1、浙江省宁波市鄞州区浙江省宁波市鄞州区 2020 届九年级届九年级 5 月中考模拟考试数学试题月中考模拟考试数学试题 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 13 的相反数是（ ） A3 B3 C D 2下列计算正确的是（ ） A32aa Ba2a3a6 C （a2）3a6 D（a1）a1 3 疫情期间， 某地向武汉捐赠口罩 1200000 只， 其中数 1200000 用科学记数法表示是 （ ） A12105 B12106 C1.2105 D1.2106 4如图所示的几何体的俯视图是（ ） A B C D 5如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员 10 次选拔赛成绩的数据信息，要根据表中
2、的 信息选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择的运动员是（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数 （cm） 562 559 562 560 方差 S2（cm2） 3.5 3.5 15.5 16.5 A甲 B乙 C丙 D丁 6能说明命题“若 ab，则 3a2b“为假命题的反例为（ ） Aa3，b2 Ba2，b3 Ca2，b3 Da3，b2 7 在一条道路上， 甲从 A 地出发到 B 地， 乙从 B 地出发到 A 地， 乙的速度是 80 千米/小时， 两人同时出发各自到达终点后停止，设行驶过程中甲、乙之间的距离为 s 千米，甲行驶 的时间为 t 小时，s 与 t 之间的函数关系如图所示，则下列说
3、法错误的是（ ） A乙出发 1 小时与甲在途中相遇 B甲从 A 地到达 B 地需行驶 3 小时 C甲在 1.5 小时后放慢速度行驶 D乙到达 A 地时甲离 B 地还有 60 干米 8三角形纸片 ABC 中，C90，甲折叠纸片使点 A 与点 B 重合，压平得到的折痕长记 为 m；乙折叠纸片使得 CA 与 CB 所在的直线重合，压平得到的折痕长记为 n，则 m，n 的大小关系是（ ） Amn Bmn Cmn Dmn 9如图是二次函数 yax2+bx+c 的图象，下列结论：2ab；ab+c0；ab； ac，其中正确的结论是（ ） A B C D 10七巧板是我国祖先的一项卓越创造，如图正方形 ABC
4、D 可以制作一副七巧板，现将这 副七巧板拼成如图 2 的 “风车”造型 （内部有一块空心） ，连结最外围的风车顶点 M、N、 P、Q 得到一个四边形 MNPQ，则正方形 ABCD 与四边形 MNPQ 的面积之比为（ ） A5：8 B3：5 C8：13 D25：49 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 11二次根式中字母 x 的取值范围是 12一个密码箱的密码是六位数，小明没有记住最后一位，最后一位是 0 到 9 这 10 个数字 中的一个，则他一次就拨对密码的概率是 13若圆锥的母线为 5，底面半径为 3，则圆锥的侧面积为 14 如图， 建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB， 从地面上点D处
5、观测旗杆顶点A的仰角为50， 观测旗杆底部点 B 的仰角为 45若旗杆的高度 AB 为 3.5 米，则建筑物 BC 的高度约为 米 （精确到 1 米，可用参考数据：sin500.8，tan501.2） 15如图，矩形 ABCD 中，将BCD 绕点 B 逆时针旋转得BEF，其中点 C 的对应点 E 恰 好落在BD上 BF， EF分别交边AD于点G， H 若GH4HD， 则cosDBC的值为 16如图，点 A 在反比例函数 y（x0，k10）的图象上，点 B，C 在反比例函数 y （x0，k20）的图象上，ABx 轴，CDx 轴于点 D，交 AB 于点 E若ABC 与DBC 的面积之差为 3，则
6、k1的值为 三解答题（共三解答题（共 8 小题）小题） 17 （1）计算：4sin60+（3） 220200； （2）解方程： 18如图，在 44 的方格中，点 A，B，C 为格点 （1）利用无刻度的直尺在图 1 中画ABC 的中线 BE 和重心 G； （2）在图 2 中标注ABC 的外心 O 并画出外接圆及切线 CP 19 我国青少年视力情况已经受到全社会的广泛关注 某校随机调研了 200 名初中七八九年 级学生的视力情况，并把调查数据绘制成如图不完整统计图： （1） 七年级参与调查的有多少人？若该校有七年级学生400人， 请估计七年级近视人数； （2）某同学说“由图 2 可知，从七年级到九
7、年级，近视率越来越低” ，你认为这个说法 正确吗？请作出判断，并说明理由 20如图，ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，AD 上，BEDF，连结 AE，CF （1）求证：四边形 AECF 是平行四边形； （2）若四边形 AECF 为菱形，AFC120，BECE4，求ABCD 的面积 21学校为奖励在家自主学习有突出表现的学生，决定购买笔记本和钢笔作为奖品已知 1 本笔记本和 4 支钢笔共需 100 元，4 本笔记本和 6 支钢笔共需 190 元 （1）分别求一本笔记本和一支钢笔的售价； （2）若学校准备购进这两种奖品共 90 份，并且笔记本的数量不多于钢笔数量的 3 倍， 请设计出最省钱的
8、购买方案，并说明理由 22问题小明在学习时遇到这样一个问题：求不等式 x3+3x2x30 的解集 他经历了如下思考过程： 回顾 （1）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y1ax+b 与双曲线 y2交于 A （1，3） 和 B（3，1） ，则不等式 ax+b的解集是 探究将不等式 x3+3x2x30 按条件进行转化： 当 x0 时，原不等式不成立； 当 x0 时，不等式两边同除以 x 并移项转化为 x2+3x1； 当 x0 时，不等式两边同除以 x 并移项转化为 x2+3x1 （2）构造函数，画出图象： 设 y3x2+3x1，y4，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象； 双曲线 y
9、4如图 2 所示，请在此坐标系中画出抛物线 yx2+3x1 （不用列表） （3）确定两个函数图象公共点的横坐标： 观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足 y3y4的所有 x 的值为 解决 （4）借助图象，写出解集： 结合“探究”中的讨论，观察两个函数的图象可知：不等式 x3+3x2x30 的解集 为 23如图 1，RtABC 中，点 D，E 分别为直角边 AC，BC 上的点，若满足 AD2+BE2DE2， 则称 DE 为 RABC 的“完美分割线” 显然，当 DE 为ABC 的中位线时，DE 是ABC 的一条完美分割线 （1）如图 1，AB10，cosA，AD3，若 D
10、E 为完美分割线，则 BE 的长是 （2）如图 2，对 AC 边上的点 D，在 RtABC 中的斜边 AB 上取点 P，使得 DPDA， 过点 P 画 PEPD 交 BC 于点 E，连结 DE，求证：DE 是直角ABC 的完美分割线 （3）如图 3，在 RtABC 中，AC10，BC5，DE 是其完美分割线，点 P 是斜边 AB 的中点，连结 PD、PE，求 cosPDE 的值 24如图 1，以 AB 为直径作O，点 C 是直径 AB 上方半圆上的一点，连结 AC，BC，过点 C 作ACB 的平分线交O 于点 D，过点 D 作 AB 的平行线交 CB 的延长线于点 E （1）如图 1，连结 A
11、D，求证：ADCDEC （2）若O 的半径为 5，求 CACE 的最大值 （3）如图 2，连结 AE，设 tanABCx，tanAECy， 求 y 关于 x 的函数解析式； 若，求 y 的值 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 13 的相反数是（ ） A3 B3 C D 【分析】根据相反数的意义，3 的相反数即是在 3 的前面加负号 【解答】解：根据相反数的概念及意义可知：3 的相反数是3 故选：B 【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号； 一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0 的相反数是 0 2下
12、列计算正确的是（ ） A32aa Ba2a3a6 C （a2）3a6 D（a1）a1 【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则分 别计算得出答案 【解答】解：A、32a，不是同类项，无法合并，故此选项错误； B、a2a3a5，故此选项错误； C、 （a2）3a6，正确； D、（a1）a+1，故此选项错误； 故选：C 【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算，正确掌 握相关运算法则是解题关键 3 疫情期间， 某地向武汉捐赠口罩 1200000 只， 其中数 1200000 用科学记数法表示是 （ ） A12105 B12106 C1.
13、2105 D1.2106 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a10n，其中 1|a|10，n 为正整 数，据此判断即可 【解答】解：12000001.2106 故选：D 【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为 a10n，其中 1|a| 10，确定 a 与 n 的值是解题的关键 4如图所示的几何体的俯视图是（ ） A B C D 【分析】找到从上面看，所得到的图形即可 【解答】解：该几何体的俯视图为 故选：D 【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图 5如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员 10 次选拔赛成绩的数据信息，要根据表中的 信
14、息选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择的运动员是（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数 （cm） 562 559 562 560 方差 S2（cm2） 3.5 3.5 15.5 16.5 A甲 B乙 C丙 D丁 【分析】根据方差和平均数的意义找出平均数大且方差小的运动员即可 【解答】解：甲的方差是 3.5，乙的方差是 3.5，丙的方差是 15.5，丁的方差是 16.5， S甲 2S 乙 2S 丙 2S 丁 2， 发挥稳定的运动员应从甲和乙中选拔， 甲的平均数是 562，乙的平均数是 559， 成绩好的应是甲， 从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择甲； 故选：A 【点评】
15、 本题考查了方差和平均数 方差是用来衡量一组数据波动大小的量， 方差越大， 表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这 组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定 6能说明命题“若 ab，则 3a2b“为假命题的反例为（ ） Aa3，b2 Ba2，b3 Ca2，b3 Da3，b2 【分析】根据有理数的乘法法则、有理数的大小比较法则解答 【解答】解：当 a2，b3 时，23，而 3（2）2（3） ，即 ab 时，3a2b， 命题“若 ab，则 3a2b“为假命题， 故选：B 【点评】本题考查的是假命题的证明，任何一个命题非真即假要说明一个命
16、题的正确 性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可 7 在一条道路上， 甲从 A 地出发到 B 地， 乙从 B 地出发到 A 地， 乙的速度是 80 千米/小时， 两人同时出发各自到达终点后停止，设行驶过程中甲、乙之间的距离为 s 千米，甲行驶 的时间为 t 小时，s 与 t 之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（ ） A乙出发 1 小时与甲在途中相遇 B甲从 A 地到达 B 地需行驶 3 小时 C甲在 1.5 小时后放慢速度行驶 D乙到达 A 地时甲离 B 地还有 60 干米 【分析】根据题意和图象，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题 【解答
17、】解：由图可知， 乙出发 1 小时与甲在途中相遇，故选项 A 正确； 甲的速度为：12018040 千米/小时， 则甲从 A 地到达 B 地需行驶 120403（小时） ，故选项 B 正确； 当乙达到 A 地时，甲离 B 地的距离是：120120804060（千米） ，故选项 D 正确； 由于 m 的值不知，故甲在 1.5 小时后速度是否改变不能确定，故选项 C 错误； 故选：C 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质 和数形结合的思想解答 8三角形纸片 ABC 中，C90，甲折叠纸片使点 A 与点 B 重合，压平得到的折痕长记 为 m；乙折叠纸片使得 C
18、A 与 CB 所在的直线重合，压平得到的折痕长记为 n，则 m，n 的大小关系是（ ） Amn Bmn Cmn Dmn 【分析】由题意折痕 m 是线段 EF，EF 垂直平分线段 AB，折痕 n 是线段 CD，CD 平分 ACB，利用图象法解决问题即可 【解答】解：如图， 由题意折痕 m 是线段 EF，EF 垂直平分线段 AB，折痕 n 是线段 CD，CD 平分ACB， ACB90， 当 ACCB 时，mn， 当 ACBC 时，观察图形可知，mn， 综上，mn， 故选：A 【点评】本题考查翻折变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属 于中考常考题型 9如图是二次函数 yax2+b
19、x+c 的图象，下列结论：2ab；ab+c0；ab； ac，其中正确的结论是（ ） A B C D 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的 关系，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【解答】解：抛物线的对称轴在 y 轴右侧，则 a、b 同号，而 a0，则 b0，而 c0； 函数的对称性 x1，故 2ab，故正确，符合题意； 当 x1 时，yab+c0，故错误，不符合题意； 由得，ab+c0，即 abc0，即 ab，故正确，符合题意； 由得：ab+c0，即 a+cb2a，故 ac，故正确，符合题意；
20、故选：D 【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求 2a 与 b 的关 系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用 10七巧板是我国祖先的一项卓越创造，如图正方形 ABCD 可以制作一副七巧板，现将这 副七巧板拼成如图 2 的 “风车”造型 （内部有一块空心） ，连结最外围的风车顶点 M、N、 P、Q 得到一个四边形 MNPQ，则正方形 ABCD 与四边形 MNPQ 的面积之比为（ ） A5：8 B3：5 C8：13 D25：49 【分析】设 AC4a，解直角三角形求出 AB、MQ，再求出两正方形的面积，即可得出答 案 【解答】解：设 ACa+a+a+a4
21、a，则 ABBCACsin452 a， 所以正方形 ABCD 的面积是（2 a）28a2； 图 2 中 ME3a，EQ2a， 由勾股定理得：MQa， 所以正方形 MNPQ 的面积为（ a）213a2， 所以图中正方形 ABCD，MNPQ 的面积比为 ， 故选：C 【点评】本题考查了勾股定理和正方形的性质，能够求出两正方形的边长是解此题的关 键 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 11二次根式中字母 x 的取值范围是 x3 【分析】由二次根式有意义的条件得出不等式，解不等式即可 【解答】解：当 x30 时，二次根式有意义， 则 x3； 故答案为：x3 【点评】本题考查了二次根式有意义的条
22、件、不等式的解法；熟记二次根式有意义的条 件是解决问题的关键 12一个密码箱的密码是六位数，小明没有记住最后一位，最后一位是 0 到 9 这 10 个数字 中的一个，则他一次就拨对密码的概率是 【分析】最后一位是 0 到 9 这 10 个数字中的一个，总共有十种情况，其中拨对密码只有 一种情况，利用概率公式进行计算即可 【解答】解：他一次就拨对密码的概率是 故答案为： 【点评】考查了概率公式，如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其 中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A） 13若圆锥的母线为 5，底面半径为 3，则圆锥的侧面积为 15 【分析】利用圆锥的侧
23、面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形 的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算 【解答】解：圆锥的侧面积23515 故答案为 15 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆 锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长 14 如图， 建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB， 从地面上点D处观测旗杆顶点A的仰角为50， 观测旗杆底部点 B 的仰角为 45若旗杆的高度 AB 为 3.5 米，则建筑物 BC 的高度约为 18 米 （精确到 1 米，可用参考数据：sin500.8，tan501.2） 【分析】由题意可知BCD 是等腰直角三角形，得出 BCD
24、C，设 BCxm，在ACD 中利用正切函数的定义列出关于 x 的方程，解方程进而得出 BC 的长求出答案 【解答】解：在BCD 中，BDC45，BCD90， BCDC， 设 BCxm，则 DCxm，ACAB+BC（3.5+x）m， 在ACD 中，ADC50，ACD90， tanADCtan501.2， 解得：x18， 答：建筑物 BC 的高度约为 18m 故答案为：18 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角的概念、熟记锐 角三角函数的定义是解题的关键 15如图，矩形 ABCD 中，将BCD 绕点 B 逆时针旋转得BEF，其中点 C 的对应点 E 恰 好落在 BD 上BF
25、，EF 分别交边 AD 于点 G，H若 GH4HD，则 cosDBC 的值为 【分析】由旋转的性质可得FBEDBC，BFBD，BEBC，BEFC90， 再由矩形的性质得出EDHDBC，设 HDx，GH4x，设 BEBCy，分别用 x 和 y 表示出 BC、BD、DE、DH，根据 cosDBCcosEDH，列出比例式，化简得 ，即 cosDBC 【解答】解：将BCD 绕点 B 逆时针旋转得BEF，其中点 C 的对应点 E 恰好落在 BD 上 FBEDBC，BFBD，BEBC，BEFC90， 矩形 ABCD 中，ADBC， EDHDBC， FBEDBCEDH， BGDG， GH4HD， 设 HDx
26、，GH4x，设 BEBCy， 则 BGDG5x， DHE+EDH90，F+FBE90，FBEEDH， FDHE， FHGDHE， FFHG， GFGH4x， BFBD9x，DE9xy， cosDBCcosEDH， ， ， xy81x29xy， 10xy81x2， 10y81x， ，即 cosDBC 故答案为： 【点评】本题考查了旋转的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定及余弦函数的定义， 熟练掌握相关性质及定理是解题的关键 16如图，点 A 在反比例函数 y（x0，k10）的图象上，点 B，C 在反比例函数 y （x0，k20）的图象上，ABx 轴，CDx 轴于点 D，交 AB 于点 E若ABC
27、 与DBC 的面积之差为 3，则 k1的值为 9 【分析】 设 CE2t， 则 DE3t， 利用反比例函数图象上点的坐标特征得到 C （， 5t） ， B（，3t） ，A（，3t） ，再根据三角形面积公式得到（）2t5t （）3，然后化简后可得到的值 【解答】解：设 CE2t，则 DE3t， 点 B，C 在反比例函数 y（x0，k20）的图象上，ABx 轴，CDx 轴， C（，5t） ，B（，3t） ， A（，3t） ， ABC 与DBC 的面积之差为 3， （）2t5t（）3， k19 故答案为9 【点评】本题考查了反比例函数反比例系数 k 的几何意义：在反比例函数 y图象中任 取一点，过这
28、一个点向 x 轴和 y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|也 考查了反比例函数图象上点的坐标特征 三解答题（共三解答题（共 8 小题）小题） 17 （1）计算：4sin60+（3） 220200； （2）解方程： 【分析】 （1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，二次根式性质，以及特殊角的三 角函数值计算即可求出值； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到 分式方程的解 【解答】解： （1）原式24+1 22+1 ； （2）去分母得：2x2x2， 解得：x0， 经检验 x0 是分式方程的解 【点评】此题考查了解分式方程，以及实数的运
29、算，熟练掌握分式方程的解法及运算法 则是解本题的关键 18如图，在 44 的方格中，点 A，B，C 为格点 （1）利用无刻度的直尺在图 1 中画ABC 的中线 BE 和重心 G； （2）在图 2 中标注ABC 的外心 O 并画出外接圆及切线 CP 【分析】 （1）根据中线的概念作图； （2）根据线段垂直平分线的定义作图 【解答】解： （1）如图所示，BE 和点 G 即为所求； （2）如图所示，O 和 PC 即为所求 【点评】本题主要考查作图应用与设计作图，解题的关键是掌握三角形的高线、中线 以及角平分线的定义 19 我国青少年视力情况已经受到全社会的广泛关注 某校随机调研了 200 名初中七八
30、九年 级学生的视力情况，并把调查数据绘制成如图不完整统计图： （1） 七年级参与调查的有多少人？若该校有七年级学生400人， 请估计七年级近视人数； （2）某同学说“由图 2 可知，从七年级到九年级，近视率越来越低” ，你认为这个说法 正确吗？请作出判断，并说明理由 【分析】 （1）根据总数七年级参与调查的百分数即可得到结论； （2）分别计算出个年级的近视率进行比较即可得到结论 【解答】解： （1）200（125%35%）80（人） ， 400220（人） ， 答：七年级参与调查的有 80 人，估计七年级近视人数为 220 人； （2）这个说法不正确， 理由：七年级学生的近视率为55%，八年级
31、学生近视率为60%，九 年级学生近视率为70%， 55%60%70%， 从七年级到九年级，近视率越来越低越高 【点评】本题考查了条形统计图，扇形统计图，正确的理解题意是解题的关键 20如图，ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，AD 上，BEDF，连结 AE，CF （1）求证：四边形 AECF 是平行四边形； （2）若四边形 AECF 为菱形，AFC120，BECE4，求ABCD 的面积 【分析】 （1）根据四边形 ABCD 是平行四边形，可得 ADBC，ADBC，再由 BEDF 可得 AF 与 EC 平行且相等，进而可以证明四边形 AECF 是平行四边形； （2）根据四边形 AECF 为菱
32、形，AFC120，可以证明ABE 是等边三角形，过点 A 作 AGBE 于点 G，根据特殊角三角函数即可求出 AG 的长，进而求出ABCD 的面积 【解答】解： （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ADBC， BEDF， ECAF， 又ECAF， 四边形 AECF 是平行四边形； （2）四边形 AECF 为菱形， AEEC，AECAFC120， AEB60， BECE4， AEBE4， ABE 是等边三角形， 过点 A 作 AGBE 于点 G， AGABsinB2， BCBE+EC8， ABCD 的面积BCAG8216 【点评】 本题考查了菱形的性质、 全等三角形的判定与性
33、质、 等边三角形的判定与性质、 平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识 21学校为奖励在家自主学习有突出表现的学生，决定购买笔记本和钢笔作为奖品已知 1 本笔记本和 4 支钢笔共需 100 元，4 本笔记本和 6 支钢笔共需 190 元 （1）分别求一本笔记本和一支钢笔的售价； （2）若学校准备购进这两种奖品共 90 份，并且笔记本的数量不多于钢笔数量的 3 倍， 请设计出最省钱的购买方案，并说明理由 【分析】 （1）设一本笔记本的售价为 x 元，一支钢笔的售价为 y 元，根据“1 本笔记本和 4 支钢笔共需 100 元，4 本笔记本和 6 支钢笔共需 190 元” ，即可得
34、出关于 x，y 的二元一 次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进 m 本笔记本，则购进（90m）支钢笔，根据笔记本的数量不多于钢笔数量 的 3 倍，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之即可得出 m 的取值范围，设学校购进 这两种奖品的总价为 w 元，根据总价单价数量，即可得出 w 关于 m 的函数关系式， 再利用一次函数的性质即可解决最值问题 【解答】解： （1）设一本笔记本的售价为 x 元，一支钢笔的售价为 y 元， 依题意，得：， 解得： 答：一本笔记本的售价为 16 元，一支钢笔的售价为 21 元 （2）设购进 m 本笔记本，则购进（90m）支钢笔， 依题意，得：m3（90m）
35、， 解得：m67 设学校购进这两种奖品的总价为 w 元，则 w16m+21（90m）5m+1890 50， w 值随 m 值的增大而减小， 又m67，且 m 为整数， 当 m67 时，w 取得最小值，最小值为 1555， 当购进 67 本笔记本、23 支钢笔时，购买的总价最少，最少费用为 1555 元 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性 质，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组； （2）根据各数量之 间的关系，找出 w 关于 m 的函数关系式 22问题小明在学习时遇到这样一个问题：求不等式 x3+3x2x30 的解集 他经历了如下
36、思考过程： 回顾 （1）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y1ax+b 与双曲线 y2交于 A （1，3） 和 B（3，1） ，则不等式 ax+b的解集是 x1 或3x0 探究将不等式 x3+3x2x30 按条件进行转化： 当 x0 时，原不等式不成立； 当 x0 时，不等式两边同除以 x 并移项转化为 x2+3x1； 当 x0 时，不等式两边同除以 x 并移项转化为 x2+3x1 （2）构造函数，画出图象： 设 y3x2+3x1，y4，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象； 双曲线 y4如图 2 所示，请在此坐标系中画出抛物线 yx2+3x1 （不用列表） （3）确定两个函数图
37、象公共点的横坐标： 观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足 y3y4的所有 x 的值为 3 或1 或 1 解决 （4）借助图象，写出解集： 结合 “探究” 中的讨论， 观察两个函数的图象可知： 不等式 x3+3x2x30 的解集为 x 1 或 x3 或1x0 【分析】 （1）利用数形结合的思想，写出一次函数的图象在反比例函数的图象上方的自 变量的取值范围即可 （2）利用描点法画出二次函数的图象即可 （3）利用图象法可得结论 （4）利用数形结合的思想写出当 x0 时，不等式两边同除以 x 并移项转化为 x2+3x1 的解集，当 x0 时，不等式两边同除以 x 并移项转化为
38、 x2+3x1的解集即可解 决问题 【解答】解： （1）如图 1 中，观察图形可知：不等式 ax+b的解集为 x1 或3x 0 故答案为：x1 或3x0 （2）函数 y3x2+3x1 的图形如图所示： （3）观察图象可知，两个函数图象的公共点的横坐标为3，1，1 经过检验可知：点（3，1） ，点（1，3） ，点（1，3）是两个函数的交点坐标， 满足 y3y4的所有 x 的值为3 或1 或 1 故答案为3 或1 或 1 （4）观察图象，当 x0 时，不等式两边同除以 x 并移项转化为 x2+3x1的解集为 x 1， 当 x0 时，不等式两边同除以 x 并移项转化为 x2+3x1的解集为 x3 或
39、1x 0， 不等式 x3+3x2x30 的解集为 x1 或 x3 或1x0 故答案为 x1 或 x3 或1x0 【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，二 次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想思考问题，把不等式问题 转化为函数图象问题解决，属于中考压轴题 23如图 1，RtABC 中，点 D，E 分别为直角边 AC，BC 上的点，若满足 AD2+BE2DE2， 则称 DE 为 RABC 的“完美分割线” 显然，当 DE 为ABC 的中位线时，DE 是ABC 的一条完美分割线 （1）如图 1，AB10，cosA，AD3，若 DE 为完美分割线，
40、则 BE 的长是 （2）如图 2，对 AC 边上的点 D，在 RtABC 中的斜边 AB 上取点 P，使得 DPDA， 过点 P 画 PEPD 交 BC 于点 E，连结 DE，求证：DE 是直角ABC 的完美分割线 （3）如图 3，在 RtABC 中，AC10，BC5，DE 是其完美分割线，点 P 是斜边 AB 的中点，连结 PD、PE，求 cosPDE 的值 【分析】 （1）由勾股定理求出 BC6，设 BEx，则 CE6x，则 AD2+BE2DE2，可 得出 32+x252+（6x）2，解得：x，则答案可求出； （2）证得 AD2+BE2DP2+EP2DE2，则结论得证； （3）延长 DP
41、至 F，使 PFPD，连接 BF，EF，证明APDBPF（SAS） ，得出 AD BF， AFBP， 则EPD90， 过点 P 作 PMAC， PNBC， 则MPDNPE 90MPE，证明MPDNPE，得出 PE2PD，设 PDa，则 PE2a，则 DE a，则可求出答案 【解答】解： （1）AB10，cosA， cosA， AC8，CD5， 6， 设 BEx，则 CE6x， 在 RtCDE 中，DE2CD2+CE252+（6x）2， DE 为完美分割线， AD2+BE2DE2， 32+x252+（6x）2， 解得：x BE 故答案为： （2）证明：如图 2， DADP， DAPDPA， PE
42、PD， DPA+EPB90， 又AB， EPBB， EPEB， AD2+BE2DP2+EP2DE2， DE 是直角ABC 的完美分割线 （3）解：延长 DP 至 F，使 PFPD，连接 BF，EF， APBP，APDBPF， APDBPF（SAS） ， ADBF，AFBP， EBFCBA+FBPCBA+A90， DE 是完美分割线， DE2AD2+BE2BF2+BE2EF2，即 EDEF 又 PDPF， EPD90， 过点 P 作 PMAC，PNBC， 则MPDNPE90MPE， MPDNPE， ， 设 PDa，则 PE2a，则 DEa， cosPDE 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三
43、角形的判定与性质，相似三角形的判定与 性质， 勾股定理， 锐角三角函数等知识， 理解掌握完美分割线这一新定义是解题的关键 24如图 1，以 AB 为直径作O，点 C 是直径 AB 上方半圆上的一点，连结 AC，BC，过点 C 作ACB 的平分线交O 于点 D，过点 D 作 AB 的平行线交 CB 的延长线于点 E （1）如图 1，连结 AD，求证：ADCDEC （2）若O 的半径为 5，求 CACE 的最大值 （3）如图 2，连结 AE，设 tanABCx，tanAECy， 求 y 关于 x 的函数解析式； 若，求 y 的值 【分析】 （1）由平行线的性质及圆周角定理可得出结论； （2）证明A
44、DCDEC，得出，则可得出答案； （ 3 ） ： 连 接 AD ， 由 ADC DEC ， 得 出 y tan AEC ，过点 D 作 DFCE，不妨设 EFa，则 CDa，则可得出答 案； 得出 yx 代入 y得，解得，x12，x2，则可求出 y 的值 【解答】 （1）证明：ABDE， ABCE， ADCABC， ADCE； （2）解：CD 平分ACB， ACDDCE， 又ADCE， ADCDEC， ， 即 CD2CACE， 又O 的半径为 5， CACECD2102100 即 CACE 的最大值为 100 （3）解：连接 AD， ADCDEC， ytanAEC， 过点 D 作 DFCE，不妨设 EFa， CEDCBA，DCE45， CFDFax， CDax， y ， ， 9：4， 即 x：y9：4， 将 yx 代入 y得， ， 解得，x12，x2， 当 x2 时，y， 当 x时，y， y或 【点评】本题是圆的综合题，考查了平行线的性质，角平分线的定义，圆周角定理，相 似三角形的判定与性质，锐角三角函数，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关 键
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