1、第六讲 相遇问题 院子里两棵槐树之间的距离是 10 米， 一只小猫从一棵槐树跑到 10 米外的另 一棵槐树需要 5 秒，那么小猫每秒跑10 52 米 行程问题是研究路程、 时间和速度之间的关系 速度是衡量运动快慢的量 一 般我们选用 1 个单位的时间，如用 1 小时或 1 分钟或 1 秒，用 1 个单位的时间内 经过的路程的多少来表示速度的大小因此，我们有了速度的定义： 速度就是单位时间内所经过的路程 速度、时间和路程是行程问题中最重要的三个量，它们之间的关系如下： 路程速度 时间 速度 路程 时间 =时间路程速度 那么本文一开始提到的小猫跑过的距离 10 米就为路程，行程问题中常用的 路程单
2、位是米和千米而小猫跑了 5 秒就是时间，时间的常用单位有秒、分钟和 小时那么小猫的速度就是 2 米秒，行程问题中常用的速度单位有米秒、米 分和千米时 练一练 1. 汽车以每小时 15 千米的速度行驶，那么 5 小时内，它行驶了_千米 2. 长跑运动员每秒跑 4 米，如果按照这个速度跑完 10000 米，需要_秒 3. 一颗子弹射出后 2 秒钟，恰好击中 1800 米处的目标，那么它的速度是每秒_ 米 4. 一名长跑运动员以每秒 4 米的速度奔跑，那么 2 分钟内，他跑了_米 5. 小高每分钟骑 100 米，如果要骑完 6000 米的路程，需要_小时 例题 1 甲、乙两地相距 360 千米，一辆
3、汽车原计划用 8 小时从甲地到乙地， 那么汽车每小时应该行驶多少千米？实际上汽车行驶了一半路程后 发生了故障，在途中停留了 1 小时如果按照原定的时间到达乙地， 汽车在后一半路程上每小时应该行驶多少千米？ 分析分析要计算速度，找清楚对应对应 的路程和时间即可 练习 1 兔子和乌龟赛跑，从 A 地跑到 B 地，全程共 6000 米兔子计划 5 分钟跑完 全程， 结果比赛时兔子实际每分钟跑的路程要比计划的要少 200 米那么兔子实 际跑完全程用了多长时间？ 例题 2 A、B 两地相距 4800 米，甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相 向而行，如果甲每分钟走 60 米，乙每分钟走 100 米
4、，请问： （1）甲从 A 走到 B 需要多长时间？ （2）两个人从出发到相遇需要多长时间？ 分析分析从出发到相遇，两人一共走了多远？他俩每分钟一共走多远呢？ 练习 2 阿呆和阿瓜从相距 5000 米的 A、B 两地同时出发，相向而行阿呆每分钟 走 150 米，阿瓜每分钟走 350 米，那么两人从出发到相遇需要多长时间？ 在两个运动物体在一条直线上运动，行进的方向可能相同，也可能相反当 它们行进方向相反时，如果它们面对面地接近，我们就称为“相向而行” ；如果 它们背对背地远离，我们就称为“相背而行” 两人之间的“相遇问题”既可以 是“相向而行”也可以是“相背而行” ，其中“相向而行”的相遇问题更
5、常见一 些 相遇问题关心的是两个人的“速度和”以及“路程和” 根据行程问题基本 公式，我们可以类似得到相遇问题的三个基本公式： 路程和 速度和 相遇时间 相遇时间 路程和 速度和 速度和 路程和 相遇时间 在使用上述公式的时侯一定要注意，两个运动物体必须同时行进如果整个 相遇过程中并不是同时行进的，这个公式就不能直接应用了，需要分段考虑 例题 3 一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距 350 千米的两地相向而行， 公 共汽车每小时行 40 千米，小轿车每小时行 60 千米，问： （1）2 小时后两车相距多少千米？ （2）出发几小时后两车第一次相距 50 千米？ （3）出发几小时后两车第二次相距
6、50 千米？ 分析分析两辆车从两地出发相向而行， 为什么会有两次相距 50 千米呢？画出线段 图，试着找找相同时间内两辆车的路程和吧！ 练习 3 A、B 两地相距 400 千米，甲、乙两车分别从 A、B 同时出发，相向而行甲 车的速度为每小时 60 千米，乙车的速度为每小时 40 千米，请问：出发几小时后 甲、乙两车第一次相距 100 千米？再过多长时间两车第二次相距 100 千米？ 对一些复杂的行程问题，单靠凭空想象已经无能为力了，这时就需要用一种 形象的语言，把运动过程直观地表现出来，这就是我们解行程问题最得力的助手 线段图 画线段图时要特别注意： （1）专人专线专人专线：如果我们考虑的是
7、两个或多个对象的运动，可以把它们的 运动路线并排摆放，要注意不同人的运动路线不同； （2）同时性同时性：如果运动时间分为几个阶段，那么应该在运动路线上表示相 应的时刻 比如上图表示汽车 A 与汽车 B 分别从甲地、乙地同时出发，从开始时刻 到时刻两车相遇，从时刻到时刻表示两车相遇后各自的运动情况这样一 来，我们就可以借助线段图把整个行程过程看得更清楚 画线段图是解行程问题最基本的方法通过作图，可以将题目中的条件梳理 清楚，还可以通过对图形的观察，挖掘出很多字面上看不出来的隐藏条件，进而 找到解题的的突破口 例题 4 甲、乙两地相距 350 千米，一辆汽车在早上 8 点从甲地出发，以每小 时 4
8、0 千米的速度开往乙地2 小时后另一辆汽车以每小时 50 千米的 汽车 A 甲地 乙地 汽车 B 速度从乙地开往甲地问：什么时候两车在途中相遇？ 分析分析两辆车不同时出发，可是不能直接用公式计算时间的还是画出线 段图，寻找相同时间内的路程和进行分析计算吧！ 练习 4 小王和小许从相距 5000 米的各自的家里出发， 相向而行 小王每分钟走 300 米，小许每分钟走 200 米小王出发 10 分钟后小许才从家出发，那么小王走了 多长时间两人才相遇？ 例题 5 （1）小高跑 400 米用 50 秒，旗鱼每小时能游 120 千米请问：谁的 速度更快？ （2）一般情况下，成年人跑 100 米要用 14
9、 秒，河马奔跑的速度是 40 千米时，河马跑的比人快吗？ 分析分析单位相同时，比较速度的大小即得谁快谁慢，这两小问中速度单位 都没办法统一，该怎么去比较快慢呢？ 例题 6 甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发相向而行，已知甲每分钟走 50 米，乙走完全程要 18 分钟，出发 3 分钟后，甲、乙仍相距 450 米请 问：还要过多少分钟，甲、乙两人才能相遇？ 分析分析乙已经走了 3 分钟，那么走完剩下的路程就还需要多长时间？你能找到 这段时间的路程吗？画出线段图分析吧！ 课堂内外 作业 1. 一名长跑运动员以每秒 4 米的速度奔跑，那么 5 分钟后，他跑了多少米？ 2. 甲、乙两车从相距 700
10、 千米的两地同时出发，相向而行甲车每小时行 40 千米，乙车 每小时行 60 千米，出发几小时后两车相遇？ 3. 甲、 乙两车从两地同时出发， 相向而行 甲车每小时行 60 千米， 乙车每小时行 75 千米， 出发 2 小时后两车相遇请问两地相距多少千米？ 4. 一只大老鼠和一只小老鼠分别从一根长 1000 厘米的直面条的两端开始吃大老鼠每秒 钟吃 3 厘米，小老鼠每秒钟吃 1 厘米，请问多长时间后，大老鼠和小老鼠第一次相距 40 厘米？ 5. 甲、乙两城相距 580 千米，从甲城开往乙城的客车每小时行驶 60 千米客车出发 1 小 时后，货车从乙城开往甲城，每小时行 70 千米货车开出多少小
11、时后两车相遇？ 第六讲 相遇问题 1. 例题 1 答案：45 千米千米/小时；小时；60 千米千米/小时小时 详解： （1）行驶路程是）行驶路程是 360 千米，行驶时间是千米，行驶时间是 8 小时，所以行驶速度是小时，所以行驶速度是360845千米千米/小时；小时； （2）后一半路程是）后一半路程是3602180千米，行驶总时间仍然是千米，行驶总时间仍然是 8 小时，前半程花了小时，前半程花了415 小时，小时， 所以后半程行驶时间是所以后半程行驶时间是 3 小时，后半程的速度是小时，后半程的速度是180360千米千米/小时小时 2. 例题 2 答案：80 分钟；30 分钟 详解：（1） 甲
12、行驶的路程是） 甲行驶的路程是 4800 米， 行驶的速度是米， 行驶的速度是 60 米米/分钟， 所以行驶的时间是分钟， 所以行驶的时间是48006080 分钟； （分钟； （2） 两人从出发到相遇行驶的路程和是） 两人从出发到相遇行驶的路程和是 4800 米， 行驶的速度和是米， 行驶的速度和是60100160米米/分钟，分钟， 所以相遇时间是所以相遇时间是4800 16030分钟分钟 3. 例题 3 答案：150 千米；3 小时；4 小时 详解： （1）两车的速度和是）两车的速度和是4060100千米千米/小时，行驶时间是小时，行驶时间是 2 小时，所以两车的路程和是小时，所以两车的路程
13、和是 1002200千米，两车相距千米，两车相距350200150千米； （千米； （2）两车第一次相距）两车第一次相距 50 千米，两车还没有千米，两车还没有 相遇，两车行驶的路程和是相遇，两车行驶的路程和是35050300千米，两车的速度和是千米，两车的速度和是4060100千米千米/小时，行驶小时，行驶 时间是时间是300 1003小时； （小时； （3）两车相遇后继续行驶，第二次相距）两车相遇后继续行驶，第二次相距 50 千米时，两车行驶的路程千米时，两车行驶的路程 和是和是35050400千米，两车的速度和是千米，两车的速度和是4060100千米千米/小时，行驶时间是小时，行驶时间是
14、400 1004小小 时时 4. 例题 4 答案：13 点 详解：画行程图，如下图所示， “车画行程图，如下图所示， “车 1”提前出发”提前出发 2 小时所行驶的路程是小时所行驶的路程是40 280千米，剩下千米，剩下 的路程是两辆汽车在相同时间内行驶的路程和，路程和是的路程是两辆汽车在相同时间内行驶的路程和，路程和是35080270千米，速度和是千米，速度和是 405090千米千米/小时， 所以相遇时间是小时， 所以相遇时间是270903小时，“车小时，“车 2” 从” 从 10 点出发， 行驶了点出发， 行驶了 3 小时，小时， 所以所以 13 点两车在途中相遇点两车在途中相遇 5. 例
15、题 5 答案：旗鱼快；河马比人快 详解： （1）小高的速度是）小高的速度是400508米米/秒，单位不一样，无法比较，所以把小高的速度变成米秒，单位不一样，无法比较，所以把小高的速度变成米 /小时，小时， 1 小时小高跑小时小高跑8 360028800米， 速度即米， 速度即 28800 米米/小时； 旗鱼的速度是小时； 旗鱼的速度是 120000 米米/小时，小时， 所以旗鱼的速度更快； （所以旗鱼的速度更快； （2）成年人成年人 14 秒跑秒跑 100 米，所以米，所以 1 秒跑秒跑 7 米多；河马米多；河马 1 小时跑小时跑 40 千米，千米， 所以所以 1 秒跑秒跑 11 米多，所以河
16、马跑的比人快；或者可以统一路程比速度：河马跑米多，所以河马跑的比人快；或者可以统一路程比速度：河马跑 40000 米用米用 1 小小 时即时即 3600 秒，而成人跑秒，而成人跑 40000 米需要米需要144005600秒，路程相同，河马用时短，所以更快 6. 例题 6 答案：5 分钟 车 1 40km/h 车 2 50km/h 2h 350km 乙 甲 详解：甲甲 3 分钟所行驶的路程是分钟所行驶的路程是50 3150 米，乙距离米，乙距离 A 地还有地还有150450600米米乙行驶全乙行驶全 程要程要 18 分钟，已经行驶了分钟，已经行驶了 3 分钟，还需要行驶分钟，还需要行驶 15
17、分钟才能走完分钟才能走完 600 米，所以乙的速度是米，所以乙的速度是 600 1540米米/分，分，450 米是两人之后的路程和，速度和是米是两人之后的路程和，速度和是504090米米/分，所以还需要分，所以还需要 450905分钟，甲、乙两人才能相遇分钟，甲、乙两人才能相遇 7. 练习 1 答案：6 分钟 详解：原计划原计划 5 分钟跑完分钟跑完 6000 米，所以原计划速度为米，所以原计划速度为600051200米/分，实际每分钟跑 12002001000米，所以实际时间为6000 10006分钟 8. 练习 2 答案：10 分钟 详解：从出发到相遇，路程和为从出发到相遇，路程和为 50
18、00 米，速度和为米，速度和为150350500米/分，所以时间为 500050010分钟 9. 练习 3 答案：3 小时；5 小时 简答： （1）两车第一次相距）两车第一次相距 100 千米，两车还没有相遇，两车行驶的路程和是千米，两车还没有相遇，两车行驶的路程和是400 100300千千 米，两车的速度和是米，两车的速度和是4060100千米千米/小时，行驶时间是小时，行驶时间是300 1003小时； （小时； （2）两车相遇后继）两车相遇后继 续行驶，第二次相距续行驶，第二次相距 100 千米时，两车行驶的路程和是千米时，两车行驶的路程和是400 100500千米，两车的速度和是千米，两
19、车的速度和是 4060100千米千米/小时，行驶时间是小时，行驶时间是500 1005小时小时 10. 练习 4 答案：14 分钟 简答：画行程图，如下图所示，小王提前出发画行程图，如下图所示，小王提前出发 10 分钟所行驶的路程是分钟所行驶的路程是300 103000米，剩下米，剩下 的路程是两人在相同时间内行驶的路程和，路程和是的路程是两人在相同时间内行驶的路程和，路程和是500030002000米，速度和是米，速度和是 300200500米米/分，相遇时间是分，相遇时间是20005004分钟，所以小王一共走了分钟，所以小王一共走了10414分钟两人 才相遇 11. 作业 1 答案：120
20、0 米 简答：4 5 601200 米注意单位换算 12. 作业 2 答案：7 小时 甲 50 米/分 乙 450 米 B A 3 分钟 3 分钟 王 300 许 200 10 分 5000 简答：相遇时间为70040607小时 13. 作业 3 答案：270 千米 简答：两地距离即为两车路程和，为60752270千米 14. 作业 4 答案：240 秒 简答：第一次相距 40 厘米，两只老鼠共同吃的面条长度和为100040960厘米，用时 96031240秒 15. 作业 5 答案：4 小时 简答：客车 1 小时行 60 千米，货车出发时两车相距58060520千米，相遇时间为 52060704小时所以货车出发后 4 小时两车相遇了
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