1、第第 2626 讲讲 存在性问题之相似三角形存在性问题之相似三角形 相似存在性问题常涉及的思想方法为反证法，即将问题“何种情况下相似？”转化为“相似时能得到 何种情况” 【例【例题讲解题讲解】 】 例题例题 1 1、如图，在直角坐标系中有两点(4,0)A，(0,2)B，如果点C在x轴上(C与A不重合） ，当BOC和 AOB相似时，C点坐标为 解：点C在x轴上， 90BOC两个三角形相似时，应该与90BOA对应， 若OC与OA对应，则4OCOA，( 4,0)C ； 若OC与OB对应，则1OC ，( 1,0)C 或者(1,0) C点坐标为：( 4,0)，( 1,0)或(1,0) 故答案为：( 4,
2、0)，( 1,0)或(1,0) 如图，在ABC中，8ABcm，16BCcm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2/cm s；动点Q 从点B开始沿BC边运动， 速度为4/cm s； 如果P、Q两动点同时运动， 那么何时QBP与ABC相似？ 解：当BPQBAC时，有 BPBQ BABC 即 623 68 tt 所以 24 17 t 当BPQBCA时，有 BPBQ BCBA 即 623 86 tt 所以1t 所以 24 1 17 t 或 例题例题 2 2.将三角形纸片()ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B，折痕为EF已 知3ABAC，4BC ，若以点B、F、C为顶点的三角形与
3、ABC相似，那么BF的长度是 解：根据B FC与ABC相似时的对应情况，有两种情况： B FCABC时， B FCF ABBC ， 又因为3ABAC，4BC ，BFBF， 所以 4 34 BFBF ， 解得 12 7 BF ； B CFABC时， B FCF BACA ， 又因为3ABAC，4BC ，B FCF，BFB F， 所以4BFB F ， 解得2BF 故BF的长度是12 7 或 2 故答案为： 12 7 或 2 例题例题 3 3.如图，已知ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、 BC匀速运动，其中点P运动的速度是1/cm s，点Q运动的速度是2/
4、cm s，当点Q到达点C时，P、Q两 点都停止运动，设运动时间为( )t s，解答下列问题： （1）当2t 时，判断BPQ的形状，并说明理由； （2）作/ /QRBA交AC于点R，连接PR，当t为何值时，APRPRQ 解： （1）BPQ是等边三角形 当2t 时 2 12AP ，2 24BQ 624BPABAP BQBP 又60B BPQ是等边三角形； （2）/ /QRBA 60QRCA ，60RQCB QRC是等边三角形 62QRRCQCt 1 cos602 2 BEBQtt 662EPABAPBEttt / /EPQR，EPQR 四边形EPRQ是平行四边形 3PREQt 又90PEQ， 90
5、APRPRQ APRPRQ， QRPR PRAP ， 623 3 tt tt 解得 6 5 t 当 6 5 t 时，APRPRQ 例题例题 4 4.如图，已知ABC的三个顶点坐标分别为( 4,0)A 、(1,0)B、( 2,6)C （1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式； （2）设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AECE； （3）设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F为顶点的三角形与ABC相 似吗？ 解析：（1）设函数解析式为： 2 yaxbxc，由函数经过点 A（4，0）、B（1，0）、C（2，6）， 可得 1640 0 426 abc abc abc ，解得
6、： 1 3 4 a b c ，故经过 A、B、C 三点的抛物线解析式为： 2 34yxx （2）设直线 BC 的函数解析式为 y=kx+b，由题意得： 0 26 kb kb ，解得： 2 2 k b ，即直线 BC的解析式 为22yx 故可得点 E的坐标为（0，2），从而可得： 22 2 5AEAOBO，CE= 22 ( 20)(62)2 5 ，故可得出AE=CE； （3）相似理由如下：设直线 AD 的解析式为 y=kx+b，则 40 4 kb b ，解得： 1 4 k b ，即直线 AD 的解 析式为4yx联立直线 AD 与直线 BC 的函数解析式可得： 22 4 yx yx ，解得： 2
7、3 10 3 x y ，即点 F的 坐标为 2 10 (,) 33 ，则 22 2105 5 (1)(0) 333 BF ，又AB=5， 22 ( 2 1)(60)3 5BC ， 55 , 33 BFAB ABBC ， BFAB ABBC ，又ABF=CBA，ABFCBA故以 A、B、F为顶点的三 角形与ABC 相似 例题例题 5 5.如图， 抛物线 2 1 2 yxmxn与直线 1 3 2 yx 交于A，B两点， 交x轴与D，C两点， 连接AC， BC，已知(0,3)A，(3,0)C （）求抛物线的解析式和tanBAC的值； （）在（）条件下，P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作P
8、QPA交y轴于点Q，问： 是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与ACB相似？若存在， 请求出所有符合条件的点P的 坐标；若不存在，请说明理由 解： （）把(0,3)A，(3,0)C代入 2 1 2 yxmxn，得 3 1 90 2 n mxn ， 解得： 5 2 3 m n 抛物线的解析式为 2 15 3 22 yxx 联立 2 1 3 2 15 3 22 yx yxx ， 解得： 0 3 x y 或 4 1 x y ， 点B的坐标为(4,1) 过点B作BHx轴于H，如图 1(3,0)C，(4,1)B， 1BH，3OC ，4OH ，431CH ，1BHCH 90BHC，45BCH，2BC
9、 同理：45ACO，3 2AC ， 180454590ACB ， 21 tan 33 2 BC BAC AC ； （） （1）存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与ACB相似 过点P作PGy轴于G，则90PGA 设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得0x ，则PGx PQPA，90ACB，90APQACB 若点G在点A的下方， 如图 2，当PAQCAB时，则PAQCAB 90PGAACB ，PAQCAB，PGABCA， 1 3 PGBC AGAC 33AGPGx 则( ,33 )P xx把( ,33 )P xx代入 2 15 3 22 yxx，得： 2 15 333 22 xxx， 整理得
10、： 2 0xx，解得： 1 0x （舍去） ， 2 1x （舍去） 如图 2，当PAQCBA时，则PAQCBA 同理可得： 11 33 AGPGx，则 1 ( ,3) 3 P xx， 把 1 ( ,3) 3 P xx代入 2 15 3 22 yxx，得： 2 151 33 223 xxx， 整理得： 2 13 0 3 xx，解得： 1 0x （舍去） ， 2 13 3 x ， 13 ( 3 P， 14) 9 ； 若点G在点A的上方， 当PAQCAB时，则PAQCAB， 同理可得：点P的坐标为(11,36) 当PAQCBA时，则PAQCBA 同理可得：点P的坐标为 17 ( 3 P， 44) 9
11、 综上所述：满足条件的点P的坐标为(11,36)、 13 ( 3 ， 14) 9 、 17 ( 3 ， 44) 9 【巩固练习】【巩固练习】 1、如图，在ABC中，AB=4，AC=3，点 D、E 分别为 AB、AC边上一动点，AD=1，当 AE的长为多少时， A、D、E三点组成的三角形和ABC相似？； 2.如图，直线 1 2ykx与x轴、y轴分别交于点A、B，点(1, )Ca、( , 2)D b 是直线与双曲线 2 m y x 的两 个交点，过点C作CEy轴于点E，且BCE的面积为 1 （1）求双曲线的函数解析式； （2）若在y轴上有一动点F，使得以点F、A、B为顶点的三角形与BCE相似，求点
12、F的坐标 3.如图，矩形ABCD中，2AB ，4AD ，动点E在边BC上，与点B、C不重合，过点A作DE的垂线， 交直线CD于点F设DFx，ECy （1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围 （2）当1CF 时，求EC的长 （3）若直线AF与线段BC延长线交于点G，当DBE与DFG相似时，求DF的长 4.阅读理解： 如图 1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合） ，分别连接ED，EC，可以 把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上 的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强
13、相似点 解决问题： （1） 如图 1，55ABDEC ， 试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点， 并说明理由； （2）如图 2，在矩形ABCD中，5AB ，2BC ，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个 小正方形的边长为1)的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图 2中画出矩形ABCD的边AB上的一 个强相似点E； 拓展探究： （3）如图 3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处若点E恰好是四边形ABCM的 边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系 5.如图，已知二次函数 1 (2)() 48 yxaxb的图象过点( 4,3)A ，(4,4)B
14、（1）求二次函数的解析式： （2）求证：ACB是直角三角形； （3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、 D为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 6.如图，某抛物线顶点坐标为(2, 1)与y轴交于点(0,3)C，与x轴交于A、B两点 （1）求抛物线的解析式 （2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求ACD的面积 （3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F，问是否存在点E，使得 以D、E、F为顶点的三角形与BCO相似？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由 7
15、.如图，直线3yx与x轴、y轴分别交于点A、C，经过A、C两点的抛物线 2 yaxbxc 与x轴的负半轴上另一交点为B，且tan3CBO （1）求该抛物线的解析式及抛物线的顶点D的坐标； （2）若点P是射线BD上一点，且以点P、A、B为顶点的三角形与ABC相似，求点P的坐标 8.如图，已知二次函数 2 (yxbxc b，c为常数）的图象经过点(3,1)A，点(0,4)C，顶 点为点M，过点A作/ /ABx轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC （1）求该二次函数的解析式及点M的坐标； （2）若将该二次函数图象向下平移(0)m m 个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点 落在ABC
16、的内部（不包括ABC的边界） ，求m的取值范围； （3）点P是直线AC上的动点， 若点P，点C，点M所构成的三角形与BCD相似， 请直接写出所有点P 的坐标（直接写出结果，不必写解答过程） 9.如图所示，已知抛物线(3)(1)(0)ya xxa，与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于 点C，经过点A的直线3yxb 与抛物线的另一个交点为D （1）若点D的横坐标为 2，求抛物线的函数解析式； （2）若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与ABC相似，求点P的坐 标； 10.如图，已知抛物线的方程 1 1 :(2)()(0)Cyxxm m m 与x轴相交于点B、C
17、，与y轴相交于点E， 且点B在点C的左侧 （1）若抛物线 1 C过点(2,2)M，求实数m的值； （2）在第四象限内，抛物线 1 C上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与BCE相似？若 存在，求m的值；若不存在，请说明理由 11、如图，已知抛物线 2 11 (1)( 444 b yxbxb是实数且2)b 与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位 于点B的左侧） ，与y轴的正半轴交于点C （1）点B的坐标为 ( ,0)b ，点C的坐标为 （用含b的代数式表示） ； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且PBC是以点P为直角 顶点的等腰直角三角形？如
18、果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得QCO，QOA和QAB中的任意两个三角形均 相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由 参考答案 1.解：如图 1，A=A，当 ADAE ABAC 时，ADE和ABC相似， 1 43 AE ，解得：AE= 3 4 ； 如图 2，A=A，当 ADAE ACAB 时，ADE和ACB相似， 1 34 AE ，解得：AE= 4 3 ，综合上述：AE的长为 3 4 或 4 3 ； 2.解： （1）当0x 时，2y ， (0,2)B 点(1, )Ca， 11 |2| 1
19、1 22 BCE SBE CEa ， 解得：4a 或0a （舍去） ， (1,4)C 点(1,4)C在双曲线 2 m y x 上， 1 44m ， 双曲线的函数解析式为 2 4 y x （2）BCE为直角三角形，点F在y轴上， 点F在点B的下方，ABFCBE ， 有存在两种情况（如图所示）: 当90AFB时，点F与点O重合， 此时点F的坐标为(0,0)； 当90FAB时，设点F的坐标为(0, )n 点(1,4)C在直线 1 2ykx上， 4kx，2k ， 直线 1 22yx 当0y 时，1x ， ( 1,0)A (0,2)B，(1,4)C， (0,4)E，2BE ，5AB ，5BC ，2BFn
20、 FABCEB， BFAB BCBE ，即 25 25 n ， 解得： 1 2 n ， 此时点F的坐标为 1 (0,) 2 综上可知：点F的坐标为(0,0)或 1 (0,) 2 3. 解 （ 1 ） 四 边 形ABCD是 矩 形 ， DC=AB=2 ， ADC= BCD=90 又AFDE，ADF=DCE=90 ，DAF=EDC=90 -DFA， ADFDCE， ABDF CDCE 4 2 x y ，即 1 2 yx 点 E在线段 BC上，与点 B、C 不重合， 0y4，0 1 04 2 x即 0x8， 1 2 yx（0x8）； （2）当点 F线段 DC 上时， CF=1，DF=x=2-1=1，
21、此时 11 22 CEyx； 当点 F线段 DC延长线上时， CF=1，DF=x=2+1=3，此时 13 22 CEyx 当 CF=1 时，EC的长为 13 22 或 （3）在Rt ADF中， 222 AF=16ADDFx 在Rt DCE中， 2222 11 DE=()416 22 ECDCxx AD/BCADFGCF AFDF GFCF 2 2 16 CF AFx FGx DFx 90DECADFEDC BEDDFG 当DBE与DFG相似时,可分以下两种情况： DEBGFD，如图，有 EDFG EBFD ED FDFG EB 22 121 1616(4) 22 x xxxx x 解得 8 5
22、 x DEBDFG, 如图，有 EDFD EBFG ED FGFD EB 22 121 1616(4) 22 x xxx x x 解得 4 3 x 综上所述：DF的长为 8 5 或 4 3 4.解析： （1）点 E是四边形 ABCD 的边 AB上的相似点 理由：A=55，ADE+DEA=125 DEC=55，BEC+DEA=125ADE=BECA=B，ADEBEC点 E 是四 边形 ABCD的 AB边上的相似点 （2）作图如下： （3）点 E是四边形 ABCM的边 AB上的一个强相似点，AEMBCEECM， BCE=ECM=AEM 由折叠可知：ECMDCMECM=DCM，CE=CDBCE=BC
23、D=30BE=CE=AB 在 RtBCE中，tanBCE= BE BC =tan30 3 3 BE BC ， 2 3 3 AB BC 5.解： （1）由题意得，函数图象经过点( 4,3)A ，(4,4)B， 故可得： 1 3( 42)( 4) 48 1 4(42)(4) 48 ab ab ， 解得： 13 20 a b ， 故二次函数关系式为： 1 (2)(1320) 48 yxx （2）由（1）所求函数关系式可得点C坐标为( 2,0)，点D坐标为 20 (13，0)， 又点( 4,3)A ，(4,4)B， 22 (44)(43)65AB， 22 ( 24)(03)13AC ， 22 (42)
24、(40)2 13BC ， 满足 222 ABACBC， ACB是直角三角形 （3）存在点P的坐标，点P的坐标为 50 ( 13 ， 35) 13 或 122 ( 13 ， 284) 13 设点P坐标为(x， 1 (2)(1320) 48 xx，则 1 (2)(1320) 48 PHxx， 20 13 HDx ， 若DHPBCA，则 PHDH ACBC ，即 120 (2)(1320) 4813 132 13 xxx ， 解得： 50 13 x 或 20 13 x （因为点P在第二象限，故舍去） ； 代入可得 35 13 PH ，即 1 P坐标为 50 ( 13 ， 35) 13 ； 若PHDB
25、CA，则 PHHD BCAC ，即 120 (2)(1320) 4813 5213 xxx ， 解得： 122 13 x 或 20 13 x （因为点P在第二象限，故舍去） 代入可得 284 13 PH ，即 2 P坐标为： 122 ( 13 ， 284) 13 综上所述，满足条件的点P有两个，即 1 50 ( 13 P ， 35) 13 、 2 122 ( 13 P ， 284) 13 6.解： （1）依题意，设抛物线的解析式为 2 (2)1ya x，将( ,3)C O代入， 得： 2 (02)13a ，解得1a ， 所以抛物线的解析式： 2 (2)1yx，即 2 43yxx； （2） 2
26、43yxx与x轴交于A、B两点， (1,0)A、(3,0)B； 设直线BC的解析式为：3ykx，代入点B的坐标后，得： 330k ，解得1k ， 直线:3BC yx ； 抛物线 2 43yxx的对称轴为：2x ，则(2,1)D； 22 (2 1)(1 0)2AD， 22 1310AC ， 22 (20)(1 3)2 2CD， 即： 222 ACADCD， ACD是直角三角形，且ADCD； 11 22 22 22 ACD SAD CD ； （3）由题意知：/ /EFy轴，则FEDOCB ，若OCB与FED相似，则有： 90DFE，即/ /DFx轴； 将点D纵坐标代入抛物线的解析式中，得： 2 4
27、31xx，解得22x ； 当22x 时，312yx ； 当22x 时，312yx ； 所以 1(2 2E，12)、 2(2 2E，12) 90EDF； 易知，直线:1AD yx，联立抛物线的解析式有： 2 431xxx， 2 540xx， 解得 1 1x 、 2 4x ； 当1x 时，32yx ； 当4x 时，31yx ； 所以 3(1,2) E、 4(4, 1) E 综上，存在符合条件的点E，且坐标为：(22，12)、(22，12)、(1,2)、(4, 1) 7.解： （1）令0y ，则30x ， 解得3x ， 令0x ，则3y ， 点( 3,0)A ，(0,3)C， 3OAOC， tan3
28、 OC CBO OB ， 1OB， 点( 1,0)B ， 把点A、B、C的坐标代入抛物线解析式得， 930 0 3 abc abc c ， 解得 1 4 3 a b c ， 该抛物线的解析式为 2 43yxx， 22 43(2)1yxxx ， 顶点( 2, 1)D ； （2）( 3,0)A ，( 1,0)B ， 1( 3)2AB ， OAOC，90AOC， AOC是等腰直角三角形， 23 2ACOA，45BAC， ( 1,0)B ，( 2, 1)D ， 45ABD， AB和BP是对应边时，ABCBPA， ABAC BPBA ， 即 23 2 2BP ， 解得 2 2 3 BP ， 过点P作PE
29、x轴于E， 则 2 222 323 BEPE， 25 1 33 OE ， 点P的坐标为 5 ( 3 ， 2) 3 ； AB和BA是对应边时，ABCBAP， ABAC BABP ， 即 23 2 2BP ， 解得3 2BP ， 过点P作PEx轴于E， 则 2 3 23 2 BEPE， 134OE ， 点P的坐标为( 4, 3)， 综上所述，点P的坐标为 5 ( 3 ， 2) 3 或( 4, 3)时，以点P、A、B为顶点的三角形与ABC相似 8.解： （1）把点(3,1)A，点(0,4)C代入二次函数 2 yxbxc得， 2 331 4 bc c 解得 2 4 b c 二次函数解析式为 2 24y
30、xx， 配方得 2 (1)5yx， 点M的坐标为(1,5)； （2）设直线AC解析式为ykxb，把点(3,1)A，(0,4)C代入得， 31 4 kb b 解得 1 4 k b 直线AC的解析式为4yx ，如图所示，对称轴直线1x 与ABC两边分别交于点E、点F 把1x 代入直线AC解析式4yx 解得3y ，则点E坐标为(1,3)，点F坐标为(1,1) 153m ，解得24m； （3）连接MC，作MGy轴并延长交AC于点N，则点G坐标为(0,5) 1MG ，541GC 2222 112MCMGCG， 把5y 代入4yx 解得1x ，则点N坐标为( 1,5)， NGGC，GMGC， 45NCGG
31、CM ， 90NCM， 由此可知，若点P在AC上，则90MCP，则点D与点C必为相似三角形对应点 若有PCMBDC，则有 MCCD CPBD 1BD ，3CD ， 2 12 33 MC BD CP CD ， 3CDDA， 45DCA， 若点P在y轴右侧，作PHy轴， 45PCH， 2 3 CP 21 2 33 PH 把 1 3 x 代入4yx ，解得 11 3 y ， 1 1 11 ( ,) 3 3 P； 同理可得，若点P在y轴左侧，则把 1 3 x 代入4yx ，解得 13 3 y 2 1 13 (,) 3 3 P； 若有PCMCDB，则有 MCBD CPCD 23 3 2 1 CP 3 2
32、23PH， 若点P在y轴右侧，把3x 代入4yx ，解得1y ； 若点P在y轴左侧，把3x 代入4yx ，解得7y 3(3,1) P； 4( 3,7) P 所有符合题意得点P坐标有 4个，分别为 1 1 11 ( ,) 3 3 P， 2 1 13 (,) 3 3 P ， 3(3,1) P， 4( 3,7) P 9.解： （1）(3)(1)ya xx， 点A的坐标为( 3,0)、点B两的坐标为(1,0)， 直线3yxb 经过点A， 3 3b ， 33 3yx ， 当2x 时，5 3y ， 则点D的坐标为(2, 5 3)， 点D在抛物线上， (23)(2 1)5 3a ， 解得，3a ， 则抛物线
33、的解析式为 2 3(3)(1)32 33 3yxxxx ； （2）如图 1中，作PHx轴于H，设点P坐标( , )m n， 当BPAABC时，BACPBA ， tantanBACPBA，即 OCPH OAHB ， 3 31 an m ，即(1)na m ， (1) (3)(1) na m na mm 解得4m 或 1（舍弃） ， 当4m 时，5na， BPAABC， ACAB ABPB ， 2 ABAC PB， 222 4992525aa， 解得 15 15 a 或 15 15 （舍弃） ， 则 15 5 3 na ， 点P坐标 15 ( 4,) 3 当PBAABC时，CBAPBA ， tan
34、tanCBAPBA，即 OCPH OBHB ， 3 11 an m ， 3 (1)na m ， 3 (1) (3)(1) na m na mm ， 解得6m 或 1（舍弃） ， 当6m 时，21na， PBAABC， BCAB BAPB ，即 2 ABBC PB， 2222 41 97( 21 )aa ， 解得 7 7 a 或 7 7 （不合题意舍弃） ， 则点P坐标( 6, 3 7)， 综上所述，符合条件的点P的坐标 15 ( 4,) 3 和( 6, 3 7) 10.解： （1）依题意，将(2,2)M代入抛物线解析式得： 1 2(22)(2)m m ，解得4m （2）分两种情形讨论： 当BE
35、CBCF时，如解答图 2所示 则 BEBC BCBF ， EBCCBF ， 2 BCBE BF 由函数解析式可得：( 2,0)B ，(0,2)E，即OBOE， 45EBC， 45CBF， 作FTx轴于点T，则45BFTTBF ， BTTF 设(F a，2)(0)aa ，又点F在抛物线上， 1 2(2)()aaam m ， 20a ， 0a ， 2am，(2 , 22)Fmm 此时 22 (22)( 22)2 2(1)BFmmm ，2 2BE ，2BCm， 又 2 BCBE BF， 2 (2)2 2 2 2(1)mm， 22 2m， 0m ， 2 22m 当BECFCB时，如解答图 3所示 则
36、BCEC BFBC ， 2 BCEC BF BECFCB CBFECO ， 90EOCFTB ， BTFCOE， 2TFOE BTOCm ， 设(F b， 2 (2)(0)bb m 又点F在抛物线上， 21 (2)(2)()bbbm mm ， 0b ， 20b ， 2bm ， (2F m， 2 (4)m m ， 2 4ECm，2BCm， 又 2 BCEC BF， 2 222 2 4(4) (2)4(22) m mmm m 整理得：016，显然不成立 综合得，在第四象限内，抛物线上存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与BCE相似， 2 22m 11.解： （1）令0y ，即 2 11 (1
37、)0 444 b yxbx， 解得：1x 或b， b是实数且2b ，点A位于点B的左侧， 点B的坐标为( ,0)b， 令0x ， 解得： 4 b y ， 点C的坐标为(0, ) 4 b ， 故答案为：( ,0)b，(0, ) 4 b ； （2）存在， 假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角 形 设点P的坐标为( , )x y，连接OP 则 11 2 2 42 PCOPOBPCOB b SSSxb yb 四边形 ， 416xy 过P作PDx轴，PEy轴，垂足分别为D、E， 90PEOEODODP 四边形PEOD是矩形 90EPD EPCDP
38、B PECPDB ，PEPD，即xy 由 416 xy xy 解得 16 5 16 5 x y 由PECPDB 得ECDB，即 1616 545 b b， 解得 128 2 25 b 符合题意 P的坐标为 16 ( 5 ， 16) 5 ； （3）假设存在这样的点Q，使得QCO，QOA和QAB中的任意两个三角形均相似 QABAOQAQO， QABAOQ，QABAQO 要使QOA与QAB相似，只能90QAOBAQ，即QAx轴 2b ， ABOA， QOAABQ 只能AOQAQB此时90OQB， 由QAx轴知/ /QAy轴 COQOQA 要使QOA与OQC相似，只能90QCO或90OQC ( ) I当90OCQ时，CQOQOA 4 b AQCO 由 2 AQOA AB得： 2 ( )1 4 b b 解得：84 3b 2b ， 84 3b 点Q的坐标是(1,23) ()II当90OQC时，OCQQOA， OQAQ COQO ，即 2 OQOC AQ 又 2 OQOA OB， OC AQOA OB即1 4 b AQb 解得：4AQ ，此时172b 符合题意， 点Q的坐标是(1,4) 综上可知，存在点(1,23)Q或(1,4)Q，使得QCO，QOA和QAB中的任意两个三角形均相似
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