1、江西省江西省 20202020 年高中毕业班质量监测理数试卷年高中毕业班质量监测理数试卷 第卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1已知(1) i zi（i为虚数单位） ，在复平面内，复数z的共轭复数z对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2全集UR，集合|0 4 x Ax x ，集合 2 |log (1)2|Bxx，图中阴影部分所表示的集合为 （ ） A(,04,5 B(,0)(4,5 C(,0)4,5 D(,4(5,) 3已知抛物线 2 axy的焦点到准线的
2、距离为 1 2 ，则实数a等于（ ） A1 B2 C 1 4 D 1 2 4已知 n a是等比数列， 1 0a ，前n项和为 n S，则“ 879 2SSS”是“ n a为递增数列”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富 的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋” “日落云里走，雨在半 夜后”小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后” ，观察了所在地区A的 100 天日落和夜晚天气， 得到如下22列联表： 夜晚天 气 日落云里走
3、 下雨 未下雨 出现 25 5 未出现 25 45 临界值表 2 0 P Kk 0.10 0.05 0.010 0.001 0 k 2.706 3.841 6.635 10.828 并计算得到 2 19.05K ，下列小波对地区A天气判断不正确的是（ ） A夜晚下雨的概率约为 1 2 B未出现“日落云里走”夜晚下雨的概率约为 5 14 C有 99.9%的把握认为“ 日落云里走是否出现”与“当晚是否下雨”有关 D出现“日落云里走” ，有 99.9%的把握认为夜晚会下雨 6圆C的半径为 5，圆心在x轴的负半轴上，且被直线3440xy截得的弦长为 6，则圆C的方程为 （ ） A 22 230xyx
4、B 22 16390xxy C 22 16390xxy D 22 40xyx 7 1 3 2， 2 log 6， 3 3log 2的大小关系是（ ） A 1 3 23 2log 63log 2 B 1 3 32 23log 2log 6 C 1 3 32 3log 22log 6 D 1 3 32 3log 2log 62 8在三角形ABC中，8AB，4AC ，60BAC ，双曲线以A B、为焦点，且经过点C，则该双 曲线的离心率为（ ） A2 B3 C21 D31 9已知函数 lg ,1 ( ) lg(2),1 x x f x x x ， 3 ( )g xx，则方程( )(1)f xg x所
5、有根的和等于（ ） A1 B2 C3 D4 10如图所示，直线 12 / /ll，点A是 1 l、 2 l之间的一定点，并且点A到 1 l、 2 l的距离分别为 2、4，过点A且 夹角为 3 的两条射线分别与 1 l、 2 l相交于BC、两点，则ABC面积的最小值是（ ） A4 3 B6 3 C8 3 D12 3 11在三棱锥PABC中，底面ABC为正三角形，PCAC，PAPB，且4PCAC若三棱锥 PABC的每个顶点都在球O的球面上，则球O的半径的最小值为（ ） A 7 7 B 2 7 7 C 3 7 7 D 4 7 7 12设( )f x是在(0,)上的可导函数，且 2 ( )( )fxf
6、 x x ，(1)4f，(2)16f，则下列一定不成立 的是（ ） A 3 8 2 f B(3)40f C(4)72f D(5)120f 第卷（非选择题 共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两个部分第 1321 题为必考题， 每个考生都必须作答第 2223 题为选考题， 考生根据要求作答 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13 5 2 21xx的展开式中x的系数是_ 14设向量(2cos ,sin )a，向量(1, 6)b ，且0a b，则 2cossin cos3sin 等于_ 15已知一个四棱柱的三视图如图（图中小正方形的边长为 1） ，则该四棱柱的全面积等于
7、_ 16已知数列 n a的通项公式是 2 2na ，在 1 a和 2 a之间插入 1 个数 11 x，使 11 12 ,a xa成等差数列；在 2 a和 3 a之间插入 2 个数 2122 ,xx， 使 22 12 23 ,a x x a成等差数列； ； 在 n a和 1n a 之间插入n个数 12 , aaan xxx， 使 12 , naaan a xxx， 1n a 成等差数列这样得到新数列 111221223 :, n ba xa xxa， 3132334 ,xxxa， 记数列 n b的前n项和为 n S，有下列判断： 1 12 32n aaan xxxn ； 1066 ab； 72
8、3072b； 55 14337S 其中正确的判断序号是_ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共 70 分 17 （本小题满分 12 分）已知点O是ABC的外接圆的圆心，3AB，2 2AC ， 4 BAC （1）求外接圆O的面积 （2）求BO BC 18 （本小题满分 12 分）如图所示，已知四边形ABCD是菱形，平面AEFC 平面ABCD，/ /EFAC， 22AEABACEF （1）求证：平面BED 平面AEFC （2）若EAAC，求二面角BFDC的余弦值 19 （本小题满分 12 分）2020 年春节期间，全国人民都在抗击“新型冠状病毒肺炎”的斗争中当时武汉 多家医院的医
9、用防护物资库存不足，某医院甚至面临断货危机，南昌某生产商现有一批库存的医用防护物 资，得知消息后，立即决定无偿捐赠这批医用防护物资，需要用A B、两辆汽车把物资从南昌紧急运至武 汉已知从南昌到武汉有两条合适路线选择，且选择两条路线所用的时间互不影响据调查统计 2000 辆汽 车，通过这两条路线从南昌到武汉所用时间的频数分布表如下： 所用的时间（单位：小时） (3,4 (4,5 (5,6 (6,7 路线 1 的频数 200 400 200 200 路线 2 的频数 100 400 400 100 假设汽车A只能在约定交货时间的前 5 小时出发，汽车B只能在约定交货时间的前 6 小时出发（将频率视
10、 为概率） 为最大可能在约定时间送达这批物资，来确定这两车的路线 （1）汽车A和汽车B应如何选择各自的路线 （2）若路线 1、路线 2 的“一次性费用”分别为 3.2 万元、1.6 万元，且每车医用物资生产成本为 40 万元 （其他费用忽略不计） ，以上费用均由生产商承担，作为援助金额的一部分根据这两辆车到达时间分别计 分，具体规则如下（已知两辆车到达时间相互独立，互不影响） ： 到达时间与约定时间的差x（单位：小时） 0x 01x 1x 该车得分 0 1 2 生产商准备根据运输车得分情况给出现金捐款，两车得分和为 0，捐款 40 万元，两车得分和每增加 1 分， 捐款增加 20 万元，若汽车
11、A B、用（1）中所选的路线运输物资，记该生产商在此次援助活动中援助总额为 Y（万元） ，求随机变量Y的期望值 （援助总额=一次性费用+生产成本+现金捐款总额） 20 （本小题满分 12 分） 已知离心率为 2 2 的椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左顶点为A， 左焦点为F， 及点( 4,0)P ，且|,|,|OFOAOP成等比数列 （1）求椭圆C的方程 （2） 斜率不为 0 的动直线l过点P且与椭圆C相交于MN、两点， 记PMPN， 线段MN上的点Q满 足MQQN，试求OPQ（O为坐标原点）面积的取值范围 21 （本小题满分 12 分）已知函数( ) x f xaxeb（
12、其中e是自然对数的底数，, a bR）在点(1,(1)f处 的切线方程是20exye （1）求函数( )f x的单调区间 （2）设函数 2 ( ) ( )ln f x g xmxx x ，若( ) 1g x 在(0,)x上恒成立，求实数m的取值范围 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡 上将所选题号后的方框涂黑 22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：极坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 6cos 1sin xt yt （t为参数） ，在以坐标原点O为极点，x轴非负 半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l
13、的极坐标方程为sin20 4 （1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程 （2）设点P是圆C上任一点，求点P到直线l距离的最小值 23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数( ) |3|f xxaa，aR，( ) |31|g xx （1）当( ) 10g x 时，恒有 ( ) 9f x ，求a的最小值 （2）当xR时，恒有( )( ) 3f xg x，求a的取值范围 20202020 年高三质量监测理科数学参考答案年高三质量监测理科数学参考答案 1 【答案】D 【解析】 (1)11 1222 iii zi i ，所以复数z的共轭复数z对应的点是 11 , 22 ，在第四
14、象限 2 【答案】C 【解析】集合 |04Axx， |5Bx x，由Venn图可知阴影部分对应的集合为() UA B， 其中 |04ABxx或5x ，则()(,0)4,5 UA B 3 【答案】A 【解析】抛物线 2 axy即 2 1 xy a 中 11 2|2a ，则1a 4 【答案】B 【解析】因为 n a是等比数列， 1 0a ，所以 77 87989 2(1)00 x SSSaaqqq qq或1q ， n a为递增数列1q，所以是必要不充分条件 5 【答案】D 6 【答案】B 解析： 设圆心为( ,0)(0)aa ， 由题意知圆心到直线3440xy的距离为 22 |34| 534 5
15、a d ， 解得8a ，则圆C的方程为 22 (8)25xy，即为 22 16390xxy 7 【答案】B 【解析】 11 32 3 22 2 ， 33 33 3log 2log 4 22 ， 333 3log 2log 8log 92， 22 log 6log 42，所以 1 3 32 23log 2log 6 8 【答案】D 【解析】在三角形ABC中，8AB，4AC ，60BAC ，所以4 3CB 284cABc ，24 342 32aCBCAa， 所以离心率 2 31 31 c e a 9 【答案】C 【解析】通过图象可以知道函数( )yf x，(1)yg x图象都关于点(1,0)对称，
16、并且两个函数图象有三 个交点，所以和为 3 10 【答案】C 【解析】设AB与垂线的夹角为O，则 2 cos AB ， 4 2 cos 3 AC ， 所以面积 2 38 38 3 2 3sin2cos21 cos cos2sin 21 36 S ， 所以当2 62 ，即当 3 时，面积最小，最小值是8 3 11 【答案】D 【解析】因为三棱锥PABC中，底面ABC为正三角形， 则ACBC，PAPB，取边AB的中点D， 连接,PD DC， 则A BP D，ABDC，AB 面PCD， 则A B P C， 且P C A C， 则PC 面ABC， 不妨设ACx， 则4P Cx， 则 2 2 22 43
17、7 24 2312 x Rxxx ， 当 12 7 y 时， 2 min 16 7 R， 所以 min 4 7 7 R 12 【答案】A 【解析】设 2 ( ) ( ) f x g x x ，则 2 44 ( )2 ( ) ( )( )2 ( )0 x xfxf x fx xf xx g x xx ，则( )g x为单调递增 函数或常数函数，而 2 (1) (1)4 1 f g， 2 (2) (2)4 2 f g，所以( )g x在区间1,2上是常数函数，则 3 32 4 9 2 4 f g ，即 3 9 2 f 而(3)4(3)36gf，(4)4(4)64gf，(5)4(5)100gf （填
18、空题按照高考细则，答案不完整，不给分） 13 【答案】5 【解析】 55 225142 5 21(1)2(1)(1)2xxxxxC xx ， 所以x的系数为 14 5( 1) 5C 14 【答案】 7 6 【解析】因为0a b，则2cos6sin0，即 1 tan 3 ， 则 1 2 2cossin2tan7 3 cos3sin13tan26 15 【答案】168 2 【解析】该四棱柱的直观图如图，全面积等于 2 222 2 22 2 2216 8 2 16 【答案】3 【解析】 1 1 1 12 22 32 22 nn n nn aaan a xxxnn a n ； 10 a在数列 n b中
19、是第10 1 2955 项，所以 1055 ab； 1166 ab， 1112 6678 7 1112 12728 22 3072 222 bbaa abb ； 551210112122919299 Saaaxxxxxx 210018119 2223 1 22292223 82114337 17 【解析】 （1）由余弦定理得： 222 2 3(2 2)23 2 25 2 BC 2 分 所以5BC ，因此 5 210 2 2 r ， 4 分 所以外接圆的面积为 2 105 22 S 6 分 （2）设BC中点为E，则EOBC， 7 分 所以 5 () 2 BO BCBEEO BCBE BCEO B
20、C 12 分 18 【解析】 （1）证明：菱形ABCD中，BDAC， 1 分 又因为平面AEFC 平面ABCD，则BD 平面AEFC， 3 分 BD 平面BED，所以平面BED 平面AEFC； 5 分 （2） 设AC与BD交于点O， 连接FO， 因为2ACEF， 且/ /EFAC， 所以/ /FOEA， 因为RFOAC， 所以FOAC， 而平面AEFC 平面ABCD， 所以FO 平面ABCD 以O为坐标原点， 以,OB OC OF 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz，则( 3,0,0)B，(0,0,2)F，(0,1,0)C (3,0,0)D ， 7 分 设平面DFC的法向
21、量为( , , )nx y z， 因为(0,1, 2)FC ，(3, 1,0)CD 所以 20 30 yz xy ，令2(, 2 3,3)xn 9 分 又平面BFD的法向量为(0,1,0)m ， 2 32 57 cos, 1914123 m n ， 11 分 由题可知，二面角BFDC的余弦值为 2 57 19 12 分 19 【解析】 （1）频率分布表如下： 所用的时间（单位：小时） (3,4 (4,5 (5,6 (6,7 路线 1 的频率 0.2 0.4 0.2 0.2 路线 2 的频率 0.1 0.4 0.4 0.1 设分别表示汽车在约定交货时间前 5 小时出发选择路线 1、2 将物资运往
22、武汉且在约定交货时间前到达：分 别表示汽车在约定交货前 6 小时出发选择路线 1、2 将物资运往武汉且在约定交货时间前到达； 2 分 ， ， 3 分 ， ， 4 分 所以汽车选择路线 1汽车选择路线 2 6 分 （2）设 1 x表示汽车选择路线 1 时的得分，表示汽车选择路线 2 时的得分， 12 ,x x的分布列分别是： 0 1 2 0.6 0.2 0.2 0 1 0.9 0.1 8 分 设 12 Xxx则X的分布列如下： 12 Xxx 0 1 2 3 0.54 0.24 0.2 0.02 10 分 0 0.54 1 0.242 0.23 0.020.7EX ， 11 分 所以803.2 1
23、.64020138.8EYEX（万元） 所以援助总额的期望值为 138.8 12 分 20 【解析】 （1）依题意： 2 2 2 4 c a ac ，解得 2, 2 2 2 c b a ， 4 分 所以椭圆C的方程是 22 1 84 xy ； 5 分 （2）解法一： 设 11 ,M x y， 22 ,N xy， 33 ,Q x y，则 2222 1111 222222 2 2222 11 8484 1 8484 xyxy xyxy ， 相减得： 12121212 1 8(1)(1)4(1)(1) xxxxyyyy ( * ) 7 分 又由PMPN，知 12 4 1 xx ， 12 0 1 yy
24、 ， 由MQQN，知 12 3 1 xx x ， 12 3 1 yy y ， 9 分 代入 *式得： 3 1 ( 4)01 8 x ，即 3 2x ， 10 分 又因为点Q在椭圆内，所以 22 3 3 ( 2) 102 84 y y ， 11 分 所以OPQ的面积 33 1 42(0,2 2) 2 Syy 12 分 解法二：设 11 ,M x y， 22 ,N xy， 33 ,Q x y，则 12 12 44xx yy ， 12 3 1 yy y ， 7 分 设直线l的方程为4(0)xtyt，代入椭圆C的方程得： 22 2880tyty，由0 得 2 2t ，| |2t 8 分 所以 2 2
25、2 2 2 8 (1) 2 8 2 t y t y t ，消去 2 y得到 22 2 (1)8 2 t t ， 所以 2 3 222 228282 11(1)22 (1) ytt y ttt ， 11 分 因此OPQ的面积 3 14 4(0,2 2) 2| | Sy t 12 分 解法三：设直线l的方程为4(0)xtyt，代入椭圆C的方程得： 22 2880tyty，由0 得 2 2t ， ，| |2t 6 分 所以 12 2 12 2 8 , 2 8 2 t yy t y y t ， 2 12 |1MNtyy， 7 分 2 2 111 PQPMMQMNMNMN ， 原点O到直线l的距离 2
26、4 1 d t 9 分 所以OPQ的面积 2 1212 22 2 1244 1 211 1 Styyyy t ， 又因为 1 12 2 y yy y ，所以 1 122 12 2 12 1 2 2 4 44 (0,2 2) | | 1 y y yy Syy yyty y 12 分 21 【解析】 （1）对函数( ) x f xareb求导得( )(1) x fxax e ， 1 分 由条件可知(1)faebe，(1)(1 1)2faee ，解得1a ， 0b， 所以( ) x f xxe 3 分 ( )(1) x fxxe ，令( )0fx 得1x ，于是，当(, 1)x 时，( )0fx ，
27、函数( )f x单调递减； 当( 1,)x 时，( )0fx ，函数( )f x单调递增 故函数( )f x的单调递减区间为(, 1) ，单调递增区间为( 1,) 5 分 （2）由（1）知 2 ( )ln x g xxemxx 解法 1 要使( )1g x 在(0,) x上恒成立，只需 min ( )1g x即可 因为 2 1 ( )(21) x g xxem x ， 2 2 1 ( )4(1)0 x gxxc x ，所以( )g x 在(0,)上单调递增因为 当0x 时，( )g x ，当x 时，( )g x ，所以( )g x 在(0,)上存在唯一的零点 0 x， 满足 0 2 00 0
28、1 210 x gxxem x ， 所以 0 2 0 0 1 21 x mxe x ， 7 分 且( )g x在 0 0,x上单调递减，在 0, x 上单调递增， 于是 00 222 min000000 ( )ln2ln1 xx g xg xx emxxx ex 8 分 由 min ( )1g x得 0 22 00 2ln0 x x ex，此时必有 0 01x， 0 22 00 2ln x x ex ，两边同时取自然对数，则 有 0000 2ln 2lnlnlnxxxx即 0000 2ln 2lnlnlnxxxx 构造函数( )ln (0)h xxx x，则 1 ( )10h x x ，所以函
29、数( )h x在(0,)上单调递增，又 00 2lnhxhx，所以 00 2lnxx ，即 0 2 0 1 x e x 11 分 故 0 2 00 000 111 21212 x mxex xxx ，于是实数m的取值范围是(,2 12 分 解法 2：要使( )1g x 在(0,)x上恒成立，等价于 2 ln1 x x me x 在(0,)x上恒成立令 2 ln1 ( )(0) x x h xex x ，则只需 min ( )mh x即可 6 分 22 2 2ln ( ) x x ex h x x ，令 22 ( )2ln (0) x H xx ex x，则 22 1 ( )40 x H xxx
30、 e x ， 所以( )H x在(0,)上单调递增，又 1 2ln20 48 e H ， 2 (1)20He，所以( )H x有唯一的零 点 0 x，且 0 1 1 4 x，( )h x在 0 0,x上单调递减，在 0, x 上单调递增 8 分 因为 0 22 00 2ln0 x x ex，两边同时取自然对数，则有 0000 2ln 2lnlnlnxxxx， 即 0000 2ln 2lnlnlnxxxx 构造函数( )ln (0)s xxx x，则 1 ( )10s x x ，所以函数( )s x在(0,)上单调递增，又 00 sin 2lnxsx，所以 00 2lnxx ，即 0 2 0 1
31、 x e x 1 分 所以 0 2 00 min0 000 ln1121 ( )2 x xx h xh xe xxx . 于是实数m的取值范围是(,2 12 分 解法 3：要使( )1g x 在(0,)x上恒成立， 等价于 2 ln1 x x me x 在(0,)x上恒成立 先证明ln1tt，令( )ln1(0)Q tttt ，则 11 ( )1 t Q t tt ，于是，当(0,1)t时， ( )0Q t ，( )Q t单调递减； 当(1,)t时，( )0Q t ，( )Q t单调递增， 所以( )(1)0Q tQ， 故l n1tt （当且仅当1t 时取等号） 8 分 所以，当0x 时，有
32、22 ln1ln21 xx xexexx ，所以 2 ln1 2 x x e xx ，即 2 ln1 2 x x e x ， 当且仅当 2 1 x xe时取等号，于是实数m的取值范围是(,2) 12 分 22 【解析】 （1）由 6cos 1sin xt yt 消去参数t，得 22 (6)(1)1xy， 所以圆C的普通方程为 22 (6)(1)1xy 2 分 由sin20 4 ，得sincos2， 3 分 所以直线l的直角坐标方程为20xy 5 分 （2）设点P的坐标为( 6cos , 1sin )tt 则点P到直线ll 的距离为 | 32cos | 6cos1sin2|4 22 t tt d 8 分 当cos1 4 t 时，d取最小值， min 323 2 1 22 d 10 分 23 【解析】( )103110g xx 或31103xx 或 11 3 x ， 1 分 ( )9|3| 93f xxaax或 29 3 a x ， 3 分 依题意有： 2911 33 a ，即1a 故a的最小值为1 5 分 （2）( )( ) |3|31|331|1|f xg xxaxaxaxaaa ， 7 分 当且仅当(3)(31)0xax时等号成立 解不等式|1|3aa ，得a的取值范围是1,) 10 分
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