1、2020 年高考数学一模试卷（文科）年高考数学一模试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题） 1已知集合 M0，x2，N1，2，若 MN2，则 MN（ ） A0，x2，1，2 B2，0，1，2 C0，1，2 D 0， 1， ， ， 2 2已知复数 z 满足（1i）z2，i 为虚数单位，则 z 为（ ） A1+i B1i C1+i D1i 3设 ， 是向量，则“ ”是“| | |”的（ ） A充分不必要条件 B充要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 4若空间中三条两两不同的直线 l1，l2，l3，满足 l1l2，l2l3，则下列结论一定正确的是 （ ） Al1l3 Bl1与 l3既不
2、垂直又不平行 Cl1l3 Dl1与 l3的位置关系不确定 5已知 sincos ，则 sin2（ ） A B C D 6已知正三棱锥 P 一 ABC，点 P、A、B、C 都在直径为 的球面上，若 PA、PB、PC 两 两互相垂直，则该正三棱锥的底面 ABC 的面积为（ ） A B C D 7点 M（5，3）到抛物线 yax2的准线的距离为 6，那么抛物线的方程是（ ） Ay12x2 By36x2 Cy12x2或 y36x2 Dy x 2 或 y x 2 8函数 （其中 e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ） A B C D 9函数 f（x）Asin（x+）（A0，0，| ）的部分图象如图所示
3、，为了得到 y sin2x 的图象，只需将 f（x）的图象（ ） A向右平移 个单位 B向右平移 个单位 C向左平移 个单位 D向左平移 个单位 10如图所示，为了测量 A，B 处岛屿的距离，小明在 D 处观测，A，B 分别在 D 处的北偏 西 15、北偏东 45方向，再往正东方向行驶 40 海里至 C 处，观测 B 在 C 处的正北方 向，A 在 C 处的北偏西 60方向，则 A，B 两处岛屿间的距离为（ ） A 海里 B 海里 C 海里 D40 海里 11如图，AB 和 CD 是圆 O 两条互相垂直的直径，分别以 OA，OB，OC，OD 为直径作四 个圆，在圆 O 内随机取一点，则此点取自
4、阴影部分的概率是（ ） A1 B C D 12 已知双曲线 ， 的两顶点分别为 A1， A2， F 为双曲线的一个焦点， B 为虚轴的一个端点，若在线段 BF 上（不含端点）存在两点 P1，P2，使得A1P1A2 A1P2A2 ，则双曲线的渐近线斜率 k 的平方的取值范围是（ ） A ， B ， C ， D ， 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13若 x，y 满足约束条件 ，则 zx+y 的最小值为 14我国古代数学名著数术九章）有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1530 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 252 粒内夹谷 28 粒估计这批米内所夹的谷有 石 15考古
5、学家经常利用碳 14 的含量来推断古生物死亡的大致时间当有机体生存时，会持 续不断地吸收碳 14，从而其体内的碳 14 含量会保持在一定的水平；但当有机体死亡后， 就会停止吸收碳 14，其体内的碳 14 含量就会逐渐减少，而且每经过大约 5730 年后会变 为原来的一半假设有机体生存时碳 14 的含量为 1，如果用 y 表示该有机体死亡 x 年后 体内碳 14 的含量，则 y 与 x 的关系式可以表示为 16已知 f（x）x（e+lnx），g（x） x 3 x+m，对于x1，+）时都有 f（x）g（x） 恒成立，则 m 的取值范围为 三、解答题（6 个小题共 70 分） 17数列an的前 n
6、项和 Sn，满足 Sn an a1，且 a13 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bn ，求数列bn的前 n 项和 Tn 18港珠澳大桥是一座具有划时代意义的大桥它连通了珠海、香港、澳门三地，大大缩短 了三地的时空距离，盘活了珠江三角洲的经济，被誉为新的世界七大奇迹截至 2019 年 10 月 23 日 8 点，珠海公路口岸共验放出入境旅客超过 1400 万人次，日均客流量已经达 到 4 万人次，验放出入境车辆超过 70 万辆次，2019 年春节期间，客流再次大幅增长，日 均客流达 8 万人次，单日客流量更是创下 11.3 万人次的最高纪录2019 年从五月一日开 始的连续 100 天客
7、流量频率分布直方图如图 （1）求这 100 天中，客流量超过 4 万的频率； （2） 同一组数据用该区间的中点值代替， 根据频率分布直方图 估计客流量的平均数 求客流量的中位数 19如图，四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA1平面 ABCD，ABDC，ABAD，ADCD 1，AA1AB2，E 为棱 AA1的中点 （1）证明：B1C1平面 CC1E； （2）求三棱锥 的体积 20已知椭圆 C 的标准方程是 1 设 F 是椭圆 C 的左焦点，T 为直线 x3 上任 意一点，过 F 做 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P，Q （1）证明：线段 OT 平分线段 PQ（其中 O 为坐标原点） （2）当
8、 最小时，求点 T 的坐标 21已知函数 f（x）cos x+xsinx+exax （1）若函数 f（x）在点（0，f（0）处的切线与 x 轴平行，求实数 a 的值及函数 f（x） 在区间 ， 上的单调区间； （2）函数 f（x）在区间（0， ）上单调递增，求实数 a 的范围（已知 f（x）连续） 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，（满分 10 分） 选修 4-4：坐标系与参数方程选讲 22 在平面直角坐标系 xOy 中， 曲线 C1的参数方程为 （t 为参数， 0） ， 在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的单位长度，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴
9、 为极轴）中，曲线 C2的极坐标方程为 +2cos0 （1）若 ，试判断曲线 C1和 C2的位置关系； （2）若曲线 C1与 C2交于点 M，N 两点，且 P（3，0），满足|PM|+|PN|5|MN|求 sin 的值 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x2|+|2x+4| （）解不等式：f（x）3x+4； （）若函数 f（x）的最小值为 a，且 m+na（m0，n0），求 的最小值 参考答案 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1已知集合 M0，x2，N1，2，若 MN2，则 MN（ ） A0，x2，1，2 B2，0，1，2 C0，1，2 D 0， 1， ， ， 2
10、【分析】利用交集性质求出 x22，由此能求出 MN 解：集合 M0，x2，N1，2，MN2， x22， MN0，1，2 故选：C 【点评】本题考查并集的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 2已知复数 z 满足（1i）z2，i 为虚数单位，则 z 为（ ） A1+i B1i C1+i D1i 【分析】由条件解得 z ，把 的分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚 数单位 i 的幂运算性质，求出结果 解：复数 z 满足（1i）z2， ， 故选：A 【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的幂运算性质， 两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数
11、 3设 ， 是向量，则“ ”是“| | |”的（ ） A充分不必要条件 B充要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 【分析】“| | |” 0“ ”即可判断出结论 解：“| | |” 0“ ” “ ”是“| | |”的充要条件 故选：B 【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力 与计算能力，属于基础题 4若空间中三条两两不同的直线 l1，l2，l3，满足 l1l2，l2l3，则下列结论一定正确的是 （ ） Al1l3 Bl1与 l3既不垂直又不平行 Cl1l3 Dl1与 l3的位置关系不确定 【分析】空间中三条两两不同的直线 l1，l2，l3，满足
12、 l1l2，l2l3，画出图象，即可判 断出结论 解：空间中三条两两不同的直线 l1，l2，l3，满足 l1l2，l2l3， 可得 l1与 l3平行、相交或为异面直线 则下列结论一定正确的是 D 故选：D 【点评】 本题考查了直线与平面的位置关系， 考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 5已知 sincos ，则 sin2（ ） A B C D 【分析】由条件，两边平方，根据二倍角公式和平方关系即可求出 解：sincos ， （sincos）212sincos1sin2 ， sin2 ， 故选：A 【点评】本题考查了二倍角公式，属于基础题 6已知正三棱锥 P 一 ABC，点 P、A、B、C
13、都在直径为 的球面上，若 PA、PB、PC 两 两互相垂直，则该正三棱锥的底面 ABC 的面积为（ ） A B C D 【分析】由正三棱锥 PABC 的四个顶点均在半径为 的球面上，且 PA，PB，PC 两两 垂直，球直径等于以 PA，PB，PC 为棱的正方体的对角线，由此可求得棱锥的侧棱长， 求出底面边长，然后求解底面面积 解：PA，PB，PC 两两垂直， 又三棱锥 PABC 的四个顶点均在半径为 的球面上， 以 PA，PB，PC 为棱的正方体的对角线即为球的一条直径 （ ） 2PA2+PB2+PC23PA2PAPBPC1，三棱锥的底面边长为 ， 该正三棱锥的底面 ABC 的面积为： 故选：
14、A 【点评】考查的知识点是棱锥的外接球及棱锥的结构特征，其中根据已知条件，得到棱 锥的外接球直径等于以 PA，PB，PC 为棱的正方体的对角线，是解答本题的关键 7点 M（5，3）到抛物线 yax2的准线的距离为 6，那么抛物线的方程是（ ） Ay12x2 By36x2 Cy12x2或 y36x2 Dy x 2 或 y x 2 【分析】根据点 M 到准线的距离为|3 |6，分 a0 和 a0 两种情况分别求得 a，进 而得到抛物线方程 解：当 a0 时，开口向上，准线方程为 y ，则点 M 到准线的距离为 3 6， 求得 a ，抛物线方程为 y x 2， 当a0时， 开口向下， 准线方程为y
15、， 点M到准线的距离为|3 |6解得a ， 抛物线方程为 y x 2 故选：D 【点评】本题主要考查了抛物线的性质属基础题 8函数 （其中 e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ） A B C D 【分析】利用函数的奇偶性，和特值进行验证 解：f（x）为奇函数，排除 A，B又当 x0 时，f（x）0，且 单 调递减，故 C 符合 故选：C 【点评】本题考查函数图象的判断，属于基础题目 9函数 f（x）Asin（x+）（A0，0，| ）的部分图象如图所示，为了得到 y sin2x 的图象，只需将 f（x）的图象（ ） A向右平移 个单位 B向右平移 个单位 C向左平移 个单位 D向左平移 个单位
16、 【分析】由函数的最值求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得函数的 f（x）的解析式再根据函数 yAsin（x+）的图象的变换规律，可得结论 解：由函数 f（x）Asin（x+）， ， ， 的图象可得 A1，T 2 ，2 再由五点法作图可得 2 0， 故函数的 f（x）的解析式为 f（x）sin（2x ）sin2（x ） 故把 f（x）sin2（x ）的图象向右平移 个单位长度，可得 g（x）sin2x 的图象， 故选：B 【点评】 本题主要考查由函数yAsin （x+） 的部分图象求解析式， 函数yAsin （x+） 的图象的变换规律，属于中档题 10如图所示，为了测量 A，B
17、 处岛屿的距离，小明在 D 处观测，A，B 分别在 D 处的北偏 西 15、北偏东 45方向，再往正东方向行驶 40 海里至 C 处，观测 B 在 C 处的正北方 向，A 在 C 处的北偏西 60方向，则 A，B 两处岛屿间的距离为（ ） A 海里 B 海里 C 海里 D40 海里 【分析】分别在ACD 和BCD 中利用正弦定理计算 AD，BD，再在ABD 中利用余弦 定理计算 AB 解：连接 AB， 由题意可知 CD40，ADC105，BDC45，BCD90，ACD30， CAD45，ADB60， 在ACD 中，由正弦定理得 ，AD20 ， 在 RtBCD 中， BDC45，BCD90， B
18、D CD40 在ABD 中，由余弦定理得 AB 20 故选：A 【点评】本题考查了解三角形的应用，合理选择三角形，利用正余弦定理计算是关键， 属于中档题 11如图，AB 和 CD 是圆 O 两条互相垂直的直径，分别以 OA，OB，OC，OD 为直径作四 个圆，在圆 O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ） A1 B C D 【分析】由扇形的面积公式及弓形的面积的求法得：S白416（ ）8，由几何 概型中的面积型可得：则 P（A）1 白 大圆 1 1 ，得解 解：设大圆的半径为 2，则小圆的半径为 1，S白416（ ）8， 设“此点取自阴影部分”为事件 A， 由几何概型中的面积型可得：
19、 则 P（A）1 白 大圆 1 1 ， 故选：A 【点评】本题考查了几何概型中的面积型，扇形的面积公式及弓形的面积的求法，属中 档题 12 已知双曲线 ， 的两顶点分别为 A1， A2， F 为双曲线的一个焦点， B 为虚轴的一个端点，若在线段 BF 上（不含端点）存在两点 P1，P2，使得A1P1A2 A1P2A2 ，则双曲线的渐近线斜率 k 的平方的取值范围是（ ） A ， B ， C ， D ， 【分析】求出直线 BF 的方程为 bx+cybc0，利用直线与圆的位置关系，结合 ab， 即可求出双曲线渐近线的斜率平方的取值范围 解：由题意可设 F（c，0），B（0，b），则直线 BF 的方
20、程为 bx+cybc0， 在线段 BF 上（不含端点）存在不同的两点 Pi（i1，2），使得A1PiA2 ， 线段 BF 与以 A1A2为直径的圆相交，即 a，化为 b2c2a2（b2+c2）， 又 b2c2a2，即有 a4+a2b2b40， 可得 0 ， 在线段 BF 上（不含端点）存在两个不同的点 Pi（i1，2）， 使得A1PiA2 ， 可得 ab， 可得 1 ， 故选：A 【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查渐近线的斜率的范围，考查直线与圆的位置 关系的判断，属于中档题 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13若 x，y 满足约束条件 ，则 zx+y 的最小值为 0 【分析】
21、画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可 解：x，y 满足约束条件 ，的可行域如图： 目标函数 zx+y 结果可行域的 B 点时，目标函数取得最小值， 由 可得 A（2，2），目标函数 zx+y 的最小值为：0 故答案为：0 【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查计算能力以及数形结合思想的应用 14我国古代数学名著数术九章）有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1530 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 252 粒内夹谷 28 粒估计这批米内所夹的谷有 170 石 【分析】设这批米内所夹的谷有 x 石，由等可能事件概率计算公式得 ，由此 能估计这批米内所夹的谷的数量 解：
22、粮仓开仓收粮，有人送来米 1530 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 252 粒内 夹谷 28 粒 设这批米内所夹的谷有 x 石，则 ， 解得 x170， 估计这批米内所夹的谷有 170 石 故答案为：170 【点评】 本题考查米内所夹的谷数量的求法， 考查等可能事件概率计算公式等基础知识， 考查运算求解能力，是基础题 15考古学家经常利用碳 14 的含量来推断古生物死亡的大致时间当有机体生存时，会持 续不断地吸收碳 14，从而其体内的碳 14 含量会保持在一定的水平；但当有机体死亡后， 就会停止吸收碳 14，其体内的碳 14 含量就会逐渐减少，而且每经过大约 5730 年后会变 为原来的
23、一半假设有机体生存时碳 14 的含量为 1，如果用 y 表示该有机体死亡 x 年后 体内碳 14 的含量，则 y 与 x 的关系式可以表示为 y（ ） 【分析】根据题意建立函数模型，利用条件，即可得出解析式 解：依题意可设 ， 当 x5730 时，y ，即有 ， 解得 a ， 故答案为：y（ 【点评】本题主要考查函数模型的应用，属于基础题 16已知 f（x）x（e+lnx），g（x） x 3 x+m，对于x1，+）时都有 f（x）g（x） 恒成立，则 m 的取值范围为 e ，+） 【分析】 f （x） g （x） ， 化为： mx （e+lnx） x 3 x， 令 h （x） x （e+lnx
24、） x 3 x， x1， + ）对于x1，+）时都有 f（x）g（x）恒成立mh（x）max利用导数研究 其单调性极值最值即可得出 解：f（x）g（x），化为：mx（e+lnx） x 3 x， 令 h（x）x（e+lnx） x 3 x，x1，+） 对于x1，+）时都有 f（x）g（x）恒成立mh（x）max h（x）e+lnx+1x2 lnxx2 +e h（x） 2x 0， 函数 h（x）在 x1，+）单调递减， h（1）e 0， 0， 函数 h（x）在1， ）上单调递增，在（ ，+）上单调递减 x 时，函数 h（x）取得极大值即最大值，h（ ） e m e 故答案为： e ，+） 【点评】本
25、题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不 等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 三、解答题（6 个小题共 70 分） 17数列an的前 n 项和 Sn，满足 Sn an a1，且 a13 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bn ，求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】 （1） 由 Sn an a1， 可得 Sn+1 ， 由可得 an+13an， 再由 a13 可求得 an； （2）根据（1）中求出的 an可得 bn（2n1）（ ） n，再利用错位相减法求出 T n 解：（1）由 Sn an a1，可得 Sn+1 ， 由可得 an+1 an，即 an
26、+13an 又 a13，所以数列an是首项、公比均为 3 的等比数列， an3n； （2）由（1）知 an3n，bn ，bn ， Tn 3（ ） 2+5（ ） 3 ， T n（ ） 2+3（ ） 3+（2n3）（ ） n ， 由可得 T n 2 （ ） 2+ （ ） 3+ （ ） n 2 ， Tn1 【点评】本题主要考查由数列的前 n 项和与第 n 项的关系式求通项公式及错位相减法求 数列的和，属于基础题 18港珠澳大桥是一座具有划时代意义的大桥它连通了珠海、香港、澳门三地，大大缩短 了三地的时空距离，盘活了珠江三角洲的经济，被誉为新的世界七大奇迹截至 2019 年 10 月 23 日 8 点
27、，珠海公路口岸共验放出入境旅客超过 1400 万人次，日均客流量已经达 到 4 万人次，验放出入境车辆超过 70 万辆次，2019 年春节期间，客流再次大幅增长，日 均客流达 8 万人次，单日客流量更是创下 11.3 万人次的最高纪录2019 年从五月一日开 始的连续 100 天客流量频率分布直方图如图 （1）求这 100 天中，客流量超过 4 万的频率； （2） 同一组数据用该区间的中点值代替， 根据频率分布直方图 估计客流量的平均数 求客流量的中位数 【分析】（1）可以将符合题意得频率相加可得， （2）根据平均数，中位数的公式进行运算 解：（1）频率为 0.4+0.05+0.05+0.05
28、0.55， （2）平均数为：2.50.2+3.50.25+4.50.4+5.50.05+6.50.05+7.50.054.15； 设中位数为 x，则 0.2+0.25+0.4（x4）0.5，解得中位数为 x4.125 【点评】本题考查频率直方图，以及平均数，中位数，属于中档题 19如图，四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA1平面 ABCD，ABDC，ABAD，ADCD 1，AA1AB2，E 为棱 AA1的中点 （1）证明：B1C1平面 CC1E； （2）求三棱锥 的体积 【分析】 （1） 由已知求解三角形证明 B1C1EC1， 再由 AA1平面 ABCD， 得 CC1B1C1， 由直线与平
29、面垂直的判定可得 B1C1平面 CC1E； （2） 由已知求出 AC ， 即 E 到 CC1 的距离为 ， 再求出 ， 由 （1） 得 B1C1平面 CC1E， 然后利用 即可求三棱锥 的体积 【解答】（1）证明：四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA1平面 ABCD， ABDC，ABAD，ADCD1，AA1AB2，E 为棱 AA1的中点， 可得 ， ， ，则 ， B1C1EC1， 又AA1平面 ABCD，AA1BC，CC1B1C1， 而 CC1EC1C1，B1C1平面 CC1E； （2）解：ADCD1，AC ，即 E 到 CC1 的距离为 ， 又 CC1AA12， 由（1）得 B1C1平面
30、 CC1E， 即三棱锥 的体积为 【点评】本题考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、平面与平面位置关系，几 何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归 与转化思想等，是中档题 20已知椭圆 C 的标准方程是 1 设 F 是椭圆 C 的左焦点，T 为直线 x3 上任 意一点，过 F 做 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P，Q （1）证明：线段 OT 平分线段 PQ（其中 O 为坐标原点） （2）当 最小时，求点 T 的坐标 【分析】（1）设 T 的坐标，可得直线 TF 的斜率，由题意可得直线 PQ 的斜率，进而求 出直线 PQ 的方程，将直线 PQ 与椭圆联立
31、求出两根之和，进而求出 PQ 的中点坐标，求 出直线 OT，OM 的斜率可得斜率相等可得线段 OT 平分线段 PQ； （2）由（1）得|PQ|的长，|TF|的长，求出 ，换元，由均值不等式可得 最小值， 同时求出 T 的坐标 解： （1） 证明： 由题意设 T （3， m） ， 椭圆的左焦点 F （2， 0） ， 所以 KFT m， 所以 kPQ ， 设直线 PQ 的直线方程为：y （x+2），即 xmy2， 设 P（x1，y1），Q（x2，y2），设 PQ 的中点 M， 将直线PQ与椭圆的方程联立 整理可得： （3+m2） y24my20， y1+y2 ， x1+x2m（y1+y2）4 ，
32、所以中点 M（ ， ）， 因为 kOT ，kOM ， 所以 kOTkOM， 所以线段 OT 平分线段 PQ （2）由（1）可得： |PQ| ， 而|FT| ， 所以 ， 令 t 1，所以 t ，当且仅当 t 时取等号，即 m1， 所以 ，这时 T（3，1）或（3，1） 【点评】 本题考查直线与椭圆的综合及换元法的应用和均值不等式的应用， 属于中档题 21已知函数 f（x）cos x+xsinx+exax （1）若函数 f（x）在点（0，f（0）处的切线与 x 轴平行，求实数 a 的值及函数 f（x） 在区间 ， 上的单调区间； （2）函数 f（x）在区间（0， ）上单调递增，求实数 a 的范围
33、（已知 f（x）连续） 【分析】（1）由 f（x）xcosx+exa，可得 f（0）e0a0，解得 a1，于是 f （x）xcosx+ex1，分 x ，0）与 x（0， 两类讨论，即可求得 f（x）的单调递 增区间与递减区间； （2）函数 f（x）在区间（0， ）上单调递增f（x）xcosx+e xa0，分离参数 a， 可得 axcosx+exx+ex，利用 yx+ex在 x（0， ）上单调递增，即可求得实数 a 的范 围 解：（1）f（x）cos x+xsinx+exax， f（x）sinx+sinx+xcosx+exaxcosx+exa， f（0）e0a0，解得 a1， f（x）xcosx
34、+ex1， x ， ， 当 x ，0）时，f（x）0，f（x）单调递减； 当 x（0， 时，f（x）0，f（x）单调递增； 即函数 f（x）的递减区间为 ，0），递增区间为（0， ； （2）函数 f（x）在区间（0， ）上单调递增， f（x）xcosx+exa0， axcosx+exx+ex， 又 yx+ex在 x（0， ）上单调递增，当 x0 时，y1， a1 即实数 a 的范围为（，1 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及利用导数来求曲线某点的切线方程，考 查分类讨论思想与等价转化思想的运用，考查分离参数法与放缩法的应用，属于难题 一、选择题 22 在平面直角坐标系 xOy 中， 曲
35、线 C1的参数方程为 （t 为参数， 0） ， 在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的单位长度，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴 为极轴）中，曲线 C2的极坐标方程为 +2cos0 （1）若 ，试判断曲线 C1和 C2的位置关系； （2）若曲线 C1与 C2交于点 M，N 两点，且 P（3，0），满足|PM|+|PN|5|MN|求 sin 的值 【分析】（1）利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，进一 步判定曲线间的位置关系 （2） 利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果 解：（1）当 ，所以曲线 C1的参数方程为 （t 为参数，0）转
36、 换为 ，转换为直角坐标方程为 xy30 曲线 C2的极坐标方程为 +2cos0 转换为直角坐标方程为 x2+y2+2x0， 转换为 （x+1） 2+y21， 所以圆心（1，0）到直线的距离 d ， 所以曲线 C1和 C2的位置关系为相离 （2）将曲线 C1的参数方程为 （t 为参数，0），代入 x2+y2+2x0， 整理得 t2+8tcos+150， 所以 t1+t28cos，t1t215 由于满足|PM|+|PN|5|MN| 所以|t1+t2|5|t1t2|，整理得 24（8cos）210015 所以 ， 所以 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到
37、直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要 考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x2|+|2x+4| （）解不等式：f（x）3x+4； （）若函数 f（x）的最小值为 a，且 m+na（m0，n0），求 的最小值 【分析】（）通过讨论 x 的范围，求出不等式的解集即可； （）求出 a 的值，根据 m+n4 以及基本不等式的性质求出代数式的值即可 解：（）f（x）|x2|+|2x+4| ， ， ， 可得当 x2 时，3x23x+4，即24，所以无解； 当2x2 时，x+63x+4，得 ，可得 ； 当 x2 时，3x+23x+4，得 ，可得 x2 不等式的解集为 （）根据函数 ， ， ， 可知当 x2 时，函数取得最小值 f（2）4，可知 a4， m+n4，m0，n0， 当且仅当 ，即 mn2 时，取“” 的最小值为 1 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道常规 题
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