1、第第 1010 讲讲 最值问题之将军饮马问题最值问题之将军饮马问题 最值问题是老师们最爱考的热门题型之一，综合性较强，需要一定的基本功，一般考察时一般放在 压轴位置。 模型讲解模型讲解 【基本模型基本模型】 问题：在直线 l 上找一点 P，使得 PAPB 的值最小 解析：连接 AB，与直线 l 交点即为点 P(两点之间线段最短) 【拓展模型拓展模型 1 1】 问题：在直线/上找一点 P，使得 PAPB 的值最小 解析：点 A 作关于 l 的对称点 A，连接 BA，与直线 l 的交点即为点 P，此时 PAPB 的最小值即为线段 BA的长度 【练习练习】 1、尺规作图：在直线 MN 上找一点 P，
2、使得APNBPN(保留作图痕迹) 【模型拓展模型拓展 2 2】 1、如图，已知点 P 为定点，定长线段 AB 在直线 MN 上运动，在什么位置时，PAPB 最小？ 思维转化：将线段 AB 移动，点 P 不动，理解为线段 AB 不动，点 P 在直线 CD 上移动，将模型转化为 最基本模型 【模型拓展模型拓展 3 3】 问题：MON 内一定点 A，点 P、Q 分别为 OM、ON 上的动点，求APQ 周长的最小值 解析：点 A 作关于 ON 和 OM 的对称点 A1、A2， ，连接 A1A2，与 ON、OM 交点即为 Q、P，线段 A1A2的长 度即为APQ 周长的最小值 基基本结论：本结论： A1
3、OA2必为等腰三角形，且腰长等于线段 OA 的长 A1OA22MON 四边形 ABPQ 周长最小的模型，最小值即为线段 ABAB的长度和 【模型拓展模型拓展 4 4】 问题：求 ABBCCD 的最小值问题 解析：作点 A 关于 ON 的对称点 A，点 D 关于 OM 的对称点 D，连接 AD，最小值即为线段 AD 的长度 (作点 A 和点 D 的对称点的过程中，也可以直接将 OM、ON 整个对称过去，使得图形更加完整) 【模型拓展模型拓展 5 5】 MN 垂直两平行线，求 AMMNNB 的最小值模型 其中 MN 为定值，故只需求 AMNB 的最小值，将点 A 向下平移 MN 的长度得到 A，连
4、接 AB，线段 AB 的长度即为 AMNB 的最小值 直线 l 上有一长度不变线段 MN 移动，求 AMMNNB 最小值的模型 将 A 点向右平移 MN 的长度，以此转化为基本模型，最小值即为 MNA2B 【例题讲解例题讲解】 例题例题 1 1、如图，在平面直角坐标系中，RtOAB 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上，顶点 B 的坐标为(3，3)， 点 C 的坐标为( 1 2 ，0)，点 P 为斜边 OB 上的一动点，则 PAPC 的最小值为 解：作 A 关于 OB 的对称点 D，连接 CD 交 OB 于 P，连接 AP，过 D 作 DNOA 于 N， 则此时 PAPC 的值最小， DPPA，P
5、APCPDPCCD，B(3，3)，AB3，OA3， tanAOB AB OA 3 3 ，AOB30，OB2AB23， 由三角形面积公式得： 1 2 OAAB 1 2 OBAM，AM 3 2 ，AD2 3 2 3， AMB90，B60，BAM30，BAO90，OAM60， DNOA，NDA30，AN 1 2 AD 3 2 ，由勾股定理得：DN 3 3 2 ， C( 1 2 ，0)，CN3 1 2 3 2 1，在 RtDNC 中，由勾股定理得：DC 31 2 ， 即 PAPC 的最小值是 31 2 【思考思考】 若把题中条件点“C 的坐标为( 1 2 ，0)”改为“点 C 为 OA 边上一动点”，
6、其它条件不变，那么此时 PAPC 最小值又是多少呢？ 解答：PAPCPCPDCDDN 3 3 2 ，PAPC 的最小值为 3 3 2 例题例题 2 2、某长方体的长、宽、高分别为 4、3、5， (1)如图1，点A、B分别为该长方体的两个顶点，已知蚂蚁从点A沿长方体侧面爬到点B，则最短路线 长是多少？ (2)如图 2，点 A、C 分别为该长方体的两个顶点，如果用一根细线从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕一圈 到达点 C，那么所用细线最短长度是 (3)如图 2，点 A、C 分别为该长方体的两个顶点，如果用一根细线从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕三圈 到达点 C，那么所用细线最短长度是 (4)如图
7、 3，已知圆柱高 4 米，底面周长 1 米如果用花圈从上往下均匀缠绕圆柱 3 圈(如图)，那么螺 旋形花圈的长至少 米 答案： (1)74 (2)221 (3)1789 (4) 2 916 例题例题 3 3、如图，在五边形 ABCDE 中，BAE120，BE90，ABBC1，AEDE2，在 BC、DE 上分别找一点 M、N (1)当AMN 的周长最小时，AMNANM ； (2)求AMN 的周长最小值 解：作 A 关于 BC 和 ED 的对称点 A，A，连接 AA，交 BC 于 M，交 ED 于 N，则 AA即为AMN 的周 长最小值 作 EA 延长线的垂线，垂足为 H，BAE120 ，AAAA
8、AA60 ， AAAAAM，AAAEAN，CAN120 AAAAAA60 ， 也就是说AMNANM180 60 120. 过点 A作 EA 延长线的垂线，垂足为 H， ABBC1，AEDE2，AA2BA2，AA2AE4， 则 RtAHA 中，EAB120，HAA60， AHHA，AAH30，AH 1 2 AA1，AH3，AH145， AA27， 例题例题 4 4、如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在边 BC 上且 CE1，长为2的线段 MN 在 AC 上运动 (1)求四边形 BMNE 周长最小值； (2)当四边形 BMNE 的周长最小时，则 tanMBC 的值为 解：作 EFAC
9、且 EF2，连结 DF 交 AC 于 M，在 AC 上截取 MN2，延长 DF 交 BC 于 P， 作 FQBC 于 Q，作出点 E 关于 AC 的对称点 E，则 CECE1，将 MN 平移至 EF处， 则四边形 MNEF为平行四边形， 当 BMENBMFMBF时，四边形 BMNE 的周长最小， 由FEQACB45，可求得 FQEQ1， DPCFPQ，DCPFQP，PFQPDC， PQ PQQEEC PQ CD ， 2 PQ PQ 1 4 ，解得：PQ 2 3 ，PC 8 3 ， 由对称性可求得 tanMBCtanPDC 2 3 例题例题 5 5、在平面直角坐标系中，已知点 A(一 2，0)，
10、点 B(0，4)，点 E 在 OB 上，且OAEOBA如 图，将AEO沿x轴向右平移得到AEO，连接AB、BE当ABBE取得最小值时，求点 E的坐标 【提示】 将AEO 向右平移转化为AEO 不动，点 B 向左平移，则点 B 移动的轨迹为一平行于 x 轴的直线， 所以作点 E 关于该直线的对称点 E1，连接 AE1，与该直线交点 F 即为最小时点 B 的位置，求出 BF 长度即 可求出点 E 向右平移的距离 例题例题 6 6、如图，已知正比例函数 ykx(k0)的图像与 x 轴相交所成的锐角为 70，定点 A 的坐标为(0， 4)，P 为 y 轴上的一个动点，M、N 为函数 ykx(k0)的图
11、像上的两个动点，则 AMMPPN 的最小值为 解：如图所示，直线 OC、y 轴关于直线 ykx 对称，直线 OD、直线 ykx 关于 y 轴对称，点 A是点 A 关 于直线 ykx 的对称点 作 AEOD 垂足为 E，交 y 轴于点 P，交直线 ykx 于 M，作 PN直线 ykx 垂足为 N， PNPE，AMAM，AMPMPNAMPMPEAE 最小(垂线段最短)， 在 RTAEO 中，AEO90，OA4，AOE3AOM60， OE 1 2 OA2，AE 22 4223 AMMPPN 的最小值为 23 【巩固练习巩固练习】 1、如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，ABE 是等边三角形，
12、点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PDPE 的和最小，则这个最小值为 2、在菱形 ABCD 中，对角线 AC6，BD8，点 E、F、P 分别是边 AB、BC、AC 上的动点，PEPF 的 最小值是 3、如图，在边长为 2 的等边ABC 中，D 为 BC 的中点，E 是 AC 边上一点，则 BEDE 的最小值 为 4、如图，钝角三角形 ABC 的面积为 9，最长边 AB6，BD 平分ABC，点 M、N 分别是 BD、BC 上的动 点，则 CMMN 的最小值为 5、如图，在ABC 中，AM 平分BAC，点 D、E 分别为 AM、AB 上的动点， (1)若 AC4，S
13、ABC6，则 BDDE 的最小值为 (2)若BAC30，AB8，则 BDDE 的最小值为 (3)若 AB17，BC10，CA21，则 BDDE 的最小值为 A BC D E M 6、如图，在ABC 中，ABBC4，SABC43，点 P、Q、K 分别为线段 AB、BC、AC 上任意一点， 则 PKQK 的最小值为 7、如图，AB 是O 的直径，AB8，点 M 在O 上，MAB20，N 是弧 MB 的中点，P 是直径 AB 上的一动点，则 PMPN 的最小值为 O A P M B N 8、如图，在锐角ABC 中，AB4，BAC45，BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB
14、 上的动点，则 BMMN 的最小值是 9、如图，圆柱形玻璃杯高为 12cm、底面周长为 18cm，在杯内离杯底 4cm 的点 C 处有一滴蜂蜜，此时一 只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm 10、如图，菱形 OABC 中，点 A 在 x 轴上，顶点 C 的坐标为(1，3)，动点 D、E 分别在射线 OC、OB 上，则 CEDEDB 的最小值是 11、如图，点 A(a，1)、B(1，b)都在双曲线 y 3 x (x0)上，点 P、Q 分别是 x 轴、y 轴上的动点， 当四边形 PABQ 的周长取最小值时，PQ 所在直线的解析式是 y x
15、B A P O Q 12、如图，点 P 是AOB 内任意一点，OP5cm，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点， PMN 周长的最小值是 5cm，则AOB 的度数是 13、如图，AOB30，点 M、N 分别在边 OA、OB 上，且 OM1，ON3，点 P、Q 分别在边 OB、 OA 上，则 MPPQQN 的最小值是 14、如图，在 RtABC 中，ACB90，点 D 是 AB 边的中点，过 D 作 DEBC 于点 E (1)点 P 是边 BC 上的一个动点，在线段 BC 上找一点 P，使得 APPD 最小，在下图中画出点 P； (2)在(1)的条件下，连接 CD 交 AP
16、 于点 Q，求 AQ 与 PQ 的数量关系； A BC E D 15、在矩形 ABCD 中，AB6，BC8，G 为边 AD 的中点 (1)如图 1，若 E 为 AB 上的一个动点，当CGE 的周长最小时，求 AE 的长 (2)如图2，若E、F为边AB上的两个动点，且EF4，当四边形CGEF的周长最小时，求AF的长 16、图 1，图 2 为同一长方体房间的示意图，图 2 为该长方体的表面展开图 (1)蜘蛛在顶点 A处， 苍蝇在顶点 B 处时，试在图 1 中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线； 苍蝇在顶点 C 处时，图 2 中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板 ABCD 爬行的最近路线
17、AGC 和往墙面 BBCC 爬行的最近路线 AHC，试通过计算判断哪条路线更近？ (2)在图 3 中，半径为 10dm 的 OM 与 DC相切，圆心 M 到边 CC的距离为 15dm，蜘蛛 P 在线段 AB 上，苍蝇 Q 在 OM 的圆周上，线段 PQ 为蜘蛛爬行路线若 PQ 与 OM 相切，试求 PQ 的长度 的范围 17.如图，抛物线 2 1 24 2 yxx 交 y 轴于点 B，点 A 为 x 轴上的一点，OA=2，过点 A 作直线 MNAB 交抛物线与 M、N 两点. （1）求直线 AB 的解析式； （2）将线段 AB 沿 y 轴负方向平移 t 个单位长度，得到线段 11 AB，求 1
18、1 MAMB取最小值时实数 t 的值. 参考答案 1. 解：连接 BD， 点 B 与 D 关于 AC 对称，PDPB，PDPEPBPEBE 最小 正方形 ABCD 的面积为 12，AB23， 又ABE 是等边三角形，BEAB23，故所求最小值为 23 2. 解：四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC6，BD8，AB5， 作 E 关于 AC 的对称点 E，作 EFBC 于 F 交 AC 于 P，连接 PE，则 EF 即为 PEPF 的最小值， 1 2 ACBDADEF，EF 24 5 ，PEPF 的最小值为 24 5 . 3. 解：作 B 关于 AC 的对称点 B，连接 BB、BD，交 AC 于
19、 E，此时 BEEDBEEDBD，根据两点之 间线段最短可知 BD 就是 BEED 的最小值， B、B关于 AC 的对称，AC、BB互相垂直平分，四边形 ABCB是平行四边形， 三角形 ABC 是边长为 2，D 为 BC 的中点，ADBC，AD3，BDCD1，BB2AD23， 作 BGBC 的延长线于 G，BGAD3， 在 RtBBG 中，BG3，DGBGBD312，在 RtBDG 中，BD7 故 BEED 的最小值为7 4. 解：过点 C 作 CEAB 于点 E，交 BD 于点 M，过点 M 作 MNBC 于 N， BD 平分ABC，MEAB 于点 E，MNBC 于 N，MNME， CECM
20、MECMMN 是最小值 三角形 ABC 的面积为 9，AB6， 1 2 6CE9，CE3 即 CMMN 的最小值为 3 5. H E A BC D E M 提示：作点 E 关于 AM 的对称点 E，BHAC 于 H，易知 BDDE 的最小值即为 BH 的长. 答案：(1)3；(2)4；(3)8 6. 解：如图，过 A 作 AHBC 交 CB 的延长线于 H， ABCB4，SABC43，AH23， cosHAB AH AB 2 3 4 3 2 ，HAB30，ABH60，ABC120， BACC30， 作点 P 关于直线 AC 的对称点 P，过 P作 PQBC 于 Q 交 AC 于 K， 则 PQ
21、 的长度PKQK 的最小值， PAKBAC30，HAP90，HHAPPQH90， 四边形 APQH 是矩形，PQAH23， 即 PKQK 的最小值为 23 7. 解：作点 N 关于 AB 的对称点 N，连接 OM、ON、ON、MN， 则 MN与 AB 的交点即为 PMPN 的最小时的点，PMPN 的最小值MN， MAB20，MOB2MAB22040， N 是弧 MB 的中点，BON 1 2 MOB 1 2 4020， 由对称性，NOBBON20，MONMOBNOB402060， MON是等边三角形，MNOMOB 1 2 AB 1 8 2 4， PMPN 的最小值为 4， 8. 解：如图，作 B
22、HAC，垂足为 H，交 AD 于 M点，过 M点作 MNAB，垂足为 N，则 BMMN为所 求的最小值 AD 是BAC 的平分线，MHMN，BH 是点 B 到直线 AC 的最短距离， AB4，BAC45，BHABsin454 2 2 22 BMMN 的最小值是 BMMNBMMHBH22 9. 解：沿过 A 的圆柱的高剪开，得出矩形 EFGH， 过 C 作 CQEF 于 Q，作 A 关于 EH 的对称点 A，连接 AC 交 EH 于 P，连接 AP， 则 APPC 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离， AEAE，APAP，APPCAPPCAC， CQ 1 2 18cm9cm，AQ12cm4cm4cm12
23、cm， 在 RtAQC 中，由勾股定理得：AC15cm，故答案为：15 10. 解：连接 AC，作 B 关于直线 OC 的对称点 E，连接 AE，交 OC 于 D，交 OB 于 E，此时 CEDEBD 的 值最小， 四边形 OCBA 是菱形，ACOB，AOOC，即 A 和 C 关于 OB 对称， CEAE，DECEDEAEAD， B 和 E关于 OC 对称，DEDB，CEDEDBADDEAE， 过 C 作 CNOA 于 N，C(1，3)，ON1，CN3， 由勾股定理得：OC2，即 ABBCOAOC2，CON60，CBACOA60， 四边形 COAB 是菱形，BCOA，DCBCOA60， B 和
24、 E关于 OC 对称，BFC90，EBC906030， EBA603090，CF 1 2 BC1，由勾股定理得：BF3EF， 在 RtEBA 中，由勾股定理得：AE4，即 CEDEDB 的最小值是 4 11. 解：把点 A(a，1)、B(1，b)代入 y 3 x (x0)得 a3，b3，则 A(3，1)、B (1，3)， 作 A 点关于 x 轴的对称点 C，B 点关于 y 轴的对称点 D，所以 C 点为(3，1)，D 点为(1，3)， 连结 CD 分别交 x 轴、y 轴于 P 点、Q 点，此时四边形 PABQ 的周长最小， 设直线 CD 的解析式为 ykxb，则 31 3 kb kb ，解得
25、1 2 k b ， 所以直线 CD 的解析式为 yx2 12. 解：分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 C、D，连接 CD，分别交 OA、OB 于点 M、N， 连接 OC、OD、PM、PN、MN，如图所示： 点 P 关于 OA 的对称点为 D，关于 OB 的对称点为 C，PMDM，OPOD，DOAPOA； 点 P 关于 OB 的对称点为 C，PNCN，OPOC，COBPOB， OCOPOD，AOB 1 2 COD， PMN 周长的最小值是 5cm，PMPNMN5，DMCNMN5，即 CD5OP， OCODCD，即OCD 是等边三角形，COD60，AOB30； 13. 解：作 M 关于 O
26、B 的对称点 M，作 N 关于 OA 的对称点 N， 连接 MN，即为 MPPQQN 的最小值 根据轴对称的定义可知：NOQMOB30，ONN60， ONN为等边三角形，OMM为等边三角形，NOM90， 在 RtMON中，MN10故答案为10 14. A A BPC E D Q A A BP C E D 解：(1)作点 A 关于 BC 的对称点 A，连 DA交 BC 于点 P. (2)由(1)可证得 PA 垂直平分 CD，AQ3CQ3PQ 15. 解：(1)E 为 AB 上的一个动点， 作 G 关于 AB 的对称点 M，连接 CM 交 AB 于 E，那么 E 满足使CGE 的周长最小； 在矩形
27、 ABCD 中，AB6，BC8，G 为边 AD 的中点，AGAM4，MD12， 而 AECD，AEMDCM，AE：CDMA：MD，AE CDMA MD 2； (2)E 为 AB 上的一个动点， 如图，作 G 关于 AB 的对称点 M，在 CD 上截取 CH4，然后连接 HM 交 AB 于 E，接着在 EB 上截取 EF4，那么 E、F 两点即可满足使四边形 CGEF 的周长最小 在矩形 ABCD 中，AB6，BC8，G 为边 AD 的中点， AGAM4，MD12，而 CH4，DH2， 而 AECD，AEMDHM，AE：HDMA：MD，AE HDMA MD 2 3 ， AF4 2 3 14 3
28、16.解：(1)根据“两点之间，线段最短”可知：线段 AB 为最近路线，如图 1 所示 将长方体展开，使得长方形 ABBA和长方形 ABCD 在同一平面内，如图 2 在 RtABC 中，B90，AB40，BC60，AC 22 40602013 将长方体展开，使得长方形 ABBA和长方形 BCCB在同一平面内，如图 2 在 RtACC 中，C90，AC70，CC30，AC 22 70301058 52005800，往天花板 ABCD 爬行的最近路线 AGC 更近； (2)过点 M 作 MHAB 于 H，连接 MQ、MP、MA、MB，如图 3 半径为 10dm 的M 与 DC相切，圆心 M 到边
29、CC的距离为 15dm，BC60dm， MH601050，HB15，AH401525， 根据勾股定理可得 AM 22 AHMH3125， MB 22 BHMH2725， 50MP3125 M 与 PQ 相切于点 Q，MQPQ，MQP90，PQ 2 100MP 当 MP50 时，PQ2400206； 当 MP3125时，PQ302555 PQ 长度的范围是 206dmPQ55dm 17.解： （1）依题意，易得 B（0，4） ，A（2，0） ，则 AB 解析式：42 xy （2）ABMN 直线 MN：1 2 1 xy 与抛物线联立可得： 1 2 1 42 2 1 2 xy xxy 解得：M（-2，-2） 将 AB 向负方向平移 t 个单位后，A1（2，-t） ，B1（0，4-t） 则 A1关于直线 x=-2 的对称点 A2为（-6，-t） 当 A2、M、B1三点共线时， 11 MAMB取最小值 3 14 t
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