1、第第 8 8 讲讲 最值问题之垂线段最短最值问题之垂线段最短 模型讲解模型讲解 如图，直线 l 外一点 P 与直线上的点的所有连线段中，PB 线段长度最短 【例题讲解例题讲解】 例题例题 1 1、如图，在 RtABC 中，BAC90，AB5，AC12，P 为边 BC 上一动点，PEAB 于 E， PFAC 于 F，M 为 EF 中点，则 AM 的取值范围是 解：连接 AP，PEAB，PFAC，AEPAFP90， BAC90，四边形 AEPF 是矩形，APEF， BAC90，M 为 EF 中点，AM 1 2 EF 1 2 AP， 在 RtABC 中，BAC90，AB3，AC4，BC 22 ABA
2、C5， 当 APBC 时，AP 值最小，此时 SBAC 1 2 34 1 2 5AP， AP 12 5 ，即 AP 的范围是 AP 12 5 ，2AM 12 5 ，AM 的范围是 AM 6 5 ， APAC，AP4，AM2， 6 5 AM2 例题 2、已知点 D 与点 A(8，0)，B(0，6)，C(a，a)是一平行四边形的四个顶点，则 CD 长的最小值 为 解：有两种情况： CD 是平行四边形的一条边，那么有 ABCD10 CD 是平行四边形的一条对角线， 过 C 作 CMAO 于 M，过 D 作 DFAO 于 F，交 AC 于 Q，过 B 作 BNDF 于 N， 则BNDDFACMAQFA
3、90，CAMFQA90，BDNDBN90， 四边形 ACBD 是平行四边形，BDAC，CD，BDAC，BDFFQA， DBNCAM，在DBN 和CAM 中， BNDAMC DBNCAM BDAC ，DBNCAM(AAS)， DNCMa，BNAM8a，D(8a，6a)， 由勾股定理得：CD 2(8aa)2(6aa)28a28a1008(a1 2 ) 298， 当 a 1 2 时，CD 有最小值，是98， 9810，CD 的最小值是9872 例题 3、如图，在 RtABC 中，C90，AC6，BC8，经过点 C 且与边 AB 相切的动圆与 CA、 CB 分别相交于点 P、Q，则线段 PQ 长度的最
4、小值是 解：如图，AB10，AC8，BC6， AB 2AC2BC2，ACB90，PQ 是F 的直径， 设 QP 的中点为 F，圆 F 与 AB 的切点为 D，连接 FD，连接 CF，CD，则 FDAB FCFDPQ，CFFDCD， 当点 F 在直角三角形 ABC 的斜边 AB 的高上 CD 时，PQCD 有最小值 CDBCACAB4.8 【巩固练习巩固练习】 1、已知在ABC 中，AC3，BC4，AB5，点 P 是 AB 上(不与 A、B 重合)，过 P 作 PEAC，PF BC，垂足分别是 E、F，连结 EF，M 为 EF 的中点，则 CM 的最小值为 2、如图，线段 AB 的长为 10，C
5、 为 AB 上的一个动点，分别以 AC、BC 为斜边在 AB 的同侧作两个等腰直 角ACD 和BCE，那么 DE 长的最小值是 3、如图，已知平行四边形 OABC 的顶点 A、C 分别在直线 x1 和 x4 上，O 是坐标原点，则对角线 OB 长的最小值为 4、在平面直角坐标系中，己知平行四边形ABCD的点A(0，2)、点B(3m，4m1)(m1)，点C(6， 2)，则对角线 BD 的最小值是 5、如图，等边ABC的边长是2cm，将边AC沿射线BC的方向平移2cm，得到线段DE，连接AD、CE (1)求证：四边形 ACED 是菱形； (2)将ABC 绕点 C 旋转，当 CA与 DE 交于一点
6、M，CB与 AD 交于一点 N 时，点 M、N 和点 D 构成 DMN，试探究DMN 的周长是否存在最小值？如果存在，求出该最小值；如果不存在，请说明 理由 A B N M A B C D E 参考答案 1.解：如图，连接 CP AC3，BC4，AB5ACB90， PEAC，PFBC，C90，四边形 CFPE 是矩形，EFCP， 由垂线段最短可得 CPAB 时，线段 EF 的值最小，则 CM 最小， 此时，SABC 1 2 BCAC 1 2 ABCP，即 1 2 43 1 2 5CP，解得 CP2.4 EF2.4，M 为 EF 中点，CM1.2 2.解：设 ACx，BC10x， ABC，BCD
7、均为等腰直角三角形，CD 2 2 x，CD 2 2 (10x)， ACD45，BCD45，DCE90， DE 2CD2CE21 2 x 21 2 (10x) 2x210x50(x5)225， 当 x 取 5 时，DE 取最小值，最小值为：5， 3.解：过点 B 作 BD直线 x4，交直线 x4 于点 D，过点 B 作 BEx 轴，交 x 轴于点 E，直线 x1 与 OC 交于点 M，与 x 轴交于点 F，直线 x4 与 AB 交于点 N，如图： 四边形 OABC 是平行四边形，OABBCO，OCAB，OABC， 直线 x1 与直线 x4 均垂直于 x 轴，AMCN，四边形 ANCM 是平行四边
8、形， MANNCM，OAFBCD，OFABDC90，FOADBC， 在OAF 和BCD 中， FOADBC OABC OAFBCD ，OAFBCD BDOF1，OE415，OB 22 OEBE 由于 OE 的长不变，所以当 BE 最小时(即 B 点在 x 轴上)，OB 取得最小值，最小值为 OBOE5 4.解：如图，点 B(3m，4m1)， 令 3 41 nx my ，y 4 3 x1，B 在直线 y 4 3 x1 上，当 BD直线 y 4 3 x1 时，BD 最小， 平行四边形对角线交于一点，且 AC 的中点一定在 x 轴上，F 是 AC 的中点， A(0，2)，点 C(6，2)，F(3，0
9、) 设直线 BF 的解析式为 y 3 4 xb，则 3 4 3b0，解得 b 9 4 ， 则直线 BF 的解析式为 y 3 4 x 9 4 ， 4m1 3 4 3m 9 4 ，解得 m 1 5 ，B( 3 5 ， 9 5 )， BF 22 39 3 55 3，BD2BF6，则对角线 BD 的最小值是 6 5.证明：(1)由平移可得：ADCE，ADCE， 四边形 ACED 是平行四边形，又AD2cmAC，ACED 是菱形； (2)连接 CD， ACDBCA60即ACNNCDNCDDCA60，ACNDCM， 在ACN 和DCM 中， NACMDC ACCD ACNDCM ，ACNDCM(ASA)， ANDM，同理，CNCM， NCDDCM60，CMN 是等边三角形，MNCNCM，则 ANDNAD2 DMN 的周长即为 DNDMMNADCN， 当 CBAD 时，(CN)最小3，即DMN 的周长的最小值是 23
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