1、2020 年高三第二次模拟考试年高三第二次模拟考试理科数学试题理科数学试题 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，分， 共共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。有一项是符合题目要求的。 1设集合04
2、 2 xxxP，2) 1(log2xxQ，则QPCR)(= A 0，4 B0，5） C （1，4 D1，5） 2若复数 z 满足 2 )21 ()2(izi，则|z|= A3 B5 C2 D3 3在ABC 中， “0BCAB”是“ABC 是钝角三角形”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件： 4 已知函数)0)( 6 sin( xy的图象相邻两条对称轴之间的距离为 2 ， 则该函数图象是由xy2cos 的图象经过怎样的变换得到？ A向左平移 3 个单位长度 B向左平移 6 个单位长度 C向右平移 3 个单位长度 D向右平移 6 个单位长度 5七巧板是中国古代
3、劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，后清陆以湉冷庐杂识卷 一中写道“近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余 ”在 18 世纪，七巧板流传到了国外， 被誉为 “东方魔板” ， 至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部 七巧新谱 .完整图案为一正方形 （如图） ： 五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自阴影 部分的概率是 A 8 3 B 16 5 C 16 7 D 3 1 6已知) 3 cos() 3 sin( ，则2cos A 0 B1 C 2 2 D 2 3 7已知一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为 A 2
4、 1 4 B 2 1 2 105 C 4 21 2 105 D 4 21 4 8 n x x) 1 2(的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数用等。则该展开式中 2 1 x 系数为 A56 B448 C408 D1792 9孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，最早可见于中国南北朝时期的 数学著作孙子算经 ，1852 年英国来华传教士伟烈亚力将其问题的解法传至欧洲，1874 年英国数学家马 西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理， 因而西方称之为 “中国剩余定理” 这 个定理讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将 2 至 2
5、021 这 2020 个整数中能被 3 除余 2 且被 5 除余 1 的数按由小到大的顺序排成一列构成一数列，则此数列的项数是 A132 B133 C134 D135 10 已知点)(,( * Nnan n 在函数xyln图象上， 若满足meeeS n aaa n 21 的 n 的最小值为 5， 则 m 的取值范围是 A （10，15 B （一，15 C （15，21 D （一，21 11已知 21,F F分别为双曲线)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左、右焦点，过)0 ,( 1 cF 作 x 轴的垂线交双曲线 于 A、B 两点，若 21AF F的平分线过点)0 3 1
6、 (，cM ，则双曲线的离心率为 A2 B2 C3 D3 12已知方程 1 )1(2 1 x x x aex e xe有三个不同的根，则实数 a 的取值范围为 A), 1(e B) 2 1 ,( e C) 1 , 1( D) 2 1 , 1( 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13已知向量 a，b 满足： |a|=2， |b|=3， a 与 b 夹角为 120，则|a+2b|= . 14已知正三棱锥5232PAABABCP，则此三棱锥外接球的半径为 . 15已知定义域为 R 的函数 2 2 2 sin20202 )( x xx
7、ee xf xx 有最大值和最小值，且最大值和最小值 的和为 4，则= . 16已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，C，且Cabcbasin 222 ，cAbBa sincos， 10a，则b= . 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，题为必考题，每个试题考生每个试题考生 都必须作答。第都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分。分。 17 （12 分） 已知数列 n a的
8、前 n 项和为 n S，且满足)(02 * NnnaS nn . （1）求证：数列 2 1 n a为等比数列； （2）求数列nan的前 n 项和 n T 18 （12 分） 我国是全球最大的口罩生产国，在 2020 年 3 月份，我国每日口罩产量超一亿只，已基本满足国内人民 的需求，但随着疫情在全球范围扩散，境外口罩需求量激增，世界卫生组织公开呼吁扩大口罩产能，常见 的口罩有 KN90 和 KN95（分别阻挡不少于 90.0%和 95.0%的 0.055 到 0.095 微米的氯化钠颗粒）两种。某口 罩厂两条独立的生产线分别生产 KN90 和 KN95 两种口罩，为保证质量对其进行多项检测并评
9、分（满分 100 分） ，规定总分大于或等于 85 分为合格，小于 85 分为次品。现从流水线上随机抽取这两种口罩各 100 个进 行检测并评分，结果如下: （1）试分别估计两种口罩的合格率； （2）假设生产一个 KN90 口罩，若质量合格，则盈利 3 元，若为次品则亏损 1 元；生产一个 KN95 口罩，若 质量合格，则盈利 8 元，若为次品则亏损 2 元，在（1）的前提下， 设 X 为生产一个 KN90 口罩和生产一个 KN95 口罩所得利润的和，求随机变量 X 的分布列和数学期望； 求生产 4 个 KN9O 口罩所得的利润不少于 8 元的概率. 19 （12 分） 如图，在四棱锥 PAB
10、CD 中，底面是边长 2 的正方形，PA=PD=17，E 为 PA 中点，点 F 在 PD 上且 EF 平面 PCD， M 在 DC 延长线上，FH/DM， 交 PM 于 H，且 FH=1 （1）证明： EF/平面 PBM； （2）设点 N 在线段 BC 上，若二面角 EDNA 为 60，求 BN 的长度. 20 （12 分） 已知椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x C：的离心率为 2 1 ， 且以椭圆上的点和长轴两端点为顶点的三角形的面 积的最大值为32 （1）求椭圆 C 的方程； （2）经过定点)2)(0 ,(mmQ的直线l交椭圆 C 于不同的两点 M， N，点 M 关于
11、 x 轴的对称点为 M，试 证明：直线 MN 与 x 轴的交点 S 为一个定点，且4 OSOQ（O 为原点） 21 （12 分） 已知函数x x a xaxf 2 ln)2()( （1）讨论)(xf的单调性； （ 2 ） 若 函 数xxfxhln2)()(有 两 个 不 同 的 极 值 点)(, 2121 xxxx， 求 证 ： )22ln5(8)()( 2121 xxxfxf； （3） 设1a， 函数x x xf 2 )(的反函数为)(xk， 令)()( x i n i kxk， * , 1, 2 , 1Nnni且2n， 若 1 , 1x时， 对任意的 * Nn且 n2， m n e xkx
12、kxk 1 )()()( 121 恒成立，求 m 的最小值 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生从第分。请考生从第 22、23 题中任选一题作答，并用题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的铅笔将答题卡上所选题目对应的 题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首 题进行评分。题进行评分。 22 选修 44：坐标系与参数方程 （10 分） 已知曲线 C 的极坐标方程是2，以极点为原点，极轴为 x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为 , 2 3 1 , 2 1 2 ty tx （t 为参数） （1）写出曲线 C 的直角坐标方程和直线l的普通方程； （2）在（1）中，设曲线 C 经过伸缩变换 yy xx 3 得到曲线 1 C，设曲线 1 C上任意一点为),( 00 yxM，当 点 M 到直线l的距离取最大值时，求此时点 M 的直角坐标， 23 选修 45：不等式选讲（10 分） 已知函数12)( 2 xxxf （1）求不等式 x x xf 2 )(的解集； （2）若)(xf的最小值为 N，且),(RcbaNcba，求证2 222222 accbba
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