1、2020 年高考数学一模试卷（理科）年高考数学一模试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题） 1设集合 Mx| 1，Nx|lgx0，则 M（RN）（ ） A B（1，1） C（1，+） D（，1） 2已知复数 z 满足|zi|2（i 是虚数单位），则|z|的最大值为（ ） A2 B3 C4 D5 3已知 a6 ，blog22 ，c1.2 2，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Abca Bacb Cabc Dbac 4已知 ， 是两个不同的平面，直线 a，b 满足 a，b，则“a 且 b”是“ ”成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 5已知 （2
2、，6）， （3，1），则向量 在 方向上的投影为（ ） A6 B C D 6已知 （0，），2sin+cos1，则 （ ） A B C7 D 7已知函数 f（x）ax2xa+2，若 ylnf（x）在（ ，+）为增函数，则实数 a 的取 值范围是（ ） A1，+） B1，2） C1，2 D（，2 8“岂曰无衣，与子同袍”，“山川异域，风月同天”自新冠肺炎疫情爆发以来，全国 各省争相施援湖北截至 3 月初，山西省共派出 13 批抗疫医疗队前往湖北，支援抗击新 型冠状病毒感染的肺炎疫情某医院组建的由 7 位专家组成的医疗队，按照 3 人、2 人、 2 人分成了三个小组，负责三个不同病房的医疗工作，则
3、不同的安排方案共有（ ） A105 种 B210 种 C630 种 D1260 种 9点 P 的坐标（x，y）满足 ，若直线 l：x+2y+z0 经过点 P，则实数 z 的 最大值为（ ） A3 B5 C9 D11 10如图，F1，F2是双曲线 l： 1（a0，b0）的左、右焦点，过 F1的直线与 双曲线左、右两支分别交于点 P，Q若 5 ，M 为 PQ 的中点，且 ，则 双曲线的离心率为（ ） A B C D2 11在三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1平面 ABC，ABBCCAAA12，则三棱柱 ABC A1B1C1的外接球的体积与三棱柱的体积之比为（ ） A B C D 12已知函数 f
4、（x）2sin（x+）（0，| ）的图象与 x 轴的两个相邻交点的横 坐标为 ， ，下面 4 个有关函数 f（x）的结论： 函数 yf（x ）的图象关于原点对称； 在区间 ， 上，f（x）的最大值为 ； x 是 f（x）的一条对称轴； 将 f（x）的图象向左平移 个单位，得到 g（x）的图象，若 A，B，C 为两个函数图象 的交点，则ABC 面积的最小值为 其中正确的结论个数为（ ） A1 B2 C3 D4 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13一组样本数据 10，23，12，5，9，a，21，b，22 的平均数为 16，中位数为 21，则 a b 142019 国际
5、乒联世界巡回赛男子单打决赛在甲、乙两位选手间进行，比赛实行七局四胜 制（先获得四局胜利的选手获胜），已知每局比赛甲选手获胜的概率是 ，且前五局比赛 甲 3：2 领先，则甲获得冠军的概率是 15已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，asinB bcosA，且 a2若 D， E分别为边BC， AB的中点， 且G为ABC的重心， 则GDE面积的最大值为 16在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，F 是抛物线 C：y2x 的焦点，过 F 的直线与抛 物线交于 A，B 两点若|AB|2，则OAB 的面积为 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证朋过程或演算步骤.第 172
6、1 题为必考题， 毎个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分 17已知 Sn为数列an的前 n 项和，且 Sn+2an2（nN+） （1）求数列an的通项公式； （2）若数列bn满足 2n（nN*），求数列bn的前 n 项和 Tn 18如图 1，在ABC 中，AB BC2 ，ABC ，D 为 AC 的中点，将ABD 沿 BD 折起，得到如图 2 所示的三棱锥 PBCD，二面角 PBDC 为直二面角 （1）求证：平面 PBC平面 PBD； （2）设 E，F 分别为 PC，BC 的中点，求二面角 CDEF 的余弦值 19我国全面二孩政策已于 2
7、016 年 1 月 1 日起正式实施国家统计局发布的数据显示，从 2012 年到 2017 年，中国的人口自然增长率变化始终不大，在 5上下波动（如图）为了 了解年龄介于 24 岁至 50 岁之间的适孕夫妻对生育二孩的态度如何，统计部门按年龄分 为 9 组，每组选取 150 对夫妻进行调查统计有生育二孩意愿的夫妻数，得到如表： 年龄区 间 24，26 27，29 30，32 33，35 36，38 39，41 42，44 45，47 48，50 有意愿 数 80 81 87 88 84 83 83 70 66 （1）设每个年龄区间的中间值为 x，有意愿数为 y，求样本数据的线性回归直线方程，
8、并求该模型的相关系数 r（结果保留两位小数 （2）从24，26，33，35，39，41，45，47，48，50这五个年龄段中各选出一对 夫妻（能代表该年龄段超过半数夫妻的意愿）进一步调研，再从这 5 对夫妻中任选 2 对 夫妻设其中不愿意生育二孩的夫妻数为 X，求 X 的分布列和数学期望 （参考数据和公式： r ， ， ， （xi ）（yi ） xiyi yi， xiyi26340， 473.96） 20已知原点 O 到动直线 l 的距离为 2，点 P 到 A（1，0），B（1，0）的距离分别与 A， B 到直线 l 的距离相等 （1）证明|PA|+|PB|为定值，并求点 P 的轨迹方程； （
9、2）是否存在过点（0，3）的直线 l，与 P 点的轨迹交于 M，N 两点，Q 为线段 MN 的中点，且|MN|2AQ？若存在，请求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 21已知函数 f（x）e2xax21（xR） （1）设 g（x）f（x）x f（x），当 a1 时，求函数 g（x）的单调减区间及极大值； （2）设函数 yf（x）有两个极值点 x1，x2， 求实数 a 的取值范围； 求证：ae ae 2e e （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一 题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为
10、 （t 为参数），以坐标原点 O 为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 22 sin（ ） +10 （1）求曲线 C 的直角坐标方程及直线 l 的普通方程； （2）设直线 （R）与曲线 C 交于 A，B 两点（A 点在 B 点左边）与直线 l 交于点 M求|AM|和|BM|的值 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|xa|+|x+3| （1）若 a1，解不等式 f（x）3x； （2）若对任意 a，xR，求证：f（x）2|a+1| 参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求
11、的. 1设集合 Mx| 1，Nx|lgx0，则 M（RN）（ ） A B（1，1） C（1，+） D（，1） 【分析】首先解不等式得 Mx|x1 或 x1和RNx|x1，再由集合运算求出 结果 解：由 1，解得 x1 或 x1，Mx|x1 或 x1 由 lgx0，解得 x1，Nx|x1，RNx|x1 MRNx|x1， 故选：D 【点评】本题考查的知识点是集合的交集，补集运算，集合的解法及应用，难度不大， 属于基础题 2已知复数 z 满足|zi|2（i 是虚数单位），则|z|的最大值为（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】利用复数的模的几何意义求解，利用数形结合法得到当点 Z 的坐标为（0，3
12、） 时，|z|的值最大，从而|z|的最大值为 3 解：由复数的模的几何意义可知，复数 z 在复平面内对应的点 Z 对应的轨迹为：以（0， 1）为圆心，以 2 为半径的圆的内部（包括圆周），而|z|表示点 Z 到点（0，0）的距离， 如图所示，当点 Z 的坐标为（0，3）时，|z|的值最大， 所以|z|的最大值为 3， 故选：B 【点评】本题主要考查了复数的模的几何意义，是基础题 3已知 a6 ，blog22 ，c1.2 2，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Abca Bacb Cabc Dbac 【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解 解： ，c1.2 21.44， 又 ， ， ， abc
13、， 故选：C 【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数 和指数函数的性质的合理运用 4已知 ， 是两个不同的平面，直线 a，b 满足 a，b，则“a 且 b”是“ ”成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 【分析】由 a，b，利用面面平行的性质定理可得：a 且 b，反之不成 立，即可判断出关系 解：a，b，a 且 b，反之不成立， 与 可能相交 a 且 b”是“”成立的必要不充分条件 故选：B 【点评】本题考查了面面平行的性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计 算能力，属于基础题 5已知 （2，6），
14、（3，1），则向量 在 方向上的投影为（ ） A6 B C D 【分析】根据平面向量 在 方向上的投影的定义，计算即可（ 解：由 （2，6）， （3，1）， 所以 （5，5）， 所以（ ） 535110， | | ， 所以向量 在 方向上的投影为 故选：D 【点评】本题考查了平面向量投影的定义与计算问题，是基础题 6已知 （0，），2sin+cos1，则 （ ） A B C7 D 【分析】由已知可得 cos12sin，利用同角三角函数基本关系式可求 sin，cos 的 值，进而利用二倍角公式可求 sin2，cos2 的值，即可求解 的值 解：（0，），2sin+cos1，即 cos12sin，
15、 sin2+（12sin）21，解得 sin ，cos ， sin22sincos ，cos212sin 2 故选：D 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式在三角函数化简求值中 的应用，考查了转化思想，属于基础题 7已知函数 f（x）ax2xa+2，若 ylnf（x）在（ ，+）为增函数，则实数 a 的取 值范围是（ ） A1，+） B1，2） C1，2 D（，2 【分析】利用复合函数的单调性，列出不等式组，转化求解即可 解：因为 ylnf（x）在（ ，+）为增函数，所以 f（x）ax 2xa+2，在（ ，+） 为增函数，并且 f（x）0， 可得 ，解得 1a2 故选：C
16、【点评】本题考查复合函数的单调性的应用，列出不等式是解题的关键，注意导数函数 的定义域 8“岂曰无衣，与子同袍”，“山川异域，风月同天”自新冠肺炎疫情爆发以来，全国 各省争相施援湖北截至 3 月初，山西省共派出 13 批抗疫医疗队前往湖北，支援抗击新 型冠状病毒感染的肺炎疫情某医院组建的由 7 位专家组成的医疗队，按照 3 人、2 人、 2 人分成了三个小组，负责三个不同病房的医疗工作，则不同的安排方案共有（ ） A105 种 B210 种 C630 种 D1260 种 【分析】根据题意，分 2 步进行分析：先将 7 人按照 3 人、2 人、2 人分成三个小组， 将分好的三组全排列，对应三个不
17、同病房，由分步计算原理计算可得答案 解：根据题意，分 2 步进行分析： 先将 7 人按照 3 人、2 人、2 人分成三个小组，有 105 种分组方法， 将分好的三组全排列，对应三个不同病房，有 A336 种情况， 则有 1056630 种安排方案； 故选：C 【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题 9点 P 的坐标（x，y）满足 ，若直线 l：x+2y+z0 经过点 P，则实数 z 的 最大值为（ ） A3 B5 C9 D11 【分析】由约束条件画出可行域，再把目标函数平移，找出最优解，代入求最大值 解：根据线性约束条件画出可行域，得到如图所示的三角形区域 ABC
18、，直线 L 的方程 x+2y+z0 可化为 y x z，当直线 L 在 y 轴上的截距最小时，实数 z 取得最大值， 在图中作出直线 y x 并平移，使它与图中阴影区域有公共点，且在 y 轴上的截距最 小，由图可知，当直线过 A 点时，截距最小，由 ，求得 A（ ， ），代 入到 x+2y+z0 中，解得 z5，即 zmax5 故选：B 【点评】本题考查线性规划问题，由线性约束条件，目标函数求最大值，属于基础题 10如图，F1，F2是双曲线 l： 1（a0，b0）的左、右焦点，过 F1的直线与 双曲线左、右两支分别交于点 P，Q若 5 ，M 为 PQ 的中点，且 ，则 双曲线的离心率为（ ）
19、A B C D2 【分析】连接 F2P，F2Q，设|F1P|t，则由题意可得|PM|MQ|2t，由题意可得|F2P| t+2a，|F2Q|5t2a，在直角三角形 PMF2中，cosMPF2 ， 所以在三角形 P1F2中，由余弦定理可得 cosF1PF2 ，所以可得 2c 2 7a2，求出离心率 e 解：连接 F2P，F2Q，设|F1P|t，则由题意可得|PM|MQ|2t， 因为 P，Q 为双曲线的点，所以|F2P|t+2a，|F2Q|5t2a， 因为 M 为 PQ 的中点，且 ， 所以|F2P|F2Q|，所以 t+2a5t2a，所以 ta， 所以|F1P|a，|PM|MQ|2a，|F2P|F2
20、Q|3a， 在直角三角形 PMF2中，cosMPF2 ， 所以在三角形 P1F2中，由余弦定理可得 cosF1PF2 ， 所以可得 2c27a2，即 e ， 故选：A 【点评】本题考查双曲线的性质及余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于 中档题 11在三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1平面 ABC，ABBCCAAA12，则三棱柱 ABC A1B1C1的外接球的体积与三棱柱的体积之比为（ ） A B C D 【分析】由题意画出图形，求出其外接球的半径，然后分别求出多面体的体积及其外接 球的体积，作比得答案 解：如图，N，M 分别为三棱柱上、下底面的中心，O 为 MN 的中点， 连接 O
21、C1，NC1，则 O 为三棱柱外接球的球心，OC1为外接球的半径， 在直角三角形 ONC1中，求得 ON1， ， 外接球 又 三棱柱 外接球 三棱柱 故选：C 【点评】本题考查多面体体积及其外接球的体积的求法，考查计算能力，是中档题 12已知函数 f（x）2sin（x+）（0，| ）的图象与 x 轴的两个相邻交点的横 坐标为 ， ，下面 4 个有关函数 f（x）的结论： 函数 yf（x ）的图象关于原点对称； 在区间 ， 上，f（x）的最大值为 ； x 是 f（x）的一条对称轴； 将 f（x）的图象向左平移 个单位，得到 g（x）的图象，若 A，B，C 为两个函数图象 的交点，则ABC 面积的
22、最小值为 其中正确的结论个数为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】由题意求出函数 f（x）的解析式，再判断题目中的命题是否正确即可 解：由题意知，T2（ ），所以 2， 把点（ ，0）代入 f（x）2sin（2x+）中，得 k，kZ； 又| ，所以 ，所以 f（x）2sin（2x ）； 对于，函数 yf（x ）2sin2（x ） 2sin（2x ），不是奇函数， 其图象不关于原点对称，所以错误； 对于，当 x ， 时，2x ， ，由正弦函数的单调性知， f（x）f（ ）2sin ，即 f（x）的最大值为 ，正确； 对于，由 2x k，kZ，得 f（x）图象的对称轴方程为 x ，kZ； 所以
23、 x 不是 f（x）图象的一条对称轴，错误； 对于，将 f（x）的图象向左平移 个单位， 得 g（x）f（x ）2sin2（x ） 2cos（2x ）的图象， 由 2sin（2x ）2cos（2x ），得 2x k ，kZ； 解得 x ，kZ；相邻两个交点的横坐标之差为 ， 将 x ，kZ 代入 f（x）2sin（2x ），得到交点的纵坐标为 ； 所以ABC 面积的最小值为 2 ，正确； 综上知，其中正确的结论序号是，共 2 个 故选：B 【点评】 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题， 也考查了命题真假的判断问题， 是综合题 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 1
24、3一组样本数据 10，23，12，5，9，a，21，b，22 的平均数为 16，中位数为 21，则 a b 0 【分析】由数据的平均数为 16，可得 a+b42，又数据的中位数为 21，所以 a21，b 21，所以 ab21，进而 ab0 解：数据的平均数为 16， 10+23+12+5+9+a+21+b+22169144， a+b42， 591012212223，且数据的中位数为 21， a21，b21， ab21， ab0， 故答案为：0 【点评】本题主要考查了样本的数字特征，是基础题 142019 国际乒联世界巡回赛男子单打决赛在甲、乙两位选手间进行，比赛实行七局四胜 制（先获得四局胜利
25、的选手获胜），已知每局比赛甲选手获胜的概率是 ，且前五局比赛 甲 3：2 领先，则甲获得冠军的概率是 【分析】甲以 4：2 夺冠的概率为 ，甲以 4：3 夺冠的概率为 ，由此能求出甲 获得冠军的概率 解：每局比赛甲选手获胜的概率是 ，且前五局比赛甲 3：2 领先， 甲以 4：2 夺冠的概率为 ，甲以 4：3 夺冠的概率为 ， 甲获得冠军的概率是 P 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公 式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 15已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，asinB bcosA，且 a2若 D， E 分别
26、为边 BC， AB 的中点， 且 G 为ABC 的重心， 则GDE 面积的最大值为 【分析】 由正弦定理求出 A 的值， 再由余弦定理和基本不等式求得ABC 面积的最大值， 利用平面几何的求得GDE 面积的最大值 解：ABC 中，asinB bcosA， 由正弦定理得，sinAsinB sinBcosA； 又 sinB0，所以 sinA cosA， 所以 tanA ； 又 A（0，），所以 A ； 由余弦定理得，a2b2+c22bccosA， 由 a2，则 4b2+c22bccos b 2+c2bc2bcbcbc， 所以ABC 的面积为 SABC bcsinA bc ； 又 D，E 分别为边
27、BC，AB 的中点，且 G 为ABC 的重心， 由平面几何知识可得GDE 的面积为 SGDE S ABC 所以GDE 面积的最大值为 故答案为： 【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用问题，也考查了三角形面积计算问题， 是中档题 16在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，F 是抛物线 C：y2x 的焦点，过 F 的直线与抛 物线交于 A，B 两点若|AB|2，则OAB 的面积为 【分析】由抛物线的方程可得焦点坐标，设过焦点 F 的方程，与抛物线的方程联立求出 两根之和，由抛物线的性质可得弦长|AB|，由题意可得参数，求出直线 AB 的方程，进而 求出 O 到直线的距离，代入面积公式求出面积的
28、值 解：由抛物线 C：y2x 的方程可得焦点 F（ ，0），p ， 设 A（x1，y1），B（x2，y2），y10， 显然直线 AB 的斜率不为 0，设直线 AB 的方程为：xmy ， 与抛物线方程联立 整理可得 y2my 0，y 1+y2m，y1y2 ， 所以 x1+x2m（y1+y2 ） m 2 由抛物线的性质可得|AB|x1+x2+pm2+1， 由题意|AB|2，所以 m2+12，解得 m1， 所以 O 到直线 AB 的距离 d ， 所以 SOAB |AB| d 故答案为： 【点评】本题考查抛物线的性质、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于中档题， 三、解答题：共 70 分.解答应写
29、出文字说明、证朋过程或演算步骤.第 1721 题为必考题， 毎个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分 17已知 Sn为数列an的前 n 项和，且 Sn+2an2（nN+） （1）求数列an的通项公式； （2）若数列bn满足 2n（nN*），求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】（1）由 Sn+2an2（nN+），可得 n2 时，Sn1+2an12，相减可得：an an 1n1 时，a1+2a12，解得 a1利用等比数列的通项公式即可得出 an （2）由数列bn满足 2n（nN*），bn2n 设数列n 的前 n 项和为 An利用错位相减法
30、即可得出，进而得出 Tn 解：（1）Sn+2an2（nN+），n2 时，Sn1+2an12，相减可得：an+2an2an1 0，an an 1， n1 时，a1+2a12，解得 a1 数列an是等比数列，首项与公比都为 an （2）由数列bn满足 2n（nN*）， bn 2n 设数列n 的前 n 项和为 An 则 An 2 3 n ， A n 2 （n1） n ， 相减可得： A n n n ， 可得：An6（9+3n） ， 数列bn的前 n 项和 Tn124（3+n） 【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列通项公式与求和公式、错位相减法，考查 了推理能力与计算能力，属于中档题 18如图 1
31、，在ABC 中，AB BC2 ，ABC ，D 为 AC 的中点，将ABD 沿 BD 折起，得到如图 2 所示的三棱锥 PBCD，二面角 PBDC 为直二面角 （1）求证：平面 PBC平面 PBD； （2）设 E，F 分别为 PC，BC 的中点，求二面角 CDEF 的余弦值 【分析】（1）推导出 AC2 ，CD ，BD1，从而 BCBD，再由平面 BCD平 面 PBD，得 BC平面 PBD，由此能证明平面 PBC平面 PBD （2）以 B 为坐标原点，BC 为 x 轴，BD 为 y 轴，过点 B 作垂直于平面 BDC 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 CDEF 的余弦
32、值 解：（1）证明：在ABC 中，AC2AB2+BC22AB BC cosABC20， AC2 ， D 为 AC 的中点，CD ， ，（ ）2 1，BD1， BD2+BC2CD2，BCBD， 二面角 PBDC 为直二面角，平面 BCD平面 PBD， BC平面 PBD， BC平面 PBC，平面 PBC平面 PBD （2）解：以 B 为坐标原点，BC 为 x 轴，BD 为 y 轴，过点 B 作垂直于平面 BDC 的垂线 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 B（0，0，0），C（2，0，0），D（0，1，0），P（0，2，2）， 设 E，F 分别为 PC，BC 的中点，E（1，1，1），F（1，0
33、，0）， （2，1，0）， （1，0，1）， （1，1，0）， 设平面 CDE 的法向量 （x，y，z）， 则 ，取 x1，得 （1，2，1）， 设平面 DEF 的法向量 （a，b，c）， 则 ，取 a1，得 （1，1，1）， 设二面角 CDEF 的平面角为 ， 则 cos 二面角 CDEF 的余弦值为 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19我国全面二孩政策已于 2016 年 1 月 1 日起正式实施国家统计局发布的数据显示，从 2012 年到 2017 年，中国的人口自然增长率变化始终不大
34、，在 5上下波动（如图）为了 了解年龄介于 24 岁至 50 岁之间的适孕夫妻对生育二孩的态度如何，统计部门按年龄分 为 9 组，每组选取 150 对夫妻进行调查统计有生育二孩意愿的夫妻数，得到如表： 年龄区 间 24，26 27，29 30，32 33，35 36，38 39，41 42，44 45，47 48，50 有意愿 数 80 81 87 88 84 83 83 70 66 （1）设每个年龄区间的中间值为 x，有意愿数为 y，求样本数据的线性回归直线方程， 并求该模型的相关系数 r（结果保留两位小数 （2）从24，26，33，35，39，41，45，47，48，50这五个年龄段中各选
35、出一对 夫妻（能代表该年龄段超过半数夫妻的意愿）进一步调研，再从这 5 对夫妻中任选 2 对 夫妻设其中不愿意生育二孩的夫妻数为 X，求 X 的分布列和数学期望 （参考数据和公式： r ， ， ， （xi ）（yi ） xiyi yi， xiyi26340， 473.96） 【分析】（1）根据图中数据代入线性回归方程公式和相关系数公式求出结果即可； （2）根据题意，在24，26，33，35，39，41这三个年龄段中，超过半数的夫妻由生 育二孩的意愿，在45，47，48，50这两个年龄段中，超过半数的夫妻没有生育二孩的 意愿， 所以从 5 对夫妻中任选 2 对，其中不愿意生育二孩的夫妻数 X0，
36、1，2，再求出 X 的概 率和分布列，求出数学期望即可 解：（1）根据题意可得， 37， ， ， xiyi26340， （xi ）（yi ） xiyi yi2634037720300， 又 ， ， 所以 （xi ）2 （yi ）2540416224640， 所以 ， 80 37100.56， 故线性回归方程为：y ， 相关系数 r 0.63； （2）根据题意，在24，26，33，35，39，41这三个年龄段中，超过半数的夫妻由生 育二孩的意愿， 在45，47，48，50这两个年龄段中，超过半数的夫妻没有生育二孩的意愿， 所以从 5 对夫妻中任选 2 对，其中不愿意生育二孩的夫妻数 X0，1，2
37、， 其中 ， ， ， X 的分布列如下： X 0 1 2 P 0.3 0.6 0.1 EX00.3+10.6+20.10.8 【点评】本题考查了求线性回归方程和相关系数，考查了超几何分布求分布列和数学期 望，考查运算能力和实际应用能力，中档题 20已知原点 O 到动直线 l 的距离为 2，点 P 到 A（1，0），B（1，0）的距离分别与 A， B 到直线 l 的距离相等 （1）证明|PA|+|PB|为定值，并求点 P 的轨迹方程； （2）是否存在过点（0，3）的直线 l，与 P 点的轨迹交于 M，N 两点，Q 为线段 MN 的中点，且|MN|2AQ？若存在，请求出直线 l 的方程；若不存在，
38、请说明理由 【分析】（1）设 A，B，O 到直线 l 的距离分别为 d1，d2，d运用中位线定理和椭圆的 定义，可得所求轨迹方程； （2）假设直线 l存在，当 l的斜率不存在时，设 l：ykx3，M（x1，y1），N（x2，y2）， 联立椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，解方程可得所求直线方程 解：（1）证明：设 A，B，O 到直线 l 的距离分别为 d1，d2，d 由已知可得|PA|d1，|PB|d2，又因为 O 为 AB 的中点， 所以|PA|+|PB|d1+d22d4|AB|2， 所以由椭圆的定义可得 P 的轨迹为中心在原点， 以 A，B 为焦点的椭圆所以 2a4，c1，则
39、 b2a2c23， 所以 P 的轨迹方程为 1； （2）假设直线 l存在，当 l的斜率不存在时，显然|MN|2|AQ|不成立 所以设 l：ykx3，M（x1，y1），N（x2，y2），联立椭圆方程可得（3+4k2）x224kx+24 0， 由（24k）2424（3+4k2）0，解得 k 或 k ，又 x1+x2 ， x1x2 ， 由|MN|2|AQ|，可得| |2| |2| （ ）| |， 所以| |2 2 2+2 ，AM2+AN2MN22 2|AM| |AN| cos MAN，可得 0， 所以 （x1+1） （x2+1） +y1y20， 所以 （1+k2） x1x2+ （13k） （x1+x
40、2） +10 0， 解得 k 或 k ，因为 ，且 ， 所以存在直线 l满足条件，直线 l的方程为 y x3 或 y x3 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意运用韦达定理 和向量数量积的坐标表示，考查化简运算能力，属于中档题 21已知函数 f（x）e2xax21（x一、选择题） （1）设 g（x）f（x）x f（x），当 a1 时，求函数 g（x）的单调减区间及极大值； （2）设函数 yf（x）有两个极值点 x1，x2， 求实数 a 的取值范围； 求证：ae ae 2e e 【分析】（1）根据题意可得 g（x）（12x）e2x+ax21，所以当 a1 时，g（x）
41、 （12x）e2x+x21，对其求导，进而分析函数的单调递减区间，及极值 （2）根据题意问题可以转化为方程 f（x）2e2x2ax0，有两个不等实根，显然 a0 时，方程无根，所以 a0， 有两个根，求导，分析单调性，及函数取值， 即可得到答案 不妨设 x1x2， 由知 0x1 x2， 且有 ， 题目不等式可转化为证明 x1+x2 2x1x2，所以即证 2（x2x1）（x2+x1）2x1x2（lnx2lnx1），即证 ，即 证 ，设 t （t1），即证 当 t1 时成立，求导数， 分析单调性，即可得出答案 解：（1）因为 f（x）2e2x2ax， 所以 g（x）e2xax212xe2x+2ax
42、2（12x）e2x+ax21， 所以当 a1 时，g（x）（12x）e2x+x21， 所以 g（x）2x（12e2x）， 令 g（x）0，解得 x10，x2 0， 当 x（， ）时，g（x）0，g（x）为单调递减函数， 当 x（ ，0）时，g（x）0，g（x）为单调递增函数， 当 x（0，+）时，g（x）0，g（x）为单调递减函数， 所以函数 g（x）单调递减区间为（， ），（0，+）， g（x）极大值g（0）0 （2）解：因为函数 f（x）有两个极值点 x1，x2 所以方程 f（x）2e2x2ax0，有两个不等实根， 由 2e2x2ax0，显然 a0 时，方程无根， 所以 ， 设 h（x）
43、（xR），则 h（x） ， 令 h（x）0 得 x ， 当 x（， ）时，h（x）0，h（x）为单调递增函数， 当 x（ ，0）时，h（x）0，h（x）为单调递减函数， 且当 x时，h（x），当 x+时，h（x）0， 所以 0 h（ ） ，所以 a2e， 实数 a 的取值范围（2e，+）， 证明：不妨设 x1x2，由知 0x1 x2，且有 ， 所以 ，可转化为 x1+x2 2x1x2， 又因为 ， 所以 lnx2lnx12（x2x1）0， 所以即证 2（x2x1）（x2+x1）2x1x2（lnx2lnx1）， 即证 ，即证 ， 设 t （t1）， 即证 当 t1 时成立， 设 （t） （t1）， 因为 （t）1 （t1）， 所以 （t）在（1，+）上是增函数， 所以 （t）（1）0，即 当 t1 时成立， 所以 成立 【点评】本题考查导数的综合应用，属于中档题 （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一 题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），以坐标原点 O 为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 22 sin（ ） +10 （1）求曲线 C 的直角坐标方程及直线 l 的普通方程； （2）设直线 （R）与曲
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