1、2020 年高考（理科）数学（年高考（理科）数学（5 月份）模拟试卷月份）模拟试卷 一、选择题（共 12 小题） 1设集合 Ax|lnx0，Bx|x1，则 ARB（ ） Ax|1x1 Bx|0x1 Cx|1x1 Dx|x1 2设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a33，a713，则 S9（ ） A36 B70 C72 D144 3干支是天干（甲、乙、癸）和地支（子、丑、亥）的合称，“干支纪年法”是 我国传统的纪年法如图是查找公历某年所对应干支的程序框图例如公元 1988 年，即 输入 N1988，执行该程序框图，运行相应的程序，输出 x5，从干支表中查出对应的 干支为戊辰 我国古代杰出数
2、学家祖冲之出生于公元429年， 则该年所对应的干支为 （ ） 六十干支表（部分） 5 6 7 戊辰 己巳 庚午 58 59 60 辛酉 戌壬 癸亥 A己巳 B庚午 C壬戌 D癸亥 4 的展开式中，x3的系数是（ ） A50 B30 C50 D30 5某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A3 B9 C12 D36 6已知 ， ，且 ，则 cos（ ） A0 B C D0 或 7在复平面内 O 为坐标原点，复数 ， 对应的点分别为 Z1，Z2，则 Z1OZ2的大小为（ ） A B C D 8函数 f（x）axlnx0（a R）恒成立的一个充分不必要条件是（ ） A ， Ba 0，+
3、） Ca 1，+） Da （，e 9已知 O 为坐标原点，AB 是C：（x3）2+（y4）21 的直径若点 Q 满足| |2， 则 的最小值为（ ） A2 B3 C8 D15 10方程：2（x1）（x3）y（ex2+e2x）的曲线有下列说法： 该曲线关于 x2 对称； 该曲线关于点（2，1）对称； 该曲线不经过第三象限； 该曲线上有无数个点的横、纵坐标都是整数 其中正确的是（ ） A B C D 11如图，四边形 ABCD 为正方形，四边形 EFBD 为矩形，且平面 ABCD 与平面 EFBD 互 相垂直若多面体 ABCDEF 的体积为 ，则该多面体外接球表面积的最小值为（ ） A16 B12
4、 C8 D6 12双曲线 ： ， 的左、右焦点分别为 F1，F2，O 为坐标原点P 为 曲线 C 右支上的点，点 M 在F1PF2外角平分线上，且 0若OF2M 恰为顶 角为 120的等腰三角形，则该双曲线的离心率为（ ） A B C2 D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13若抛物线经过点 ， ，（2，2），则该抛物线的标准方程为 14记 Sn为正项数列an的前 n 项和，an+12an an+2若 a11，S37，则 a5 15宁德市中学生篮球比赛中，如图为某球队 8 场比赛得分的茎叶图，其中有两个数字不慎 被墨迹污染（分别用 m，n 标注）目前得知这组数据的平均值为 58
5、，则方差 S2最大时 mn 的值为 16已知函数 f（x） ， ， ，若关于 x 的不等式 f2（x）2af（x）+2+a0 的 解集非空，且为有限集，则实数 a 的取值集合为 三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程和演算步骤 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17 如图， 在平面四边形 ABCD 中， ABBC， AB3 ， CD3， cosBDC ， C （1）求 sinDBC； （2）求 AD 的长 18如图，在棱柱 ABCDABCD中，底面 ABCD 为平行四边形，DDCD4，
6、AD2， ，且 D在底面上的投影 H 恰为 CD 的中点 （1） 过 DH 作与 BC 垂直的平面 ， 交棱 BC 于点 N， 试确定点 N 的位置， 并说明理由； （2）若点 P 满足 ，试求 的值，使二面角 PBHA 为 19已知椭圆 ： 的离心率为 ，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点， 点 P 为椭圆 C 上的一动点，PF1F2面积的最大值为 2 （1）求椭圆 C 的方程； （2）直线 PF2与椭圆 C 的另一个交点为 Q，点 ， ，证明：直线 PA 与直线 QA 关于 x 轴对称 20已知函数 （a R） （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）求证： 21某市旅游局为尽快恢复受疫情
7、影响的旅游业，准备在本市的景区推出旅游一卡通（年 卡）为了更科学的制定一卡通的有关条例，市旅游局随机调查了 2019 年到本市景区旅 游的 1000 个游客的年旅游消费支出（单位：百元），并制成如图频率分布直方图： 由频率分布直方图，可近似地认为到本市景区旅游的游客，其旅游消费支出服从正态分 布 N （， 3.22） ， 其中 近似为样本平均数 （同一组数据用该组区间的中点值作代表） （1）若 2019 年到本市景区旅游游客为 500 万人，试估计 2019 年有多少游客在本市的年 旅游消费支出不低于 1820 元； （2）现依次抽取 n 个游客，假设每个游客的旅游消费支出相互独立，记事件 A
8、 表示“连 续 3 人的旅游消费支出超出 ” 若 Pn表示 的概率， PnaPn1 Pn 2+bPn3（n3， a， b 为常数），且 P0P1P21 （ i）求 P3，P4及 a，b； （ ii） 判断并证明数列Pn从第三项起的单调性， 试用概率统计知识解释其实际意义 （参 考数据：P（X+）0.6826，P（2X+2）0.9544，P（3 X+3）0.9973） 选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记 分选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 ： ， 为参数 以坐标原点 O 为极点，x 轴 的正半轴为极轴建立极
9、坐标系，点 A 的极坐标为 ， ，直线 l 的极坐标方程为 cos+2sin80 （1）求点 A 的直角坐标和直线 l 的直角坐标方程； （2）把曲线 C1上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标伸长为原来的 倍，得到曲 线 C2，B 为 C2上动点，求 AB 中点 P 到直线 l 距离的最小值 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|xm|+|x+1|，m N*，若存在实数 x 使得 f（x）3 成立 （1）求 m 的值； （2）若 ，0，（41）（1）m，求 + 的最小值 参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目
10、要求的 1设集合 Ax|lnx0，Bx|x1，则 ARB（ ） Ax|1x1 Bx|0x1 Cx|1x1 Dx|x1 【分析】求出集合 A，B 的等价条件，结合补集和交集的定义进行求解即可 解：由 lnx0 得 lnxln1，得 0x1，即 Ax|0x1， UBx|x1， 则 A（UB）x|0x1， 故选：B 【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键，属于 基础题 2设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a33，a713，则 S9（ ） A36 B70 C72 D144 【分析】等差数列an的前 9 项和 S9 （a1+a9 ） （a3+a7），由此能求出结果
11、 解：等差数列an的前 n 项和为 Sn，a33，a713， S9 （a1+a9 ） （a3+a7 ） （3+13）72 故选：C 【点评】本题考查等差数列的前 9 项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查 运算求解能力，是基础题 3干支是天干（甲、乙、癸）和地支（子、丑、亥）的合称，“干支纪年法”是 我国传统的纪年法如图是查找公历某年所对应干支的程序框图例如公元 1988 年，即 输入 N1988，执行该程序框图，运行相应的程序，输出 x5，从干支表中查出对应的 干支为戊辰 我国古代杰出数学家祖冲之出生于公元429年， 则该年所对应的干支为 （ ） 六十干支表（部分） 5 6 7 戊辰
12、 己巳 庚午 58 59 60 辛酉 戌壬 癸亥 A己巳 B庚午 C壬戌 D癸亥 【分析】根据程序框图一步一步进行运算，直到跳出循环 解：N429，i1； x429360366，i2； x4293120306，i3； x4293180246，x4； x4293240186，x5； x4293300126，x6； x429336066，x7； x42934206，x8； 对应表格可知为己巳， 故选：A 【点评】本题考查程序框图，注意一步一步运算，属于基础题 4 的展开式中，x3的系数是（ ） A50 B30 C50 D30 【分析】将第一个括号打开，分别与后面的二项式相乘，将问题转化为求后一个括
13、号二 项式展开式的 4 次项、3 次项的问题求解 解：原式 故展开式含 x3的项为： 30x3 故所求系数为 30 故选：D 【点评】本题考查二项式的通项及其应用要注意转化思想在解题中的应用，强调计算 的准确性属于基础题 5某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A3 B9 C12 D36 【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为一个圆锥的四分之一，其中圆锥的底 面半径为 3，高为 4，再由圆锥体积公式求解 解：由三视图还原原几何体如图， 该几何体为一个圆锥的四分之一，其中圆锥的底面半径为 3，高为 4 该几何体的体积为 故选：A 【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由
14、三视图还原原几何体，是中档题 6已知 ， ，且 ，则 cos（ ） A0 B C D0 或 【分析】由题意利用二倍角的余弦公式，求得 cos 的值 解：已知 ， ，且 ，2 sincos2cos2， 即 cos0，或 tan （不合题意）， 故选：A 【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题 7在复平面内 O 为坐标原点，复数 ， 对应的点分别为 Z1，Z2，则 Z1OZ2的大小为（ ） A B C D 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简， 分别求出 Z1， Z2的坐标， 再由 得 答案 解： 1 ， ， ， ， ， 则 ， ， 0 Z1OZ2的大小为 故选：B 【点评】本
15、题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是 基础题 8函数 f（x）axlnx0（a R）恒成立的一个充分不必要条件是（ ） A ， Ba 0，+） Ca 1，+） Da （，e 【分析】依题意， 在（0，+）上恒成立，设 ，利用导数可知 ， 再根据选项及充分不必要的条件即可得出正确选项 解：函数的定义域为（0，+），依题意， 在（0，+）上恒成立， 设 ，则 ， 易知函数 g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+）上单调递减， ， ， 故使得函数 f（x）axlnx0（a R）恒成立的一个充分不必要条件是 a1 故选：C 【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，考查
16、充分不必要条件的判断，考查分离变 量思想及转化思想，属于基础题 9已知 O 为坐标原点，AB 是C：（x3）2+（y4）21 的直径若点 Q 满足| |2， 则 的最小值为（ ） A2 B3 C8 D15 【分析】先根据向量的三角形法则把所求问题转化，结合图象即可求解结论 解：因为 O 为坐标原点，AB 是C：（x3）2+（y4）21 的直径若点 Q 满足| | 2， 如图：Q 在以（0，0）为圆心，半径为 2 的圆上运动； 故 （ ） （ ） （ ） 1 2； 当 2 最小时， 取最小值； 而| |minOC2 23； 的最小值为：3218 故选：C 【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查
17、向量的表示以及计算，考查计算能力 10方程：2（x1）（x3）y（ex2+e2x）的曲线有下列说法： 该曲线关于 x2 对称； 该曲线关于点（2，1）对称； 该曲线不经过第三象限； 该曲线上有无数个点的横、纵坐标都是整数 其中正确的是（ ） A B C D 【分析】将方程整理可得 y ，令 yf（x），可得 f（4x）f（x）所以 可得曲线关于 x2 对称，不关于（2，1）点对称，且 x0 时 f（x）0，故不过第三 象限，只有 3 个整数点，可得答案 解：将方程 2（x1）（x3）y（ex2+e2x）整理可得 y ，令 yf（x） 将 x 换成 4x 时，即 f（4x） ， 所以 f（x）f
18、（4x），所以曲线关于 x2 对称，所以正确，不正确； 当 x0 时，f（x）0，所以该曲线不经过第三象限，故正确， 曲线过的整数点（1，0），（3，0）（2，1）三个整数点，故不正确， 故选：D 【点评】本题考查曲线与方程的关系，及函数的对称性，属于中档题 11如图，四边形 ABCD 为正方形，四边形 EFBD 为矩形，且平面 ABCD 与平面 EFBD 互 相垂直若多面体 ABCDEF 的体积为 ，则该多面体外接球表面积的最小值为（ ） A16 B12 C8 D6 【分析】由题意可得 AC面 EFBD，可得 VABCDEFVCEFBD+VAEFBD2VAEFBD，再由多 面体 ABCDEF
19、 的体积为 ，可得矩形 EFBD 的高与正方形 ABCD 的边长之间的关系，再 由题意可得矩形 EFBD 的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由 均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值 解：设正方形 ABCD 的边长为 a，矩形 BDEF 的高为 b， 因为正方形 ABCD，所以 ACBD，设 ACBDO， 由因为平面 ABCD 与平面 EFBD 互相垂直，AC面 ABCD，平面 ABCD平面 EFBD BD， 所以 AC面 EFBD， 所以 VABCDEFVCEFBD+VAEFBD2VAEFBD 2 SEFBDCO b a a 2b， 由题意可得
20、 VABCDEF ， 所以 a2b8；所以 a2 ， 矩形 EFBD 的对角线的交点 O，连接 OO，可得 OOBD，而 OO面 EFBD， 而平面 ABCD平面 EFBD，平面 ABCD平面 EFBDBD， 所以 OO面 EFBD， 可得 OAOBOEOF 都为外接球的半径 R， 所以 R2（ ） 2+（ a）2 3， 所以外接球的表面积为 S4R24 312， 所以外接球的表面积最小值为 12 故选：B 【点评】本题考查几何体的棱长与外接球的半径之间的关系，和均值不等式的应用，及 球的表面积公式，属于中档题 12双曲线 ： ， 的左、右焦点分别为 F1，F2，O 为坐标原点P 为 曲线 C
21、 右支上的点，点 M 在F1PF2外角平分线上，且 0若OF2M 恰为顶 角为 120的等腰三角形，则该双曲线的离心率为（ ） A B C2 D 【分析】延长 F1P 与 F2M 的延长线交于 N，设|PF1|m，|PF2|n，运用双曲线的定义和 等腰三角形的三线合一，以及中位线定理，求得 m，n，再在三角形 F1F2P 中，PF1F2 30，运用余弦定理，化简整理，结合离心率公式可得所求值 解：如图，延长 F1P 与 F2M 的延长线交于 N， 设|PF1|m，|PF2|n，由双曲线的定义可得 mn2a， 点 M 在F1PF2外角平分线上，且 0，可得|PF2|PN|，M 为 F2N 的中点
22、， 则|OM| |NF1 | （m+n）， 若OF2M 恰为顶角为 120的等腰三角形，可得|MF2|c，|OM|2csin60 c， 即有 m+n2 c，解得 ma c，n ca， 在三角形 F1F2P 中，PF1F230， 可得 cos30 ， 可化为 c a，则 e ， 故选：D 【点评】本题考查双曲线的定义和性质，考查等腰三角形的性质和中位线定理、三角形 的余弦定理，考查数形结合思想和化简运算求解能力，属于中档题 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13若抛物线经过点 ， ，（2，2），则该抛物线的标准方程为 x 22y 【分析】由抛物线过的定点可得抛物线的开口向上，设抛物
23、线的方程，由点的坐标可得 参数的值，进而求出抛物线的方程 解：由抛物线过的点的坐标可得抛物线的开口向上，设抛物线的方程为：x2my， 将（2，2）点代入可得 222m，可得 m2，及抛物线的方程为：x22y， 显然（1， ）也在该抛物线上， 故答案为：x22y 【点评】本题考查抛物线的性质，属于基础题 14记 Sn为正项数列an的前 n 项和，an+12an an+2若 a11，S37，则 a5 16 【分析】先根据已知条件求出 a2，再根据递推关系式一步步求出结论法利用等比 数列的定义求解 解：因为 Sn为正项数列an的前 n 项和， a n+1 2a n an+2且 a11，S37， a2
24、2a1a3且 1+a2+a37； a22a36a2a22；（负值舍）； a34； 法a4 8； a5 16； 法an+12an an+2且 a11； 故数列an为等比数列， a221qq2； a5a1 q416； 故答案为：16 【点评】本题主要考查递推关系式的应用以及等比数列的定义，属于基础题目 15宁德市中学生篮球比赛中，如图为某球队 8 场比赛得分的茎叶图，其中有两个数字不慎 被墨迹污染（分别用 m，n 标注）目前得知这组数据的平均值为 58，则方差 S2最大时 mn 的值为 8 【分析】先根据平均数求得 m+n8；再把方差最大转化为 A（50+m58）2+（60+n 58）2+（8m）
25、2+（n+2）2取最大值，结合二次函数的性质即可求解结论 解：由题可得：58 550+3+3+5+6+m+360+n+4+5m+n8； S2 （5358） 22+（5558）2+（5658）2+（50+m58）2+（60+n58）2+（64 58）2+（6558）2； s2取最大值，即：A（50+m58）2+（60+n58）2+（8m）2+（n+2）2取最大值； m+n8； An2+（n+2）22n2+4n+42（n+1）2+2； n 为小于等于 9 的自然数； 故 n9 时，A 最大，此时 m1 不成立； 故 n8 时，A 最大此时 m0； 故 mn8； 故答案为：8 【点评】本题主要考查茎
26、叶图的应用以及二次函数的有关性质，属于中档题目 16已知函数 f（x） ， ， ，若关于 x 的不等式 f2（x）2af（x）+2+a0 的 解集非空，且为有限集，则实数 a 的取值集合为 1，3 【分析】根据函数 f（x）的图象性质可知，1f（x）1，令 f（x）t 是方程 f2（x） 2af（x）+2+a0 的解集，且为有限集，可知 t11 或 t21，从而可得实数 a 的取值 集合 解：函数 f（x） ， ， ， 当 x0 时，则 f（x）ex+1（x+1），当 x1 时发，f（x）0，当 0x1 时， f（x）0， 可得 f（x）minf（1）1， 当 x0 时，f（x） 1，即 f（
27、x）max1， 可得，1f（x）1， 令 f（x）t 是方程 f2（x）2af（x）+2+a0 的解集，且为有限集， 可知 t11 或 t21， 当 t11 时，则 12a+2+a0，解得 a3， 当 t21 时，则 1+2a+2+a0，解得 a1 则实数 a 的取值集合为1，3 故答案为：1，3 【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，导函数研究其最值，是函数图象和性质 的综合应用，难度中档 三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程和演算步骤 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17
28、如图， 在平面四边形 ABCD 中， ABBC， AB3 ， CD3， cosBDC ， C （1）求 sinDBC； （2）求 AD 的长 【分析】（1）在BDC 中，根据 cosBDC ，C ，结合内角和定理、诱导公 式可求得 sinDBC； （2）结合（1）的结果和 ABBC，可求出 cosABD在三角形 BCD 中求出 BD，再有 AB ，在ABD 中利用余弦定理可得 AD 的长 解：（1）因为 ，sin 2BDC+cos2BDC1， 所以 ， 在BDC 中， ， ， 所以 sinDBCsin（BDC+C） sinBDC cosC+cosBDC sinC （2）在BDC 中，由正弦定理
29、得 ， 即 ，解得 BD7 因为 ， ， 所以 cosABD ， 在ABD 中， ，根据余弦定理，AD2AB2+BD22AB BDcosABD 解得 AD7 【点评】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换等基础知识，考查运算求 解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等 18如图，在棱柱 ABCDABCD中，底面 ABCD 为平行四边形，DDCD4，AD2， ，且 D在底面上的投影 H 恰为 CD 的中点 （1） 过 DH 作与 BC 垂直的平面 ， 交棱 BC 于点 N， 试确定点 N 的位置， 并说明理由； （2）若点 P 满足 ，试求 的值，使二面角 PBHA 为 【分析】（1
30、）先证 NHBC，DHBC，进而得到 BC平面 DHN，由此 BC 的中点点 N 即为所求，平面 DHN 即为 ； （2）解法一：以 ， 为 x，y 轴的正方向，以过 D 点垂直于平面 ABCD 的方向为 z 轴，建立空间直角坐标系 Dxyz，求出两平面的法向量，利用已知条件建立关于 的方 程，解出即可； 解法二：以 ， ， 为 x，y，z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Hxyz，求出两平 面的法向量，利用已知条件建立关于 的方程，解出即可 解：（解法一）（1）当点 N 为棱 BC 的中点时，符合题目要求， 下面给出证明，分别连结 NH，ND， 在HNC 中， ， 所以 HC2NC2+HN2，
31、因此 ，即 NHBC， 因为 D在底面上的投影 H 恰为 CD 的中点， 所以 DH平面 ABCD， 又 BC平面 ABCD，所以 DHBC， 又 NHBC，DHNHH，DH，NH平面 DHN， 所以 BC平面 DHN， 因此，点 N 即为所求，平面 DHN 即为 ； （2）证明：由题（1）知可得 HNBC，HNDB，ADBC， 所以 ADBD， 分别以 ， 为 x，y 轴的正方向，以过 D 点垂直于平面 ABCD 的方向为 z 轴，建立空 间直角坐标系 Dxyz， ，D（0，0，0）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 所以 ， ， ， ， ， 易得平面 AHB 的
32、一个法向量为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设 ， ， 为平面 PBH 的一个法向量， 则： ， 令 ，得 ， ， ， 因为二面角 PBHA 为 ，所以 ， ， 所以 ，又因为二面角 PBHA 的大小为钝角，故 1 解法二： （1）当点 N 为棱 BC 的中点时，符合题目要求， 下面给出证明 分别连结 NH，ND，BH 因为 D在底面上的投影 H 恰为 CD 的中点，所以 DH平面 ABCD， 又 BC平面 ABCD，所以 DHBC， 在HBC 中， ， ，故HBC 为等边三角形， 又点 N 为棱 BC 的中点，所以 NHBC， 又 DHBC，DHNHH，DH，NH平面 DH
33、N， 所以 BC平面 DHN， 因此，点 N 即为所求，平面 DHN 即为 ； （2）证明：连结 HA， 在平行四边形 ABCD 中， 因为 ， ， ， 所以 ， ，故 ，即 HAHB， 分别以 ， ， 为 x，y，z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Hxyz， ， H（0，0，0）， ， ， ，B（0，2，0）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 易得平面 AHB 的一个法向量为 ， ， ， 设 ， ， 为 平 面 PBH的 一 个 法 向 量 ， 则 ： ， 即 ， 令 x1，得 ， ， ， 因为二面角 PBHA 为 ， 所以 ， ， 所以 ，又因为二面角 PBHA 的大小为钝角，
34、故 1 【点评】本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角 等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想 等，属于中档题 19已知椭圆 ： 的离心率为 ，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点， 点 P 为椭圆 C 上的一动点，PF1F2面积的最大值为 2 （1）求椭圆 C 的方程； （2）直线 PF2与椭圆 C 的另一个交点为 Q，点 ， ，证明：直线 PA 与直线 QA 关于 x 轴对称 【分析】（1）根据 ，结合 a2b2+c2，所以 bc，再根据面积最大值为 ，即可求出 a，b； （2）根据条件可得当直线 l 的斜率不为 0 时，设直
35、线 l 的方程为 ，设 P（x1， y1），Q（x2，y2），则 ，则 kPA+kQA0，得证 解：（1）因为椭圆 ： 的离心率为 ， 所以 ，即 2c2a2，又 a2b2+c2，所以 bc， 因为MF1F2面积的最大值为 2，所以 ，即 c b2， 又因为 bc，所以 ，a24， 故椭圆 C 的方程为 （2）由（1）得 ， ， 当直线 l 的斜率为 0 时，符合题意， 当直线 l 的斜率不为 0 时， 设直线 l 的方程为 ，代入 消去 x 整理得： ， 易得 ， 设 P（x1，y1），Q（x2，y2），则 ， 记直线 PA，QA 的斜率分别为 kPA，kQA， 则 kPA+kQA 0 所以
36、 kPAkQA，因此直线 PA 与直线 QA 关于 x 轴对称 【点评】本题主要考查直线椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能 力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决 问题的能力，属于难题 20已知函数 （a R） （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）求证： 【分析】（1）求导，分 a0，a0，a1，a1 及1a0 五种情形得出单调性 情况； （2）设 h（x）6x（1lnx）+2x33x25，求导可知当 0x1 时，h（x）0，x1 时，h（x）0，由此容易得证 解 ：（1 ）定义 域为（ 0 ，+ ）， ， 当 a0 时，ax+10
37、， 所以函数 f（x）的单调递增区间为（0，1），递减区间为（1，+）； 当 a0 时，令 f（x）0，得 x1 或 ， 当 a1 时， 恒成立， 所以函数 f（x）的单调递增区间为（0，+），无减区间； 当 a1 时， ， 所以函数 f（x）的单调递增区间为 ， 和（1，+），单调递减区间为 ， ； 当1a0 时， ， 所以函数 f（x）的单调递增区间为（0，1）和 ， ，单调递减区间为 ， ； 综上所述，当 a0 时，函数 f（x）的单调递增区间为（0，1），递减区间为（1，+）； 当 a1 时，函数 f（x）的单调递增区间为（0，+），无减区间； 当 a1 时， 函数 f （x） 的单调
38、递增区间为 ， 和 （1， +） ， 单调递减区间为 ， ； 当1a0 时，函数 f（x）的单调递增区间为（0，1）和 ， ，单调递减区间 为 ， ； （2）证明：设 h（x）6x（1lnx）+2x33x25，h（x）666lnx+6x26x 6（lnxx2+x）， 由（1）可知，当 a2 时，f（x）lnxx2+x， 且 f（x）的单调递增区间为（0，1），递减区间为（1，+）， 所以 h（x）的单调递增区间为（1，+），递减区间为（0，1）， 故 h（x）h（1）0，所以 h（x）在（0，+）上单调递增， 又 h（1）6（1ln1）+2350， 所以当 0x1 时，h（x）0，x1 时，h
39、（x）0； 又当 0x1 时，1x20，x1 时，1x20， 所以 【点评】本题主要考查导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求 解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等，属 于中档题 21某市旅游局为尽快恢复受疫情影响的旅游业，准备在本市的景区推出旅游一卡通（年 卡）为了更科学的制定一卡通的有关条例，市旅游局随机调查了 2019 年到本市景区旅 游的 1000 个游客的年旅游消费支出（单位：百元），并制成如图频率分布直方图： 由频率分布直方图，可近似地认为到本市景区旅游的游客，其旅游消费支出服从正态分 布 N （， 3.22） ， 其中 近似为
40、样本平均数 （同一组数据用该组区间的中点值作代表） （1）若 2019 年到本市景区旅游游客为 500 万人，试估计 2019 年有多少游客在本市的年 旅游消费支出不低于 1820 元； （2）现依次抽取 n 个游客，假设每个游客的旅游消费支出相互独立，记事件 A 表示“连 续 3 人的旅游消费支出超出 ” 若 Pn表示 的概率， PnaPn1 Pn 2+bPn3（n3， a， b 为常数），且 P0P1P21 （ i）求 P3，P4及 a，b； （ ii） 判断并证明数列Pn从第三项起的单调性， 试用概率统计知识解释其实际意义 （参 考数据：P（X+）0.6826，P（2X+2）0.9544
41、，P（3 X+3）0.9973） 【分析】（1）由直方图可得 ，即可得到 ，结合已知的3.2，可知旅游费用支出不 低于 1820 元的概率为 P（x+2），求得概率后乘以 500 得答案 （2）（i）先由题意求得 P3与 P4的值，再列关于 a，b 的方程组求解 a，b 的值； （ii）由 Pn Pn 1 Pn 2 Pn 3（n3），利用作差法可得从第三项起数列Pn单调递 减其实际意义为随着抽查人数 n 的增加，事件“不连续 3 人的旅游费用支出超出 ” 的可能性会越来越小（即最终会出现连续 3 人的旅游费用支出超出 这一事件） 解：（1）直方图可得 ， ，3.2，+21820 元， 旅游费用
42、支出不低于 1820 元的概率为 ， 5000.02211.4， 估计 2019 年有 11.4 万的游客在本市的年旅游费用支出不低于 1820 元 （2）（i）P3 1 ，P41 ， 由 ，即 ， 解得 ； （ii）数列Pn从第三项起单调递减 Pn Pn 1 Pn 2 Pn 3（n3）， 故Pn+1 Pn ， 又 Pn 0， ， 即从第三项起数列Pn单调递减 由此，可知随着抽查人数 n 的增加，事件“不连续 3 人的旅游费用支出超出 ”的可能 性会越来越小 （即最终会出现连续 3 人的旅游费用支出超出 这一事件） 【点评】本小题主要考查频率分布直方图、平均数、正态分布、随机事件的概率、数列
43、及其性质等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合 思想、统计思想、化归与转化思想 一、选择题 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 ： ， 为参数 以坐标原点 O 为极点，x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，点 A 的极坐标为 ， ，直线 l 的极坐标方程为 cos+2sin80 （1）求点 A 的直角坐标和直线 l 的直角坐标方程； （2）把曲线 C1上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标伸长为原来的 倍，得到曲 线 C2，B 为 C2上动点，求 AB 中点 P 到直线 l 距离的最小值 【分析】（1）利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换 （2） 利用伸缩变换的应用和点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和 正弦型函数性质的应用求出结果 【解答】解法一：（1）点 A 的极坐标为 ， ，直线 l 的极坐标方程为 cos+2sin
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