1、若小王沿坡度 i3：4 的斜坡向上行走 10m，则他所在的位置比原来的位置升高 了（ ） A3m B4m C6m D8m 2 （4 分）如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图 关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（ ） A主视图相同 B左视图相同 C俯视图相同 D三种视图都不相同 3 （4 分）按如图所示的运算程序，能使输出 y 值为的是（ ） A60，45 B30，45 C30，30 D45，30 4 （4 分）如图，AB 为O 的切线，切点为 A连结 AO，BO，BO 与O 交于点 C，延长 BO 与O 交于点 D，连结 AD若ABC36，则ADC 的
2、度数为（ ） A27 B32 C36 D54 5 （4 分）已知O 的半径为 5，直线 EF 经过O 上一点 P（点 E，F 在点 P 的两旁） ，下 列条件能判定直线 EF 与O 相切的是（ ） 第 2 页（共 32 页） AOP5 BOEOF CO 到直线 EF 的距离是 4 DOPEF 6 （4 分）如图，直线 PA，PB，MN 分别与O 相切于点 A，B，D，PAPB8cm，则 PMN 的周长为（ ） A8cm B8cm C16cm D16cm 7 （4 分）如图，O 为圆锥的顶点，M 为圆锥底面上一点，点 P 在 OM 上，一只蜗牛从点 P 出发，绕圆锥侧面沿最短路线爬行一圈回到点
3、P，若沿 OM 将圆锥侧面剪开并展开，所 得侧面展开图是（ ） A B C D 8 （4 分）如图，AB 是O 的直径，DB，DE 分别切O 于点 B、C，若ACE20，则 D 的度数是（ ） 第 3 页（共 32 页） A40 B50 C60 D70 9 （4 分）如图，一块矩形木板 ABCD 斜靠在墙边（OCOB，点 A，B，C，D，O 在同一 平面内） ，已知 ABa，ADb，BCOx，则点 A 到 OC 的距离等于（ ） Aasinx+bsinx Bacosx+bcosx Casinx+bcosx Dacosx+bsinx 10 （4 分）如图，有一内部装有水的直圆柱形水桶，桶高 20
4、 公分；另有一直圆柱形的实心 铁柱，柱高 30 公分，直立放置于水桶底面上，水桶内的水面高度为 12 公分，且水桶与 铁柱的底面半径比为 2：1今小贤将铁柱移至水桶外部，过程中水桶内的水量未改变， 若不计水桶厚度，则水桶内的水面高度变为多少公分？（ ） A4.5 B6 C8 D9 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11 （5 分）如图，在ABC 中，sinB，tanC，AB3，则 AC 的长为 12 （5 分）如图，MAN60，若ABC 的顶点 B 在射线 AM 上，且 AB2，点 C 在射 第 4 页（共 32 页） 线
5、 AN 上运动，当ABC 是锐角三角形时，BC 的取值范围是 13 （5 分）已知等边三角形 ABC 的边长为 3，则它的内切圆半径为 14 （5 分）如图所示，在 RtABC 中，ACB90，AC6，BC8，若以点 C 为圆心， r 为半径的圆与边 AB 所在直线有公共点，则 r 的取值范围为 15 （5 分）如图是由 6 个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点， 已知菱形的一个角 （O） 为 60， 点 A， B， C 都在格点上， 则 sinABC 的值是 16 （5 分）已知直线 m 与半径为 10cm 的O 相切于点 P，AB 是O 的一条弦，且， 若 AB12cm
6、，则直线 m 与弦 AB 之间的距离为 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 8 小题，第小题，第 1720 小题每小题小题每小题 8 分，第分，第 21 小题小题 10 分，第分，第 22.23 小小 题，每小题题，每小题 8 分，第分，第 24 小题小题 14 分，共分，共 80 分分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明 过程）过程） 17 （8 分）计算：3sin60cos30+2tan45 18 （8 分）如图，在离铁塔 150m 的 A 处，用测倾仪测得塔顶的仰角为 3012，测倾仪 高 AD 为 1.52m，求铁塔高 BC（精确到
7、0.1m） （参考数据：sin30120.5030，cos30120.8643，tan30120.5820） 第 5 页（共 32 页） 19 （8 分）如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点 A（0，4） 、 B（4，4） 、C（6，2） ，若该圆弧所在圆的圆心为 D 点，请你利用网格图回答下列问 题： （1）圆心 D 的坐标为 ； （2） 若扇形 ADC 是一个圆锥的侧面展开图， 求该圆锥底面圆的半径长 （结果保留根号） 20 （8 分）如图，在 106 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，线段 AB、线段 EF 的端点均在小正方形的顶点上 （1）在图中以 AB
8、 为边画 RtABC，点 C 在小正方形的格点上，使BAC90，且 tan ACB； （2）在（1）的条件下，在图中画以 EF 为边且面积为 3 的DEF，点 D 在小正方形的 格点上，使CBD45，连接 CD，直接写出线段 CD 的长 21 （10 分）如图，在ABC 中，ABAC，BAC120，点 D 在 BC 边上，D 经过点 A 和点 B 且与 BC 边相交于点 E 第 6 页（共 32 页） （1）求证：AC 是D 的切线； （2）若 CE2，求D 的半径 22 （12 分）小明家的门框上装有一把防盗门锁（如图 1） ，其平面结构图如图 2 所示，锁身 可以看成由两条等弧，和矩形 A
9、BCD 组成的，的圆心是倒锁按钮点 M已知 的弓形高 GH2cm，AD8cm，EP11cm当锁柄 PN 绕着点 N 顺时针旋转至 NQ 位置 时，门锁打开，此时直线 PQ 与所在的圆相切，且 PQDN，tanNQP 2 （1）求所在圆的半径； （2）求线段 AB 的长度 （2.236，结果精确到 0.1cm） 23 （12 分）如图，在ABC 中，BABC，以 AB 为直径的O 分别交 AC、BC 于点 D、E， BC 的延长线于O 的切线 AF 交于点 F （1）求证：ABC2CAF； （2）若 AC2，CE：EB1：4，求 CE 的长 第 7 页（共 32 页） 24 （14 分）如图，已
10、知直线 l：yx+8 交 x 轴于点 E，点 A 为 x 轴上的一个动点（点 A 不与点 E 重合） ，在直线 l 上取一点 B（点 B 在 x 轴上方） ，使 BE5AE，连结 AB，以 AB 为边在 AB 的右侧作正方形 ABCD，连结 OB，以 OB 为直径作P （1）当点 A 在点 E 左侧时，若点 B 落在 y 轴上，则 AE 的长为 ，点 D 的坐标 为 ； （2）若P 与正方形 ABCD 的边相切于点 B，求点 B 的坐标； （3） P 与直线 BE 的交点为 Q， 连结 CQ， 当 CQ 平分BCD 时， BE 的长为 （直 接写出答案） 第 8 页（共 32 页） 2020
11、年浙江省绍兴市中考数学一模试卷年浙江省绍兴市中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题有一、选择题（本大题有 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.请选出每小题中一个符合题意的选请选出每小题中一个符合题意的选 项，不选、多选、错选，均不给分）项，不选、多选、错选，均不给分） 1 （4 分）若小王沿坡度 i3：4 的斜坡向上行走 10m，则他所在的位置比原来的位置升高 了（ ） A3m B4m C6m D8m 【分析】可由坡度确定坡度角的正切值为 tan，再利用勾股定理求解 【解答】解：斜坡的坡度 i3：4， 正切值为：tan， 设两直角边
12、为 3x，4x，则（3x）2+（4x）2102， 解得：x2， 故 3x6（m） ， 答：他所在的位置比原来的位置升高了 6m 故选：C 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡度坡角的定义是解题关键 2 （4 分）如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图 关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（ ） A主视图相同 B左视图相同 C俯视图相同 D三种视图都不相同 【分析】根据三视图解答即可 第 9 页（共 32 页） 【解答】解：图的三视图为： 图的三视图为： 故选：C 【点评】本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是学生的观察能力和对几何体三
13、种视图的空间想象能力 3 （4 分）按如图所示的运算程序，能使输出 y 值为的是（ ） A60，45 B30，45 C30，30 D45，30 【分析】根据题意把特殊角的三角函数值代入计算，即可判断 【解答】解：A、60，45， ，则 ysin； B、30，45， ，则 ycos； C、30，30， ，则 ysin； D、45，30， ，则 ysin； 故选：C 第 10 页（共 32 页） 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记 30、45、60是三角函数值是解 题的关键 4 （4 分）如图，AB 为O 的切线，切点为 A连结 AO，BO，BO 与O 交于点 C，延长 BO 与O 交于
14、点 D，连结 AD若ABC36，则ADC 的度数为（ ） A27 B32 C36 D54 【分析】根据切线的性质求出OAB90，根据三角形内角和定理求出AOB，根据 等腰三角形的性质和三角形外角的性质求出即可 【解答】解：AB 为O 的切线，切点为 A， OAB90， ABC36， AOB180OABABC54， OAOD， OADADC， AOBADC+OAD2ADC54， ADC27， 故选：A 【点评】本题考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，切线的性质，等腰三角形 的性质等知识点，能求出OAB90是解此题的关键 5 （4 分）已知O 的半径为 5，直线 EF 经过O 上一点 P（点
15、 E，F 在点 P 的两旁） ，下 列条件能判定直线 EF 与O 相切的是（ ） AOP5 BOEOF CO 到直线 EF 的距离是 4 DOPEF 【分析】根据切线的判定定理可求得需要满足和条件，即可求得答案 第 11 页（共 32 页） 【解答】解： 点 P 在O 上， 只需要 OPEF 即可， 故选：D 【点评】本题主要考查切线的判定，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键 6 （4 分）如图，直线 PA，PB，MN 分别与O 相切于点 A，B，D，PAPB8cm，则 PMN 的周长为（ ） A8cm B8cm C16cm D16cm 【分析】根据切线长定理得出 AMMD，BNDN，求出PM
16、N 的周长PA+PB，代入 求出即可 【解答】解：直线 PA，PB，MN 分别与O 相切于点 A，B，D， AMMD，BNDN， PAPB8cm， PMN 的周长PM+MN+PN PM+MD+ND+PN PM+AM+BN+PN PA+PB 8cm+8cm 16cm， 故选：C 【点评】本题考查了切线的性质和切线长定理，能根据切线长定理得出 AMMD 和 BN DN 是解此题的关键 7 （4 分）如图，O 为圆锥的顶点，M 为圆锥底面上一点，点 P 在 OM 上，一只蜗牛从点 P 出发，绕圆锥侧面沿最短路线爬行一圈回到点 P，若沿 OM 将圆锥侧面剪开并展开，所 得侧面展开图是（ ） 第 12
17、页（共 32 页） A B C D 【分析】此题运用圆锥的性质，同时此题为数学知识的应用，由题意蜗牛从 P 点出发， 绕圆锥侧面爬行，回到 P 点时所爬过的最短，就用到两点间线段最短定理 【解答】解：蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段，因此选项 A 和 B 错误， 又因为蜗牛从 p 点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点 P 处，那么如果将选项 C、D 的圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线 OM 上的点 P 应该能够与母线 OM上的点 （P）重合，而选项 C 还原后两个点不能够重合 故选：D 【点评】本题考查了平面展开最短距离问题，圆锥的测面展开图，考查了学生的空间 想象能力 8 （
18、4 分）如图，AB 是O 的直径，DB，DE 分别切O 于点 B、C，若ACE20，则 D 的度数是（ ） A40 B50 C60 D70 【分析】连 OC，根据切线的性质得到OBDOCD90，根据ACE20和 OA OC 求出OACOCA70，可得BOC270140， 再根据四边形的内角 和为 360即可计算出D 的度数 【解答】解：连 OC，如图， 第 13 页（共 32 页） DB、DE 分别切O 于点 B、C， OBDOCDOCE90， ACE20， OCA902070， OCOA， OACOCA70， BOC270140， D360909014040 故选：A 【点评】本题考查了切线
19、的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能 求出OCA 的度数是解此题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径 9 （4 分）如图，一块矩形木板 ABCD 斜靠在墙边（OCOB，点 A，B，C，D，O 在同一 平面内） ，已知 ABa，ADb，BCOx，则点 A 到 OC 的距离等于（ ） Aasinx+bsinx Bacosx+bcosx Casinx+bcosx Dacosx+bsinx 【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出点 A 到 OC 的距离，本题得以解决 【解答】解：作 AEOC 于点 E，作 AFOB 于点 F， 四边形 ABCD 是矩形
20、， ABC90， ABCAEC，BCOx， 第 14 页（共 32 页） EABx， FBAx， ABa，ADb， FOFB+BOacosx+bsinx， 故选：D 【点评】本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题、矩形的性质，解答本题的关键 是明确题意，利用数形结合的思想解答 10 （4 分）如图，有一内部装有水的直圆柱形水桶，桶高 20 公分；另有一直圆柱形的实心 铁柱，柱高 30 公分，直立放置于水桶底面上，水桶内的水面高度为 12 公分，且水桶与 铁柱的底面半径比为 2：1今小贤将铁柱移至水桶外部，过程中水桶内的水量未改变， 若不计水桶厚度，则水桶内的水面高度变为多少公分？（ ） A4.
21、5 B6 C8 D9 【分析】由水桶底面半径：铁柱底面半径2：1，得到水桶底面积：铁柱底面积22： 124：1，设铁柱底面积为 a，水桶底面积为 4a，于是得到水桶底面扣除铁柱部分的环 形区域面积为 4aa3a，根据原有的水量为 3a1236a，即可得到结论 【解答】解：水桶底面半径：铁柱底面半径2：1， 水桶底面积：铁柱底面积22：124：1， 设铁柱底面积为 a，水桶底面积为 4a， 则水桶底面扣除铁柱部分的环形区域面积为 4aa3a， 原有的水量为 3a1236a， 第 15 页（共 32 页） 水桶内的水面高度变为9（公分） 故选：D 【点评】本题考查了圆柱的计算，正确的理解题意是解题
22、的关键 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11 （5 分）如图，在ABC 中，sinB，tanC，AB3，则 AC 的长为 【分析】过 A 作 AD 垂直于 BC，在直角三角形 ABD 中，利用锐角三角函数定义求出 AD 的长，在直角三角形 ACD 中，利用锐角三角函数定义求出 CD 的长，再利用勾股定理求 出 AC 的长即可 【解答】解：过 A 作 ADBC， 在 RtABD 中，sinB，AB3， ADABsinB1， 在 RtACD 中，tanC， ，即 CD， 根据勾股定理得：AC， 故答案为： 【点评】此题考查了
23、解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及勾股定理， 熟练掌握各自的性质是解本题的关键 12 （5 分）如图，MAN60，若ABC 的顶点 B 在射线 AM 上，且 AB2，点 C 在射 线 AN 上运动，当ABC 是锐角三角形时，BC 的取值范围是 BC 第 16 页（共 32 页） 【分析】当点 C 在射线 AN 上运动，ABC 的形状由钝角三角形到直角三角形再到钝角 三角形，画出相应的图形，根据运动三角形的变化，构造特殊情况下，即直角三角形时 的 BC 的值 【解答】解：如图，过点 B 作 BC1AN，垂足为 C1，BC2AM，交 AN 于点 C2 在 RtABC1中，AB2，A
24、60， ABC130 AC1AB1，由勾股定理得：BC1， 在 RtABC2中，AB2，A60 AC2B30 AC24，由勾股定理得：BC22， 当ABC 是锐角三角形时，点 C 在 C1C2上移动，此时BC2 故答案为：BC2 【点评】本题考查解直角三角形，构造直角三角形，利用特殊直角三角形的边角关系或 利用勾股定理求解考察直角三角形中 30的角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定 理等知识点 13 （5 分）已知等边三角形 ABC 的边长为 3，则它的内切圆半径为 【分析】由等边三角形 ABC 的边长为 2， 根据等边三角形的性质与三角形内切圆的性质， 即可求得答案 【解答】解：过 O 点作
25、 ODAB， O 是等边ABC 的内心， OAD30， 第 17 页（共 32 页） 等边三角形 ABC 的边长为 3， OAOB， ADAB， ODADtan30， 即这个三角形的内切圆的半径为 故答案为 【点评】此题考查了三角形内切圆的性质以及等边三角形的性质此题难度不大，注意 掌握数形结合思想的应用 14 （5 分）如图所示，在 RtABC 中，ACB90，AC6，BC8，若以点 C 为圆心， r 为半径的圆与边 AB 所在直线有公共点，则 r 的取值范围为 【分析】如图，作 CHAB 于 H利用勾股定理求出 AB，再利用面积法求出 CH 即可判 断 【解答】解：如图，作 CHAB 于
26、H 在 RtABC 中，ACB90，BC8，AC6， AB10， SABCACBCABCH， CH， 以点 C 为圆心，r 为半径的圆与边 AB 所在直线有公共点， 第 18 页（共 32 页） r， 故答案为 r 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握 基本知识，属于中考常考题型 15 （5 分）如图是由 6 个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点， 已知菱形的一个角 （O） 为 60， 点 A， B， C 都在格点上， 则 sinABC 的值是 【分析】如图，连接 EA、EC，先证明AEC90，E、C、B 共线，再根据 sinABC
27、，求出 AE、AB 即可解决问题 【解答】解：如图，连接 EA，EC， 设菱形的边长为 a，由题意得AEF30，BEF60，AEa，EB2a， 则 ABa， AEC90， ACEACGBCG60， ECB180， E、C、B 共线， 在 RtAEB 中，sinABC 故答案为： 第 19 页（共 32 页） 【点评】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是 添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型 16 （5 分）已知直线 m 与半径为 10cm 的O 相切于点 P，AB 是O 的一条弦，且， 若 AB12cm，则直线 m 与弦 AB 之间的距离为 2cm
28、 或 18cm 【分析】分两种情形分别求解，连接 OA，OP 交 AB 与 E利用勾股定理求出 PE 或 PF 即可 【解答】解：连接 OA，OP 交 AB 与 E ， OPAB，AEEB6cm， 直线 m 是切线， OPm， ABm， 在 RtAEO 中，OE8（cm） ， PE1082（cm） ， 同法当弦 AB 在点 O 下方时，PF10+818（cm） ， 故答案为 2cm 或 18cm 【点评】本题考查切线的性质、垂径定理、勾股定理、平行线的判定和性质等知识，解 题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 8 小题，第小题，第
29、1720 小题每小题小题每小题 8 分，第分，第 21 小题小题 10 分，第分，第 22.23 小小 题，每小题题，每小题 8 分，第分，第 24 小题小题 14 分，共分，共 80 分分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明 过程）过程） 第 20 页（共 32 页） 17 （8 分）计算：3sin60cos30+2tan45 【分析】化简二次根式，把各特殊角的三角函数值代入进行解答即可 【解答】解：3sin60cos30+2tan45 33+21 3+2 +2 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题 的关键
30、 18 （8 分）如图，在离铁塔 150m 的 A 处，用测倾仪测得塔顶的仰角为 3012，测倾仪 高 AD 为 1.52m，求铁塔高 BC（精确到 0.1m） （参考数据：sin30120.5030，cos30120.8643，tan30120.5820） 【分析】过点 A 作 AEBC，E 为垂足，再由锐角三角函数的定义求出 BE 的长，由 BC BE+CE 即可得出结论 【解答】解：过点 A 作 AEBC，E 为垂足， 在ABE 中， tan3012， BE150tan301287.30， BCBE+CE87.30+1.5288.8（m） 答：铁塔的高 BC 约为 88.8m 第 21
31、页（共 32 页） 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构 造出直角三角形是解答此题的关键 19 （8 分）如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点 A（0，4） 、 B（4，4） 、C（6，2） ，若该圆弧所在圆的圆心为 D 点，请你利用网格图回答下列问 题： （1）圆心 D 的坐标为 （2，0） ； （2） 若扇形 ADC 是一个圆锥的侧面展开图， 求该圆锥底面圆的半径长 （结果保留根号） 【分析】 （1）分别作 AB、BC 的垂直平分线，两直线交于点 D，则点 D 即为该圆弧所在 圆的圆心，可知点 D 的坐标为（2，0） （2）连接
32、AC、AD 和 CD，根据勾股定理的逆定理求出CDA90，根据弧长公式和 圆的周长求出答案即可 【解答】解： （1）分别作线段 AB 和线段 BC 的垂直平分线，两垂直平分线的交点，就是 圆心 D，如图， 第 22 页（共 32 页） D 点正好在 x 轴上，D 点的坐标是（2，0） ， 故答案为： （2，0） ； （2）连接 AC、AD、CD， D 的半径长， AD2+CD220+2040，AC240， AD2+CD2AC2， ADC90 设圆锥的底面圆的半径长为 r， 则， 解得：， 所以该圆锥底面圆的半径长为 【点评】本题考查了坐标与图形的性质，垂径定理，圆锥的计算，勾股定理和勾股定理
33、的逆定理等知识点，能求出 D 点的坐标和求出CDA90是解此题的关键 20 （8 分）如图，在 106 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，线段 AB、线段 第 23 页（共 32 页） EF 的端点均在小正方形的顶点上 （1）在图中以 AB 为边画 RtABC，点 C 在小正方形的格点上，使BAC90，且 tan ACB； （2）在（1）的条件下，在图中画以 EF 为边且面积为 3 的DEF，点 D 在小正方形的 格点上，使CBD45，连接 CD，直接写出线段 CD 的长 【分析】 （1）如图，作BAC90，且边 AC3，才能满足条件； （2）作 DE2，连接 DF，则DEF 是以
34、EF 为边且面积为 3 的三角形，连接 BD，CD， 则CBD45 【解答】解： （1）如图， 由勾股定理得：AB2， AC3，BC， AB2+AC2（2）2+（3）226， BC2（）226， AB2+AC2BC2， ABC 是直角三角形，且BAC90， tanACB； （2）如图，SDEF233， BC，CD，BD， BC2+CD252，BD252， BC2+CD2BD2， BCD90，BCCD， CBD45， 第 24 页（共 32 页） CD 【点评】本题是三角形的作图题，考查了等腰直角三角形的性质和判定及勾股定理及其 逆定理的运用，并按条件作出三角形；本题的关键是熟练掌握勾股定理及其
35、逆定理 21 （10 分）如图，在ABC 中，ABAC，BAC120，点 D 在 BC 边上，D 经过点 A 和点 B 且与 BC 边相交于点 E （1）求证：AC 是D 的切线； （2）若 CE2，求D 的半径 【分析】（1） 连接 AD， 根据等腰三角形的性质得到BC30， BADB30， 求得ADC60，根据三角形的内角和得到DAC180603090，于是 得到 AC 是D 的切线； （2）连接 AE，推出ADE 是等边三角形，得到 AEDE，AED60，求得EAC AEDC30，得到 AECE2，于是得到结论 【解答】 （1）证明：连接 AD， ABAC，BAC120， BC30， A
36、DBD， BADB30， ADC60， DAC180603090， AC 是D 的切线； 第 25 页（共 32 页） （2）解：连接 AE， ADDE，ADE60， ADE 是等边三角形， AEDE，AED60， EACAEDC30， EACC， AECE2， D 的半径 AD2 【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质， 正确的作出辅助线是解题的关键 22 （12 分）小明家的门框上装有一把防盗门锁（如图 1） ，其平面结构图如图 2 所示，锁身 可以看成由两条等弧，和矩形 ABCD 组成的，的圆心是倒锁按钮点 M已知 的弓形高 GH2cm，AD8cm，
37、EP11cm当锁柄 PN 绕着点 N 顺时针旋转至 NQ 位置 时，门锁打开，此时直线 PQ 与所在的圆相切，且 PQDN，tanNQP 2 （1）求所在圆的半径； （2）求线段 AB 的长度 （2.236，结果精确到 0.1cm） 【分析】连接 BM，设 HM 交 BC 于 K，延长 PQ 交 NM 的延长线于点 T，若直线 PQ 与 第 26 页（共 32 页） 弧 BC 所在的圆相切于 J，连结 MJ分别求出 TN，TM，MN 即可解决问题 【解答】解： （1）如图，连结 BM，设 HM 交 BC 于点 K 设 BMr 在 RtBMK 中，r242+（r2）2， 解得 r5， BM5，
38、即所在圆的半径为 5cm （2）如图，延长 PQ 交 NM 的延长线于点 T，若直线 PQ 与所在的圆相切于点 J，连 结 MJ DNPQ， DNEP NPNQ， PNQP， DNENQP， NEDG4， DENG8， NPNE+EP4+1115 直线 PQ 与所在的圆相切于点 J， MJPQ，MJ5， TMJP， tanTMJtanP2， ， NT15230，TJ5210， ， ， （cm） 第 27 页（共 32 页） 【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理，切线的性质，锐角三角函数等知识，解题 的关键是熟练掌握基本知识 23 （12 分）如图，在ABC 中，BABC，以 AB 为直径的O
39、 分别交 AC、BC 于点 D、E， BC 的延长线于O 的切线 AF 交于点 F （1）求证：ABC2CAF； （2）若 AC2，CE：EB1：4，求 CE 的长 【分析】 （1）首先连接 BD，由 AB 为直径，可得ADB90，又由 AF 是O 的切线， 易证得CAFABD然后由 BABC，证得：ABC2CAF； （2）首先连接 AE，设 CEx，由勾股定理可得方程： （2）2x2+（3x）2求得答案 【解答】 （1）证明：如图，连接 BD AB 为O 的直径， ADB90， DAB+ABD90 AF 是O 的切线， FAB90， 即DAB+CAF90 CAFABD 第 28 页（共 32
40、 页） BABC，ADB90， ABC2ABD ABC2CAF （2）解：如图，连接 AE， AEB90， 设 CEx， CE：EB1：4， EB4x，BABC5x，AE3x， 在 RtACE 中，AC2CE2+AE2， 即（2）2x2+（3x）2， x2 CE2 【点评】本题主要考查了切线的性质、三角函数以及勾股定理，注意掌握辅助线的作法， 注意掌握数形结合思想与方程思想的应用是解答此题关键 24 （14 分）如图，已知直线 l：yx+8 交 x 轴于点 E，点 A 为 x 轴上的一个动点（点 A 不与点 E 重合） ，在直线 l 上取一点 B（点 B 在 x 轴上方） ，使 BE5AE，连
41、结 AB，以 AB 为边在 AB 的右侧作正方形 ABCD，连结 OB，以 OB 为直径作P （1） 当点 A 在点 E 左侧时， 若点 B 落在 y 轴上， 则 AE 的长为 2 ， 点 D 的坐标为 （12， 8） ； （2）若P 与正方形 ABCD 的边相切于点 B，求点 B 的坐标； （3） P 与直线 BE 的交点为 Q， 连结 CQ， 当 CQ 平分BCD 时， BE 的长为 （直 接写出答案） 第 29 页（共 32 页） 【分析】 （1）如图 1 中，作 DGx 轴于 G通过计算证明AOB，ADG 都是等腰直角 三角形即可； （2）分三种种情形：如图 2 中，当点 A 与原点
42、O 重合时，P 与 BC 相切于点 B，AE 6，如图 4 中，当 OBAB 时，P 与 AB 相切于点 B，作 BHOA 于 H分别求解即可， 如图 4 中， 当点 E 在点 A 的右侧时， 作 BHOA 于 H 利用相似三角形的性质求解即可； （3）如图 5，作 BGOA 于点 G，连结 OQ设 AEm，则 BE5m，得到 BG4m， EG3m，AG2m，求得 B（63m，4m） ，C（m+6，6m） ，A（6m，0） ，得到直线 OQ 的解析式为，求得，推出 C，Q，A 三点共线，解方程即可得到 结论 【解答】解： （1）如图 1 中，作 DGx 轴于 G 由题意：E（6，0） ，B（0
43、，8） ， OE6，OB8， BE10， BE5AE， AE2， OA4， ABAD4，BAD90， 第 30 页（共 32 页） BAODAG45， DGAG， DG4，AG8， OG1，2， D（12，4） ， 故答案为：2， （12，4） ； （2）如图 2 中，当点 A 与原点 O 重合时，P 与 BC 相切于点 B，AE6， BE5AE， BE30，可得 B（12，24） 如图 3 中，当 OBAB 时，P 与 AB 相切于点 B，作 BHOA 于 H 设 AEm，则 BE5m，BH4m，EH3m， BHAH4m， BAO45， OBA90， BOA45， 点 B 的横坐标与纵坐标相
44、同，可得 B（，） ， 如图 4 中，当点 E 在点 A 的右侧时，作 BHOA 于 H 第 31 页（共 32 页） 设 BE5m，AEm，则 BH4m，AEH3m，AH2m， OBAOHB90， 由OHBBHA，可得 BH2OHAH， 16m2（63m） 2m， 解得 m， B（，） 综上所述，满足条件的点 B 的坐标为（12，24）或（，）或（，） ； （3）如图 5，作 BGOA 于点 G，连结 OQ 设 AEm，则 BE5m， BG4m，EG3m，AG2m， B（63m，4m） ，C（m+6，6m） ，A（6m，0） ， OQ直线 l，且过圆心 O， 直线 OQ 的解析式为， ， CQ 平分BCD， 第 32 页（共 32 页） C，Q，A 三点共线， ， 解得， ， ， 故答案为： 【点评】本题属于圆综合题，考查了解直角三角形的应用，直线与圆的位置关系，全等 三角形的判定和性质等知识
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