1、安徽省黄山市安徽省黄山市 2020 届高中毕业班第二次质量检测届高中毕业班第二次质量检测 数学（理）试题数学（理）试题 参考公式:球的表面积公式: 2 4SR 球的体积公式: 3 4 3 VR 第 I 卷(选择题满分 60 分) 一选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 请在答题卷的相应区域答题.) 1.已知集 2 |650, |3Ax xxBx yx,则 AB= A.1,+) B.1,3 C.(3,5 D.3,5 2.若复数 z 满足(z-1)(i-1)=i,则z对应的点在第()象限 A.一 B.二 C.三 D.四 3.已
2、知 1 5 5 222 log,( )5, 555 c ab A.a0,求 41 xy 的最小值. 黄山市黄山市 20202020 届高中毕业班第二次质量检测届高中毕业班第二次质量检测 高三数学（理科）参考答案及评分标准高三数学（理科）参考答案及评分标准 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1.D 2.A 3.C 4.C 5.B 6.D 7.C 8.D 9.A 10.D 11.C 12.A 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13.511 14. 9 , 3 , 1 15. 4 15 16. yx 5 16 2 三、解答题（本大题共 6
3、 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分 12 分） 解: （1）由0sin3coscaCbCb 则CACBCBsinsinsinsin3cossin CCBCBCBsinsinsinsin3cossin）（ CBCCBsincossinsinsin3，而0sinC 1cossin3BB 3 分 所以1) 6 sin(2 B 2 1 ) 6 s in( B 而), 0(B ，又) 6 5 , 6 ( 6 B，所以 66 B 故 3 B 6 分 （2）由Asin，Bsin，Csin成等差数列 且2b 所以CABsinsinsin2 42 bca 8
4、分 又 222 cos2bBacca 则4 3 cos22)( 2 acacca 4316 ac 所以4ac， 则3 2 3 4 2 1 sin 2 1 BacS 12 分 18.（本小题满分 12 分） （1）证明： 因为CFAE/，所以A、C、F、E四点共面. x y z O A D B C F E 又CF平面ABCD，而BD平面ABCD，所以CFBD 由菱形ABCD，所以ACBD ，令OACBD 且CACCF,所以BD平面ACFE 而OF平面ACFE，所以BDOF 3 分 因为CFAE/且CF平面ABCD，所以AE平面ABCD 则AOAE 且COFC 3 3 AE，3CF，由菱形ABCD
5、且 120BAD所以1OCAO 故 3 3 tanEOA，3tanFOC，则 6 EOA， 3 FOC 所以 2 EOF，即OEOF 又OBDOE，所以OF平面BDE，OF平面BDF 平面BDE平面BDF 6 分 （2） 由菱形ABCD， 所以ACBD ， 以OA，OB所在的直线分别为x轴，y轴， 过O做垂直于平面ABCD 的为z轴建立空间直角坐标系。 则 3 2 BAD，所以)0 , 0 , 1 (A，），（0 ,30B,）（0 , 3, 0 D， )3, 0 , 1(F，) 3 3 , 0 , 1 (E 所以) 3 32 , 0 , 2(EF，)3, 3, 1(DF，)3, 3, 1(BF
6、 令平面DEF的一个法向量为), 1 ( 11 zyn ，且) 3 32 , 0 , 2(EF，)3, 3, 1(DF， 由0EFn,0 3 32 2 1 z,所以3 1 z 由0DFn，0331 11 zy所以 3 32 1 y，即)3, 3 32 , 1 ( n 令平面BEF的一个法向量为), 1 ( 22 zym ，且) 3 32 , 0 , 2(EF，)3, 3, 1(BF， 由0EFm,0 3 32 2 2 z,所以3 2 z 由0BFn，0331 22 zy所以 3 32 2 y，即)3, 3 32 , 1 (m 10 分 所以 2 1 3 3 4 1 3 3 4 1 ,cosco
7、s mn mn mn,则 3 2 即二面角BEFD的大小为 3 2 12 分 19. （本小题满分 12 分） 解： （1）由题知 2 2 a c e 则cb 42 2 1 bcS，所以2cb 解得8 2 a，4 2 b， 所以椭圆的方程为1 48 22 yx 4 分 （2）设),22(tC，),22(tD，0t ，令),( 00 yxM 则 22 0 0 x ty kMC，故MC的方程为：)( 22 0 0 0 0 xx x ty yy 直线MC交x轴于E，所以令0y，则 ty txy x ty xy x 0 00 0 0 00 22)22( 则 22 0 0 x ty kMD，故MC的方程
8、为：)( 22 0 0 0 0 xx x ty yy 直线MD交x轴于F，所以令0y，则 ty txy x ty xy x 0 00 0 0 00 22)22( 9 分 因为 222 ABBFAE 所以 22 0 002 0 00 )24()22 22 ()22 22 ( ty txy ty txy 16 32 )( 216 0 0 2 0 2 0 22 0 ty y ty xty 2 00 2 0 2 0 22 0 )(816168tytyyxty 22 0 2 0 2 816tyxt 而1 48 2 0 2 0 yx 所以 2 0 2 0 28yx 22 0 2 0 2 816)28(ty
9、yt 0)216( 2 0 2 yt 而M为椭圆上一点，所以0216 2 t 22t ，所以2 AD AB 即 ADAB2 12 分 20. （本小题满分 12 分） 解：(1)方法 1：设恰有一位顾客选择分 4 期付款的概率的概率为 P. 由题可知：6 . 0ba， 则432. 06 . 04 . 0)(4 . 0)2(4 . 03 2222 bababaP. 方法 2：由于 3 位顾客中恰有 1 位选择“分 4 期付款” ，则另外两位均不选“分 4 期付款” ，所以 432. 0)4 . 01 ()4 . 01 (4 . 03P. (2) ()由题可得X的值分别为 4000，4500，50
10、00，5500，6000. 2 22 )6000( 2)5500( 8 . 04 . 02)5000( 8 . 04 . 02)4500( 16. 04 . 04 . 0)4000( bXP abXP babaXP aaXP XP 所以18. 0 2 36. 0 ) 2 (22)5500( 2 ba abXP， 取最大值的条件为3 . 0ba 所以分布列为： X 4000 4500 5000 5500 6000 P 0.16 0.24 0.33 0.18 0.09 490009. 0600018. 0550033. 0500024. 0450016. 04000)(XE()解：由题 可得6 .
11、 02 1 baxx nn ，所以3 . 0 2 1 1 nn xx， 化简得)2 . 0( 2 1 2 . 0 1 nn xx，即2 . 0 n x是等比数列，首项为 1 0.20.2x ，公比为 1 2 ， 所以 1 ) 2 1 ()2 . 04 . 0(2 . 0 n n x，化简得 1 1 0.21() 2 n n x 由题可知： （1）由题可知：2) 2 1 (6 . 0) 2 1 (1 2 . 0 11 nn n xa，显然对所有 * Nn都成立； （2） 2 1 ) 2 1 (6 . 0) 2 1 (1 4 . 02 1 nn n xb，也是对所有 * Nn都成立； （3） 4
12、1 ) 2 1 (25. 0) 2 1 (1 2 . 0 11 nn n xa 当n为偶数时，上述不等式恒成立； 当n为奇数时， 4 1 ) 2 1 ( 1 n ，解得5n即5n 综上所述，n的最小值为 5. 21.（本小题满分 12 分） 解： （1）aexf x )( 当0a时，0)(aexf x ，所以)(xf在R上单调递增，无极值。 当0a时，令0)( x f，得axln， 当)ln,(ax时，0)( x f；当),(lnax时，0)( x f 即函数)(xf在)ln,(a上单调递减，在 ),(lna上单调递增， 此时只有一个极值点。 综上所述，当0a时，)(xf在R上无极值点； 当0
13、a时，函数)(xf在R上只有一个极值点。 4 分 （2）当1a时，由题即) 1ln(1xkxxex在), 0 上恒成立 令) 1ln(1)(xkxxexh x 且0)0(h 则)0( 1 ) 1ln(1)( x x x xkexh x )0( 1 ) 1ln(1)()( x x x xkexhxg x 令 则)0( ) 1( 1 1 1 )( 2 x xx kexg x 且kg21)0( （）当021 k时，即 2 1 k时 由于0x，1 x e，而1 ) 1( 1 1 1 2 1 ) 1( 1 1 1 22 xxxx k 所以( )0g x，故)(xg在), 0 上单调递增，所以0)0()(
14、 gxg 即0)( x h，故)(xh在), 0 上单调递增，所以0)0()( hxh 即) 1ln(1xkxxex在), 0 上恒成立，故 2 1 k符合题意 9 分 （）当021 k时，即 2 1 k时(0)0 g 由于 ) 1( 1 1 1 )( 2 xx kexg x 在), 0 上单调递增 令0)2ln(kx因为 ln2 2 11 (ln2 )220 ln21(ln21) k gkekkk kk 故在)2ln, 0(k上存在唯一的零点 0 x，使 0 ()0g x 因此，当), 0( 0 xx时，( )0g x，)(xg单调递减，所以0)0()( gxg 即0)( x h，)(xh在
15、）（ 0 , 0 x上单调递减，故0)0()( hxh，与题不符 综上所述，k的取值范围是 2 1 ,( 12 分 22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 解： 1 C的参数方程： sin3 cos2 y x （为参数） 得1) 3 () 2 ( 22 yx 曲线 1 C的直角坐标方程：1 34 22 yx 2 分 由 2 2 ) 4 sin( 得 2 2 cos 2 2 sin 2 2 所以曲线 2 C的直角坐标方程为01 yx 5 分 （II）点P的极坐标为）（ 2 , 1 ，故其直角坐标为）（ 1 , 0 由 2 C：01 yx，则其参数方程为 ty tx 2 2
16、1 2 2 将 2 C的参数方程代入曲线 1 C的方程1 34 22 yx 得 016287 2 tt 由于0恒成立，不妨令方程有两个不等实根 21 tt、， 由于0 7 16 21 tt，所以 21 tt、异号，且 7 16 PBPA 则 7 24 7 64 ) 7 28 (4)( 2 21 2 212121 ttttttttPBPA 2 3 7 16 7 24 11 PBPA PBPA PBPA 10 分 23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 解： （1）由24yx得 42 1x y 所以 由21xy2 42 3 x x 即846xx 当0x，则846xx 3 14 x 所以 3 14 x 当60 x时，则846xx 5 14 x 所以6 5 14 x 当6x时，则846xx 3 2 x 所以6x 故解集为 5 14 3 14 |xxx或 5 分 （2）因为0x，0y，且24yx 则 yx 14 )4)( 14 ( 2 1 yx yx ）（ y x x y 16 44 2 1 816244 2 1 ）（ 当且仅当 y x x y 16 即1x， 4 1 y时， yx 14 的最小值为8. 10 分
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