1、 6 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 在数学中，还原问题也很多比如计算一个数加 3，同学们很快可以算出最后的结果但如果知道 最后的结果等于 8， 反过来要求原来的数呢？大家自然想到利用加法的逆运算减法， 我们利用8 3 ， 就可以算出原数等于 5像这样把结果还原成开始的数量的问题叫做还原问题还原问题 本讲中我们就将遇到这样
2、一类应用题：开始时的状态不知道，只知道中间的过程以及结束时的状 态这时我们需要从最后结果出发，利用已知条件一步一步倒推，逐步接近最开始的状态，直至解决问 题这种思考问题的方法叫做倒推法（还原法） 萱萱要把一个包装精美的盒子打开她先拆开最外层的彩纸；接着打开纸盒，纸盒 里有一个绒布盒；再打开绒布盒一看，里面是两支“派克”金笔妈妈说，这礼物是送 给老师的，要萱萱把它重新包装起来萱萱是按这样的顺序做的：先把两支笔放入绒布 盒盖上绒布盒， 并把它放进纸盒盖上纸盒， 并用彩纸封好 萱萱重新包装的步骤 （顺 序）恰好与她打开这盒礼物的顺序相反这是生活中常会遇到的“还原问题” 小小 故故 事事 第第十十四四
3、讲讲 还原问题还原问题 7 我们在倒推求解问题时，常常通过逆运算来还原：加法用减法还原，减法用加法还原，乘法用除法 还原，除法用乘法还原即原来是加（减）几，还原时要变成减（加）几；原来是乘（除以）几，还原 时要变成除以（乘）几 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 分析：我们把一个数经过的四步计算过程用下面的示意图来表示，看看能
4、先算出哪个数呢？ 分析：我们根据最后树上剩下的四个桃子，可以一步一步地倒推出原来树上有多少个桃子第三只猴子 吃了三个桃子并摘下了剩下桃子的一半，我们应该先倒推摘桃子的过程还是倒推吃桃子的过程？ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 练习 2 田地里种着一些玉米一天晚上，田鼠一家来偷玉米田鼠爸爸偷走了所有玉米的一半多一 个，田鼠妈
5、妈偷走了剩下玉米的一半多一个，最后田鼠宝宝偷走了剩下玉米的一半多一个这时 所有玉米恰好被田鼠一家偷光了请问原来田地里一共有多少个玉米？ 果园里有一棵桃树有一天，三只猴子来偷吃桃子第一只猴子吃了一个桃子并摘下了剩下 桃子的一半，然后第二只猴子吃了两个桃子并摘下了剩下桃子的一半，最后第三只猴子吃了三个 桃子并摘下了剩下桃子的一半这时树上刚好还有四个桃子，请问原来树上一共有几个桃子？ 例题 2 练习 1 将一个自然数减去 18，然后乘 4，再除以 7，得到的商是 23，余数是 3请问这个自然数是多 少？ ？ ？ ？ ？ 加上 24 乘以 4 减去 20 商 5 余 5 除以 15 有一个数，把它加上
6、 24，再乘以 4，减去 20，得到的结果用 15 去除，商是 5，余数是 5这个数 是多少？ 例题 1 8 当题目中有两个或两个以上的量在变化时，只是画出示意图有时不能把中间步骤表示清楚，这时我 们可以采用多排倒推图的方法依次记录每一个变化过程 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 分析：你能算出最后哥哥和弟弟各挑多少块砖吗？
7、在倒推的过程中，哥俩挑的砖都在变化，一个示意图 就显得力不从心了我们可以用双行倒推图来倒推分析两人挑的砖的数量变化 练习 3 王刚和李强手中各有若干枚硬币开始时李强给王刚一些硬币，让王刚手中的硬币数量增加 一倍；然后，王刚给李强一些硬币，让李强手中的硬币数量增加一倍这样交换后，每人手中各 有 20 枚硬币请问原来两人各有多少枚硬币？ 哥哥： 弟弟： 除以 2 加上 5 ？ ？ ？ ？ 除以 2 减去 5 ？ ？ ？ ？ 地上有 26 块砖，兄弟二人争着去挑弟弟抢在前面，刚挑起一些砖，哥哥赶到了，挑了剩下 的砖哥哥看弟弟挑得太多，就从弟弟那儿抢过一半弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半哥哥 不服，弟弟
8、只好再给哥哥 5 块，这时哥哥比弟弟多挑 2 块请问：最初弟弟准备挑多少块砖？ 例题 3 李白买酒 朱世杰是我国宋元时期杰出的数学家，他的四元玉鉴中，有许多精辟的数学创作流传 极广的数学名题“李白买酒” ，就出现在四元玉鉴中题目是这样的： 无事街上走，提壶去买酒， 遇店加一倍，见花喝八斗 三遇店和花，喝光壶中酒 诗的意思是说，李白一日闲来无事，在街市上游走，忽然闻到不远处香气扑鼻，单凭嗅觉他 就断定那必是清香爽口，绵柔顺和的醇酒，便忍不住要前去打酒他的壶中本来就有酒，每次遇 到有卖如此醇酒的小店时再打的酒都与壶中的酒一样多， 壶中酒便也因此增加一倍； 每次看到花， 他就不禁饮酒作诗，喝上八斗这
9、样边打边饮，三次之后，壶中的酒就全部被喝光了 这是一道典型的还原问题，聪明的同学们，你知道李白的酒壶中原来有多少酒吗？ 小小 故故 事事 9 分析： 你能算出最后阿呆和阿瓜各有多少块西瓜皮吗？在倒推的过程中， 阿呆和阿瓜的西瓜数量都在变 化，请试着画出双行倒推图来表示出两者的变化 分析：大家能算出最后三人各有多少钱吗？试着用多行倒推图分析吧 分析：倒推过程中注意其中出现的周期规律 甲和乙各有若干块糖甲的糖数比乙少，每次糖多的人给糖少的人一些糖，使其糖数增加 1 倍；经过 2010 次这样的操作以后，甲有 16 块糖，乙有 2 块糖求两个人原来的糖数分别是多少？ 例题 6 甲、乙、丙三人的钱数各
10、不相同甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来 增加了 2 倍，结果乙的钱最多；接着乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数各增加 2 倍，结果丙 的钱最多；最后丙又拿出一些钱给甲和乙，使他们的钱数各增加 2 倍，结果三人的钱数一样多如 果他们三人共有 81 元，那么三人原来分别有多少钱？ 例题 5 练习 4 甲、乙各有一些糖，一共 48 块每次甲给糖乙一些糖，使得乙的糖数增加一倍经过四次这 样的操作以后，甲的糖数是乙的 2 倍两个人原来的糖数分别是多少？ 阿呆和阿瓜一起吃西瓜，吃完后每人面前都有一堆西瓜皮，一共 42 块阿呆把 22 块西瓜皮扔 到阿瓜的那堆西瓜皮里，阿瓜生气了，把一
11、半的西瓜皮扔给阿呆，阿呆又把好多西瓜皮扔给阿瓜让 阿瓜增加了 2 倍最后阿瓜的西瓜皮是阿呆的 6 倍请问：最初阿呆有多少块西瓜皮？ 例题 4 10 作业作业 1. 某数加上 2，除以 5，加上 5，除以 2，其结果等于 10，那么这个数是多少？ 2. 袋子里有若干个球小明每次拿出其中的一半再放回一个球，一共这样做了 4 次之后，袋子里 还有 3 个球请问原来袋子里有多少个球？ 课课 堂堂 内内 外外 李白一生不以功名显露，却高自期许，不畏权力，藐视权贵，曾流传着“力士脱靴” “贵 妃捧砚” “御手调羹” “龙巾拭吐”的故事肆无忌惮地嘲笑以政治权力为中心的等级秩序，批 判当时腐败的政治现象，以大
12、胆反抗的姿态，推进了盛唐文化中的英雄主义精神李白反权贵 的思想意识，是随着他的生活实践的丰富而日益成熟起来的在早期，主要表现为“不屈己、 不干人” 、 “平交王侯”的平等要求，正如他在诗中所说： “昔在长安醉花柳，五侯七贵同杯 酒气岸遥凌豪士前，风流肯落他人后！ ” （ 流夜郎赠辛判官 ） “揄扬九重万乘主，谑浪赤墀 青琐贤 ” （ 玉壶吟 ）他有时也发出轻蔑权贵的豪语，如“黄金白璧买歌笑，一醉累月轻王侯” （ 忆旧游寄谯郡元参军 ）等，但主要还是表现内心中的高傲而随着对高层权力集团实际情 况的了解，他进一步揭示了百姓基层和权贵的对立： “珠玉买歌笑，糟糠养贤才 ” （ 古风第 十五） “梧桐
13、巢燕雀，枳棘栖鸳鸯 ” （ 古风第三十九）并对因谄事帝王而窃据权位者的丑态 极尽嘲讽之能事，如： “大车扬飞尘，亭午暗阡陌中贵多黄金，连云开甲宅路逢斗鸡者， 冠盖何辉赫鼻息干虹霓，行人皆怵惕世无洗耳翁，谁知尧与跖！ ”而在梦游天姥吟留别 中，他发出了最响亮的呼声： “安能摧眉折腰事权贵，使我不得开心颜！ ”这个艺术概括在李白 诗歌中的意义，正如同杜甫的名句“朱门酒肉臭，路有冻死骨” （ 自京赴奉先咏怀五百字 ） 在杜诗中一样重要 李白李白 11 3. 淘淘和奇奇是两只猴子，它们俩结伴去摘桃子摘了一个下午，一共摘了 40 个桃子奇奇不 高兴了，把淘淘摘的桃子的一半抢了过来，和自己摘的放在一起；淘
14、淘也不甘示弱，又抢走了奇奇现有 桃子的一半；最后奇奇又从淘淘那里抢了 7 个桃子，这时淘淘和奇奇的桃子一样多请问开始时奇奇摘 了多少个桃子？ 4. 在电脑里输入一个数，它会按既定的指令进行如下运算：如果是偶数，就把它除以 2；如果是 奇数，就把它加上 3这样进行了 3 次运算之后，得到的结果为 27请问原来输入的数可能是多少？ 5. 有甲、乙、丙三袋水果糖先取出甲袋的一半，平均放入乙、丙两袋中；再取出乙袋的一半， 平均放入甲、丙两袋中；最后取出丙袋的一半，平均放入甲、乙两袋中，这时三袋糖正好都是 32 块请 问原来甲、乙、丙三袋中各有多少块水果糖？ 12 第十四讲 还原问题 1. 例题 1 答
15、案：1 详解：除以 15 商 5 余 5，原数是15 5580 ；减 20 得 80，原数是8020100；乘以 4 得 100，原数是 100425；加上 24 得 25，原数是25241 2. 例题 2 答案：49 个 详解：第三只猴子吃之前，树上有4 2311个桃子；第二只猴子吃之前，树上有11 2224 个桃子；第 一只猴子吃之前，树上有24 2 149 个桃子 3. 例题 3 答案：16 块 详解：最后哥哥准备挑 262214 块砖，弟弟准备挑26 1412块砖；在弟弟给哥哥 5 块之前，哥哥有 1459块，弟弟有26917块；哥哥减半之前，哥哥有9 218块，弟弟有26 188块；
16、弟弟减半之 前，弟弟有8 216块，哥哥有26 1610块 4. 例题 4 答案：40 块 详解：给来给去和不变，最后还是一共 42 块最后阿呆有 42616 块，阿瓜有 36 块阿瓜增加 2 倍之 前，阿瓜有 12 块，阿呆有 30 块阿瓜把一半的西瓜皮扔给阿呆前，阿瓜有 24 块，阿呆有 18 块阿呆把 22 块给阿瓜前，阿瓜有 2 块，阿呆有 40 块 5. 例题 5 答案：乙有 19 元，丙有 7 元，甲有 55 元 详解：最后三人各有81 327元；丙拿钱之前，甲有2739 元，乙2739 元，丙有81 9963 元； 乙拿钱之前，甲有933 元，丙有63321元，乙有81 3215
17、7 元；甲拿钱之前，乙有57319元， 丙有21 37元，甲有81 19755元 6. 例题 6 答案：甲有 16 块，乙有 2 块 详解：第 2010 次操作前，甲 8 乙 10，或者甲 17 乙 1，但后面这种情况没法还原了继续倒推，注意避免无 法倒推的情况，发现甲的糖数出现 16、8、4、2、10、14、16的周期，每 6 次为一个周期，20106335 没有余数，那么甲开始有 16 块，乙开始有 2 块 7. 练习 1 答案：59 简答：7233164，164441，41 1859 8. 练习 2 答案：14 简答： 0122 ， 2126 ， 61214 9. 练习 3 答案：王刚
18、15 枚，李强 25 枚 简答： 王刚给李强之前， 李强有20210枚， 王刚有201030枚； 李强给王刚之前， 王刚有30215枚， 李强有10 1525枚 10. 练习 4 答案：甲有 47 块，乙有 1 块 简答： 最后时甲有 32 块， 乙有 16 块， 倒推到 4 次前， 那么原来乙有1622221块， 而原来甲有48 147 13 块 11. 作业 1 答案：73 简答：10 220，20515，15 575，75273 12. 作业 2 答案：18 简答： 3 124 ， 4126 ， 61210 ， 101218 13. 作业 3 答案：12 简答：最后淘淘和奇奇各有4022
19、0个桃子；第三次抢桃前，奇奇有20713个桃子，淘淘有20727 个桃子； 第二次抢桃前， 奇奇有13 226个桃子， 淘淘有27 1314个桃子； 第一次抢桃前， 淘淘有14 228 个桃子，奇奇有26 1412个桃子 14. 作业 4 答案：102、105 或 216 简答：第二次运算后是 54 或 24，其中 24 不合题意；第一次运算后是 108 和 51；最开始可能是 216、105、102 或 48，其中 48 不合题意 15. 作业 5 答案：甲 16 块，乙 28 块，丙 52 块 简答：取出丙袋之前，丙袋有 64 块，甲袋有 16 块，乙袋有 16 块；取出乙袋之前，乙袋有 32 块，甲袋有 8 块，丙袋有 56 块；取出甲袋之前，甲袋有 16 块，乙袋有 28 块，丙袋有 52 块
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