1、第五讲 加法原理与乘法原理 “加法原理与乘法原理”研究的可不是加法和乘法怎么算！ 我们以前学习过枚举计数的方法， 但枚举法对于很多计数问题来说太麻烦了， 今天我们要学习的加法原理、乘法原理是计数问题中的两种新的计算方法先举 一个例子： 餐厅里有 4 种炒菜和 2 种炖菜，4 种炒菜分别是：红烧鱼块、滑溜里脊、清 炒虾仁和三鲜豆腐，2 种炖菜分别是：土豆炖牛肉和萝卜炖排骨 点菜时如果只点一个菜， 有点炒菜和点炖菜这两类方式 也就是说， 可以点： 红烧鱼块、滑溜里脊、清炒虾仁、三鲜豆腐、土豆炖牛肉和萝卜炖排骨之一，有 4 2 6 种点菜方法， 其中 4 代表 4 种炒菜， 2 代表 2 种炖菜 这
2、就是加法原理 加法原理：如果完成一件事有几类方式，在每一类方式中又有不同的方法， 那么把每类的方法数相加就得到所有的方法数 如果要求炒菜和炖菜各点一个， 这时我们可以把一个炒菜和一个炖菜看成一 个点菜组合，点炒菜是一第一步，点炖菜是第二步，这两步缺一不可炒菜选红 烧鱼块的点菜方法有 2 种：（红烧鱼块， 土豆炖牛肉） 、（红烧鱼块， 萝卜炖排骨） ； 类似地，选滑溜里脊的也有 2 种： （滑溜里脊，土豆炖牛肉） 、 （滑溜里脊，萝卜 炖排骨） ；选清炒虾仁的也有 2 种： （清炒虾仁，土豆炖牛肉） 、 （清炒虾仁，萝卜 炖排骨） ；选三鲜豆腐的也有 2 种： （三鲜豆腐，土豆炖牛肉） 、 （三
3、鲜豆腐，萝卜 炖排骨） 合在一起就有4 2 8 种点菜方法，其中 4 代表 4 种炒菜，2 代表 2 种 炖菜这就是乘法原理 乘法原理： 如果完成一件事分为几个步骤， 在每一个步骤中又有不同的方法， 那么把每步的方法数相乘就得到所有的方法数 例题 1 小高一家人外出旅游， 可以乘火车， 也可以乘汽车， 还可以坐飞机 经 过网上查询， 出发的那一天中火车有4班， 汽车有3班， 飞机有2 班 任 意选择其中一个班次，有多少种出行方法？ 分析分析选择不同的交通工具是分类还是分步？是用加法原理还是乘法原理呢？ 练习 1 书架上有 8 本不同的小说和 10 本不同的漫画，大头要从书架上任意取一本 书，有
4、多少种不同的取法？ 例题 2 用红、黄两种颜色给图中房子的屋顶、烟囱、门、 窗四个部分染色， 每个部分只能染一种颜色， 一共 有多少种不同的染色方法？ 分析分析要给四个部分染色，我们很容易想到要依次染每个 部分，这是分类还是分步呢？只染一个部分能完成这件事 情吗？ 练习 2 用红、黄两种颜色给图中鸭子的眼睛、嘴巴、身子 三个部分染色，每个部分只能染一种颜色，一共有多少 种不同的染色方法？ 分类是指完成一件事情有几类不同方法， 从中任意选取一类即可， 它们之间可以相互替 代，任意选取一类都可以完成这件事这种情况下一般要用到加法原理 分步是指完成一件事情有几步不同步骤， 每一步都必须执行， 它们之
5、间不可以相互替代， 少一步都不能完成这件事这种情况下一般要用到乘法原理 例题 3 从甲地到乙地有3 条路， 从乙地到丙地有 3 条路， 从甲地到丁地有 2 条路，从丁地到丙地有 4 条 路如果要求所走路线不能重复，那么从甲地到 丙地共有多少条不同的路线？ 分析分析要从甲地到丙地， 就必须途径乙、 丁两地之一“甲 乙丙”与“甲丁丙”这两类路线各有多少条呢？ 练习 3 任意两地之间的路线都已在下图中标示出来，如果要 求所走路线不能重复，那么从甲地到丙地共有多少条不同 的路线？ 通过上面这几个例题，我们总结一下加法原理与乘法原理之间的区别 加法原理加法原理 类与类之间会满足下列要求： 1. 只能选择
6、其中的某一类，而不能几类同时选； 2. 类与类之间可以相互替代，只需要选择某一类就可以满足要求 比如例题 1 中，飞机、火车或汽车是可以随意选择的，小高一家人只选择其 中一种交通工具，就能到达目的地了 乘法原理乘法原理 步与步之间满足下列要求： 1. 每步都只是整件事情的一个部分，必须全部完成才能满足结论； 2. 步骤之前有先后的顺序，先确定好一步，再做下一步，直到 最后 甲 丁 乙 丙 甲 乙 丙 比如例题 2 中， 衣服和帽子都要选择， 只是可以有先后的步骤关系 在这里， 衣服和帽子先选哪种都可以但有的时候却不能随意安排顺序，这种问题稍微难 一些，我们在日后会接触到 加法原理与乘法原理的混
7、合加法原理与乘法原理的混合 有些问题中，既有分类的关系，又有分步的关系这时应该分清主次关系， 弄清楚到底是“分类中含有分步” ，还是“分步中含有分类” 如果是某一大类里 面又可以再分为几小步，那么应该这一类里用乘法原理进行计算，最后再用加法 原理把各类中的情况加在一起，比如例题 3当然我们以后也会碰到某一大步里 面又可以再分为几小类的情况， 这就要先用加法原理算出每一大步中有多少种情 况，再用乘法原理把总数算出来 在本讲的最后， 我们来介绍标数法 标数法是解决路径条数问题的重要方法 如下图所示， 我们要计算蚂蚁从 A 点沿箭头的方向爬到 B 点的不同路线有多 少条 由于蚂蚁只能向上走或者向右走
8、，因此对于最下面一行中的每个点，蚂蚁只 有一种方法可以到达，对于最左边一列中的点也是同样的结论（特别地，我们把 A 点处标上 1，表示蚂蚁从 A 点出发到达 A 点，只有原地不动这一种方式） 我 们用标数法标出蚂蚁到达每个点的路线数，已经得到的结果如下图所示 容易看出，蚂蚁可以从 C 点或者 D 点到达 E 点，而且只有这两类不同的方 式，那么我 们可以在 E 点处标上数字1 12 （把 C 点与 D 点的数字相加） ， 表示蚂蚁到达 E 点有两条路线同样道理，蚂蚁可以从 E 点或者 F 点到达 G 点，那么蚂蚁到达 G 点就有2 1 3 条路线（把 E 点与 F 点的数字相加） 最后可以得到
9、蚂蚁到达 B D F H C G B E A D 1 F 1 H 1 C 1 G B E A 1 点有 4 条路线，如下图所示 例题 4 在下图中，从 A 点沿线段走到 B 点，每次只 能向上或向右走一步，共有多少种不同走 法？ 分析分析标数法其实就是要找到前一步可能在的 所有点，把它们的方法数加起来 练习 4 在下图中，从 A 点沿线段走到 B 点，每次只能向 上或向右走一步，共有多少种不同走法？ 例题 5 老师要求墨莫在黑板上写出一个减法算式， 要求被减数必须是三位数， 减数必须是两位数请问墨莫共有多少种不同的写法？ 分析分析被减数与减数都有很多种写法，只写其中一个能完成这个减法算式 吗？
10、写被减数和写减数是写出减法算式的两类还是两步？ 例题 6 书架上有三层书，第一层放了 15 本小说，第二层放了 10 本漫画，第三层放了 5 本科普书， 并且这些书都各不相同请问： （1）如果从所有的书中任取 1 本，共有多少种不同的取法？ （2）如果从每一层中各任取 1 本，共有多少种不同的取法？ （3）如果从中取出 2 本不同类别的书，共有多少种不同的取法？ 分析分析从第一层取 1 本书、从第二层取 1 本书、从第三层取 1 本书，这三件事 对于前两问来说是分类还是分步？ D 1 F 1 H 1 C 1 G 3 B 4 E 2 A 1 A B A B 课堂内外 加减乘除的由来 加减乘除（、
11、）等数学符号是我们每一个人最熟悉的符号，因为不光 在数学学习中离不开它们，几乎每天的日常的生活也离不开它们别看它们这么简单， 直到 17 世纪中叶才全部形成 法国数学家许凯在 1484 年写成的算术三篇中，使用了一些编写符号，如用 D 表示加法，用 M 表示减法这两个符号最早出现在德国数学家维德曼写的商业速算 法中，他用“”表示超过，用“”表示不足到 1514 年，荷兰的赫克首次用“” 表示加法，用“”表示减法1544 年，德国数学家施蒂费尔在整数算术中正式用 “”和“”表示加减，这两个符号逐渐被公认为真正的算术符号，广泛采用 以符号“”代表乘是英国数学家奥特雷德首创的他于 1631 年出版的
12、数学之 钥中引入这种记法据说是由加法符号“”变动而来，因为乘法运算是从相同数的 连加运算发展而来的后来，莱布尼兹认为“”容易与“X”相混淆，建议用“”表 示乘号，这样，“”也得到了承认 除法符号“”，最初这个符号是作为减号在欧洲大陆流行，奥屈特用“：”表示 除或比，也有人用分数线表示比，后来有人把二者结合起来就变成了“”瑞士的数 学家拉哈的著作中正式把“”作为除号符号“”是英国的瓦里斯最初使用的，后 来在英国得到了推广除的本意是分，符号“”的中间的横线把上、下两部分分开， 形象地表示了“分” 至此，四则运算符号齐备了 作业 1. 题库中有三种类型的题目，数量分别为 30 道、40 道和 45
13、道，每次考试要从三种类型 的题目中各取一道组成一张试卷问：由该题库共可组成多少种不同的试卷？ 2. 小琴、小惠、小梅三人报名参加运动会的跳绳、跳高和短跑这三个项目的比赛，每人只 能参加一项比赛，不一定三项比赛都要有人参加请问报名的情况有多少种？ 3. 图书馆有 30 本不同的数学书、20 本不同的英语书和 10 本不同的语文书 （1）墨莫要去图书馆借 1 本书，有多少种不同的选择？ （2）墨莫三种书都要各借 1 本，有多少种不同的选择？ 4. 萱萱要从 4 幅水墨画、3 幅油画和 2 幅水彩画中选取两幅不同类型的画布布置客厅，有 几种选法？ 5. 在下图中，从 A 点沿线段走到 B 点，每次只
14、能向上或向右走一步，共有多少种不同走 法？ A B 第五讲 加法原理与乘法原理 1. 例题 1 答案：9 种 详解：小高一家外出旅行小高一家外出旅行，火车、汽车或飞机只要选择其中一类就可以完成要做的事情，所以火车、汽车或飞机只要选择其中一类就可以完成要做的事情，所以 这是出行方式分成了三类，即加法原理，有这是出行方式分成了三类，即加法原理，有4329种出行方式种出行方式 2. 例题 2 答案：16 种 详解：房子的四个部分都要染色，所以先给屋顶染色，有房子的四个部分都要染色，所以先给屋顶染色，有 2 种颜色可以选择，接下来给烟囱染种颜色可以选择，接下来给烟囱染 色，也有色，也有 2 种颜色可以
15、选择，再接下来给门染色，也有种颜色可以选择，再接下来给门染色，也有 2 种颜色可以选择，最后给窗染色，同种颜色可以选择，最后给窗染色，同 样有样有 2 种颜色可以选择，分了四步即乘法原理，一共有种颜色可以选择，分了四步即乘法原理，一共有222216 种不同的染色方法种不同的染色方法 3. 例题 3 答案：17 种 详解：分成分成“甲甲乙乙丙丙”和“”和“甲甲丁丁丙丙”这这两两类路线对于类路线对于“甲甲乙乙丙丙”这类路线：第这类路线：第 一步从甲到乙，有一步从甲到乙，有 3 种走法，第二步从乙到丙，有种走法，第二步从乙到丙，有 3 种走法，利用乘法原理得到共有种走法，利用乘法原理得到共有3 39
16、种种 走法类似地，对于走法类似地，对于“甲甲丁丁丙丙”这类路线，共有这类路线，共有2 48种走法把种走法把两两类的走法加起来，可类的走法加起来，可 得从甲地到丙地一共有得从甲地到丙地一共有9817种走法种走法 4. 例题 4 答案：35 种 详解：标数法，如下图：标数法，如下图： 5. 例题 5 答案：81000 种 详解：一个减法算式，只要被减数和减数确定了，这个减法算式就是确定的，而且被减数和减一个减法算式，只要被减数和减数确定了，这个减法算式就是确定的，而且被减数和减 数都要有，所以先选择一个被减数，再选择一个减数被减数是三位数，三位数的总个数有两数都要有，所以先选择一个被减数，再选择一
17、个减数被减数是三位数，三位数的总个数有两 种算法，方法一：最小的三位数是种算法，方法一：最小的三位数是 100，最大的三位数是，最大的三位数是 999，所以一共有，所以一共有999 1001900 个个 三位数；方法二：三位数必须要有百位、十位、个位，所以先给百位选择一个数字，三位数；方法二：三位数必须要有百位、十位、个位，所以先给百位选择一个数字，19 有有 9 种选择，再给十位选择一个数字，种选择，再给十位选择一个数字，09 有有 10 种选择，最后给百位选择一个数字，种选择，最后给百位选择一个数字，09 有有 10 种选种选 择，一共分了三步即乘法原理，一共有择，一共分了三步即乘法原理，
18、一共有9 10 10900个三位数两位数的总个数算法和三位个三位数两位数的总个数算法和三位 数一样， 一种是数一样， 一种是99 10 190 个两位数，个两位数， 另一种是另一种是9 1090个两位数个两位数 要组成一个减法算式，要组成一个减法算式， 先从三位数中选择先从三位数中选择 1 个作为被减数，一共有个作为被减数，一共有 900 种选择，再从两位数中选择种选择，再从两位数中选择 1 个作为减数，一个作为减数，一 共有共有 90 种选择，分了两步即乘法原理，共有种选择，分了两步即乘法原理，共有900 9081000种不同的写法种不同的写法 A B 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3
19、 4 5 3 6 10 15 4 10 20 35 6. 例题 6 答案：30 种；750 种；275 种 详解： （1）从所有的书中任取）从所有的书中任取 1 本，即可以选择小说或者漫画或者科普书，即在三类中选择本，即可以选择小说或者漫画或者科普书，即在三类中选择 1 本，加法原理，共有本，加法原理，共有1510530种不同的取法种不同的取法； （2）从每一层中各任取）从每一层中各任取 1 本，可以先在第一本，可以先在第一 层取小说，再在第二层取漫画，最后在第三层取科普书，分了三步即乘法原理，共有层取小说，再在第二层取漫画，最后在第三层取科普书，分了三步即乘法原理，共有 15 10 5750
20、种不同的取法； （种不同的取法； （3）从中取出）从中取出 2 本不同类别的书，可以是小说和漫画，也可以本不同类别的书，可以是小说和漫画，也可以 是漫画和科普，还可以是小说和科普，这是分了三类，在第一类小说和漫画必须各有一本，所是漫画和科普，还可以是小说和科普，这是分了三类，在第一类小说和漫画必须各有一本，所 以先取小说再取漫画，有以先取小说再取漫画，有15 10150种不同的取法；在第二类漫画和科普必须各有一本，所以种不同的取法；在第二类漫画和科普必须各有一本，所以 先取漫画再取科普，有先取漫画再取科普，有10 550种不同的取法；在第三类小说和科普必须各有一本，所以先取种不同的取法；在第三
21、类小说和科普必须各有一本，所以先取 小说再取科普，有小说再取科普，有15 575种不同的取法，三类是加法原理，共有种不同的取法，三类是加法原理，共有1505075275种不同种不同 的取法的取法 7. 练习 1 答案：18 种 详解：从小说、漫画中任意取一本即可从小说、漫画中任意取一本即可，即加法原理，有，即加法原理，有8 1018种种取法取法 8. 练习 2 答案：8 种 详解：先给眼睛染，有先给眼睛染，有 2 种方法；再给嘴巴染，有种方法；再给嘴巴染，有 2 种方法；最后给身子染，有种方法；最后给身子染，有 2 种染法，分种染法，分 三步，乘法原理，所以共有三步，乘法原理，所以共有2 2
22、28 中不同的染法 9. 练习 3 答案：11 种 简答：分成分成“甲甲乙乙丙丙”和“”和“甲甲丙丙”这这两两类路线对于类路线对于“甲甲乙乙丙丙”这类路线：第一步这类路线：第一步 从甲到乙， 有从甲到乙， 有 3 种走法， 第二步从乙到丙， 有种走法， 第二步从乙到丙， 有 3 种走法， 利用乘法原理得到共有种走法， 利用乘法原理得到共有3 39种走法种走法 而而 对于对于“甲甲丙丙”这类路线，共有这类路线，共有 2 种走法把种走法把两两类的走法加起来，可得从甲地到丙地一共有类的走法加起来，可得从甲地到丙地一共有 9211种走法种走法 10. 练习 4 答案：10 种 简答：标数法：标数法：
23、11. 作业 1 答案：54000 种 简答：乘法原理，30404554000种 12. 作业 2 A B 1 1 1 1 1 1 2 3 4 3 6 10 答案：27 种 简答：乘法原理，3 3 327 种 13. 作业 3 答案： （1）60 种； （2）6000 种 简答： （1）加法原理，30201060种 （2）乘法原理，3020 106000种 14. 作业 4 答案：26 种 简答：分三类： 水墨、油画，4 312 种选法； 油画、水彩，3 26种选法； 水墨、水彩，4 28种选法，所以一共有126826种选法 15. 作业 5 答案：25 种 简答：标数法，如下图所示 A B 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 3 6 10 15 10 25
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