1、2020 年武汉洪山区九年级下年武汉洪山区九年级下 4 月线上诚信限时检测数学试卷月线上诚信限时检测数学试卷 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 12 的绝对值是（ ） A2 B C2 D 2函数 y中的自变量 x 的取值范围是（ ） Ax Bx1 Cx Dx 3投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数，则下列事件为随机 事件的是（ ） A两枚骰子向上一面的点数之和大于 1 B两枚骰子向上一面的点数之和等于 1 C两枚骰子向上一面的点数之和大于 12 D两枚骰子向上一面的点数之和等于 12 4下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A B C
2、D 5如图，下列关于物体的主视图画法正确的是（ ） A B C D 6均匀的向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度 h 与时间 t 的函数关系如图 所示，则该容器是下列四个中的（ ） A B C D 7某超市为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有 4 个相同的小 球，球上分别标有“0 元” 、 “10 元” 、 “20 元” 、 “30 元”的字样规定：顾客在本超市一 次性消费满 200 元，就可以在箱子里先后摸出两个小球（每一次摸出后不放回） 某顾客 刚好消费 200 元，则该顾客所获得购物券的金额不低于 30 元的概率（ ） A B C D 8若点 A（x1，1
3、） 、B（x2，2） 、C（x3，3）在反比例函数 y的图象上，则 x1、x2、x3的大小关系是（ ） Ax1x2x3 Bx1x3x2 Cx3x1x2 Dx2x1x3 9如图，在 33 的网格中，与ABC 成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有 （ ） A5 个 B6 个 C7 个 D8 个 10对于每个非零自然数 n，抛物线 yx2x+与 x 轴交于 An，Bn两点， 以 AnBn表示这两点之间的距离，则 A2B2+A2019B2019的值是（ ） A B C D1 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 11的平方根为 12某次数学测验中，五位同学的分数分别是：110，105，8
4、9，91，105这组数据的中位 数是 13化简+的结果是 14如图，ABC 和ADE 中，BACDAE54，ABAC，ADAE，连接 BD，CE 交于 F，连接 AF，则AFE 的度数是 15如图，过原点的直线与反比例函数 y（k0）的图象交于 A，B 两点，点 A 在第一 象限 点 C 在 x 轴正半轴上， 连结 AC 交反比例函数图象于点 D AE 为BAC 的平分线， 过点 B 作 AE 的垂线，垂足为 E，连结 DE若 AC3DC，ADE 的面积为 8，则 k 的值 为 16如图，在ABC 中，ABAC5，BC4，D 为边 AB 上一动点（B 点除外） ，以 CD 为一边作正方形 CD
5、EF，连接 BE，则BDE 面积的最大值为 三解答题（共三解答题（共 8 小题）小题） 17计算： （3.14）0（） 2+ 18如图，在ABC 中，ABAC将ABC 沿着 BC 方向平移得到DEF，其中点 E 在边 BC 上，DE 与 AC 相交于点 O连接 AE、DC、AD，当点 E 在什么位置时，四边形 AECD 为矩形，并说明理由 19为深入开展校园阳光一小时活动，九年级（1） 班学生积极参与锻炼，每位同学从篮球、 跳绳、立定跳远、长跑、铅球中选一项进行锻炼，训练后都进行了测试现将项目选择 情况及训练后篮球定时定点投篮测试成绩整理后作出如下统计图： 请你根据上面提供的信息回答下列问题：
6、 （1） （扇形图中）跳绳部分的扇形圆心角为 度，该班共有 人；训练后， 篮球定时定点投篮每个人进球数的平均数是 ，众数是 ； （2）老师决定从选择跳绳训练的 3 名女生和 1 名男生中任选两名学生先进行测试，请用 列表或画树形图的方法求恰好选中两名女生的概率 20按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹 （1）如图 1，A 为O 上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出O 的内接正方形； （2）我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交 于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一 点 请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图 如
7、图 2，在ABCD 中，E 为 CD 的中点，作 BC 的中点 F 如图 3，在由小正方形组成的 43 的网格中，ABC 的顶点都在小正方形的顶点上， 作ABC 的高 AH 21如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，D 是的中点，E 为 OD 延长线上一点， 且CAE2C，AC 与 BD 交于点 H，与 OE 交于点 F （1）求证：AE 是O 的切线； （2）若 DH9，tanC，求直径 AB 的长 22某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用 60 天的时间销售一种 成本为 10 元每件的商品，经过统计得到此商品的日销售量 m（件） 、销售单价 n（元/件） 在第 x
8、 天（x 为正整数）销售的相关信息： m 与 x 满足一次函数关系， 且第 1 天的日销售量为 98 件， 第 4 天的日销售量为 92 件； n 与 x 的函数关系式为：n （1）求出第 15 天的日销售量； （2）设销售该产品每天利润为 y 元，请写出 y 与 x 的函数关系式，并求出在 60 天内该 产品的最大利润 （3）在该产品的销售过程中，共有 天销售利润不低于 2322 元 （请直接写出结 果） 23 如图 1， 在矩形 ABCD 中， AB8， AD10， E 是 CD 边上一点， 连接 AE， 将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，顶点 D 恰好落在 BC 边上点 F 处，延长 A
9、E 交 BC 的延长线于点 G （1）求线段 CE 的长； （2） 如图 2， M， N 分别是线段 AG， DG 上的动点 （与端点不重合） ， 且DMNDAM， 设 AMx，DNy 写出 y 关于 x 的函数解析式，并求出 y 的最小值； 是否存在这样的点 M，使DMN 是等腰三角形？若存在，请求出 x 的值；若不存在， 请说明理由 24如图 1，已知抛物线 yx2+bx+c 过点 A（1，0） ，B（3，0） （1）求抛物线的解析式及其顶点 C 的坐标； （2）设点 D 是 x 轴上一点，当 tan（CAO+CDO）4 时，求点 D 的坐标； （3）如图 2抛物线与 y 轴交于点 E，点
10、 P 是该抛物线上位于第二象限的点，线段 PA 交 BE 于点 M， 交 y 轴于点 N， BMP 和EMN 的面积分别为 m、 n， 求 mn 的最大值 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 12 的绝对值是（ ） A2 B C2 D 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数求解 【解答】解：因为|2|2， 故选：C 2函数 y中的自变量 x 的取值范围是（ ） Ax Bx1 Cx Dx 【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案 【解答】解：函数 y中：2x10， 解得：x 故选：D 3投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 到 6
11、的点数，则下列事件为随机 事件的是（ ） A两枚骰子向上一面的点数之和大于 1 B两枚骰子向上一面的点数之和等于 1 C两枚骰子向上一面的点数之和大于 12 D两枚骰子向上一面的点数之和等于 12 【分析】根据事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发 生的事件称为不可能事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事 件进行分析即可 【解答】解：A、两枚骰子向上一面的点数之和大于 1，是必然事件，故此选项错误； B、两枚骰子向上一面的点数之和等于 1，是不可能事件，故此选项错误； C、两枚骰子向上一面的点数之和大于 12，是不可能事件，故此选项错误； D、两枚
12、骰子向上一面的点数之和等于 12，是随机事件，故此选项正确； 故选：D 4下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：A 5如图，下列关于物体的主视图画法正确的是（ ） A B C D 【分析】被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线化成虚线，根据主视图是从正面看到 的图形，进而得出答
13、案 【解答】解：物体的主视图画法正确的是： 故选：C 6均匀的向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度 h 与时间 t 的函数关系如图 所示，则该容器是下列四个中的（ ） A B C D 【分析】由函数图象可得容器形状不是均匀物体分析判断，由图象及容积可求解 【解答】解：相比较而言，前一个阶段，用时较少，高度增加较快，那么下面的物体应 较细由图可得上面圆柱的底面半径应大于下面圆柱的底面半径 故选：D 7某超市为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有 4 个相同的小 球，球上分别标有“0 元” 、 “10 元” 、 “20 元” 、 “30 元”的字样规定：顾客在本超市一
14、 次性消费满 200 元，就可以在箱子里先后摸出两个小球（每一次摸出后不放回） 某顾客 刚好消费 200 元，则该顾客所获得购物券的金额不低于 30 元的概率（ ） A B C D 【分析】列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完 成的事件 【解答】解：列表： 第二次 第一次 0 10 20 30 0 10 20 30 10 10 30 40 20 20 30 50 30 30 40 50 从上表可以看出，共有 12 种可能结果，其中大于或等于 30 元共有 8 种可能结果， 因此 P（不低于 30 元） 故选：C 8若点 A（x1，1） 、B（x2，2） 、C（x
15、3，3）在反比例函数 y的图象上，则 x1、x2、x3的大小关系是（ ） Ax1x2x3 Bx1x3x2 Cx3x1x2 Dx2x1x3 【分析】依据反比例函数为 y（k0） ，可得函数图象在第二、四象限，在每个象限 内，y 随着 x 的增大而增大，进而得到 x1、x2、x3的大小关系 【解答】解：反比例函数为 yy中的（k2+1）0， 函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y 随着 x 的增大而增大， 又A（x1，1） 、B（x2，2） 、C（x3，3） x10，点 B、C 位于第四象限， x2x30 x1x3x2 故选：B 9如图，在 33 的网格中，与ABC 成轴对称，顶点在格点上，且位
16、置不同的三角形有 （ ） A5 个 B6 个 C7 个 D8 个 【分析】依据对称轴的不同位置，即可得到位置不同的三角形 【解答】解：如图所示： 与ABC 成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有 8 个， 故选：D 10对于每个非零自然数 n，抛物线 yx2x+与 x 轴交于 An，Bn两点， 以 AnBn表示这两点之间的距离，则 A2B2+A2019B2019的值是（ ） A B C D1 【分析】将 n2，3，4分别代入抛物线 yx2x+得到若干抛物线解 析式，然后分别求得它们与 x 轴的交点横坐标，再利用规律求和即可 【解答】解：将 n2，3，4分别代入抛物线 yx2x+得： yx
17、2x+ yx2x+ yx2x+ 分别解得：x1，x2；x3，x4；x5，x6 A2B2 A3B3 A4B4 A2019B2019 A2B2+A2019B2019+ 故选：B 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 11的平方根为 【分析】根据平方根的定义求解 【解答】解：的平方根为 故答案为： 12某次数学测验中，五位同学的分数分别是：110，105，89，91，105这组数据的中位 数是 105 【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平 均数为中位数 【解答】解：题目中数据共有 5 个数， 按从小到大排列：89，91，105，105，110， 位于中间
18、的数是 105， 故这组数据的中位数是 105 故答案为：105 13化简+的结果是 【分析】利用分式的基本性质先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后进行加减即 可 【解答】解：+； 故答案为： 14如图，ABC 和ADE 中，BACDAE54，ABAC，ADAE，连接 BD，CE 交于 F，连接 AF，则AFE 的度数是 63 【分析】证明BADCAE，推出ADFAEF，推出 A，E，D，F 四点共圆，利用 圆周角定理解决问题即可 【解答】解：BACDAE， BADCAE， ABAC，ADAE， BADCAE（SAS） ， ADFAEF， A，E，D，F 四点共圆， AFEADE， DAE
19、54，ADAE， ADE（18054）63， AFE63， 故答案为：63 15如图，过原点的直线与反比例函数 y（k0）的图象交于 A，B 两点，点 A 在第一 象限 点 C 在 x 轴正半轴上， 连结 AC 交反比例函数图象于点 D AE 为BAC 的平分线， 过点 B 作 AE 的垂线，垂足为 E，连结 DE若 AC3DC，ADE 的面积为 8，则 k 的值 为 6 【分析】连接 OE，CE，过点 A 作 AFx 轴，过点 D 作 DHx 轴，过点 D 作 DGAF； 由 AB 经过原点，则 A 与 B 关于原点对称，再由 BEAE，AE 为BAC 的平分线， 可得 ADOE，进而可得
20、SACESAOC；设点 A（m，） ，由已知条件 AC3DC，DH AF，可得 3DHAF，则点 D（3m，） ，证明DHCAGD，得到 SHDCS ADG，所以 SAOCSAOF+S梯形AFHD+SHDC k+12；即可求解； 【解答】解：连接 OE，CE，过点 A 作 AFx 轴，过点 D 作 DHx 轴，过点 D 作 DG AF， 过原点的直线与反比例函数 y（k0）的图象交于 A，B 两点， A 与 B 关于原点对称， O 是 AB 的中点， BEAE， OEOA， OAEAEO， AE 为BAC 的平分线， DAEAEO， ADOE， SACESAOC， AC3DC，ADE 的面积为
21、 8， SACESAOC12， 设点 A（m，） ， AC3DC，DHAF， 3DHAF， D（3m，） ， CHGD，AGDH， DHCAGD， SHDCSADG， SAOCSAOF+S梯形AFHD+SHDCk+（DH+AF）FH+SHDCk+ 2m+k+12， 2k12， k6； 故答案为 6； （另解）连结 OE，由题意可知 OEAC， SOADSEAD8， 易知OAD 的面积梯形 AFHD 的面积， 设 A 的纵坐标为 3a，则 D 的纵坐标为 a， （3a+a） （）16， 解得 k6 16如图，在ABC 中，ABAC5，BC4，D 为边 AB 上一动点（B 点除外） ，以 CD 为
22、一边作正方形 CDEF，连接 BE，则BDE 面积的最大值为 8 【分析】过点 C 作 CGBA 于点 G，作 EHAB 于点 H，作 AMBC 于点 M由 AB AC5，BC4，得到 BMCM2，易证AMBCGB，求得 GB8，设 BD x，则 DG8x，易证EDHDCG，EHDG8x，所以 SBDE ，当 x4 时，BDE 面积的最大值为 8 【解答】解：过点 C 作 CGBA 于点 G，作 EHAB 于点 H，作 AMBC 于点 M ABAC5，BC4， BMCM2， 易证AMBCGB， ， 即 GB8， 设 BDx，则 DG8x， 易证EDHDCG（AAS） ， EHDG8x， SBD
23、E， 当 x4 时，BDE 面积的最大值为 8 故答案为 8 三解答题（共三解答题（共 8 小题）小题） 17计算： （3.14）0（） 2+ 【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质和立方根的性质分别化简得出答 案 【解答】解：原式14+32 2 18如图，在ABC 中，ABAC将ABC 沿着 BC 方向平移得到DEF，其中点 E 在边 BC 上，DE 与 AC 相交于点 O连接 AE、DC、AD，当点 E 在什么位置时，四边形 AECD 为矩形，并说明理由 【分析】先由等腰三角形的性质得出 AEBC，再证四边形 AECD 是平行四边形，即可 得出四边形 AECD 是矩形 【解答】解
24、：当 E 为 BC 的中点时，四边形 AECD 是矩形，理由如下： 如图所示： ABAC，E 为 BC 的中点， AEBC，BEEC， ABC 平移得到DEF， BEAD，BEAD， ADEC，ADEC， 四边形 AECD 是平行四边形， AEBC， 四边形 AECD 是矩形 19为深入开展校园阳光一小时活动，九年级（1） 班学生积极参与锻炼，每位同学从篮球、 跳绳、立定跳远、长跑、铅球中选一项进行锻炼，训练后都进行了测试现将项目选择 情况及训练后篮球定时定点投篮测试成绩整理后作出如下统计图： 请你根据上面提供的信息回答下列问题： （1） （扇形图中）跳绳部分的扇形圆心角为 36 度，该班共有
25、 40 人；训练后，篮 球定时定点投篮每个人进球数的平均数是 5 ，众数是 5 ； （2）老师决定从选择跳绳训练的 3 名女生和 1 名男生中任选两名学生先进行测试，请用 列表或画树形图的方法求恰好选中两名女生的概率 【分析】 （1）用 360乘以跳绳部分对应的百分比可得其圆心角度数，篮球人数除以其所 占百分比即可得总人数，再根据众数和中位数的概念求解可得； （2）画树状图得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到两名女生的情况数，即可求出所 求的概率 【解答】 解：（1） 扇形图中跳绳部分的扇形圆心角为 360 （150%20%10%10%） 36； 该班共有学生（2+5+7+4+1+1）50%4
26、0 人； 训练后篮球定时定点投篮平均每个人的进球数是（32+45+57+64+7+8） 5， 故答案为：36，40，5，5 （2）列表如下： 男 女 1 女 2 女 3 男 （女，男） （女，男） （女，男） 女 1 （男，女） （女，女） （女，女） 女 2 （男，女） （女，女） （女，女） 女 3 （男，女） （女，女） （女，女） 共有 12 种等可能的结果，抽到的两名学生都是女生的结果有 6 种 恰好选中两名女生的概率为 20按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹 （1）如图 1，A 为O 上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出O 的内接正方形； （2）我们知道，三角形具有性质：
27、三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交 于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一 点 请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图 如图 2，在ABCD 中，E 为 CD 的中点，作 BC 的中点 F 如图 3，在由小正方形组成的 43 的网格中，ABC 的顶点都在小正方形的顶点上， 作ABC 的高 AH 【分析】（1） 连结 AE 并延长交圆 E 于点 C， 作 AC 的中垂线交圆于点 B， D， 四边形 ABCD 即为所求 （2）连结 AC，BD 交于点 O，连结 EB 交 AC 于点 G，连结 DG 并延长交 CB 于点 F， 点 F 即为所求；
28、结合网格特点和三角形高的概念作图可得 【解答】解： （1）如图 1，连结 AO 并延长交圆 O 于点 C，作 AC 的中垂线交圆于点 B， D，四边形 ABCD 即为所求 （2）如图 2，连结 AC，BD 交于点 O，连结 EB 交 AC 于点 G，连结 DG 并延长交 CB 于点 F，F 即为所求 如图 3 所示，AH 即为所求 21如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，D 是的中点，E 为 OD 延长线上一点， 且CAE2C，AC 与 BD 交于点 H，与 OE 交于点 F （1）求证：AE 是O 的切线； （2）若 DH9，tanC，求直径 AB 的长 【分析】 （1）根据垂径定理
29、得到 OEAC，求得AFE90，求得EAO90，于是 得到结论； （2）连接 AD，解直角三角形即可得到结论 【解答】解： （1）D 是的中点， OEAC， AFE90， E+EAF90， AOE2C，CAE2C， CAEAOE， E+AOE90， EAO90， AE 是O 的切线； （2）连接 AD，在 RtADH 中， DACC， tanDACtanC， DH9， AD12， 在 RtBDA 中，tanBtanC， sinB， AB20 22某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用 60 天的时间销售一种 成本为 10 元每件的商品，经过统计得到此商品的日销售量 m（件）
30、、销售单价 n（元/件） 在第 x 天（x 为正整数）销售的相关信息： m 与 x 满足一次函数关系， 且第 1 天的日销售量为 98 件， 第 4 天的日销售量为 92 件； n 与 x 的函数关系式为：n （1）求出第 15 天的日销售量； （2）设销售该产品每天利润为 y 元，请写出 y 与 x 的函数关系式，并求出在 60 天内该 产品的最大利润 （3） 在该产品的销售过程中， 共有 14 天销售利润不低于 2322 元（请直接写出结果） 【分析】 （1）利用待定系数法，求出 m 与 x 的关系式，再将 x15 代入，求出 m 的值即 可； （2）分两种情况：当 1x20 时和当 20
31、x60 时，分别用 ym（n10）求出 y 与 x 的关系，再求出其最大值即可； （3）分两种情况：当 1x20 时和当 20x60 时，分别求出利润不低于 2322 元的 x 的取值范围，即可得解 【解答】解： （1）设 m 与 x 的函数关系式为：mkx+b， 当 x1 时，m98；当 x4 时，m92， ，解得：， m 与 x 的函数关系式为：m2x+100， 当 x15 时，m215+10070； （2）根据题意，可知： 当 1x20 时，ym（n10）（2x+100） （x+3010）2（x15）2+2450， 当 x15 时，y 有最大值 2450， 当 20x60 时，ym（n1
32、0）40（2x+100）80x+4000， y 随 x 的增大而减小， 当 x20 时，y 有最大值为：1600+40002400， 综上所述，60 天内该产品的最大利润为 2450； （3）根据题意， 当 1x20 时，2（x15）2+24502322， 解得：7x20， 当 20x60 时，80x+40002322， 解得：x， 综上所述，销售利润不低于 2322 元有 14 天， 故答案为：14 23 如图 1， 在矩形 ABCD 中， AB8， AD10， E 是 CD 边上一点， 连接 AE， 将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，顶点 D 恰好落在 BC 边上点 F 处，延长 AE 交
33、 BC 的延长线于点 G （1）求线段 CE 的长； （2） 如图 2， M， N 分别是线段 AG， DG 上的动点 （与端点不重合） ， 且DMNDAM， 设 AMx，DNy 写出 y 关于 x 的函数解析式，并求出 y 的最小值； 是否存在这样的点 M，使DMN 是等腰三角形？若存在，请求出 x 的值；若不存在， 请说明理由 【分析】 （1）由翻折可知：ADAF10DEEF，设 ECx，则 DEEF8x在 RtECF 中，利用勾股定理构建方程即可解决问题 （2）证明ADMGMN，可得，由此即可解决问题 存在有两种情形：如图 31 中，当 MNMD 时如图 32 中，当 MNDN 时， 作
34、 MHDG 于 H分别求解即可解决问题 【解答】解： （1）如图 1 中， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC10，ABCD8， BBCD90， 由翻折可知：ADAF10DEEF，设 ECx，则 DEEF8x 在 RtABF 中，BF6， CFBCBF1064， 在 RtEFC 中，则有： （8x）2x2+42， x3， EC3 （2）如图 2 中， ADCG， ， ， CG6， BGBC+CG16， 在 RtABG 中，AG8， 在 RtDCG 中，DG10， ADDG10， DAGAGD， DMGDMN+NMGDAM+ADM，DMNDAM， ADMNMG， ADMGMN， ， ， yx2
35、x+10 当 x4时，y 有最小值，最小值2 存在 由题意： DMNDGM 可以推出DNMDMG， 推出DNMDMN， 所以有两种情形：如图 31 中，当 MNMD 时， MDNGDM，DMNDGM， DMNDGM， ， MNDM， DGGM10， xAM810 如图 32 中，当 MNDN 时，作 MHDG 于 H MNDN， MDNDMN， DMNDGM， MDGMGD， MDMG， MHDG， DHGH5， 由GHMGBA，可得， ， MG， xAM8 综上所述，满足条件的 x 的值为 810 或 24如图 1，已知抛物线 yx2+bx+c 过点 A（1，0） ，B（3，0） （1）求抛
36、物线的解析式及其顶点 C 的坐标； （2）设点 D 是 x 轴上一点，当 tan（CAO+CDO）4 时，求点 D 的坐标； （3）如图 2抛物线与 y 轴交于点 E，点 P 是该抛物线上位于第二象限的点，线段 PA 交 BE 于点 M， 交 y 轴于点 N， BMP 和EMN 的面积分别为 m、 n， 求 mn 的最大值 【分析】 （1）利用待定系数法，将 A，B 的坐标代入 yx2+bx+c 即可求得二次函数的 解析式； （2）设抛物线对称轴与 x 轴交于点 H，在 RtCHO 中，可求得 tanCOH4，推出 ACOCDO，可证AOCACD，利用相似三角形的性质可求出 AD 的长度，进一
37、 步可求出点 D 的坐标，由对称性可直接求出另一种情况； （3）设 P（a，a22a+3） ，A（1，0）代入 ykx+b，求出直线 PA 的解析式，求出点 N 的坐标，由 SBPMSBPAS四边形BMNOSAON，SEMNSEBOS四边形BMNO，可推出 SBPMSEMNSBPASEBOSAON，再用含 a 的代数式表示出来，最终可用函数的 思想来求出其最大值 【解答】解： （1）由题意把点（1，0） ， （3，0）代入 yx2+bx+c， 得， 解得 b2，c3， yx22x+3 （x+1）2+4， 此抛物线解析式为：yx22x+3，顶点 C 的坐标为（1，4） ； （2）抛物线顶点 C（
38、1，4） ， 抛物线对称轴为直线 x1， 设抛物线对称轴与 x 轴交于点 H， 则 H（1，0） ， 在 RtCHO 中，CH4，OH1， tanCOH4， COHCAO+ACO， 当ACOCDO 时， tan（CAO+CDO）tanCOH4， 如图 1，当点 D 在对称轴左侧时， ACOCDO，CAOCAO， AOCACD， ， AC2，AO1， ， AD20， OD19， D（19，0） ； 当点 D 在对称轴右侧时，点 D 关于直线 x1 的对称点 D的坐标为（17，0） ， 点 D 的坐标为（19，0）或（17，0） ； （3）设 P（a，a22a+3） ， 将 P（a，a22a+3） ，A（1，0）代入 ykx+b， 得， 解得，ka3，ba+3， yPA（a3）x+a+3， 当 x0 时，ya+3， N（0，a+3） ， 如图 2， SBPMSBPAS四边形BMNOSAON，SEMNSEBOS四边形BMNO， SBPMSEMN SBPASEBOSAON 4（a22a+3）331（a+3） 2a2a 2（a+）2+， 由二次函数的性质知，当 a时，SBPMSEMN有最大值， BMP 和EMN 的面积分别为 m、n， mn 的最大值为
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