1、2020 年年 5 月月高考数学模拟试卷（理科）高考数学模拟试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题） 1已知集合 Ax|1x3，Bx|ylog2（x2），则集合 AB（ ） Ax|1x2 Bx|2x3 Cx|1x3 Dx|x2 2命题 P：“x（，0），2x3x”的否定形式p 为（ ） A ， ， B ， ， Cx（，0），2x3x Dx（，0），2x3x 3已知 i 是虚数单位，且 z ，则 z 的共轭复数 在复平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 4已知 a0.30.2，b50.3，clog0.25，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bbac
2、 Ccab Dcba 5要得到函数 ysin（2x ）的图象，只需要将函数 ysin2x 的图象（ ） A向左平移 个单位 B向左平移 个单位 C向右平移 个单位 D向右平移 个单位 6已知实数 x，y 满足不等式 ，则 z 的最大值为（ ） A B C D 7 在ABC 中， 角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 若 （a+b） （sinAsinB） c （sinC+sinB） ， b+c4，则ABC 的面积的最大值为（ ） A B C1 D 8若双曲线 C： 1（a0，b0）的一条渐近线被曲线 x 2+y24x+20 所截得的 弦长为 2则双曲线 C 的离心率为（ ） A B
3、 C D 9如图，在矩形 ABCD 中，AB2BC2，动点 M 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上， 则 的最大值是（ ） A1 B5 C D 10已知数列an满足：a11，an+1+an3n+1，则数列 的前 30 项的和 为（ ） A B C D 11 已知函数 f （x） 对于任意xR， 均满足 f （x） f （2x） ， 当 x1时， ， ， ， （其中 e 为自然对数的底数），若函数 g（x）m|x|2f（x），下列有关函数 g（x） 的零点个数问题中正确的为（ ） A若 g（x）恰有两个零点，则 m0 B若 g（x）恰有三个零点，则 C若 g（x）恰有四个零点，则 0m1
4、D不存在 m，使得 g（x）恰有四个零点 12已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）为抛物 线 C 上的三个动点，其中 x1x2x3且 y20，若 F 为P1P2P3的重心，记P1P3P3三边 P1P2， P1P3， P2P3的中点到抛物线 C 的准线的距离分别为 d1， d2， d3， 且满足 d1+d32d2， 则 P1P3所在直线的斜率为（ ） A1 B C2 D3 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13在平面直角坐标系中，角 的终边经过点 P（1，2），则 sin 14二项式展开式（ ） 6中的常数项
5、是 15如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，AB2AP4，PABPAD 60，则PAC ；四棱锥 PABCD 的外接球的表面积为 162019 年底，武汉发生“新型冠状病毒”肺炎疫情，国家卫健委紧急部署，从多省调派 医务工作者前去支援，正值农历春节举家团圆之际，他们成为“最美逆行者”武汉市 从 2 月 7 日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无 法明确排除新冠肺炎的发热患者和确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化 管理，不落一户、不漏一人若在排查期间，某小区有 5 人被确认为“确诊患者的密切 接触者”，现医护人员要对这 5 人随机进行
6、逐一“核糖核酸”检测，只要出现一例阳性， 则将该小区确定为“感染高危小区”假设每人被确诊的概率均为 p（0p1）且相互 独立，若当 pp0时，至少检测了 4 人该小区被确定为“感染高危小区”的概率取得最大 值，则 p0 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 a3+a69，S621 （）求数列an的通项公式； （）设 ，求数列b n的前 n 项和 18如图 1，在 RtABC 中，C90，BCAC4，D，E 分别是 AC，AB 边上的中点， 将ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位置，使 A1CA1D，如图 2 （）求证：平面 A1CD平面
7、A1BC； （）求直线 A1C 与平面 A1BE 所成角的正弦值 19已知点 A（2，0），椭圆 C： 的离心率为 ，F 和 B 分别是椭圆 C 的左焦点和上顶点，且ABF 的面积为 （）求椭圆 C 的方程； （）设过点 A 的直线 l 与 C 相交于 P，Q 两点，当 时，求直线 1 的方程 20 某工厂为生产一种精密管件研发了一台生产该精密管件的车床， 该精密管件有内外两个 口径， 监管部门规定 “口径误差” 的计算方式为： 管件内外两个口径实际长分别为 a （mm） ， b（mm），标准长分别为 ， ，则“口径误差”为 ，只要“口 径误差”不超过 0.2min 就认为合格，已知这台车床分
8、昼、夜两个独立批次生产工厂质 检部在两个批次生产的产品中分别随机抽取 40 件作为样本，经检测其中昼批次的 40 个 样本中有 4 个不合格品，夜批次的 40 个样本中有 10 个不合格品 （I）以上述样本的频率作为概率，在昼夜两个批次中分别抽取 2 件产品，求其中恰有 1 件不合格产品的概率； （II）若每批次各生产 1000 件，已知每件产品的成本为 5 元，每件合格品的利润为 10 元；若对产品检验，则每件产品的检验费用为 2.5 元；若有不合格品进入用户手中，则工 厂要对用户赔偿，这时生产的每件不合格品工厂要损失 25 元以上述样本的频率作为概 率，以总利润的期望值为决策依据，分析是否
9、要对每个批次的所有产品作检测？ 21已知函数 f（x）ex+ex+（2b）x，g（x）ax2+b（a，bR），若 yg（x）在 x1 处的切线为 y2x+1+f（0） （）求实数 a，b 的值； （）若不等式 f（x）kg（x）2k+2 对任意 xR 恒成立，求 k 的取值范围； （）设 ， ， ， ， ，其中 n2，nN*，证明：f（sin1） f（cosn） +f（sin2） f（cosn1）+f（sinn1） f（cos2）+f（sinn） f（cos1）6n （二）选考题：共 10 分，请考生从第 22、23 题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将答题卡上 所选题目对应的题号右侧方框涂黑
10、，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行 评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.选修 4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C1的参数方程为 ， （t 为参数），曲线 C2的参数方程为 ， （ 为参数），曲线 C1，C2交于 A、B 两点 （）求曲线 C1的极坐标方程和曲线 C2的普通方程； （）已知 P 点的直角坐标为（ ， ），求|PA| |PB|的值 选修 4-5：不等式选讲 23函数 f（x）|2x1|+|x+2| （）求函数 f（x）的最小值； （）若 f（x）的最小值为 M，a+2b2M（a0
11、，b0），求证： 参考答案参考答案 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知集合 Ax|1x3，Bx|ylog2（x2），则集合 AB（ ） Ax|1x2 Bx|2x3 Cx|1x3 Dx|x2 【分析】求出集合 A，B，由此能求出集合 AB 解：集合 Ax|1x3， Bx|ylog2（x2）x|x2， 集合 ABx|2x3 故选：B 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 2命题 P：“x（，0），2x3x”的否定形式p 为（ ） A ， ， B ， ， Cx（，0），2x3x Dx（，0），2x3x 【分析】直接利用全称
12、命题的否定是特称命题写出结果即可 解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题 p：“x（，0），2x3x”的否 定形式p 为： x0（，0），2 3 故选：A 【点评】 本题考查命题的否定， 特称命题与全称命题的否定关系， 是对基本知识的考查 3已知 i 是虚数单位，且 z ，则 z 的共轭复数 在复平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】先化简 z，然后求出其共轭复数，再确定其共轭复数对应的点所在象限 解：z （1i） i1i， ， z 的共轭复数 在复平面内对应的点为（1，1），位于第二象限 故选：B 【点评】本题考查了复数的运算和几何意义，属基础题
13、 4已知 a0.30.2，b50.3，clog0.25，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bbac Ccab Dcba 【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解 解：00.30.20.301，0a1， 50.3501，b1， log0.25log0.210，c0， cab， 故选：C 【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数 和指数函数的性质的合理运用 5要得到函数 ysin（2x ）的图象，只需要将函数 ysin2x 的图象（ ） A向左平移 个单位 B向左平移 个单位 C向右平移 个单位 D向右平移 个单位 【分析】由条件利用函数 yAsin
14、（x+）的图象变换规律，可得结论 解：将 ysin2x 向右平移 个单位得：ysin2（x ）sin（2x ）， 故选：D 【点评】本题主要考查函数 yAsin（x+）的图象变换规律，属于基础题 6已知实数 x，y 满足不等式 ，则 z 的最大值为（ ） A B C D 【分析】作出不等式组对应的平面区域，把所求问题转化为斜率即可得到结论 解：如图，阴影部分为可行域， 目标函数 z ，表示可行域中点（x，y）与（3，0）连线的斜率， 由图可知点 P（1，3）与（3，0）连线的斜率最大， 故 z 的最大值为 ， 故选：C 【点评】本题主要考查几何槪型的概率计算，利用线性规划的知识求出对应的区域以
15、及 转化为斜率是解决本题的关键 7 在ABC 中， 角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 若 （a+b） （sinAsinB） c （sinC+sinB） ， b+c4，则ABC 的面积的最大值为（ ） A B C1 D 【分析】由正弦定理化简已知等式 b2+c2a2bc，利用余弦定理可求 cosA ，结 合范围 A（0，），可求 A ，利用基本不等式，三角形的面积公式即可求解ABC 的面积的最大值 解：（a+b）（sinAsinB）c（sinC+sinB）， 由正弦定理可得：（a+b）（ab）c（c+b），整理可得：b2+c2a2bc， cosA ， A（0，）， A ， b+
16、c4， SABC bcsinA bc （ ）2 ，当且仅当 bc 时等号成立，即ABC 的 面积的最大值为 故选：D 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三 角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题 8若双曲线 C： 1（a0，b0）的一条渐近线被曲线 x 2+y24x+20 所截得的 弦长为 2则双曲线 C 的离心率为（ ） A B C D 【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心 率即可 解：双曲线 C： 1（a0，b0）的一条渐近线不妨为：bx+ay0， 圆 x2+y24x+20 即为（x2）2+y22 的圆心（2
17、，0），半径为 ， 双曲线的一条渐近线被圆 x2+y24x+20 所截得的弦长为 2， 可得圆心到直线的距离为： 1 ， ， 解得：e ， 故选：B 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，主要是离心率的求法，考查圆的方程的应 用，考查计算能力 9如图，在矩形 ABCD 中，AB2BC2，动点 M 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上， 则 的最大值是（ ） A1 B5 C D 【分析】 先根据条件求得 C 到 BD 的距离为 d， 再把所求转化为 ，进而求解结论 解： 因为在矩形 ABCD 中， AB2BC2， 动点 M 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上， 故| | | ，设 C
18、 到 BD 的距离为 d，则有 d ， 故 （ ） ， 其中 （ ） （ ）3， | | | |2， 当且仅当 与 同向时，等号成立， 故选：A 【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力 10已知数列an满足：a11，an+1+an3n+1，则数列 的前 30 项的和 为（ ） A B C D 【分析】已知数列an满足：a11，由 an+1+an3n+1，得 an+2+an+13n+4，作差得 an+2 an3，故奇数项和偶数项都为以 3 为公差的等差数列，求出 a 2k11+（k1）33k 2，利用裂项求和法求出结果即可 解：已知数列an满足：a11， 由 a
19、n+1+an3n+1，得 an+2+an+13n+4， 作差得 an+2an3， 故奇数项和偶数项都为以 3 为公差的等差数列， 由 a11，所以 a2k11+（k1）33k2， 又 ， 所以数列 的前 30 项的和 ， 故选：D 【点评】本题考查了递推公式求通项公式，裂项相消法求数列的前 n 项和，考查运算能 力，中档题 11 已知函数 f （x） 对于任意xR， 均满足 f （x） f （2x） ， 当 x1时， ， ， ， （其中 e 为自然对数的底数），若函数 g（x）m|x|2f（x），下列有关函数 g（x） 的零点个数问题中正确的为（ ） A若 g（x）恰有两个零点，则 m0 B若
20、 g（x）恰有三个零点，则 C若 g（x）恰有四个零点，则 0m1 D不存在 m，使得 g（x）恰有四个零点 【分析】由知 f（x）关于 x1 对称，再将函数 g（x）的零点个数问题转化为 h（x） m|x|2 与函数 f（x）的图象的焦点个数问题，利用函数 h（x）m|x|2 与函数 f（x） 相切时的 m 的值可解决 解：根据 f（x）f（2x）知 f（x）关于 x1 对称， 作出函数 h（x）m|x|2 与函数 f（x）的图象如图： 设 h（x）与 ylnx（x1）相切时的切点为 P（x0，lnx0）， 则 ，解得 x0 ，此时 m e， 当 h（x）过点（2，1）时，m ，故 B 选项
21、正确； 若 g（x）恰有 2 个零点，则 m0 或 me，故 A 错误； 若 g（x）恰有 4 个零点，则 0m ，故 C、D 选项错误； 故选：B 【点评】本题考查了由函数零点个数求参数，考查了函数的零点的个数转化为函数图象 的交点个数，属于中档题 12已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）为抛物 线 C 上的三个动点，其中 x1x2x3且 y20，若 F 为P1P2P3的重心，记P1P3P3三边 P1P2， P1P3， P2P3的中点到抛物线 C 的准线的距离分别为 d1， d2， d3， 且满足 d1+d32d2， 则 P1P3
22、所在直线的斜率为（ ） A1 B C2 D3 【分析】先利用题设条件找到 P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）的坐标之间的关 系式，再利用重心坐标之间的关系，求出 x2与 y2，从而解决 P1P3所在直线的斜率 解：由题设知 F（2，0），P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）为抛物线 C 上的 三个动点， ， 又 F 为P1P2P3的重心，x1+x2+x36，y1+y2+y30 P1P3P3三边P1P2， P1P3， P2P3的中点到抛物线C 的准线的距离分别为 d1 1， d2 1，d 3 1，且满足 d1+d32d2， x1+x32x2x22，
23、又 y20，y24， P1P3所在直线的斜率 k 2 故选：C 【点评】 本题主要考查直线与抛物线的综合， 还有三角形的重心坐标公式， 属于基础题 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13在平面直角坐标系中，角 的终边经过点 P（1，2），则 sin 【分析】由题意可得 x1，y2，求出 r，利用任意角的三角函数的定义，直接求出 sin 解：角 的终边经过点 P（1，2），即 x2，y2，则 r ， sin ， 故答案为： 【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，利用任意角的定义是解题的关键 14二项式展开式（ ） 6中的常数项是 15 【分析】求出展开式的通项，令 x
24、 的指数为 0，求出 r 的值，将 r 的值代入通项，求出展 开式的常数项 解：展开式的通项为：Tr+1C6r C 6 r 令 63r0 得 r2 所以展开式的常数项为 C6215 故答案为：15 【点评】求展开式的特定项问题常利用二项展开式的通项公式来解决 15如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，AB2AP4，PABPAD 60，则PAC 45 ；四棱锥 PABCD 的外接球的表面积为 40 【分析】 过点 P 作 PEAC， 作 EFAB， 垂足分别为 E， F， 连接 PF， 可得 PFAB 在 RtAFP 中，AP2，PAB60，可得 AF1EF，AE ，在 Rt
25、PAE 中求出即 可得出 分别以 OA，OB 为 x，y 轴，过点 O 作平面 ABCD 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标 系设四棱锥 PABCD 的外接球的球心为 G，半径为 R可设 G（0，0，t）根据|GA| |GP，即可解出 t，即可得出四棱锥 PABCD 的外接球的表面积 解：过点 P 作 PEAC，作 EFAB，垂足分别为 E，F，连接 PF，则 PFAB 在 RtAFP 中，AP2，PAB60，AF1EF， AE ，cosPAC ，可得APC45 分别以 OA，OB 为 x，y 轴，过点 O 作平面 ABCD 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标 系 设四棱锥 PABCD 的外接
26、球的球心为 G，半径为 R 可设 G（0，0，t）A（2 ，0，0），P（ ，0， ） |GA|GP|， ， 解得：t R2 10 四棱锥 PABCD 的外接球的表面积4R240 故答案为：45，40 【点评】本题考查了四棱锥、正方体与直角三角形的性质、球的表面积，考查了推理能 力与计算能力，属于中档题 162019 年底，武汉发生“新型冠状病毒”肺炎疫情，国家卫健委紧急部署，从多省调派 医务工作者前去支援，正值农历春节举家团圆之际，他们成为“最美逆行者”武汉市 从 2 月 7 日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无 法明确排除新冠肺炎的发热患者和确诊患者的密切接
27、触者等“四类”人员，强化网格化 管理，不落一户、不漏一人若在排查期间，某小区有 5 人被确认为“确诊患者的密切 接触者”，现医护人员要对这 5 人随机进行逐一“核糖核酸”检测，只要出现一例阳性， 则将该小区确定为“感染高危小区”假设每人被确诊的概率均为 p（0p1）且相互 独立，若当 pp0时，至少检测了 4 人该小区被确定为“感染高危小区”的概率取得最大 值，则 p0 【分析】根据相互独立事件同时发生的概率公式得 f（p）（1p）3p+（1p）4p，f （p）（1p）（p ）（p ），由此能求出结果 解：根据相互独立事件同时发生的概率公式得： f（p）（1p）3p+（1p）4p， f（p）3
28、（1p） 2p+（1p）34（1p）3p+（1p）4（1p）2 （5p210p+2） （1p）（p ）（p ）， 0p1，当 pp0时，f（p）最大， p0 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率计算公式等基础知识，考查运算 求解能力，是中档题 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 a3+a69，S621 （）求数列an的通项公式； （）设 ，求数列b n的前 n 项和 【分析】（I）设公差为 d，由 a3+a69，S621，联立解方程组，求出首项和公差，再 求出数列an的通项公式； （II）结合（I），由 ，得 ，再
29、利用错位相消法求出数列bn的前 n 项和 解：（I）设公差为 d，由 a3+a69，S621， 得 ，得 a11，d1， 故数列an的通项公式为 ann； （II）根据（I），由 ，得 ， 数列bn的前 n 项和 ， 两边乘以 2 得， ， 作差化简得， ， 故数列bn的前 n 项和为 【点评】本题考查了等差数列性质，求通项公式，利用错位相消法求数列的前 n 项和， 考查运算能力，中档题 18如图 1，在 RtABC 中，C90，BCAC4，D，E 分别是 AC，AB 边上的中点， 将ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位置，使 A1CA1D，如图 2 （）求证：平面 A1CD平面 A1BC；
30、 （）求直线 A1C 与平面 A1BE 所成角的正弦值 【分析】（）推导出 DEA1D，DEDC，DEBC，从而 BC平面 A1DC，由此能证 明平面 A1CD平面 A1BC （）取 CD 中点 O，连结 A1O，以 O 为原点，OC 为 x 轴，在平面 BCDE 内过 O 人生 CD 的垂线为 y 轴，OA1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 A1C 与平 面 A1BE 所成角的正弦值 解：（）证明：在 RtABC 中，C90，BCAC4， D，E 分别是 AC，AB 边上的中点，将ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位置， DEA1D，DEDC，DEBC， A1DDCD，
31、BC平面 A1DC， BC平面 A1BC，平面 A1CD平面 A1BC （）解：A1CA1D，A1CD 是边长为 2 的等边三角形， 取 CD 中点 O，连结 A1O，以 O 为原点，OC 为 x 轴， 在平面 BCDE 内过 O 人生 CD 的垂线为 y 轴，OA1为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A1（0，0， ），C（1，0，0），B（1，4，0），E（1，2，0）， （1，0， ）， （1，4， ）， （1，2， ）， 设平面 A1BE 的法向量 （x，y，z）， 则 ，取 x1，得 （1，1， ）， 设直线 A1C 与平面 A1BE 所成角为 ， 则直线 A1C 与平面 A1BE
32、 所成角的正弦值为： sin 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题 19已知点 A（2，0），椭圆 C： 的离心率为 ，F 和 B 分别是椭圆 C 的左焦点和上顶点，且ABF 的面积为 （）求椭圆 C 的方程； （）设过点 A 的直线 l 与 C 相交于 P，Q 两点，当 时，求直线 1 的方程 【分析】（）由椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合 a，b，c 的关系，解方 程可得 a，b，进而得到椭圆的方程； （）设过点 A 的直线 l 的方程设为 xmy+2，联立椭圆方程，运用韦达定理和判
33、别式 大于 0，再由向量的数量积的坐标表示，化简整理，解方程可得 m，进而得到所求直线方 程 解：（）由题意可得 e ，F（c，0），B（0，b），A（2，0），可得 （2+c）b ，即 b（2+c）3，又 a 2b2c2，解得 a ，bc1， 则椭圆的方程为 y 21； （）设过点 A 的直线 l 的方程设为 xmy+2，联立椭圆方程 x2+2y22， 可得（2+m2）y2+4my+20，16m242（2+m2）8m2160，即 m22， 设 P（x1，y1），Q（x2，y2），可得 y1+y2 ，y1y2 ， 由 ， 即 x1x2+y1y2 （my1+2） （my2+2） +y1y2 （m
34、 2+1） y 1y2+2m （y1+y2） +4 ， 即有（m2+1） 2m（ ）+4 ，化为 m 242， 则 m2，可得直线 l 的方程为 x2y20 或 x+2y20 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理， 以及向量数量积的坐标表示，同时考查化简运算能力，属于中档题 20 某工厂为生产一种精密管件研发了一台生产该精密管件的车床， 该精密管件有内外两个 口径， 监管部门规定 “口径误差” 的计算方式为： 管件内外两个口径实际长分别为 a （mm） ， b（mm），标准长分别为 ， ，则“口径误差”为 ，只要“口 径误差”不超过 0.2min 就认为合
35、格，已知这台车床分昼、夜两个独立批次生产工厂质 检部在两个批次生产的产品中分别随机抽取 40 件作为样本，经检测其中昼批次的 40 个 样本中有 4 个不合格品，夜批次的 40 个样本中有 10 个不合格品 （I）以上述样本的频率作为概率，在昼夜两个批次中分别抽取 2 件产品，求其中恰有 1 件不合格产品的概率； （II）若每批次各生产 1000 件，已知每件产品的成本为 5 元，每件合格品的利润为 10 元；若对产品检验，则每件产品的检验费用为 2.5 元；若有不合格品进入用户手中，则工 厂要对用户赔偿，这时生产的每件不合格品工厂要损失 25 元以上述样本的频率作为概 率，以总利润的期望值为
36、决策依据，分析是否要对每个批次的所有产品作检测？ 【分析】（I）先求出昼夜两批次产品各自的不合格率，再分 2 种情况，并结合相互独立 事件的概率求解即可； （II）先求出昼夜两批次各 1000 件产品中合格品的利润，再分不检验和检验 2 种情形， 分别求出相应的总利润，比较大小后，即可得解 解：（I）以样本的频率作为概率，则昼批次产品的不合格率为 ，夜批次产品的 不合格率为 ， 在昼夜两个批次中分别抽取 2 件产品，恰有 1 件不合格产品，分 2 种情况： 不合格产品在昼批次中，概率为 ， 不合格产品在夜批次中，概率为 ， 故所求的概率为 （II）这批产品中合格品的利润为 ， 若不检验，则总利
37、润为 ， 若检验，则总利润为 W2165002000（5+2.5）1500， W2W1， 故需要对每个批次的所有产品作检测 【点评】本题考查相互独立事件的概率、数学期望的实际应用，考查学生将理论知识与 实际生活相联系的能力和运算能力，属于基础题 21已知函数 f（x）ex+ex+（2b）x，g（x）ax2+b（a，b一、选择题），若 yg（x） 在 x1 处的切线为 y2x+1+f（0） （）求实数 a，b 的值； （）若不等式 f（x）kg（x）2k+2 对任意 xR 恒成立，求 k 的取值范围； （）设 ， ， ， ， ，其中 n2，nN*，证明：f（sin1） f（cosn） +f（si
38、n2） f（cosn1）+f（sinn1） f（cos2）+f（sinn） f（cos1）6n 【分析】（）f（0）2b，g（1）2a，再结合题意，建立关于 a，b 的方程组， 解方程即可得解； （）依题意，ex+exkx220 恒成立，令 F（x）ex+exkx22，由于 F（x）为 偶函数，故只需当 x0 时，F（x）0 恒成立，对函数 F（x）求导后，利用导数分类讨 论即可得出结论； （） 由 （） 知， f （x1） f （x2） ， 由此可得 ， ， ，再累加即可得证 解：（）由 f（x）exex+2b，得 f（0）2b，由 g（x）2ax，得 g （1）2a， 根据题意可得 ，解得
39、 ； （）由不等式 f（x）kg（x）2k+2 对任意 xR 恒成立知，ex+exkx220 恒成 立， 令 F（x）ex+exkx22，显然 F（x）为偶函数，故当 x0 时，F（x）0 恒成立， F（x）exex2kx，令 h（x）exex2kx（x0），则 h（x）ex+ex2k， 令 H（x）ex+ex2k（x0），则 H（x）exex，显然 H（x）为（0，+） 上的增函数， 故 H（x）H（0）0，即 H（x）在（0，+）上为增函数，H（0）22k， 当 H（0）22k0，即 k1 时，H（x）0，则 h（x）在（0，+）上单调递增， 故 h（x）h（0）0，则 F（x）在（0，+
40、）上为增函数，故 F（x）F（0）0， 符合题意； 当 H （0） 22k0， 即 k1 时， 由于 ， 故存在 x1 （0， ln （2k） ） ， 使得 H（x1）0， 故 h（x）在（0，x1）单调递减，在（x1，+）单调递增， 当 x（0，x1）时，h（x）h（0）0，故 F（x）在在（0，x1）单调递减，故 F（x） F（0）0，不合题意 综上，k1； （） 证明： 由 （） 知， ，当且仅当 x1x20 时等号同时成立， 故 ， ， ， 以上 n 个式子相加得，f（sin1） f（cosn）+f（sin2） f（cosn1）+f（sinn1） f（cos2）+f（sinn） f（c
41、os1）6n 【点评】本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，最值以及不等式 的恒成立问题，考查推理论证能力，运算求解能力，考查分类与整合思想，化归与转化 思想等，属于较难题目 （二）选考题：共 10 分，请考生从第 22、23 题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将答题卡上 所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行 评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.选修 4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C1的参数方程为 ， （t 为参数），曲线 C2的参数方程为 ，
42、（ 为参数），曲线 C1，C2交于 A、B 两点 （）求曲线 C1的极坐标方程和曲线 C2的普通方程； （）已知 P 点的直角坐标为（ ， ），求|PA| |PB|的值 【分析】（）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转 换 （）利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果 解：（）曲线 C1的参数方程为 ， （t 为参数），转换为直角坐标方程为 ，转换为极坐标方程为 曲线 C2的参数方程为 ， （ 为参数），转换为直角坐标方程为 （）把曲线 C1的参数方程为 ， （t 为参数），代入 ，得到： ， 所以|PA| |PB| 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方
43、程和直角坐标方程之间的转换，一元 二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属 于基础题型 选修 4-5：不等式选讲 23函数 f（x）|2x1|+|x+2| （）求函数 f（x）的最小值； （）若 f（x）的最小值为 M，a+2b2M（a0，b0），求证： 【分析】（）将函数化为分段函数的形式，利用函数的性质即可求得最小值； （）由（）可知（a+1）+（2b+1）7，再利用基本不等式即可得证 解：（） ， ， ， ， 易知，当 时，函数 f（x）取得最小值，且最小值为 ； （）证明：由（）可知， ，则 a+2b5， （a+1）+（2b+1）7， ， 当且仅当 ，即 ， 时取等号 【点评】本题考查含绝对值的函数最值求法，考查基本不等式的运用，考查推理能力及 运算能力，属于基础题
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