1、第第 7 7 讲讲 双直角三角形模型双直角三角形模型 双直角三角形模型是在解三角形中最常见的模型，模型的特点为：有一条直角边为公共边，另外一 条直角边共线。但在不同的背景下会有不同的变化，需要从中看出模型的本质 模型讲解模型讲解 10530 30 45 30 135 30 45 15 45 60 45 60 45 4560 一般类型：将两个直角三角形组合，一条直角边为公共边，其中a 和的三角函数值为已知 【例题讲解例题讲解】 例题例题 1、如图，在一笔直的海岸线 l 上有 AB 两个观测站，A 在 B 的正东方向，AB2(单位：km)有一 艘小船在点 P 处，从 A 测得小船在北偏西 60的方
2、向，从 B 测得小船在北偏东 45的方向 (1)求点 P 到海岸线 l 的距离； (2)小船从点 P 处沿射线 AP 的方向航行一段时间后，到点 C 处，此时，从 B 测得小船在北偏西 15的方向求点 C 与点 B 之间的距离(上述两小题的结果都保留根号) l 东 北 P C 60 45 BA l AB 45 60 C D F P 北 东 解：(1)如图，过点 P 作 PDAB 于点 D设 PDxkm 在 RtPBD 中，BDP90，PBD904545，BDPDxkm 在 RtAPAD 中，ADP90，PAD906030，AD3PD3xkm BDADAB，x3x2，x31， 点 P 到海岸线
3、l 的距离为(31)km； (2)如图，过点 B 作 BFAC 于点 F 在 RtABF 中，AFB90，BAF30，BF 1 2 ABlkm 在ABC 中，C180BACABC45 在 RtBCF 中，BFC90，C45，BC2BF2km， 点 C 与点 B 之间的距离为2km 例题例题 2、如图，在一条笔直的东西向海岸线 l 上有一长为 1.5km 的码头 MN 和灯塔 C，灯塔 C 距码头的东 端 N 有 20km一轮船以 36km/h 的速度航行，上午 10：00 在 A 处测得灯塔 C 位于轮船的北偏 西 30方向， 上午 10： 40 在 B 处测得灯塔 C 位于轮船的北偏东 60
4、方向， 且与灯塔 C 相距 12km (1)若轮船照此速度与航向航行，何时到达海岸线？ (2)若轮船不改变航向， 该轮船能否停靠在码头？请说明理由 (参考数据：21.4，31.7) l N M 东 北 A B 30 60 C l D N MF 东 北 A B 30 60 CE 解：(1)延长 AB 交海岸线于点 D，过点 B 作 BE海岸线于点 E，过点 A 作 AFl 于 F，如图所示 BECAFC90，EBC60，CAF30， ECB30，ACF60，BCA90， BC12，AB36 40 60 24，AB2BC，BAC30，ABC60， ABCBDCBCD60，BDCBCD30，BDBC
5、12， 时间 t 12 36 1 3 小时20 分钟，轮船照此速度与航向航行，上午 11：00 到达海岸线 (2)BDBC，BECD，DEEC， 在 RTBEC 中，BC12，BCE30， BE6，EC6310.2，CD20.4， 2020.421.5，轮船不改变航向，轮船可以停靠在码头 【巩固练习】【巩固练习】 1、 如图， 从热气球 C 上测定建筑物 A、 B 底部的俯角分别为 30和 60， 如果这时气球的高度 CD 为 150 米，且点 A、D、B 在同一直线上，建筑物 A、B 间的距离为 2、如图，在高楼前 D 点测得楼顶的仰角为 30，向高楼前进 60 米到 C 点，又测得仰角为
6、45，则该高 楼的高度大约为 (保留整数) 3、 如图是一山谷的横断面示意图， 宽 AA为 15m， 用曲尺(两直尺相交成直角)从山谷两侧测量出 OA1m， OB3m，OA0.5m，OB3m(点 A，O，O,A在同一条水平线上)，则该山谷的深 h 为 m 4、如图所示，一条自西向东的观光大道 l 上有 A、B 两个景点，A、B 相距 2km，在 A 处测得另一景点 C 位于点 A 的北偏东 60方向，在 B 处测得景点 C 位于景点 B 的北偏东 45方向，求景点 C 到观光大 道 l 的距离(结果精确到 0.1km) l AB C 60 45 5、如图，在直角坐标系中，直线 y 3 4 x6
7、 与坐标轴分别交于 A、B 两点，AB 中点为点 P，则点 P 到 直线 yx 的最短距离 PQ 的长度为 x y Q A B O P 6、如图，在ABC，AC3，BC4，ACB90，将ABC 绕点 C 顺时针旋转 (1)当 AC 平分ACB时，BD 的长为 ； (2)连接 AA，当AAC 为等边三角形时，BD 的长为 A B E A B C D 7、如图，在四边形 ABCD 中，AC45，ADBABC105 (1)若 AD2，求 AB； (2)若 ABCD232，求 AB A B C D 8、如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树 的顶部恰好
8、接触到坡面已知山坡的坡角AEF23，量得树干倾斜角BAC38，大树被折断 部分和坡面所成的角ADC60，AD4m (1)求CAE 的度数； (2)求这棵大树折断前的高度(结果精确到个位，参考数据：21.41，31.73，62.4) 9、2014 年 3 月 8 日凌晨，马来西亚航空公司吉隆坡飞北京的 MH370 航班在起飞一个多小时后在雷达上 消失，至今没有被发现踪迹飞机上有 239 名乘客，其中 154 名是中国同胞，中国政府启动了全面应 急和搜救机制，派出多艘中国舰船在相关海域进行搜救如图，某日在南印度洋海域有两艘自西向东 航行的搜救船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离
9、，某一时刻两船同时测得在A 的东北方向，B 的北偏东 15方向有一疑似物 C，求此时疑似物 C 与搜救船 A、B 的距离各是多少？ (结果保留根号) 10、如图，一艘船以每小时 24 海里的速度向北偏西 75方向航行，在点 A 处测得灯塔 P 在船的西北方 向航行40分钟后到达点B处，这时灯塔P恰好在船的正北方向已知距离灯塔9海里以外的海区为 安全航行区域问：这艘船能否按原方向继续向前航行？为什么？ 11、学习了勾股定理的逆定理，我们知道：在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那 么这个三角形为直角三角形类似地，我们定义：对于任意的三角形，设其三个角的度数分别为 x、y和 z，若满
10、足 x 2y2z2，则称这个三角形为勾股三角形 (1)根据“勾股三角形”的定义，请你直接判断命题：“直角三角形是勾股三角形”是真命题还是假 命题？ (2)如图，ABC 内接于0，AB6，AC13，BC2，O 的直径 BE 交 AC 于点 D， 求证：ABC 是勾股三角形；求 DE 的长 A C D E O B 参考答案 1.解：ECA30，FCB60，又CDAB，CDEF，ACD60，BCD30， 在 RtADC 中，tan ACD AD CD 4Dtan 60DC390903， 在 RtBCD 中，tan BCD BD CD ， BDtan30DC 3 3 90303， ABADBD9033
11、031203 答：建筑物 A、B 间距离为 1203米 2.解：设楼高 AB 为 x 在 RtADB 中有：DB tan30 x 3x，在 RtACB 中有：BC tan45 x x 而 CDBDBC(31)x60，解得 x82 3.解：设 A、A到谷底的水平距离为 ACm，ACn，mn15，根据题意知，OBCDOB OA1，OB3，0A0.5，OB3 h m OB OA 3， h n O B O A 6， ( 1 3 1 6 )h15，解得 h30(m) 4.解：如图，过点 C 作 CDl 于点 D，设 CDxkm， 在ACD 中，ADC90，CAD30，AD3CD3xkm， 在BCD 中，
12、BDC90，CBD45，BDCDxkm， ADBDAB，3xx2，X312.7(k m) 答：景点 C 到观光大道的距离约为 2.7km l AB C D 60 45 5.解：可知点 P 为(4，3),作 PHy 轴交直线 yx 于点 H，则 H(4，4)，PH7, 最短距离 PQ 2 PH 7 2 7 2 2 x y H P O B A Q 6.解：过 D 作 DHBC 于 H， (1)可知BCD45 ，设 CHDHt，则 BH 4 3 t，BCt 4 3 t4， 解得 t 12 7 ，BD 5 3 t 20 7 . (2)可知BCDACA60 ，设 CHDHt，则 BH3t，BCt3t4，
13、 解得 t2(31)，BD 5 3 2(31)10 3 10 3 . H A B E A B C D 7.解：(1)过 D 点作 DEAB，过点 B 作 BFCD， AC45，ADBABC105， ADC360ACABC3604545105165， BDFADCADB16510560，ADE 与BCF 为等腰直角三角形， AD2，AEDE 2 2 2， ABC105，ABD105(1804560)30， BE tan30 DE 2 3 3 6，AB26； (2)设 DEx，则 AEx，BE tan30 x 3 3 x 3x，BD2x， BDF60，DBF30，DF 1 2 BDx，BF3x，C
14、F3x， ABAEBEx3x，CDDFCFx3x，ABCD232， AB31 A EB C F D 8.解：(1)延长 BA 交 EF 于点 G在 RtAGE 中，E23，GAE67，又BAC38， CAE180673875 (2)过点 A 作 AECD，垂足为 H 在ADH 中，ADC60，AD8，cosADC DH AD ， DH4，sinADC AH AD ，AH43 在 RtACH 中，C180756045，CHAH43，AC46 ABACCD4643420 (米) 答：这棵大树折断前高约 20 米 9.解：过点 B 作 BDAC 于 D 由题意可知，BAC45，ABC9015105，
15、 ACB180BACABC30 在 RtABD 中，ADBDABsinBAD20 2 2 102 (海里)， 在 RtBCD 中，BC sin BD BCD 10 2 1 2 202 (海里)， DC tan BD BCD 10 2 3 3 106 (海里)， ADCD10210610(26)(海里) 答：疑似物 C 与搜救船 A 的距离是 10(26)海里，与搜救船 B 的距离是 20海里 10.解：这艘船能按原方向继续向前航行理由如下： 如图，过点 B 作 BHAP 于 H，过点 P 作 PMAB，交 AB 延长线于 M 由题意，知 AB24 40 60 16(海里)，BAP754530
16、PBAC，BPHCAP45 在 RtABH 中，BH 1 2 AB8，AH3BH83 在 RtPBH 中，PHBH8，PAPHAH883， PMPAsinPAM 1 2 PA4439，能按原方向继续向前航行 11.解：(1)对于任意的三角形，设其三个角的度数分别为 x、y和 z，若满足 x 2y2z2，则称这 个三角形为勾股三角形， 无法得到，所有直角三角形是勾股三角形，故是假命题； (2)由题意可得： 222 180 2160 xyz xy xyz ，解得：xy102； (3)证明：过 B 作 BHAC 于 H，设 AHx，RtABH 中，BH 2 6x， RtCBH 中，( 2 6x) 2(1 3x) 24，解得：x 3， 所以，AHBH3，HC1，AABH45， tanHBC CH BH 1 3 3 3 ，HBC30，BCH60，B75， 45 2602752，ABC 是勾股三角形； 连接 CE，A45，BECBAC45， 又BE 是直径，BCE90，BCCE2， 过 D 作 DKAB 于 K，设 KDh，EBC45，ABC75，ABE30， BK3h，AKh，h3h6，解得：h 3 26 2 ， BD2KD2h326，BEBD22(326)62 A C D E HO B K
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