与ABE 的面积均为 3

22、，再根据 EF 是ACD 的中位线，即可得出ACD 的面积为 4，即可得到ABC 的面积为 3+3+410 【解答】解：BDAB，BE 是ABC 的平分线， AEDE， BDE 的面积与ABE 的面积均为 3， 又点 F 是 AC 的中点， EF 是ACD 的中位线， 2EFCD，EFDC， AEFADC， SACD4SAEF， 四边形 CDEF 的面积为 3， ACD 的面积为 4， ABC 的面积为 3+3+410 故答案为：10 【点评】本题主要考查了三角形中位线定理以及相似三角形的判定与性质，相似三角形 的面积的比等于相似比的平方 18 （4 分）如图，在 RtABC 中，C90，AB

23、10，AC8，D 是 AC 的中点，点 E 在边 AB 上，将ADE 沿 DE 翻折，使得点 A 落在点 A处，当 AEAB 时，则 AA 或 第 14 页（共 26 页） 【分析】分两种情形分别求解，作 DFAB 于 F，连接 AA想办法求出 AE，利用等 腰直角三角形的性质求出 AA即可 【解答】解：如图，作 DFAB 于 F，连接 AA 在 RtACB 中，BC6， DAFBAC，AFDC90， AFDACB， ， ， DF，AF， AEAB， AEA90， 由翻折不变性可知：AED45， EFDF， AEAE+， AA， 第 15 页（共 26 页） 如图，作 DFAB 于 F，当 E

24、AAB 时，同法可得 AE，AAAE 故答案为或 【点评】本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的 关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 题，满分题，满分 78 分）分） 19 （10 分）计算：tan260+sin245 【分析】代入特殊角的三角函数值即可 【解答】解：原式（）2+（）2 3+ + 【点评】考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，熟记特殊角的三角函数值代入求值 即可 20 （10 分）如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，BC2AD，对角线 AC、BD 相交于点 O，

25、 设 AD ，AB （1）试用 、 的式子表示向量； （2）在图中作出向量在 、 方向上的分向量，并写出结论 第 16 页（共 26 页） 【分析】 （1）根据平面向量定理即可表示； （2）根据平面向量定理画图即可 【解答】解： （1）ADBC，BC2AD， ，即 OAAC AD ，AB ，与同向， 2 + +2 + （2）如图所示：即为向量在 、 方向上的分向量分别为a、b 【点评】本题考查了梯形、平面向量定理，解决本题的关键是掌握平面向量定理 21 （10 分）如图，AC 是O 的直径，弦 BDAO 于点 E，联结 BC，过点 O 作 OFBC 于点 F，BD8，AE2 （1）求O 的半径

26、； （2）求 OF 的长度 第 17 页（共 26 页） 【分析】 （1）连接 OB，根据垂径定理求出 BE，根据勾股定理计算，得到答案； （2）根据勾股定理求出 BC，根据垂径定理求出 BF，根据勾股定理计算，得到答案 【解答】解： （1）连接 OB， 设O 的半径为 x，则 OEx2， OABD， BEEDBD4， 在 RtOEB 中，OB2OE2+BE2，即 x2（x2）2+42， 解得，x5，即O 的半径为 5； （2）在 RtCEB 中，BC4， OFBC， BFBC2， OF 【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平 分弦所对的两条弧是解题的关键

27、 22 （10 分）如图 1 为放置在水平桌面 l 上的台灯，底座的高 AB 为 5cm，长度均为 20cm 的 连杆 BC、CD 与 AB 始终在同一平面上 （1）转动连杆 BC，CD，使BCD 成平角，ABC150，如图 2，求连杆端点 D 离 桌面 l 的高度 DE （2）将（1）中的连杆 CD 再绕点 C 逆时针旋转，经试验后发现，如图 3，当BCD 150时台灯光线最佳求此时连杆端点 D 离桌面 l 的高度比原来降低了多少厘米？ 第 18 页（共 26 页） 【分析】 （1）如图 2 中，作 BODE 于 O解直角三角形求出 OD 即可解决问题 （2）过 C 作 CGBH，CKDE，

28、由题意得，BCCD20m，CGKH，解直角三角形 即可得到结论 【解答】解： （1）如图 2 中，作 BODE 于 O OEABOEBAE90， 四边形 ABOE 是矩形， OBA90， DBO1509060， ODBDsin6020（cm） ， DEOD+OEOD+AB（20+5）cm； （2）过 C 作 CGBH，CKDE， 由题意得，BCCD20m，CGKH， 在 RtCGB 中，sinCBH， CG10cm， KH10cm， 第 19 页（共 26 页） BCG906030， DCK150903030， 在 RtDCK 中，sinDCK， DK10cm， （20+5）（15+10）10

29、10， 答：比原来降低了（1010）厘米 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角 三角形解决问题 23 （12 分）如图，ABC 中，ADBC，E 是 AD 边上一点，连接 BE，过点 D 作 DFBE， 垂足为 F，且 AEDFEFCD，联结 AF、CF，CF 与边 AD 交于点 O 求证： （1）EAFDCF； （2）AFBDACDF 【分析】 （1）证明AEFCDF，根据相似三角形的性质证明结论； （2）证明AOFCOD，得到，得到AOCFOD，根据相似三角形的性 质得到ACFEDF，证明BFDCFA，根据相似三角形的性质证明结论 【解答】证明： （

30、1）ADBC，DFBE， 第 20 页（共 26 页） ADBDFE90， DBE+DEB90，DBE+BDF90， BEDBDF， AEFCDF， AEDFEFCD， ，又AEFCDF， AEFCDF， EAFDCF； （2）AEFCDF， EFADFC， AFOEFD90， DFB90， BFDAFC， EAFDCF，AOFCOD， AOFCOD， ， ，又ACFEDF， AOCFOD， ACFEDF， DBE+BEDFDE+BED90， DBEEDF， ACFDBE，又BFDAFO， BFDCFA， ，即 AFBDACDF 【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定

31、定理和性质定 理是解题的关键 24 （12 分）如图，抛物线与 x 轴相交于点 A（3，0） 、点 B（1，0） ，与 y 轴交于点 C （0， 3） ，点 D 是抛物线上一动点，联结 OD 交线段 AC 于点 E 第 21 页（共 26 页） （1）求这条抛物线的解析式，并写出顶点坐标； （2）求ACB 的正切值； （3）当AOE 与ABC 相似时，求点 D 的坐标 【分析】 （1）利用待定系数法确定函数解析式，根据函数解析式求得该抛物线的顶点坐 标； （2）如图，过点 B 作 BHAC 于点 H，构造等腰直角ABH 和直角BCH，利用勾股 定理和两点间的距离公式求得相关线段的长度， 从而利

32、用锐角三角函数的定义求得答案； （3）如图 2，过点 D 作 DKx 轴于点 K，构造直角DOK，设 D（x，x22x+3） ，则 K（x，0） 并由题意知点 D 位于第二象限由于BAC 是公共角，所以当AOE 与 ABC 相似时，有 2 种情况： AODABC则 tanAODtanABC3由锐角三角函数定义列出比例式，从 而求得点 D 的坐标 AODACB则 tanAODtanACB2由锐角三角函数定义列出比例式，从 而求得点 D 的坐标 【解答】解： （1）设抛物线解析式为：yax2+bx+c，将点 A（3，0） ，B（1，0） ，C（0， 3）分别代入得： ， 解得：， 故抛物线解析式为

33、：yx22x+3 由于 yx22x+3（x+1）2+4， 第 22 页（共 26 页） 所以该抛物线的顶点坐标是（1，4） ； （2）如图 1，过点 B 作 BHAC 于点 H， AOC90，OAOC3， OACOCA45，AC3 BHA90， HAB+HBA90 HABHBA45 在直角AHB 中，AH2+BH2AB2，AB4 AHBH2 CH32 BHC90， ACB2； （3）如图 2，过点 D 作 DKx 轴于点 K， 第 23 页（共 26 页） 设 D（x，x22x+3） ，则 K（x，0） 并由题意知点 D 位于第二象限 DKx22x+3，OKx BAC 是公共角， 当AOE 与

34、ABC 相似时，有 2 种情况： AODABC tanAODtanABC3 3，解得 x1，x2（舍去） D（，） AODACB tanAODtanACB2 2，解得 x1，x2（舍去） D（，2） 综上所述，当AOE 与ABC 相似时，求点 D 的坐标是（，）或（ ，2） 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要 会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长 度，从而求出线段之间的关系 25 （14 分）如图，在ABC 中，ABAC10，BC16，点 D 为 BC 边上的一个动点（点 D 不与点 B、点 C 重合） 以 D 为

35、顶点作ADEB，射线 DE 交 AC 边于点 E，过点 A 作 AFAD 交射线 DE 于点 F 第 24 页（共 26 页） （1）求证：ABCEBDCD； （2）当 DF 平分ADC 时，求 AE 的长； （3）当AEF 是等腰三角形时，求 BD 的长 【分析】 （1）根据等腰三角形的性质得到BC，根据三角形的外角性质得到BAD CDE，得到BADCDE，根据相似三角形的性质证明结论； （2）证明 DFAB，根据平行线的性质得到，证明BDABAC，根据相似 三角形的性质列式计算，得到答案； （3）分点 F 在 DE 的延长线上、点 F 在线段 DE 上两种情况，根据等腰三角形的性质计 算即

36、可 【解答】 （1）证明：ABAC， BC， ADCBAD+B，ADEB， BADCDE，又BC， BADCDE， ，即 ABCEBDCD； （2）解：DF 平分ADC， ADECDE， CDEBAD， ADEBAD， DFAB， ， BADADEB， BADC，又BB， BDABAC， 第 25 页（共 26 页） ，即 解得，BD， ， 解得，AE； （3）解：作 AHBC 于 H， ABAC，AHBC， BHHCBC8， 由勾股定理得，AH6， tanB， tanADF， 设 AF3x，则 AD4x， 由勾股定理得，DF5x， BADCDE， ， 当点 F 在 DE 的延长线上，FAFE 时，DE5x3x2x， ， 解得，CD5， BDBCCD11， 当 EAEF 时，DEEF2.5x， ， 解得，CD， BDBCCD； 当 AEAF3x 时，DEx， 第 26 页（共 26 页） ， 解得，CD， BDBCCD； 当点 F 在线段 DE 上时，AFE 为钝角， 只有 FAFE3x，则 DE8x， ， 解得，CD2016，不合题意， AEF 是等腰三角形时，BD 的长为 11 或或 【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握相似三角形 的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键