1、在ABC 与DEF 中，AD60，如果B50，那么E 的度数是（ ） A50 B60 C70 D80 6 （4 分）如图，点 D、E 分别在ABC 的两边 BA、CA 的延长线上，下列条件能判定 ED BC 的是（ ） A B CADABDEBC DADACABAE 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 12 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 48 分）分） 7 （4 分）计算：2（3 2 ）+（ 2 ） 8 （4 分）如图，在ABC 中，点 D、E 分别在ABC 的两边 AB、AC 上，且 DEBC，如 果 AE5，EC3，DE4，那么线段 BC 的长是 第 2 页（共 2
2、8 页） 9 （4 分）如图，已知 ADBECF，它们依次交直线 l1、l2于点 A、B、C 和点 D、E、F如 果，DF15，那么线段 DE 的长是 10 （4 分）如果点 P 是线段 AB 的黄金分割点（APBP） ，那么的值是 11 （4 分）写出一个对称轴是直线 x1，且经过原点的抛物线的表达式 12 （4 分）如图，在 RtABC 中，ABC90，BDAC，垂足为点 D，如果 BC4，sin DBC，那么线段 AB 的长是 13 （4 分）如果等腰ABC 中，ABAC3，cosB，那么 cosA 14 （4 分）如图，在ABC 中，BC12，BC 上的高 AH8，矩形 DEFG 的边
3、 EF 在边 BC 上，顶点 D、G 分别在边 AB、AC 上设 DEx，矩形 DEFG 的面积为 y，那么 y 关于 x 的函数关系式是 （不需写出 x 的取值范围） 第 3 页（共 28 页） 15 （4 分）如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽 BC 6 厘米，长 CD16 厘米的矩形当水面触到杯口边缘时，边 CD 恰有一半露出水面， 那么此时水面高度是 厘米 16 （4 分）在ABC 中，AB12，AC9，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，且ADE 与 ABC 相似，如果 AE6，那么线段 AD 的长是 17 （4 分）如图，在ABC 中，中线 BF、
4、CE 交于点 G，且 CEBF，如果 AG5，BF6， 那么线段 CE 的长是 18（4 分） 如图， 在ABC 中， ABAC， 点 D、 E 在边 BC 上， DAEB30， 且， 那么的值是 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 7 题，满分题，满分 78 分）分） 19 （10 分）计算：cot45 20（10 分） 已知， 如图， 点 E 在平行四边形 ABCD 的边 CD 上， 且， 设， （1）用 、 表示； （直接写出答案） （2）设，在答题卷中所给的图上画出的结果 第 4 页（共 28 页） 21 （10 分）某数学小组在郊外的水平空地上对无人机进行测高实验如图，
5、两台测角仪分 别放在 A、 B 位置， 且离地面高均为 1 米 （即 ADBE1 米） ， 两台测角仪相距 50 米 （即 AB50 米） 在某一时刻无人机位于点 C（点 C 与点 A、B 在同一平面内） ，A 处测得其 仰角为 30， B 处测得其仰角为 45 （参考数据：1.41，1.73， sin400.64， cos400.77，tan400.84） （1）求该时刻无人机的离地高度； （单位：米，结果保留整数） （2）无人机沿水平方向向左飞行 2 秒后到达点 F（点 F 与点 A、B、C 在同一平面内） ， 此时于 A 处测得无人机的仰角为 40，求无人机水平飞行的平均速度 （单位：米
6、/秒， 结果保留整数） 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 yx+2，其顶点为 A （1）写出这条抛物线的开口方向、顶点 A 的坐标，并说明它的变化情况； （2）直线 BC 平行于 x 轴，交这条抛物线于 B、C 两点（点 B 在点 C 左侧） ，且 cotABC 2，求点 B 坐标 23 （12 分）已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 C 分别作 AD、AB 的垂线，交边 AD、AB 延长线于点 E、F 第 5 页（共 28 页） （1）求证：ADDEABBF； （2）联结 AC，如果，求证： 24 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，平移一条抛物线，
7、如果平移后的新抛物线经过原抛 物线顶点，且新抛物线的对称轴是 y 轴，那么新抛物线称为原抛物线的“影子抛物线” （1）已知原抛物线表达式是 yx22x+5，求它的“影子抛物线”的表达式； （2）已知原抛物线经过点（1，0） ，且它的“影子抛物线”的表达式是 yx2+5，求原 抛物线的表达式； （3）小明研究后提出： “如果两条不重合的抛物线交 y 轴于同一点，且它们有相同的“影 子抛物线” ，那么这两条抛物线的顶点一定关于 y 轴对称 ”你认为这个结论成立吗？请 说明理由 25 （14 分） 如图， ABC 是边长为 2 的等边三角形， 点 D 与点 B 分别位于直线 AC 的两侧， 且 AD
8、AC，联结 BD、CD，BD 交直线 AC 于点 E （1）当CAD90时，求线段 AE 的长 （2）过点 A 作 AHCD，垂足为点 H，直线 AH 交 BD 于点 F， 第 6 页（共 28 页） 当CAD120时，设 AEx，y（其中 SBCE表示BCE 的面积，SAEF 表示AEF 的面积） ，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； 当7 时，请直接写出线段 AE 的长 第 7 页（共 28 页） 2020 年上海市黄浦区中考数学一模试卷年上海市黄浦区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 6 题，每题
9、题，每题 4 分，满分分，满分 24 分） 【下列各题的四个选项中，有且只有分） 【下列各题的四个选项中，有且只有 一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】 1 （4 分）已知线段 a2，b4，如果线段 b 是线段 a 和 c 的比例中项，那么线段 c 的长度 是（ ） A8 B6 C D2 【分析】根据比例中项的定义，若 b 是 a，c 的比例中项，即 b2ac即可求解 【解答】解：若 b 是 a、c 的比例中项， 即 b2ac 422c， 解得 c8， 故选：A 【点评】本题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段
10、不能为负 2 （4 分）在 RtABC 中，C90，如果 ABm，A，那么 AC 的长为（ ） Amsin Bmcos Cmtan Dmcot 【分析】根据余弦函数是邻边比斜边，可得答案 【解答】解：由题意，得 cosA， ACABcosAmcos， 故选：B 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，利用余弦函数的定义是解题关键 3 （4 分）已知一个单位向量 ，设 、 是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ） A B C D 【分析】根据平面向量的性质一一判断即可 【解答】解：A、 与 的模相等，方向不一定相同故错误 B、正确 第 8 页（共 28 页） C、|与 的模相等，方向不一定相同，故
11、错误 D、 与 的模相等，方向不一定相同，故错误 故选：B 【点评】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 4 （4 分）已知二次函数 yx2，如果将它的图象向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位， 那么所得图象的表达式是（ ） Ay（x+1）2+2 By（x+1）22 Cy（x1）2+2 Dy（x1）22 【分析】根据平移的规律即可求得答案 【解答】解：二次函数 yx2，将它的图象向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位后得 到的解析式为 y（x+1）22 故选：B 【点评】本题主要考查二次函数的图象与几何变换，掌握平移的规律是解题的关键，即 “左加右减，
12、上加下减” 5 （4 分）在ABC 与DEF 中，AD60，如果B50，那么E 的度数是（ ） A50 B60 C70 D80 【分析】根据相似三角形的判定和性质解答即可 【解答】解：AD60， ABCDFE， BF50，CE180605070 故选：C 【点评】考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似 三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角 平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方 6 （4 分）如图，点 D、E 分别在ABC 的两边 BA、CA 的延长线上，下列条件能判定 ED BC 的是
13、（ ） 第 9 页（共 28 页） A B CADABDEBC DADACABAE 【分析】根据平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理判断即可 【解答】解：EADCAB， 当， 即 ADACABAE， EDBC， 故选：D 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理，掌握相关的判定 定理是解题的关键 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 12 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 48 分）分） 7 （4 分）计算：2（3 2 ）+（ 2 ） 3 +4 【分析】根据平面向量的加法法则计算即可 【解答】解：2（3 2 ）+（ 2 ）6 4 + 2 3 +4 ，
14、故答案为3 +4 【点评】本题考查平面向量的加法法则，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常 考题型 8 （4 分）如图，在ABC 中，点 D、E 分别在ABC 的两边 AB、AC 上，且 DEBC，如 果 AE5，EC3，DE4，那么线段 BC 的长是 第 10 页（共 28 页） 【分析】证明ADEABC，利用相似三角形的性质即可解决问题 【解答】解：DEBC， ADEABC， ， ， BC， 故答案为 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问 题 9 （4 分）如图，已知 ADBECF，它们依次交直线 l1、l2于点 A、B、C 和点 D、E、F如
15、果，DF15，那么线段 DE 的长是 6 【分析】根据平行线分线段成比例解答即可 【解答】解：ADBECF， ， DF15， ， 解得：DE6， 故答案为：6 【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是 解题的关键 10 （4 分）如果点 P 是线段 AB 的黄金分割点（APBP） ，那么的值是 【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项， 第 11 页（共 28 页） 这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比 【解答】解：点 P 是线段 AB 的黄金分割点（APBP） ， 故答案为 【点评】本题考查了黄金分割的定义，牢
16、记黄金分割比是解题的关键 11 （4 分）写出一个对称轴是直线 x1，且经过原点的抛物线的表达式 答案不唯一 （如 y x22x） 【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要写出一个符合的即可 【解答】解：符合的表达式是 yx22x， 故答案为 yx22x 【点评】本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质的内容是解此题的关键 12 （4 分）如图，在 RtABC 中，ABC90，BDAC，垂足为点 D，如果 BC4，sin DBC，那么线段 AB 的长是 2 【分析】在 RtBDC 中，根据直角三角形的边角关系求出 CD，根据勾股定理求出 BD， 在在 RtABD 中，再求出 AB
17、 即可 【解答】解：在 RtBDC 中， BC4，sinDBC， CDBCsinDBC4， BD， ABC90，BDAC， ADBC， 在 RtABD 中， 第 12 页（共 28 页） AB2， 故答案为：2 【点评】考查直角三角形的边角关系，勾股定理等知识，在不同的直角三角形中利用合 适的边角关系式正确解答的关键 13 （4 分）如果等腰ABC 中，ABAC3，cosB，那么 cosA 【分析】过点 A 作 ADBC，垂足为 D，过点 C 作 CEAB，垂足为 E，根据余弦的定义 求得 BD，即可求得 BC，根据勾股定理求得 AD，然后根据三角形面积公式求得 CE，进 一步求得 AE，根据
18、余弦的定义求得 cosA 的值 【解答】解：过点 A 作 ADBC，垂足为 D，过点 C 作 CEAB，垂足为 E， ADB90 在ADC 中，cosB， BDAB1 ABAC，ADBC BDDC， BC2， AD2 ABCEAD， CE， AE cosA， 故答案为 【点评】本题考查了解直角三角形，属于基础题，关键是掌握等腰三角形的性质、勾股 第 13 页（共 28 页） 定理，三角形面积公式 14 （4 分）如图，在ABC 中，BC12，BC 上的高 AH8，矩形 DEFG 的边 EF 在边 BC 上，顶点 D、G 分别在边 AB、AC 上设 DEx，矩形 DEFG 的面积为 y，那么 y
19、 关于 x 的函数关系式是 y+12x （不需写出 x 的取值范围） 【分析】根据题意和三角形相似，可以用含 x 的代数式表示出 DG，然后根据矩形面积公 式，即可得到 y 与 x 的函数关系式 【解答】解：四边形 DEFG 是矩形，BC12，BC 上的高 AH8，DEx，矩形 DEFG 的面积为 y， DGEF， ADGABC， ， 得 DG， yx+12x， 故答案为：y+12x 【点评】本题考查根据实际问题列二次函数关系式、相似三角形的判定与性质，解答本 题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答 15 （4 分）如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽 BC
20、6 厘米，长 CD16 厘米的矩形当水面触到杯口边缘时，边 CD 恰有一半露出水面， 那么此时水面高度是 9.6 厘米 第 14 页（共 28 页） 【分析】直接利用勾股定理得出 BF 的长，再利用相似三角形的判定与性质得出答案 【解答】解：如图所示：作 BEAE 于点 E， 由题意可得，BC6cm，CFDC8cm， 故 BF10（cm） ， 可得：CFBBAE，CAEB， 故BFCBAE， ， ， 解得：BE9.6 故答案为：9.6 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质，正确把握相关 性质是解题关键 16 （4 分）在ABC 中，AB12，AC9，点 D、E 分别在
21、边 AB、AC 上，且ADE 与 ABC 相似，如果 AE6，那么线段 AD 的长是 8 或 【分析】分类讨论：当ADEABC 和当AEDABC，根据相似的性质得出两种 比例式进而解答即可 【解答】解：如图 DAEBAC， 当ADEABC， ， 即， 解得：AD8， 当AEDABC， 第 15 页（共 28 页） ， 即， 解得：AD， 故答案为：8 或 【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等 17 （4 分）如图，在ABC 中，中线 BF、CE 交于点 G，且 CEBF，如果 AG5，BF6， 那么线段 CE 的长是 【分析】如图，延长 AG 交 BC 于
22、 K根据重心的性质以及勾股定理即可解决问题 【解答】解：如图，延长 AG 交 BC 于 K 点 G 是ABC 的重心， AG2GK，BG2GF，CG2EG， AG5，BF6， GK，BG4， CEBF， 第 16 页（共 28 页） BGC90， BC2GK5，CG3， EGCG， EC3+ 故答案为 【点评】本题考查三角形的中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本 知识，属于中考常考题型 18（4 分） 如图， 在ABC 中， ABAC， 点 D、 E 在边 BC 上， DAEB30， 且， 那么的值是 1 【分析】证明ADEBAE，得出 AE2DEBE，同理ADECDA，得出
23、AD2 DECD，得出，设 CD9x，则 BE4x，求出 ABBE6x，作 AMBC 于 M，由等腰三角形的性质得出 BMCMBC，由直角三角形的性质得出 AMAB3x，BMAM3x，得出 BC2BM6x，求出 DEBE+CDBC 13x6x，即可得出答案 【解答】解：ABAC， CB30， DAEB30， DAEBC， AEDBEA， ADEBAE， ， AE2DEBE， 第 17 页（共 28 页） 同理：ADECDA， ， AD2DECD， （）2， 设 CD9x，则 BE4x， ， ABBE4x6x， 作 AMBC 于 M，如图所示： ABAC， BMCMBC， B30， AMAB3x
24、，BMAM3x， BC2BM6x， DEBE+CDBC13x6x， 1； 故答案为：1 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质 等知识；证明三角形相似是解题的关键 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 7 题，满分题，满分 78 分）分） 19 （10 分）计算：cot45 【分析】代入特殊角的三角函数值求值 第 18 页（共 28 页） 【解答】解：原式 0 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函 数值 20（10 分） 已知， 如图， 点 E 在平行四边形 ABCD 的边 CD 上， 且， 设， （1）
25、用 、 表示； （直接写出答案） （2）设，在答题卷中所给的图上画出的结果 【分析】 （1）根据平面向量的平行定理即可表示； （2）根据向量定理即可画出 【解答】解： （1），即 DECE，DEDC， + （2）如图所示：延长 AE、BC 交于 G，则即为的结果 四边形 ABCD 是平行四边形 ADBC AG3AE 又 第 19 页（共 28 页） 3 【点评】本题考查了平面向量，明确向量的相关性质定理，解决本题的关键是准确画图 21 （10 分）某数学小组在郊外的水平空地上对无人机进行测高实验如图，两台测角仪分 别放在 A、 B 位置， 且离地面高均为 1 米 （即 ADBE1 米） ， 两
26、台测角仪相距 50 米 （即 AB50 米） 在某一时刻无人机位于点 C（点 C 与点 A、B 在同一平面内） ，A 处测得其 仰角为 30， B 处测得其仰角为 45 （参考数据：1.41，1.73， sin400.64， cos400.77，tan400.84） （1）求该时刻无人机的离地高度； （单位：米，结果保留整数） （2）无人机沿水平方向向左飞行 2 秒后到达点 F（点 F 与点 A、B、C 在同一平面内） ， 此时于 A 处测得无人机的仰角为 40，求无人机水平飞行的平均速度 （单位：米/秒， 结果保留整数） 【分析】 （1）如图，过点 C 作 CHAB，垂足为点 H，设 CHx
27、，则 BHx解直角三 角形即可得到结论； （2）过点 F 作 FGAB，垂足为点 G，解直角三角形即可得到结论 【解答】解： （1）如图，过点 C 作 CHAB，垂足为点 H， CBA45， BHCH， 设 CHx，则 BHx 在 RtACH 中，CAB30， 解得：， 18+119 第 20 页（共 28 页） 答：计算得到的无人机的高约为 19m； （2）过点 F 作 FGAB，垂足为点 G， 在 RtAGF 中， ， 又 ，或 答：计算得到的无人机的平均速度约为 5 米/秒或 26 米/秒 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角 三角形解决问题，属于
28、中考常考题型 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 yx+2，其顶点为 A （1）写出这条抛物线的开口方向、顶点 A 的坐标，并说明它的变化情况； （2）直线 BC 平行于 x 轴，交这条抛物线于 B、C 两点（点 B 在点 C 左侧） ，且 cotABC 2，求点 B 坐标 【分析】 （1）由二次函数的性质可求解； （2）如图，设直线 BC 与对称轴交于点 D，则 ADBD，设线段 AD 的长为 m，则 BD ADcotABC2m，可求点 B 坐标，代入解析式可求 m 的值，即可求点 B 坐标 第 21 页（共 28 页） 【解答】解： （1）抛物线（x+2）2+3 的
29、开口方向向下，顶点 A 的 坐标是（2，3） ， 抛物线的变化情况是：在对称轴直线 x2 左侧部分是上升的，右侧部分是下降的； （2）如图，设直线 BC 与对称轴交于点 D，则 ADBD 设线段 AD 的长为 m，则 BDADcotABC2m， 点 B 的坐标可表示为（2m2，3m） ， 代入，得 解得 m10（舍） ，m21， 点 B 的坐标为（4，2） 【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的应用，利用参数 求点 B 坐标是本题的关键 23 （12 分）已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 C 分别作 AD、AB 的垂线，交边 AD、AB 延长线于点 E、F
30、（1）求证：ADDEABBF； （2）联结 AC，如果，求证： 第 22 页（共 28 页） 【分析】 （1）证明想办法证明四边形 ABCD 是平行四边形即可解决问题 （2）由ACFCDE，CDECBF，推出ACFCBF，可得， 又ACF 与CBF 等高，推出，可得结论 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是平行四边形， CDAB，ADBC， CDEDAB，CBFDAB， CDECBF， CEAE，CFAF， CEDCFB90， CDECBF， ， 四边形 ABCD 是平行四边形， BCAD，CDAB， ， ADDEABBF （2），CEDCFB90， ACFCDE， 又CDECBF， AC
31、FCBF， ， ACF 与CBF 等高， ， 第 23 页（共 28 页） 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的 关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型 24 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，平移一条抛物线，如果平移后的新抛物线经过原抛 物线顶点，且新抛物线的对称轴是 y 轴，那么新抛物线称为原抛物线的“影子抛物线” （1）已知原抛物线表达式是 yx22x+5，求它的“影子抛物线”的表达式； （2）已知原抛物线经过点（1，0） ，且它的“影子抛物线”的表达式是 yx2+5，求原 抛物线的表达式； （3）小明研究后提出： “如果两条不
32、重合的抛物线交 y 轴于同一点，且它们有相同的“影 子抛物线” ，那么这两条抛物线的顶点一定关于 y 轴对称 ”你认为这个结论成立吗？请 说明理由 【分析】（1） 设影子抛物线表达式是 yx2+n， 先求出原抛物线的顶点坐标， 代入 yx2+n， 可求解； （2）设原抛物线表达式是 y（x+m）2+k，用待定系数法可求 m，k，即可求解； （3）分别求出两个抛物线的顶点坐标，即可求解 【解答】解： （1）原抛物线表达式是 yx22x+5（x1）2+4 原抛物线顶点是（1，4） ， 设影子抛物线表达式是 yx2+n， 将（1，4）代入 yx2+n，解得 n3， 所以“影子抛物线”的表达式是 yx
33、2+3； （2）设原抛物线表达式是 y（x+m）2+k， 第 24 页（共 28 页） 则原抛物线顶点是（m，k） ， 将（m，k）代入 yx2+5，得（m）2+5k， 将（1，0）代入 y（x+m）2+k，0（1+m）2+k， 由、解得 ， 所以，原抛物线表达式是 y（x+1）2+4 或 y（x2）2+1； （3）结论成立 设影子抛物线表达式是 yax2+n原抛物线于 y 轴交点坐标为（0，c） 则两条原抛物线可表示为 y1ax2+b1x+c 与抛物线 y2ax2+b2x+c（其中 a、b1、b2、c 是 常数，且 a0，b1b2） 由题意，可知两个抛物线的顶点分别是、 将 P1、P2分别代
34、入 yax2+n， 得 消去 n 得 b12b22， b1b2， b1b2 ， P1、P2关于 y 轴对称 【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的应用，理解“影 子抛物线”的定义并能运用是本题的关键 25 （14 分） 如图， ABC 是边长为 2 的等边三角形， 点 D 与点 B 分别位于直线 AC 的两侧， 且 ADAC，联结 BD、CD，BD 交直线 AC 于点 E （1）当CAD90时，求线段 AE 的长 （2）过点 A 作 AHCD，垂足为点 H，直线 AH 交 BD 于点 F， 第 25 页（共 28 页） 当CAD120时，设 AEx，y（其中 SBCE表
35、示BCE 的面积，SAEF 表示AEF 的面积） ，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； 当7 时，请直接写出线段 AE 的长 【分析】 （1）过点 E 作 EGBC，垂足为点 GAEx，则 EC2x根据 BGEG 构 建方程求出 x 即可解决问题 （2）证明AEFBEC，可得，由此构建关系式即可解决问题 分两种情形：当CAD120时，当 120CAD180时，分别求解即可解决 问题 【解答】解： （1）ABC 是等边三角形， ABBCAC2，BACABCACB60 ADAC， ADAB， ABDADB， ABD+ADB+BAC+CAD180，CAD90，ABD15， EB
36、C45 过点 E 作 EGBC，垂足为点 G 第 26 页（共 28 页） 设 AEx，则 EC2x 在 RtCGE 中，ACB60， ， BG2CG1+x， 在 RtBGE 中，EBC45， ， 解得 所以线段 AE 的长是 （2）设ABD，则BDA，DACBADBAC1202 ADAC，AHCD， ， 又AEF60+， AFE60， AFEACB， 又AEFBEC， AEFBEC， ， 由（1）得在 RtCGE 中， BE2BG2+EG2x22x+4， 第 27 页（共 28 页） （0x2） 当CAD120时， y7，则有 7， 整理得 3x2+x20， 解得 x或1（舍弃） ， 当 120CAD180时，同法可得 y 当 y7 时，7， 整理得 3x2x20， 解得 x（舍弃）或 1， 第 28 页（共 28 页） AE1 【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，解直角三角形，相似三角 形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数 构建方程解决问题，属于中考常考题型
浙公网安备33030202001339号