1、高三数学 第 1 页 共 11 页 青浦区青浦区 2012019 9 学年学年高三高三年级第二次学业质量调研测试年级第二次学业质量调研测试 数学数学试卷试卷 （时间 120 分钟，满分 150 分） Q2020.05 一一、填空题（本大题满分填空题（本大题满分 54 分）本大题共有分）本大题共有 12 题，题，1-6 每题每题 4 分，分，7-12 每题每题 5 分分考生应在答题考生应在答题 纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分. 1已知全集U R，集合(,2)A ，则集合 UA _ 2已知i为虚数单位
2、，复数2iz 的共轭复数z _ 3已知函数 1 1fx x ，则方程 1 2fx 的解x_ 4若 5 (1)ax的展开式中 3 x的系数是80，则实数a的值是_ 5双曲线 22 1 44 xy 的一个焦点到一条渐近线的距离是_ 6用一平面去截球所得截面的面积为 2 3 cm，已知球心到该截面的距离为1cm，则该球的表 面积是_ 2 cm 7已知, 0x y 且21xy，则 11 xy 的最小值为_ 8已知平面向量ab ，满足 (1, 1)a ，|1b ，|2 |2ab，则a与b的夹角为_ 9设1,3,5a，2,4,6b，则函数 1 ( )logb a f x x 是减函数的概率为_ 10已知函
3、数( )f xx a， 若存在实数 0 x满足 00) (xxff， 则实数a的取值范围是_ 11已知正三角形ABC的三个顶点均在抛物线 2 xy上，其中一条边所在直线的斜率为 2， 则ABC的三个顶点的横坐标之和为_ 12定义函数 ( )f xx x，其中 x表示不小于x的最小整数，如 1.42，2.32 ， 当(0, xnnN 时， 函数 ( )f x的值域为 n A， 记集合 n A中元素的个数为 n a， 则 n a _ 高三数学 第 2 页 共 11 页 二、二、选择题（本大题满分选择题（本大题满分 20 分）本大题共有分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题题
4、，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题 纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分. 13 已知, a bR， 则 “0b” 是 “ 2 0ab” 的 （ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 14我国古代数学著作九章算术中记载问题：“今有垣厚八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小 鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”，意思是“今有土墙厚 8 尺，两鼠从墙 两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天
5、多 一倍， 小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半， 问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢需要的最少天 数为 （ ） （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 15记椭圆 22 1 441 xny n 围成的区域（含边界）为(1,2,) n n，当点( , )x y分别在 1 ， 2 ， 上时，xy的最大值分别是 1 M， 2 M， ， 则l i m n n M （ ） （A）25 （B）4 （C）3 （D）2 2 16已知函数( )sin2 sinf xxx，关于x的方程 2( ) ( ) 10fxa f x 有以下结论： 当0a时，方程 2( ) ( ) 10fxa f x 在0,2内最多有3个不等实
6、根； 当 64 0 9 a时，方程 2( ) ( ) 10fxa f x 在0,2内有两个不等实根； 若方程 2( ) ( ) 10fxa f x 在0,6内根的个数为偶数，则所有根之和为15 若方程 2( ) ( ) 10fxa f x 在0,6内根的个数为偶数，则所有根之和为36 其中所有正确结论的序号是（ ） （A） （B） （C） （D） 三解答题（本大题满分三解答题（本大题满分 76 分）本大题共有分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定 区域内写出必要的步骤区域内写出必要的步骤. 17.(本题满分本题满分 14 分）分
7、）本题共本题共有有 2 个个小题，小题，第第 1 小题小题满分满分 6 分，第分，第 2 小题小题满分满分 8 分分. 如图，在正四棱柱 1111 ABCDABC D中， 1 60B AB （1）求直线 1 AC与平面ABCD所成的角的大小； （2）求异面直线 1 BC与 11 AC所成角的大小 高三数学 第 3 页 共 11 页 18 （本题满分 （本题满分 14 分）分）本题共本题共有有 2 个个小题，小题，第第 1 小题小题满分满分 6 分，第分，第 2 小题小题满分满分 8 分分. 已知函数 2 ( )2sin()sin cos3sin 3 f xxxxx （1）若函数( )yf x的
8、图像关于直线(0)xa a对称，求a的最小值； （2）若存在 0 5 0, 2 1 x ，使 0 ()20mf x成立，求实数m的取值范围 19.(本题满分本题满分 14 分）分）本题共本题共有有 2 个个小题，小题，第第 1 小题小题满分满分 6 分，第分，第 2 小题小题满分满分 8 分分. 上海市某地铁项目正在紧张建设中， 通车后将给更多市民出行带来便利 已知该线路通车后， 地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足220t ， * tN经测算，在某一时段，地铁载 客量与发车时间间隔t相关，当1020t 时地铁可达到满载状态，载客量为 1200 人，当 210t 时，载客量会减少，减少的人数
9、与(10) t的平方成正比，且发车时间间隔为 2 分钟时 载客量为 560 人，记地铁载客量为( )p t （1）求( )p t的表达式，并求在该时段内发车时间间隔为 6 分钟时，地铁的载客量； （2）若该时段这条线路每分钟的净收益为 6 ( )3360 360 p t Q t （元） ，问当发车时间间隔为 多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？ 20.(本题满分本题满分 16 分）本题共分）本题共有有 3 个个小题，第小题，第 1 小题小题满分满分 4 分，第分，第 2 小题小题满分满分 6 分，第分，第 3 小题小题满满 高三数学 第 4 页 共 11 页 分分 6 分分. 已知椭圆
10、22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别是 1 F， 2 F，其长轴长是短轴长的 2 倍，过 1 F且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为 1 （1）求椭圆C的方程； （2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有 且只有一个公共点， 设直线 1 PF， 2 PF的斜率分别为 1 k， 2 k， 若0k ， 证明 12 11 kkkk 为定值， 并求出这个定值； （3）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点， 设 12 FPF的角平分线PM交椭圆C的长轴于点 ,0M m，求m的取值范围 21.(本题满分本题满分 18 分）本题共分）本题共
11、有有 3 个个小题，第小题，第 1 小题小题满分满分 4 分，第分，第 2 小题小题满分满分 6 分，第分，第 3 小题小题满满 分分 8 分分. 对于无穷数列 n a、 n b，n * N，若 1212 max,min, kkk a aaa aab ， k * N， 则称数列 n b是数列 n a的 “收缩数列” 其中 12 max, k a aa、 12 min, k a aa 分别表示 12, , k a aa中的最大项和最小项已知数列 n a的前n项和为 n S，数列 n b是数列 n a的“收缩数列” （1）若31 n an，求数列 n b的前n项和； （2）证明：数列 n b的“收
12、缩数列”仍是 n b； （3）若 121 11 1,2,3, 22 nn n nn n SSSabn ，求所有满足该条件的 数列 n a 高三数学 第 5 页 共 11 页 青浦区青浦区 20192019 学年第学年第二二学期高三学期高三年级第二次质量调研年级第二次质量调研测试测试 数学数学参考答案及评分标准参考答案及评分标准 2020.05 说明：说明： 1本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标 准的精神进行评分准的精神进行评分 2 评阅试卷， 应坚持每题评阅到底， 不要因为
13、考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅评阅试卷， 应坚持每题评阅到底， 不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅 当当 考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难 度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果 有较严重的概念性错误，就不给分有较严重的概念性错误，就不给分 3第第 17 题至第题至第 21 题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得
14、的该题分数题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数 4给分或扣分均以给分或扣分均以 1 分为单位分为单位 一一. .填空题（本大题满分填空题（本大题满分 5454 分）本大题共有分）本大题共有 1 12 2 题，题，1 1- -6 6 每题每题 4 4 分，分，7 7- -1212 每题每题 5 5 分分考生应在答题考生应在答题 纸相应编号的空格内直接填写结果纸相应编号的空格内直接填写结果. . 1 2,； 22i； 3 3 2 ； 42； 52； 616； 732 2； 8 3 4 ； 9. 2 3 ； 10. 1 4 a ； 11 3 2 10 ； 12. (1) 2 n
15、n n a . 二二. .选择题（本大题满分选择题（本大题满分 2020 分）本大题共有分）本大题共有 4 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题 纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分. . 13. A ；14. B ； 15 D ；16. C . 三解答题三解答题（本大题满分（本大题满分 7474 分）分）本大题共有本大题共有 5 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定 区域内写出必要的步骤区
16、域内写出必要的步骤. . 1717.(.(本题满分本题满分 1 14 4 分）分）本题共本题共 2 2 小题，小题，第第（1 1）小题小题 6 6 分，第（分，第（2 2）小题）小题 8 8 分分. . 解： （1）因为在正四棱柱 1111 ABCDABC D中， 1 A A平面ABCD，A是垂足， 所以 1 ACA 是 1 AC与平面ABCD所成的角， 高三数学 第 6 页 共 11 页 设1AB ，又正四棱柱 1111 ABCDABC D中， 1 60B AB， 1 2AB， 11 3BBAA， 1 12AC ， 1 1 36 tan 22 AA ACA AC 1 6 arctan 2 A
17、CA 1 AC与平面ABCD所成的角的大小为 6 arctan 2 （2）解一：如图所示：连接AC， 11 ACAC， 1 BCA是异面直线 1 BC与 11 AC所成角， 11 2ABBC， 2AC ， 222 11 1 1 4242 cos 242 22 BCACAB BCA BC AC ， 1 2 arccos 4 BCA 所以异面直线 1 BC与 11 AC所成角的大小的大小为 2 arccos 4 1818 （本题满分（本题满分 14 分）第（分）第（1）小题满分）小题满分 6 分，第（分，第（2）小题满分）小题满分 8 分分. . 解： （1） 2 2sinsincos3sin 3
18、 f xxxxx 2 sin3cossincos3sinxxxxx 2 2sin3coscos3sinxxxx 22 2sin cos3 cossinxxxx sin23cos22sin 2 3 xxx ， 高三数学 第 7 页 共 11 页 2 32 akkZ， , 212 k akZ 又0a a的最小值为 12 （2）因为存在 0 5 0, 12 x ，使成立，所以 0 0f x， 即 0 0 0 21 20 sin 2 3 mf xm f x x 00 57 0,2 12336 xx 0 1 sin 21 23 x 又 0 sin 20 3 x ， 则 , 21,m 19.(19.(本题
19、满分本题满分 1 14 4 分）本题共分）本题共 2 2 小题，第小题，第（1 1）小题小题 6 6 分，第分，第（2 2）小题小题 8 8 分分. . 解： （1）由题意知 2 120010,210 1200,1020 ktt p t t ，Nt， （k为常数） ， 2 21200102120064560pkk， 10k ， 2 2 10200200,2101200 10 10,210 1200,10201200,1020 ttttt p t tt ， 2 61200 101061040p， 故当发车时间间隔为 6 分钟时，地铁的载客量1040人 （2）由 63360 360 p t Q t
20、 ，可得 2 366102002003360 84060,210 360,210 38403840 360,1020360,1020 tt tt t t t Q tt tt ， 高三数学 第 8 页 共 11 页 当210t 时， 36 8406084060 12120Qt t ，当且仅当6t 等号成立； 当1020t 时， 72003360 36038436024Q t ，当10t 时等号成立， 由可知，当发车时间间隔为 6t 分钟时，该时段这条线路每分钟的净收益最大，最大为 120 元 2 20 0.(.(本题满分本题满分 1 16 6 分）分）本题本题共共 3 3 小题，第小题，第（1
21、1）小题小题 4 4 分，第分，第（2 2）小题小题 6 6 分，第分，第（3 3）小题小题 6 6 分分. . 解：(1)由于 222 cab，将x c代入椭圆方程 22 22 1 xy ab ，得 2 b y a 由题意知 2 2 1 b a ，即 2 2ab 又 1 2 b a ， 222 abc，所以2a，1b 所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y (2)设 000 (,)(0)Pyyx，则直线l的方程为 00 ()yyk xx 联立得 2 2 00 1 4 () x y yyk xx ， 整理得 222222 000000 (14)8()4(21)0kxkyk x xykx y
22、k x 由题意得0 ，即 222 0000 (4)210xkx y ky 又 2 2 0 0 1 4 x y，所以 222 0000 1680y kx y kx，故 0 0 4 x k y 又知 000 12000 33211xxx kkyyy ， 所以 00 121200 4211111 8 yx kkkkkkkxy ， 因此 12 11 kkkk 为定值，这个定值为8 (3)设 000 (,)(0)Pyyx，又 1( 3,0)F ， 2( 3,0) F，所以直线 1 PF， 2 PF的方程分别为 1 000 :(3)30 PF ly xxyy， 2 000 :(3)30 PF ly xxy
23、y 由题意知 0000 2222 0000 |3|3| (3)()3 myymyy yxyx 由于点P在椭圆上，所以 2 2 0 0 1 4 x y 高三数学 第 9 页 共 11 页 所以 22 00 |3|3| 33 22 22 mm xx 因为 33m ， 0 22x ，可得 00 33 33 22 22 mm xx ， 所以 0 3 4 mx， 因此 33 22 m 2 21 1.(.(本题满分本题满分 1 18 8 分）分）本题本题共共 3 3 小题，第小题，第（1 1）小题小题 4 4 分，第分，第（2 2）小题小题 6 6 分，第分，第（3 3）小题小题 8 8 分分. . 解：
24、 （1）由31 n an可得 n a为递增数列，所以 12121 max,min,31 233 nnnn ba aaa aaaann ， 故 n b的前n项和为 31(033) 22 n nnn （2）因为 12121 max,max,1,2,3, nn a aaa aan ， 12121 min,min,1,2,3, nn a aaa aan ， 所以 1211211212 max,min,max,min, nnnn a aaa aaa aaa aa 所以 1 1,2,3, nn bbn 又因为 111 0baa，所以 12121 max,min, nnnn b bbb bbbbb， 所以
25、n b的“收缩数列”仍是 n b （3）由 121 11 1,2,3, 22 nn n nn n SSSabn 可得 当1n 时， 11 aa； 当2n时， 1212 23aaab，即 221 baa，所以 21 aa； 高三数学 第 10 页 共 11 页 当3n 时， 12313 3263aaaab，即 32131 32baaaa（*） ， 若 132 aaa，则 321 baa，所以由（*）可得 32 aa，与 32 aa矛盾； 若 312 aaa，则 323 baa，所以由（*）可得 3213 3aaaa， 所以 32 aa与 13 aa同号，这与 312 aaa矛盾； 若 32 aa
26、，则 331 baa，由（*）可得 32 aa. 猜想：满足 121 11 1,2,3, 22 nn n nn n SSSabn 的数列 n a是： 1 21 2 ,1 ,1 n a n aaa a n ，n * N14 分 经验证，左式 121212 1 1 21 2 n n n SSSnananaa ， 右式 112112 11111 22222 n n nn nn nn nn n abaaanaa . 16 分 下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件. 由上述3n时的情况可知，3n时， 1 21 2 ,1 , ,1 n a n aaa a n 是成立的. 假设 k a是首次不符合 1
27、21 2 ,1 , ,2 n a n aaa a n 的项，则 1231kk aaaaa ， 由题设条件可得 2 21 112 222 kk k kk kkk aaab （*） ， 若 12k aaa，则由（*）式化简可得 2k aa与 2k aa矛盾； 若 12k aaa，则 2kk baa，所以由（*）可得 21 1 2 kk k k aaaa 高三数学 第 11 页 共 11 页 所以 2k aa与 1k aa同号，这与 12k aaa矛盾； 所以 2k aa，则 1kk baa，所以由（*）化简可得 2k aa. 这与假设 2k aa矛盾. 所以，所有满足该条件的数列 n a的通项公式为 1 21 2 ,1, ,2, n a n aaa a n ，n * N
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